Exercicis de geometria a l'espai — Matemàtiques 2n Batxillerat

Primer el vector: AB = B - A = (2-2, 4-1, 4-0) = (0, 3, 4).
El mòdul és $\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{0 + 9 + 16}$ = $\sqrt{25}$.
|AB| = 5.

Mirem si els directors són proporcionals. $d_{2}$ = (2, 4, 6) és exactament el doble de $d_{1}$ = (1, 2, 3).
Com que tenen la mateixa direcció, les rectes són paral·leles o coincidents.
Per distingir entre les dues opcions caldria comprovar si comparteixen algun punt.

La distància entre dos punts és el mòdul del vector que els uneix.
AB = B - A = (0, 2, 2), i |AB| = $\sqrt{0^{2} + 2^{2} + 2^{2}}$ = $\sqrt{0 + 4 + 4}$ = $\sqrt{8}$ = 2·$\sqrt{2}$.
La distància és 2·$\sqrt{2}$, aproximadament 2,83.

Tres punts estan alineats si els vectors AB i AC tenen la mateixa direcció, és a dir, si són proporcionals.
AB = B - A = (3 - 1, 3 - 2, 5 - 3) = (2, 1, 2) i AC = C - A = (7 - 1, 5 - 2, 9 - 3) = (6, 3, 6).
Com que AC = 3·AB (6/2 = 3/1 = 6/2 = 3), els dos vectors són proporcionals i els tres punts estan alineats.
Comprovació: C = A + 3·AB = (1 + 6, 2 + 3, 3 + 6) = (7, 5, 9), que és exactament C.

Vector director: u = AB = (3 - 1, 1 - (-2), 4 - 0) = (2, 3, 4).
Amb el punt A i el vector u, les equacions paramètriques són x = 1 + 2t, y = -2 + 3t, z = 4t (t és el paràmetre).
Aïllant t de cada equació i igualant, l'equació contínua és (x - 1)/2 = (y + 2)/3 = z/4.
Comprovació: per a t = 1 s'obté (3, 1, 4), que és el punt B.
Error típic: escriure (y - 2)/3 en lloc de (y + 2)/3; a la contínua es resta la coordenada del punt, i -(-2) = +2.

Si el vector normal és (A, B, C), el pla té equació Ax + By + Cz + D = 0; aquí, x + 2y - 2z + D = 0.
Imposem que P hi pertanyi: 2 + 2·(-1) - 2·3 + D = 0, és a dir, 2 - 2 - 6 + D = 0, d'on D = 6.
Pla: x + 2y - 2z + 6 = 0.
Substituïm Q: 0 + 2·(-3) - 2·0 + 6 = -6 + 6 = 0. Sí, Q pertany al pla.

Dos plans són paral·lels quan els seus vectors normals són proporcionals. $n_{1}$ = (2, -1, 3) i $n_{2}$ = (-4, 2, -6) = -2·$n_{1}$: sí que són paral·lels.
Perquè siguin el mateix pla, la proporció s'ha de mantenir també en el terme independent: -2·5 = -10, però el de $π_{2}$ és 1 ≠ -10.
Per tant, són plans paral·lels diferents (no tenen cap punt en comú).
Es pot veure també multiplicant $π_{1}$ per -2: -4x + 2y - 6z = -10, incompatible amb -4x + 2y - 6z = 1.

Fórmula: d(P, π) = |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| / √(A² + B² + C²).
Numerador: |2·1 - 2 + 2·3 - 3| = |2 - 2 + 6 - 3| = 3.
Denominador: √(2² + (-1)² + 2²) = √9 = 3.
d(P, π) = 3/3 = 1 unitat.
Error típic: oblidar el valor absolut o el terme D en substituir.

Un punt pertany a la recta si existeix un únic valor de t que dona les tres coordenades alhora.
P: 1 + 2t = 5 → t = 2; -1 + t = 1 → t = 2; 1 + 3t = 7 → t = 2. El mateix valor a les tres equacions: P pertany a r.
Q: 1 + 2t = 3 → t = 1; -1 + t = 0 → t = 1; però 1 + 3t = 5 → t = 4/3. Els valors no coincideixen: Q no pertany a r.
Error típic: comprovar només una o dues coordenades; cal que les tres donin el mateix t.

Aïllem el paràmetre: t = $\tfrac{(x - 1)}{2}$, t = -y, t = z - 3. L'equació contínua és $\tfrac{(x - 1)}{2} = y$/(-1) = $\tfrac{(z - 3)}{1}$.
Igualant el primer i el segon membre: x - 1 = -2y → x + 2y - 1 = 0.
Igualant el segon i el tercer: -y = z - 3 → y + z - 3 = 0.
r: {x + 2y - 1 = 0, y + z - 3 = 0}. Comprovació: el punt (1, 0, 3) (t = 0) compleix 1 + 0 - 1 = 0 i 0 + 3 - 3 = 0, i el director (2, -1, 1) és perpendicular als dos normals: 2 - 2 = 0 i -1 + 1 = 0.

Dividint v pel seu mòdul |v|; el resultat té mòdul 1 i la mateixa direcció.

L'angle es troba amb la fórmula cos(angle) = (u·v)/(|u|·|v|).
Producte escalar: u·v = 1·2 + 0·1 + (-1)·0 = 2.
Mòduls: |u| = √(1 + 0 + 1) = √2 i |v| = √(4 + 1 + 0) = √5.
Per tant cos(angle) = 2 / (√2·√5) = 2/√10, aproximadament 0,63 (un angle proper a 50 graus).

Una recta escrita com a tall de dos plans té per vector director el producte vectorial dels dos vectors normals, perquè el director és paral·lel als dos plans alhora.
Normals: n₁ = (1, 1, 1) i n₂ = (1, -1, 1).
Director d = n₁ × n₂:
primera, 1·1 - 1·(-1) = 2;
segona, 1·1 - 1·1 = 0;
tercera, 1·(-1) - 1·1 = -2.
Així d = (2, 0, -2), que podem simplificar a (1, 0, -1).
Ens cal un punt de la recta: donem un valor, per exemple z = 0, i resolem el sistema x + y = 1, x - y = 3. Sumant: 2x = 4, x = 2; per tant y = -1. Un punt és P(2, -1, 0).
Les equacions paramètriques (punt més múltiple del director) són: x = 2 + t, y = -1, z = -t.
Comprovació: substituint a tots dos plans surt 0 = 0 per a qualsevol t.

El pla mediador passa pel punt mitjà de PQ i té com a vector normal el vector PQ.
Punt mitjà: M = ($\tfrac{(2+4)}{2}$, $\tfrac{(0+2)}{2}$, $\tfrac{(1+3)}{2}$) = (3, 1, 2).
Vector normal: PQ = Q - P = (2, 2, 2), que simplifiquem a (1, 1, 1).
Equació: 1(x-3) + 1(y-1) + 1(z-2) = 0, és a dir x + y + z - 6 = 0.
Comprovació ràpida: M compleix 3+1+2-6 = 0. Tot punt d'aquest pla és equidistant de P i Q.

La recta perpendicular té com a director el vector normal del pla, n = (1, -2, 2): r: x = 1 + t, y = 1 - 2t, z = 1 + 2t.
Substituïm a π: (1 + t) - 2(1 - 2t) + 2(1 + 2t) = 10 → 1 + t - 2 + 4t + 2 + 4t = 10 → 9t + 1 = 10 → t = 1.
Punt de tall (projecció de P): Q(2, -1, 3).
Distància: |PQ| = |(1, -2, 2)| = √(1 + 4 + 4) = 3.
Comprovació amb la fórmula: d(P, π) = |1 - 2 + 2 - 10| / √(1 + 4 + 4) = 9/3 = 3.

Director de r: u = (1, 1, -1); normal de π: n = (2, 1, 3). Producte escalar: u·n = 2 + 1 - 3 = 0, així que la recta és paral·lela al pla o hi està continguda.
Mirem si el punt A(1, 0, 2) de r és del pla: 2·1 + 0 + 3·2 = 8 ≠ 5. No hi és: r i π són paral·lels (cap punt comú).
La distància és la de qualsevol punt de r al pla: d = |8 - 5| / √(4 + 1 + 9) = 3/√14 ≈ 0,80 unitats.
Si u·n hagués estat diferent de zero, la recta tallaria el pla en un sol punt.

De r en traiem un punt, A(1, 0, -1), i el director u = (2, 1, -1). El segon vector del pla és AP = (0 - 1, 1 - 0, 2 - (-1)) = (-1, 1, 3).
Vector normal: n = u × AP = (1·3 - (-1)·1, (-1)·(-1) - 2·3, 2·1 - 1·(-1)) = (4, -5, 3).
Pla: 4x - 5y + 3z + D = 0. Amb A: 4 - 0 - 3 + D = 0 → D = -1.
π: 4x - 5y + 3z - 1 = 0.
Comprovació: P → 0 - 5 + 6 - 1 = 0, i el punt (3, 1, -2) de r (t = 1) → 12 - 5 - 6 - 1 = 0.

L'angle entre dos plans és l'angle (agut) entre els seus vectors normals: n₁ = (1, 1, 0) i n₂ = (1, 0, 1).
cos α = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|) = |1 + 0 + 0| / (√2·√2) = 1/2.
α = arccos(1/2) = 60°.
Observa que la coordenada que falta a cada equació (z a π₁, y a π₂) és un 0 al vector normal; no és un error oblidar-la, però cal tenir-ho present en fer el producte.

Punt de tall: substituïm x = t, y = 2t, z = 1 + 2t a π: 2t + 4t + 1 + 2t = 9 → 8t = 8 → t = 1. Punt: (1, 2, 3).
Angle recta-pla: el sinus de l'angle α és el cosinus de l'angle entre el director u = (1, 2, 2) i la normal n = (2, 2, 1):
sin α = |u·n| / (|u|·|n|) = |2 + 4 + 2| / (3·3) = 8/9.
α = arcsin(8/9) ≈ 62,73°.
Error típic: fer servir el cosinus en lloc del sinus; amb cos α = 8/9 sortiria l'angle entre la recta i la normal (27,27°), que és el complementari.

Recta perpendicular a π per P (director n = (1, -1, 2)): (2 + t, 3 - t, 4 + 2t).
Punt de tall M amb el pla: (2 + t) - (3 - t) + 2(4 + 2t) + 5 = 0 → 6t + 12 = 0 → t = -2. M = (0, 5, 0).
M és el punt mitjà entre P i el simètric P': P' = 2M - P = (0 - 2, 10 - 3, 0 - 4) = (-2, 7, -4).
Comprovació: d(P, π) = |2 - 3 + 8 + 5| / √6 = 12/√6 i d(P', π) = |-2 - 7 - 8 + 5| / √6 = 12/√6, iguals, i P i P' donen signes oposats (estan a bandes diferents del pla).

Punt de r: A(1, 0, 2); director u = (2, 2, 1), amb |u| = √(4 + 4 + 1) = 3. Vector AP = (5, 2, 4).
Fórmula amb el producte vectorial: d(P, r) = |AP × u| / |u|.
AP × u = (2·1 - 4·2, 4·2 - 5·1, 5·2 - 2·2) = (-6, 3, 6), de mòdul √(36 + 9 + 36) = √81 = 9.
d(P, r) = 9/3 = 3 unitats.
Comprovació per l'altre mètode: el punt genèric de r és (1 + 2t, 2t, 2 + t); imposant que el vector fins a P sigui perpendicular a u: 2(5 - 2t) + 2(2 - 2t) + (4 - t) = 18 - 9t = 0 → t = 2, peu Q(5, 4, 4) i |PQ| = √(1 + 4 + 4) = 3.

El producte mixt de tres vectors dona (en valor absolut) el volum del paral·lelepípede que formen, i el volum del tetraedre és una sisena part d'aquest: V_tetraedre = (1/6)·|mixt|.
Agafem els tres vectors des de A: AB = (2, -1, 0), AC = (1, 1, -1) i AD = (-1, 0, 2).
El producte mixt és AB·(AC × AD). Primer calculem AC × AD:
primera, 1·2 - (-1)·0 = 2;
segona, (-1)·(-1) - 1·2 = -1;
tercera, 1·0 - 1·(-1) = 1.
Així AC × AD = (2, -1, 1).
Ara el producte escalar amb AB: mixt = (2, -1, 0)·(2, -1, 1) = 2·2 + (-1)·(-1) + 0·1 = 4 + 1 + 0 = 5.
El volum del paral·lelepípede és |5| = 5, i el del tetraedre V = (1/6)·5 = 5/6, aproximadament 0,83 unitats cúbiques. Com que el mixt no és zero, els quatre punts no són coplanaris i el tetraedre existeix de debò.

Dos vectors directors del pla des de A: AB = B - A = (-1, 2, 2) i AC = C - A = (-2, -1, 1).
Vector normal n = AB × AC:
primera, 2·1 - 2·(-1) = 4;
segona, 2·(-2) - (-1)·1 = -3;
tercera, (-1)·(-1) - 2·(-2) = 5.
Per tant n = (4, -3, 5).
Equació del pla amb normal (4, -3, 5) que passa per A(2, 1, 0): 4(x - 2) - 3(y - 1) + 5(z - 0) = 0, és a dir 4x - 3y + 5z - 5 = 0.
Comprovació amb C: 4·0 - 3·0 + 5·1 - 5 = 0.
Per a l'àrea del triangle aprofitem que |AB × AC| és l'àrea del paral·lelogram: |n| = $\sqrt{4^{2} + (-3)^{2} + 5^{2}}$ = $\sqrt{16 + 9 + 25}$ = $\sqrt{50}$ = 5·$\sqrt{2}$.
L'àrea del triangle és la meitat: Àrea = ($\tfrac{1}{2}$)·5·$\sqrt{2}$ = 5·$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, aproximadament 3,54 unitats quadrades.

Primer mirem si els directors són proporcionals: u = (1, 0, 1) i v = (0, 1, 1) no ho són, o sigui que les rectes no són ni paral·leles ni coincidents; només poden ser secants o encreuar-se.
Per decidir-ho fem servir el producte mixt [AB, u, v]: si és zero, les rectes són coplanàries i per tant es tallen; si no, s'encreuen.
Vector AB = B - A = (-1, 1, 0). Producte vectorial u × v = (0·1 - 1·1, 1·0 - 1·1, 1·1 - 0·0) = (-1, -1, 1).
Mixt = AB·(u × v) = (-1)·(-1) + 1·(-1) + 0·1 = 1 - 1 + 0 = 0. Com que és zero, les rectes són secants: es tallen en un punt.
Per trobar-lo, igualem les formes paramètriques. r: (1 + t, 0, t); s: (0, 1 + p, p).
De la x: 1 + t = 0, per tant t = -1. De la y: 0 = 1 + p, per tant p = -1. Comprovem la z: t = p dona -1 = -1, coherent.
Substituint t = -1 a r: el punt de tall és (0, 0, -1) (i a s amb p = -1 surt el mateix).

a) Determinant de la matriu de coeficients: det = 1·(-2 - a) - 1·(4 - 1) + 1·(2a + 1) = -2 - a - 3 + 2a + 1 = a - 4.
Si a ≠ 4: det ≠ 0, el sistema és compatible determinat i els tres plans es tallen en un únic punt.
Si a = 4: rang(A) = 2. Observem que 3π₁ - π₂ dona (3 - 2)x + (3 + 1)y + (3 - 1)z = 3 - 3, és a dir, x + 4y + 2z = 0, que és exactament π₃. Per tant, rang(A|B) = 2: el sistema és compatible indeterminat i els tres plans passen per una mateixa recta (feix de plans).
b) La recta comuna és la intersecció de π₁ i π₂. Director: n₁ × n₂ = (1, 1, 1) × (2, -1, 1) = (1·1 - 1·(-1), 1·2 - 1·1, 1·(-1) - 1·2) = (2, 1, -3).
Un punt: amb y = 0, x + z = 1 i 2x + z = 3 → x = 2, z = -1: A(2, 0, -1) (comprovem π₃: 2 + 0 - 2 = 0).
Recta: x = 2 + 2t, y = t, z = -1 - 3t.

Dades: r passa per A(1, 2, 0) amb director u = (1, 1, 2); s passa per B(2, a, 2) amb director v = (1, 2, 1). Com que u i v no són proporcionals, les rectes no poden ser paral·leles: o es tallen o s'encreuen.
Es tallen si els vectors AB = (1, a - 2, 2), u i v són coplanaris, és a dir, si det(AB, u, v) = 0: det = 1·(1 - 4) - (a - 2)·(1 - 2) + 2·(2 - 1) = -3 + (a - 2) + 2 = a - 3.
a) a = 3. Punt de tall: igualem (1 + t, 2 + t, 2t) = (2 + λ, 3 + 2λ, 2 + λ). De la primera, t = 1 + λ; a la segona, 2 + 1 + λ = 3 + 2λ → λ = 0, t = 1. Tercera: 2·1 = 2 + 0, correcte. Punt: (2, 3, 2).
b) Si a ≠ 3, el determinant no s'anul·la, els tres vectors no són coplanaris i les rectes s'encreuen (no es tallen ni són paral·leles).

a) Director de r: u = (1, 1, 1); normal de π: n = (2, -1, 1). Com que u·n = 2 - 1 + 1 = 2 ≠ 0, r talla π. El pla π' ha de contenir u (conté r) i també n (és perpendicular a π), així que el seu normal és n' = u × n = (1·1 - 1·(-1), 1·2 - 1·1, 1·(-1) - 1·2) = (2, 1, -3).
π': 2x + y - 3z + D = 0; amb el punt (1, 0, 2) de r: 2 - 6 + D = 0 → D = 4. π': 2x + y - 3z + 4 = 0.
b) La projecció de r sobre π és la recta intersecció de π' i π: {2x + y - 3z + 4 = 0, 2x - y + z = 0}.
Director: n' × n = (2, 1, -3) × (2, -1, 1) = (1·1 - (-3)·(-1), (-3)·2 - 2·1, 2·(-1) - 1·2) = (-2, -8, -4), proporcional a (1, 4, 2).
Un punt: el de tall de r amb π: 2(1 + t) - t + 2 + t = 0 → 2t + 4 = 0 → t = -2, punt (-1, -2, 0) (compleix les dues equacions).
Projecció: x = -1 + s, y = -2 + 4s, z = 2s. Comprovació: (1, 4, 2)·(2, -1, 1) = 2 - 4 + 2 = 0, el director és paral·lel a π.

Directors u = (1, 1, 1) i v = (1, -1, 0), no proporcionals: no són paral·leles. Punts A(0, 0, 1) de r i B(2, 2, 0) de s; AB = (2, 2, -1).
det(AB, u, v) = 2·(1·0 - 1·(-1)) - 2·(1·0 - 1·1) + (-1)·(1·(-1) - 1·1) = 2 + 2 + 2 = 6 ≠ 0: els tres vectors no són coplanaris, les rectes s'encreuen.
Distància: d(r, s) = |det(AB, u, v)| / |u × v|. u × v = (1·0 - 1·(-1), 1·1 - 1·0, 1·(-1) - 1·1) = (1, 1, -2), de mòdul √(1 + 1 + 4) = √6.
d(r, s) = 6/√6 = √6 ≈ 2,45 unitats.
Interpretació: |det| és el volum del paral·lelepípede format per AB, u i v, i |u × v| l'àrea de la base; el quocient és l'altura, que és la distància entre les rectes.

Director u = (2, -1, 2) i normal n = (1, 2, -2): u·n = 2 - 2 - 4 = -4 ≠ 0, la recta talla el pla. En allunyar-se del punt de tall cap a una banda o l'altra, la distància creix, així que hi ha exactament un punt a distància 4 a cada banda.
Punt genèric: P(t) = (1 + 2t, 1 - t, 2t). Distància: |(1 + 2t) + 2(1 - t) - 2·2t - 7| / √(1 + 4 + 4) = |-4t - 4| / 3.
Imposem |-4t - 4| / 3 = 4 → |t + 1| = 3 → t = 2 o t = -4.
Punts: t = 2 → (5, -1, 4); t = -4 → (-7, 5, -8).
Comprovació: (5, -1, 4) → |5 - 2 - 8 - 7| / 3 = 12/3 = 4; (-7, 5, -8) → |-7 + 10 + 16 - 7| / 3 = 12/3 = 4.

a) Punt genèric de r: Q(t) = (1 + t, 1, t). El vector PQ = (t - 1, -2, t - 5) ha de ser perpendicular al director u = (1, 0, 1): (t - 1)·1 + (-2)·0 + (t - 5)·1 = 2t - 6 = 0 → t = 3.
Projecció: Q(4, 1, 3).
b) Q és el punt mitjà entre P i el simètric P': P' = 2Q - P = (8 - 2, 2 - 3, 6 - 5) = (6, -1, 1).
Distància: d(P, r) = |PQ| = |(2, -2, -2)| = √12 = 2√3 ≈ 3,46 unitats.
Comprovació: |P'Q| = |(-2, 2, 2)| = √12, la mateixa distància, i PQ·u = 2 + 0 - 2 = 0.

a) $x+2y+2z=(1+2t)+2(-2+2t)+2(25-t)=47+4t=67\iff t=5$ s. Punt d'impacte: $P(5)=(11,8,20)$. Velocitat: $|\vec v|=\sqrt{4+4+1}=3$ m/s.

b) Amb $\vec v=(2,2,-1)$ i la normal $\vec n=(1,2,2)$ ($|\vec n|=3$): $\sin\theta=\dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}=\dfrac{|2+4-2|}{3\cdot3}=\dfrac49$, de manera que $\theta\approx26{,}4^\circ$. L'impacte és força rasant.

c) Sigui $\vec w=\overrightarrow{P_0A}=(5,2,-4)$. Aleshores $\vec w\times\vec v=(6,-3,6)$, de mòdul 9, i $d=9/3=3$ m. El punt més proper correspon a $t=\dfrac{\vec w\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}=\dfrac{18}{9}=2$ s, és a dir $P(2)=(5,2,23)$ (comprovació: $|A-P(2)|=|(1,-2,-2)|=3$). Com que $t=2$ és anterior a l'impacte, aquesta mínima aproximació es produeix realment. Com que $3\lt3{,}5$, el dron entra a la zona de seguretat: hi ha risc.

d) Per a un punt, $x+2y+2z$ val 47 al punt de sortida $P_0$ i 48 a l'antena, ambdós menors que 67: són al mateix costat de la coberta (a l'aire). La distància de l'antena a la coberta és $\dfrac{67-48}{3}=\dfrac{19}{3}\approx6{,}33$ m.

Errors típics

• Calcular l'angle amb el cosinus i obtenir l'angle amb la normal ($63{,}6^\circ$) en lloc de l'angle amb el pla.
• Oblidar dividir per $|\vec v|$ en la distància d'un punt a una recta.
• Considerar que el punt més proper a l'antena és el d'impacte; cal minimitzar la distància sobre tota la trajectòria.
• Comparar la distància mínima a la recta sense comprovar que s'assoleix abans de l'impacte.

Conceptes treballats: equacions d'una recta i d'un pla, intersecció recta-pla, angle recta-pla, distància d'un punt a una recta i a un pla, posició relativa respecte d'un pla.

a) Directors $\vec u=(2,2,0)$ i $\vec w=(-2,2,0)$, no proporcionals, així que les rectes no són paral·leles. $\vec u\times\vec w=(0,0,8)$ i el vector entre punts és $\overrightarrow{P_0Q_0}=(20,-1,0{,}3)$. El producte mixt val $0{,}3\cdot 8=2{,}4\ne0$: les rectes es creuen (no són coplanàries, no es tallen). La seva distància és $d=\dfrac{|2{,}4|}{|(0,0,8)|}=0{,}3$ km.

b) Amb $P(t)$ i $Q(s)=(20-2s,\,-1+2s,\,2{,}3)$, $\overrightarrow{PQ}=(20-2s-2t,\,-1+2s-2t,\,0{,}3)$. Imposant $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u=38-8t=0$ i $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec w=-42+8s=0$: $t=4{,}75$ i $s=5{,}25$. Els dos punts són $(9{,}5;\,9{,}5;\,2)$ i $(9{,}5;\,9{,}5;\,2{,}3)$, un sobre l'altre. La primera avioneta hi passa a $t=4{,}75$ min i la segona a $t=5{,}25$ min: 30 segons de diferència i 0,3 km de desnivell. No hi ha col·lisió.

c) $Q(t)-P(t)=(20-4t,\,-1,\,0{,}3)$, i $d(t)^2=(20-4t)^2+1{,}09$. És mínima per a $t=5$ min, amb $d=\sqrt{1{,}09}\approx1{,}044$ km. Com que $1{,}044\lt1{,}2$, el protocol no es compleix.

d) La distància entre rectes considera qualsevol parell de punts, també els que no es donen al mateix temps. Les avionetes no estan mai alhora als peus de la perpendicular comuna (4,75 min i 5,25 min), de manera que la seva distància real mínima (1,044 km) és més gran que 0,3 km. Només s'apropiarien a 0,3 km si una d'elles volés mig minut abans o després, de manera que arribessin alhora als peus de la perpendicular comuna.

Errors típics

• Calcular la distància entre rectes amb la fórmula punt-recta (només val per a rectes paral·leles).
• Confondre «les trajectòries es tallen» amb «els avions xoquen»: cal que passin pel mateix punt al mateix instant.
• Minimitzar $d(t)$ en lloc de $d(t)^2$ i complicar-se amb l'arrel, o oblidar que els dos avions comparteixen el paràmetre $t$.
• Treure la conclusió d'a) per a un instant concret sense comprovar-ho amb la funció $d(t)$.

Conceptes treballats: posició relativa de dues rectes a l'espai, producte vectorial i mixt, distància entre rectes que es creuen, perpendicular comuna, optimització d'una distància en funció del temps.

a) $\vec n=(1,2,2)$, $|\vec n|=3$. A $A$: $2+4+12-9=9\gt0$; a $B$: $2+12+4-9=9\gt0$. Mateix signe, mateix costat; la distància és $9/3=3$ per als dos punts.

b) $B'=B-2\cdot\dfrac{\vec n\cdot B-9}{|\vec n|^2}\,\vec n=(2,6,2)-2\cdot\dfrac99\,(1,2,2)=(0,2,-2)$.

c) La recta $AB'$ és $(2,2,6)+\lambda(-2,0,-8)$. En tallar $\pi$: $(2-2\lambda)+2\cdot2+2(6-8\lambda)=18-18\lambda=9\iff\lambda=\tfrac12$. Per tant $R=(1,2,2)$.

d) $AR=|(-1,0,-4)|=\sqrt{17}$ i $RB=|(1,4,0)|=\sqrt{17}$: recorregut $2\sqrt{17}\approx8{,}25$ dm, que és també $|AB'|=|(-2,0,-8)|=\sqrt{68}$. Per a qualsevol $X\in\pi$, $XB=XB'$ ($\pi$ és el pla mediador de $BB'$), de manera que $AX+XB=AX+XB'\ge AB'$ (desigualtat triangular), amb igualtat només si $X$ és al segment $AB'$, és a dir $X=R$. Angles: el cosinus de l'angle amb la normal és $\dfrac{(A-R)\cdot\vec n}{|A-R||\vec n|}=\dfrac{9}{3\sqrt{17}}$ i $\dfrac{(B-R)\cdot\vec n}{|B-R||\vec n|}=\dfrac{9}{3\sqrt{17}}$: iguals, com exigeix la llei de la reflexió.

Errors típics

• Calcular el simètric de $B$ respecte d'un punt del pla en lloc de respecte del pla.
• Fer servir $A$ i $B$ directament (sense reflexió) i buscar el tall de $AB$ amb $\pi$: no existeix perquè són al mateix costat.
• Oblidar dividir per $|\vec n|^2$ en la fórmula del simètric.
• Donar per bona la propietat «angles iguals» sense comprovar-la numèricament.

Conceptes treballats: pla i recta perpendicular, simètric d'un punt respecte d'un pla, distància punt-pla, intersecció recta-pla, optimització geomètrica i desigualtat triangular.

a) $a(x+y-z-1)+b(2x-y+z-2)=0$, és a dir $(a+2b)x+(a-b)y+(-a+b)z-(a+2b)=0$, amb normal $\vec n=(a+2b,\ a-b,\ -a+b)$.

b) A $P$: $\pi_1$ dona $2+1-1-1=1$ i $\pi_2$ dona $4-1+1-2=2$. Cal $a+2b=0$; amb $(a,b)=(2,-1)$: $2(x+y-z-1)-(2x-y+z-2)=3y-3z=0$, és a dir $y=z$.

c) $\vec n\cdot\vec d=(a+2b)+2(a-b)=3a=0$, per tant $a=0$: el pla és $\pi_2:\ 2x-y+z=2$. (Comprovació: la direcció $(1,2,0)$ és perpendicular a $(2,-1,1)$: $2-2+0=0$.)

d) Normal de $\sigma$: $(1,-1,2)$. Cal $\vec n\cdot(1,-1,2)=(a+2b)-(a-b)+2(-a+b)=-2a+5b=0$, i $(a,b)=(5,2)$: $5(x+y-z-1)+2(2x-y+z-2)=9x+3y-3z-9=0$, o sigui $3x+y-z=3$. Comprovació: $(3,1,-1)\cdot(1,-1,2)=3-1-2=0$.

e) $\vec n\cdot(0,1,1)=(a-b)+(-a+b)=0$ per a tots els $a,b$: tots els plans són paral·lels a $(0,1,1)$, que és exactament la direcció de $r$ ($(1,1,-1)\times(2,-1,1)=(0,-3,-3)$), com cal perquè tots contenen $r$. Un pla paral·lel a $z=0$ hauria de tenir normal $(0,0,k)$: $a+2b=0$ i $a-b=0$ donen $a=b=0$, que no és un pla. Geomètricament: contindria $r$, però $r$ té direcció $(0,1,1)$, amb component vertical, i no és paral·lela a $z=0$.

Errors típics

• Oblidar la condició $(a,b)\ne(0,0)$ o no veure que només importa la raó $a:b$.
• Confondre «pla paral·lel a una recta» amb «pla perpendicular a una recta» (producte escalar zero entre normal i direcció, no producte vectorial).
• Plantejar la perpendicularitat entre plans amb el producte vectorial dels normals en lloc del producte escalar.
• Treballar amb els plans $\pi_1,\pi_2$ com si fossin els únics del feix.

Conceptes treballats: feix de plans, vector normal, paral·lelisme i perpendicularitat de plans i rectes, producte escalar i vectorial, raonament geomètric.

a) Directors $\vec u=(1,1,0)$ i $\vec v=(0,1,1)$, no proporcionals. $\vec u\times\vec v=(1,-1,1)$ i $\overrightarrow{R_0S_0}=(-1,0,2)$, amb producte escalar $-1+2=1\ne0$: no són coplanàries, per tant es creuen.

b) El pla $\pi$ que conté $P$ i $r$: normal $\vec u\times\overrightarrow{R_0P}=(1,1,0)\times(0,2,1)=(1,-1,2)$ i passa per $R_0(1,0,0)$: $x-y+2z=1$ ($P$ el compleix: $1-2+2=1$). Tall de $s$ amb $\pi$: el punt $(0,\sigma,2+\sigma)$ compleix $-\sigma+4+2\sigma=1\iff\sigma=-3$, de manera que $Q=(0,-3,-1)$. La recta és $PQ$:

c) Talla $s$ en $Q=(0,-3,-1)$. Per tallar $r$: $(1-\lambda,\,2-5\lambda,\,1-2\lambda)=(1+t,\,t,\,0)$ dona, per la tercera coordenada, $\lambda=\tfrac12$; aleshores $t=-\tfrac12$ i el punt és $\left(\tfrac12,-\tfrac12,0\right)$ (les tres equacions es compleixen).

d) Si $s$ és paral·lela a $\pi(P,r)$ i no hi és continguda, $Q$ no existeix i no hi ha cap recta. Si $s$ està continguda en $\pi(P,r)$, qualsevol punt de $s$ serveix i n'hi ha infinites. A més, si $P$ fos sobre $r$ o $s$, el problema canvia (infinites o cap solució). En el cas general (com aquí) la recta és única: és la intersecció dels plans $\pi(P,r)$ i $\pi(P,s)$.

Errors típics

• Buscar una recta que passi per P i tingui direcció perpendicular a $r$ i $s$ (és el problema de la perpendicular comuna, diferent).
• Prendre $Q$ com a qualsevol punt d'$s$ i no pel que està al pla $\pi(P,r)$.
• Oblidar comprovar que la recta $PQ$ talla realment $r$ (no sigui paral·lela).
• Fer servir el mateix paràmetre per a les dues rectes quan es resol el sistema de tall.

Conceptes treballats: posició relativa de rectes que es creuen, pla determinat per punt i recta, intersecció recta-pla, recta que talla dues rectes, raonament sobre existència i unicitat.

a) $\vec u=(1,1,0)$, $\vec v=(1,-1,1)$: no proporcionals, no paral·leles. $\vec u\times\vec v=(1,-1,-2)$ i $\overrightarrow{R_0S_0}=(1,1,-3)$: producte escalar $1-1+6=6\ne0$, no coplanàries. Es creuen.

b) $R(t)=(t,\,t-1,\,0)$, $S(\sigma)=(1+\sigma,\,-\sigma,\,\sigma-3)$. Vector $\overrightarrow{RS}=(1+\sigma-t,\ 1-\sigma-t,\ \sigma-3)$. Condicions: $\overrightarrow{RS}\cdot\vec u=2-2t=0$ i $\overrightarrow{RS}\cdot\vec v=3\sigma-3=0$, per tant $t=\sigma=1$. Punts: $R=(1,0,0)$ i $S=(2,-1,-2)$. Longitud: $|(1,-1,-2)|=\sqrt6\approx2{,}45$ m.

c) $(x,y,z)=(1,0,0)+\lambda\,(1,-1,-2)$, amb la direcció $\vec u\times\vec v$, com era d'esperar.

d) $d=\dfrac{|\overrightarrow{R_0S_0}\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}=\dfrac{6}{\sqrt6}=\sqrt6$, coincideix. El tub més curt és perpendicular a totes dues perquè la funció $|RS|^2$ de $(t,\sigma)$ és mínima on les derivades parcials s'anul·len, i aquestes derivades són (a un factor) $\overrightarrow{RS}\cdot\vec u$ i $\overrightarrow{RS}\cdot\vec v$.

Errors típics

• Resoldre les dues condicions de perpendicularitat amb el mateix paràmetre per a les dues rectes.
• Prendre per longitud del tub la distància entre els dos punts inicials $R_0$ i $S_0$.
• Aplicar la fórmula de distància entre rectes sense el valor absolut o sense dividir per $|\vec u\times\vec v|$.
• Pensar que la perpendicular comuna passa per $R_0$ o $S_0$.

Conceptes treballats: rectes que es creuen, producte escalar i vectorial, perpendicular comuna, distància entre rectes, minimització d'una distància en dues variables.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$, $\overrightarrow{AD}=(t,1,2+t)$. $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\begin{vmatrix}-1&2&0\\-1&0&2\\t&1&2+t\end{vmatrix}=6t+6$. Per tant $V(t)=\dfrac{|6t+6|}{6}=|t+1|$.

b) $|t+1|=2\iff t=1$ o $t=-3$: $D=(2,1,3)$ o $D=(-2,1,-1)$.

c) $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,2,2)$; el pla $ABC$ és $4(x-1)+2y+2z=0$, o sigui $2x+y+z=2$. Àrea: $\tfrac12|(4,2,2)|=\sqrt6$. Altura des de $D(2,1,3)$: $\dfrac{|4+1+3-2|}{\sqrt6}=\sqrt6$. Volum: $\tfrac13\cdot\sqrt6\cdot\sqrt6=2$, coherent amb l'apartat a).

d) La normal del pla $ABC$ és $(2,1,1)$ i $(2,1,1)\cdot(1,-1,-1)=0$: la recta seria paral·lela al pla $ABC$. Tots els seus punts són a la mateixa distància del pla, per tant l'altura (i el volum) no canvien. Amb $D_0=(1,1,2)$: altura $\dfrac{|2+1+2-2|}{\sqrt6}=\dfrac{3}{\sqrt6}$ i $V=\tfrac13\sqrt6\cdot\dfrac{3}{\sqrt6}=1$. Amb la recta original, en canvi, $(2,1,1)\cdot(1,0,1)=3\ne0$: la recta talla el pla i la distància varia linealment, i per això $V=|t+1|$ s'anul·la a $t=-1$ ($D$ al pla, tetraedre pla).

Errors típics

• Oblidar el factor $\tfrac16$, o prendre $\tfrac12$ (àrea del triangle) en lloc del volum.
• No posar valor absolut al producte mixt i perdre una de les dues solucions.
• Fer servir $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ com a normal normalitzada sense dividir pel mòdul en calcular l'altura.
• A d), calcular el volum amb un únic valor de $t$ i no veure la constància.

Conceptes treballats: producte mixt i volum d'un tetraedre, equació del pla per tres punts, àrea d'un triangle amb producte vectorial, distància punt-pla, raonament geomètric (paral·lelisme recta-pla).

a) El punt és $(1,t,t)$. Als dos plans $|\vec n|=3$. $d_1=\dfrac{|1+4t-3|}{3}=\dfrac{|4t-2|}{3}$ i $d_2=\dfrac{|2-t+2t-1|}{3}=\dfrac{|t+1|}{3}$.

b) $|4t-2|=|t+1|$: o bé $4t-2=t+1\iff t=1$ (punt $(1,1,1)$, $d=\tfrac23$ m), o bé $4t-2=-(t+1)\iff t=\tfrac15$ (punt $\left(1,\tfrac15,\tfrac15\right)$, $d=\tfrac25$ m). Hi ha dos punts perquè el lloc dels punts equidistants de dos plans que es tallen són dos plans (un per a cada bisectriu de l'angle diedre), i la recta els talla en un punt cadascun.

c) Els bisectors són $\dfrac{x+2y+2z-3}{3}=\pm\dfrac{2x-y+2z-1}{3}$. Amb el signe $+$: $-x+3y-2=0$, és a dir $x-3y+2=0$, i $(1,1,1)$ el compleix. Amb el signe $-$: $3x+y+4z-4=0$, i $\left(1,\tfrac15,\tfrac15\right)$ el compleix ($3+0{,}2+0{,}8-4=0$).

d) Si els murs fossin paral·lels, el lloc de punts equidistants seria un únic pla paral·lel i equidistant dels dos (el pla mitjà); en una recta no paral·lela a aquest pla hi hauria només un punt equidistant (i cap si la recta és paral·lela al mur i no al mig).

Errors típics

• Quedar-se només amb la solució $A=B$ i perdre el segon punt.
• Oblidar dividir pel mòdul de la normal; aquí és el mateix (3), però en general no ho és.
• Resoldre la igualtat de distàncies sense valor absolut.
• Confondre el pla bisector amb el pla mediador d'un segment.

Conceptes treballats: distància d'un punt a un pla, equacions de rectes i plans, plans bisectors, valors absoluts i equacions amb dues solucions, interpretació geomètrica.

a) $B$: $4-4\cdot1=0$, és al pla. Angle amb l'horitzontal: $\sin\alpha=\dfrac{|\vec d\cdot(0,0,1)|}{|\vec d|}=\dfrac23$, de manera que $\alpha\approx41{,}8^\circ$.

b) $T+\lambda\vec d=(4+2\lambda,\ \lambda,\ 4-2\lambda)$ compleix $x-4z=0$: $4+2\lambda-16+8\lambda=0\iff\lambda=\tfrac65$. Per tant $T'=\left(\tfrac{32}{5},\tfrac65,\tfrac85\right)$ i $\overrightarrow{BT'}=\left(\tfrac{12}{5},\tfrac65,\tfrac35\right)$, de mòdul $\tfrac35\sqrt{16+4+1}=\tfrac35\sqrt{21}\approx2{,}75$ m.

c) Si el terreny és $z=1$: $4-2\lambda=1\iff\lambda=\tfrac32$, $T'=(7,\tfrac32,1)$ i $\overrightarrow{BT'}=(3,\tfrac32,0)$, de longitud $\tfrac32\sqrt5\approx3{,}35$ m. Al vessant l'ombra és més curta (2,75 m) perquè el terreny puja en la direcció cap a la qual avancen els raigs ($+x$): els raigs l'encontren abans. Equivalentment, l'angle entre els raigs i el terreny és $\arcsin\dfrac{10}{3\sqrt{17}}\approx53{,}9^\circ$ al vessant, més gran que els $41{,}8^\circ$ del terreny horitzontal, i com més gran és aquest angle, més curta és l'ombra.

Errors típics

• Calcular la longitud de l'ombra com la distància de $T'$ al peu de la vertical de $T$ en lloc de la base $B$ del pal.
• Confondre l'angle entre els raigs i la vertical amb l'angle amb l'horitzontal (l'ús del cosinus en lloc del sinus).
• Suposar que l'ombra té la mateixa longitud que en terreny pla.
• No comprovar que $\lambda\gt0$: amb $\lambda\lt0$ la intersecció seria del costat del sol, no de l'ombra.

Conceptes treballats: intersecció recta-pla, angle recta-pla, distància entre punts, modelització d'una situació real amb rectes i plans, comparació de configuracions.

a) Punt mitjà $M(2,1,1)$ i normal $\overrightarrow{AB}=(2,-2,2)\parallel(1,-1,1)$: el pla és $x-y+z=2$.

b) $P=(t,2t,1)$ en el pla: $t-2t+1=2\iff t=-1$, així que $P(-1,-2,1)$. Comprovació: $\overrightarrow{PA}=(2,4,-1)$, $|PA|=\sqrt{21}$; $\overrightarrow{PB}=(4,2,1)$, $|PB|=\sqrt{21}$.

c) $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}=(2,-2,2)\times(-2,-4,1)=(6,-6,-12)$, de mòdul $6\sqrt6$. Àrea $=\tfrac12\cdot6\sqrt6=3\sqrt6\approx7{,}35$.

d) No. La direcció de $r'$, $(1,1,0)$, compleix $(1,1,0)\cdot(1,-1,1)=0$: $r'$ és paral·lela al pla mediador. I el seu punt $(0,0,1)$ no el compleix ($0-0+1=1\ne2$), així que $r'$ no hi és continguda. Una recta paral·lela a un pla i fora d'ell no el talla mai: no hi ha cap punt $P$ amb $PA=PB$.