Exercicis de representació gràfica de funcions — Matemàtiques 2n Batxillerat

f és una funció racional: el domini són tots els reals excepte els que anul·len el denominador. $x^{2}$ - 4 = 0 → x = -2 i x = 2. Dom f = ℝ - {-2, 2}.
g té una arrel quadrada: cal que el radicand sigui més gran o igual que zero. x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3. Dom g = [3, +∞).
Error típic: excloure també els valors que anul·len el numerador (x = -1 sí que és del domini de f, i f(-1) = 0).

h: el logaritme només existeix per a arguments estrictament positius. $x^{2}$ - 1 > 0 → $x^{2}$ > 1 → x < -1 o x > 1. Dom h = (-∞, -1) ∪ (1, +∞).
k: l'arrel exigeix 4 - x ≥ 0 i, com que és al denominador, no pot ser zero: 4 - x > 0 → x < 4. Dom k = (-∞, 4).
Error típic a h: escriure x > 1 i oblidar la branca negativa; recorda que (-2$)^{2}$ - 1 = 3 > 0.

Una funció és parella si f(-x) = f(x) (simetria respecte de l'eix OY) i senar si f(-x) = -f(x) (simetria respecte de l'origen).
a) f(-x) = (-x$)^{4}$ - 3(-x$)^{2}$ = $x^{4}$ - 3x² = f(x): parella, simètrica respecte de l'eix OY.
b) g(-x) = (-x$)^{3}$ - (-x) = -$x^{3}$ + x = -($x^{3}$ - x) = -g(x): senar, simètrica respecte de l'origen.
c) h(-x) = $x^{2}$ - x, que no és ni h(x) ni -h(x) (per exemple h(1) = 2 i h(-1) = 0): cap de les dues.
Regla pràctica en polinomis: només exponents parells → parella; només exponents senars → senar; barreja → cap.

Tall amb OY: x = 0 → f(0) = 6, punt (0, 6).
Talls amb OX: f(x) = 0 → $x^{2}$ - 5x + 6 = 0 → x = 2 i x = 3, punts (2, 0) i (3, 0).
Signe: les arrels divideixen la recta en tres intervals. Provem un valor a cadascun: f(0) = 6 > 0, f(2,5) = -0,25 < 0, f(4) = 2 > 0.
f és positiva a (-∞, 2) ∪ (3, +∞) (gràfica per sobre de l'eix) i negativa a (2, 3) (per sota). És coherent amb una paràbola de branques cap amunt.

Asímptota vertical: on s'anul·la el denominador i no el numerador, x = -3. Límits laterals: x → -3^-, numerador → -7 i denominador → 0^-, quocient → +∞; x → -3⁺, -7/0⁺ → -∞.
Asímptota horitzontal: lim quan x → ±∞ de (2x - 1)/(x + 3) = 2/1 = 2 (mateix grau, quocient de coeficients principals). AH: y = 2.
No hi ha asímptota obliqua, perquè ja n'hi ha d'horitzontal.
Per tant, la gràfica puja cap a +∞ a l'esquerra de x = -3 i surt de -∞ a la dreta, i s'aplana cap a la recta y = 2 als dos extrems.

f'(x) = 6x² - 18x + 12 = 6($x^{2}$ - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2). S'anul·la en x = 1 i x = 2.
Signe de f': en x = 0, f' = 12 > 0; en x = 1,5, f' = 6·0,5·(-0,5) < 0; en x = 3, f' = 12 > 0.
Creixent a (-∞, 1) ∪ (2, +∞); decreixent a (1, 2).
En x = 1 passa de créixer a decréixer: màxim relatiu (1, f(1)) = (1, 5). En x = 2 passa de decréixer a créixer: mínim relatiu (2, f(2)) = (2, 4).
Comprovació amb la segona derivada: f''(x) = 12x - 18, f''(1) = -6 < 0 (màxim) i f''(2) = 6 > 0 (mínim).

f'(x) = 4x³ - 12x i f''(x) = 12x² - 12 = 12(x - 1)(x + 1). S'anul·la en x = -1 i x = 1.
Signe de f'': en x = -2, f'' = 36 > 0; en x = 0, f'' = -12 < 0; en x = 2, f'' = 36 > 0.
Convexa (forma ∪) a (-∞, -1) ∪ (1, +∞); còncava (forma ∩) a (-1, 1).
Com que f'' canvia de signe en x = -1 i en x = 1, tots dos són punts d'inflexió: (-1, f(-1)) = (-1, -5) i (1, -5).
Error típic: dir que hi ha inflexió només perquè f'' = 0; cal comprovar el canvi de signe.

El grau del numerador (2) supera en una unitat el del denominador (1): hi ha asímptota obliqua y = mx + n.
Dividint: $\tfrac{(x^{2} + 1)}{x} = x$ + $\tfrac{1}{x}$. Quan x → ±∞, el terme $\tfrac{1}{x}$ → 0, de manera que la gràfica s'acosta a la recta y = x.
Amb les fórmules: m = lim f(x)/x = lim $\tfrac{(x^{2} + 1)}{x^{2}} = 1$ i n = lim (f(x) - x) = lim $\tfrac{1}{x} = 0$. AO: y = x.
Asímptota vertical: x = 0 (el denominador s'anul·la i el numerador val 1); lim per l'esquerra -∞ i per la dreta +∞.
No hi ha asímptota horitzontal, perquè el límit a l'infinit és infinit.

Quan x → +∞, $e^{-x}$ → 0, així que f(x) → 1 + 0 = 1: asímptota horitzontal y = 1 per la dreta (la gràfica s'hi acosta per sobre, perquè 2e^-x > 0).
Quan x → -∞, $e^{-x}$ = e^|x| → +∞, així que f(x) → +∞: no hi ha asímptota per l'esquerra.
f'(x) = -2e^-x < 0 per a tot x: la funció és estrictament decreixent a tot ℝ i no té extrems.
Talla l'eix OY en (0, 3) i no talla l'eix OX, perquè f(x) > 1 sempre.

Domini: x - 2 > 0 → x > 2. Dom f = (2, +∞).
Asímptota vertical: a l'extrem del domini, lim quan x → $2^{+}$ de ln(x - 2) = ln($0^{+}$) = -∞. AV: x = 2.
Asímptota horitzontal: lim quan x → +∞ de ln(x - 2) = +∞, així que no n'hi ha (ni obliqua, perquè ln creix més a poc a poc que qualsevol recta: lim f(x)/x = 0).
Tall amb OX: ln(x - 2) = 0 → x - 2 = 1 → x = 3, punt (3, 0). No talla OY perquè x = 0 no és del domini.
És la gràfica de ln x desplaçada 2 unitats cap a la dreta.

Talls: f(x) = $x^{2}$(3 - x) = 0 → x = 0 (arrel doble) i x = 3: punts (0, 0) i (3, 0). Amb OY: (0, 0).
f'(x) = -3x² + 6x = -3x(x - 2) = 0 → x = 0 i x = 2. f' < 0 si x < 0, f' > 0 a (0, 2) i f' < 0 si x > 2.
Mínim relatiu (0, 0) i màxim relatiu (2, f(2)) = (2, 4).
f''(x) = -6x + 6 = 0 → x = 1; f'' > 0 si x < 1 (convexa) i f'' < 0 si x > 1 (còncava): punt d'inflexió (1, 2).
Comportament a l'infinit: mana -$x^{3}$, així que f(x) → +∞ quan x → -∞ i f(x) → -∞ quan x → +∞ (sense asímptotes).
La gràfica baixa des de +∞, toca l'eix en (0, 0), puja fins a (2, 4) i torna a baixar passant per (3, 0).

Domini: x² + 1 > 0 sempre, Dom f = ℝ. No hi ha asímptotes verticals.
Simetria: f(-x) = ((-x)² - 1)/((-x)² + 1) = f(x), parella: simètrica respecte de l'eix OY.
Talls: f(0) = -1 → (0, -1); f(x) = 0 → x² = 1 → (-1, 0) i (1, 0).
Asímptota horitzontal: lim x → ±∞ = 1/1 = 1, y = 1 (la gràfica s'hi acosta per sota, perquè f(x) < 1 sempre).
f'(x) = [2x(x² + 1) - (x² - 1)·2x]/(x² + 1)² = 4x/(x² + 1)². f' < 0 si x < 0 i f' > 0 si x > 0: mínim relatiu (i absolut) en (0, -1).
La gràfica és una «U» aixafada entre y = -1 i y = 1, simètrica, que s'aplana cap a y = 1.

Domini: ℝ - {1}. Dividint els polinomis, f(x) = x - 1 + 1/(x - 1).
Asímptota vertical x = 1: lim x → 1^- = -∞ (1/(0^-)) i lim x → 1⁺ = +∞.
Asímptota obliqua: y = x - 1, perquè el terme 1/(x - 1) → 0 quan x → ±∞. Si x > 1, 1/(x - 1) > 0 i la gràfica queda per sobre de la recta; si x < 1, queda per sota.
f'(x) = 1 - 1/(x - 1)² = 0 → (x - 1)² = 1 → x = 0 o x = 2.
f''(x) = 2/(x - 1)³: f''(0) = -2 < 0 → màxim relatiu (0, -2); f''(2) = 2 > 0 → mínim relatiu (2, 2).
Observa que el màxim (-2) és més petit que el mínim (2): és normal en una funció amb asímptota vertical, són extrems relatius de branques diferents.

Domini ℝ. f'(x) = 2x·$e^{-x}$ - $x^{2}$·$e^{-x}$ = x(2 - x)$e^{-x}$. Com que $e^{-x}$ > 0, el signe depèn de x(2 - x): negatiu si x < 0, positiu a (0, 2), negatiu si x > 2.
Decreixent a (-∞, 0) ∪ (2, +∞), creixent a (0, 2). Mínim relatiu (0, 0) (també absolut, ja que f ≥ 0) i màxim relatiu (2, 4e^-2) ≈ (2, 0,54).
lim x → +∞ de $\tfrac{x^{2}}{e^{x}}$: ∞/∞, aplicant L'Hôpital dues vegades, lim $\tfrac{2}{e^{x}} = 0$. Asímptota horitzontal y = 0 per la dreta.
lim x → -∞: $x^{2}$ → +∞ i $e^{-x}$ → +∞, producte +∞. No hi ha asímptota per l'esquerra, ni verticals (la funció és contínua a ℝ).
Error típic: creure que f(x) → ∞ també per la dreta perquè $x^{2}$ creix; l'exponencial $e^{x}$ creix més de pressa que qualsevol polinomi.

Domini: x > 0, Dom f = (0, +∞). Tall amb OX: x·ln x = 0 → ln x = 0 → x = 1, punt (1, 0) (x = 0 no és del domini). No talla OY.
lim x → 0⁺ de x·ln x és del tipus 0·(-∞); escrivint ln x/(1/x) i aplicant L'Hôpital, (1/x)/(-1/x²) = -x → 0. La gràfica surt del punt (0, 0) sense tocar-lo i no hi ha asímptota vertical.
f'(x) = ln x + 1 = 0 → ln x = -1 → x = 1/e ≈ 0,37. f' < 0 a (0, 1/e) i f' > 0 a (1/e, +∞): decreixent i després creixent, mínim relatiu (i absolut) en (1/e, -1/e) ≈ (0,37, -0,37).
f''(x) = 1/x > 0 a tot el domini: la funció és convexa i no té punts d'inflexió.
lim x → +∞ = +∞ (sense asímptota horitzontal ni obliqua, perquè f(x)/x = ln x → ∞).

$x^{2}$ - 4 és negatiu a (-2, 2) i positiu fora. Per tant, f(x) = $x^{2}$ - 4 si x ≤ -2 o x ≥ 2, i f(x) = 4 - $x^{2}$ si -2 < x < 2.
Talls: amb OX, (-2, 0) i (2, 0); amb OY, f(0) = |0 - 4| = 4, punt (0, 4). La funció és parella.
Monotonia: al tros central, f' = -2x, positiva a (-2, 0) i negativa a (0, 2): màxim relatiu (0, 4). Als trossos exteriors, f' = 2x: decreixent si x < -2 i creixent si x > 2. Els punts (-2, 0) i (2, 0) són mínims relatius (i absoluts, ja que f ≥ 0).
Derivabilitat: en x = 2 les derivades laterals són -4 (tros 4 - $x^{2}$) i 4 (tros $x^{2}$ - 4), diferents; el mateix passa en x = -2. Punts angulosos: f no és derivable en x = ±2, tot i ser-hi contínua.
La gràfica és la paràbola $x^{2}$ - 4 amb la part negativa reflectida cap amunt.

Denominador: x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1). Domini ℝ - {-1, 2}. El numerador no s'anul·la mai (3x² + 1 ≥ 1), així que no hi ha discontinuïtats evitables.
Asímptotes verticals x = -1 i x = 2. En x = -1 el numerador val 4: lim x → -1^-: denominador (−)(−) = + petit → +∞; lim x → -1⁺: (−)(+) → -∞. En x = 2 el numerador val 13: lim x → 2^-: (−)(+) → -∞; lim x → 2⁺: (+)(+) → +∞.
Asímptota horitzontal: graus iguals, y = 3/1 = 3 (per tant, no hi ha obliqua).
Talls: amb OX cap, perquè 3x² + 1 ≠ 0; amb OY, f(0) = 1/(-2) = -1/2, punt (0, -1/2).
Pista per al dibuix: entre les dues asímptotes verticals la gràfica va de -∞ a -∞ passant per (0, -1/2), i fora s'acosta a y = 3.

Domini: x² - 1 ≠ 0 → ℝ - {-1, 1}.
Simetria: f(-x) = -x/(x² - 1) = -f(x), senar: simètrica respecte de l'origen. Talla els eixos només en (0, 0).
Asímptotes verticals x = -1 i x = 1. En x = 1 (numerador → 1): lim x → 1^- = 1/0^- = -∞, lim x → 1⁺ = +∞. Per la simetria, en x = -1: lim per l'esquerra -∞ i per la dreta +∞.
Asímptota horitzontal: grau del numerador més petit, lim x → ±∞ = 0, y = 0.
f'(x) = [(x² - 1) - x·2x]/(x² - 1)² = -(x² + 1)/(x² - 1)² < 0 per a tot x del domini: f és decreixent a cadascun dels tres intervals (-∞, -1), (-1, 1) i (1, +∞).
Com que f' no s'anul·la mai, no hi ha extrems relatius. (Atenció: no és decreixent «a tot ℝ», perquè entre branques salta de -∞ a +∞.)

Asímptota horitzontal: lim x → ±∞ de (ax + b)/(x - 2) = a/1 = a. Imposem a = 3.
Pas pel punt (0, 1): f(0) = (0 + b)/(0 - 2) = -b/2 = 1 → b = -2.
f(x) = (3x - 2)/(x - 2).
Asímptota vertical: x = 2 (el numerador hi val 4 ≠ 0). Tall amb OX: 3x - 2 = 0 → x = 2/3, punt (2/3, 0).
Comprovació: f(0) = -2/(-2) = 1 i, dividint, f(x) = 3 + 4/(x - 2), que confirma la AH y = 3 (la gràfica queda per sobre si x > 2 i per sota si x < 2).

Condicions: f(1) = 2 → a + b = 2; màxim en x = 1 → f'(1) = 0, amb f'(x) = 3ax² + b → 3a + b = 0.
Restant: 2a = -2 → a = -1, b = 3. f(x) = -$x^{3}$ + 3x.
Comprovem que és màxim: f''(x) = -6x, f''(1) = -6 < 0. Correcte.
Mínim: f'(x) = -3x² + 3 = 0 → x = ±1; f''(-1) = 6 > 0 → mínim relatiu (-1, -2).
Inflexió: f''(x) = -6x = 0 → x = 0, i f'' canvia de signe: punt d'inflexió (0, 0).
Té sentit: la funció és senar (només exponents senars), i el mínim és el simètric del màxim respecte de l'origen.

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2) = 0 → x = 0 i x = 2. f''(x) = 6x - 6: f''(0) = -6 < 0, màxim relatiu (0, 2); f''(2) = 6 > 0, mínim relatiu (2, -2).
Inflexió: f''(x) = 0 → x = 1, amb canvi de signe (còncava abans, convexa després): punt (1, f(1)) = (1, 0).
Tangent en x = 1: pendent f'(1) = 3 - 6 = -3; recta y - 0 = -3(x - 1), és a dir, y = -3x + 3. És la tangent de pendent mínim de tota la corba.
Punt mitjà del màxim (0, 2) i el mínim (2, -2): ($\tfrac{(0 + 2)}{2}$, $\tfrac{(2 - 2)}{2}$) = (1, 0), que coincideix amb el punt d'inflexió.
Aquesta propietat val per a qualsevol cúbica: la gràfica és simètrica respecte del seu punt d'inflexió.

Domini: ℝ - {1}. Talls: f(x) = 0 → x = 0; únic punt de tall (0, 0). No és ni parella ni senar.
Asímptotes: vertical x = 1, amb lim x → 1^- = 1/0^- = -∞ i lim x → 1⁺ = +∞. Dividint, f(x) = x + 1 + 1/(x - 1): obliqua y = x + 1 (no hi ha horitzontal). La gràfica queda per sobre de l'obliqua si x > 1 i per sota si x < 1.
f'(x) = [2x(x - 1) - x²]/(x - 1)² = (x² - 2x)/(x - 1)² = x(x - 2)/(x - 1)². Zeros: x = 0 i x = 2. Signe: + a (-∞, 0), - a (0, 1) ∪ (1, 2), + a (2, +∞).
Màxim relatiu (0, 0) i mínim relatiu (2, 4).
f''(x) = 2/(x - 1)³: negativa si x < 1 (còncava) i positiva si x > 1 (convexa). No hi ha punts d'inflexió (el canvi de curvatura es produeix a l'asímptota).
Gràfica: branca esquerra còncava que puja des de l'obliqua fins al màxim (0, 0) i cau a -∞ en x = 1; branca dreta convexa que baixa des de +∞ fins al mínim (2, 4) i torna a pujar enganxant-se a y = x + 1.

Domini: ℝ - {-1, 1}. Parella (només potències parells de x): simètrica respecte de OY; n'hi ha prou d'estudiar x ≥ 0.
Talls: OX en x² = 4 → (-2, 0) i (2, 0); OY en f(0) = 4 → (0, 4).
Asímptotes verticals x = 1 i x = -1. En x = 1 el numerador val -3: lim x → 1^- = -3/0^- = +∞ i lim x → 1⁺ = -∞. Per simetria, en x = -1: lim per l'esquerra -∞ i per la dreta +∞. Horitzontal: y = 1 (graus iguals); com que f(x) - 1 = -3/(x² - 1), la gràfica queda per sota de y = 1 si |x| > 1 i per sobre si |x| < 1.
f'(x) = [2x(x² - 1) - (x² - 4)·2x]/(x² - 1)² = 6x/(x² - 1)²: negativa si x < 0, positiva si x > 0. Decreixent a (-∞, -1) ∪ (-1, 0), creixent a (0, 1) ∪ (1, +∞). Mínim relatiu (0, 4).
f''(x) = -6(3x² + 1)/(x² - 1)³: el signe és el contrari del de (x² - 1)³: convexa a (-1, 1) i còncava a (-∞, -1) ∪ (1, +∞). Sense punts d'inflexió.
Gràfica: part central en forma de U amb vèrtex (0, 4) que puja cap a +∞ a prop de x = ±1; a l'exterior, dues branques còncaves que surten de -∞, tallen l'eix en x = ±2 i s'acosten per sota a y = 1.

Domini ℝ (producte de funcions contínues). Talls: f(x) = 0 → x = 1, punt (1, 0); f(0) = -1, punt (0, -1). Signe: negativa si x < 1, positiva si x > 1.
Límits: x → +∞, (x - 1)$e^{x}$ → +∞ (sense asímptota horitzontal ni obliqua, perquè f(x)/x → ∞). x → -∞: és del tipus ∞·0; escrivint $\tfrac{(x - 1)}{e^{-x}}$ i aplicant L'Hôpital, $\tfrac{1}{(-e^{-x})}$ → 0. Asímptota horitzontal y = 0 per l'esquerra, amb la gràfica per sota (f < 0 si x < 1).
f'(x) = $e^{x}$ + (x - 1)$e^{x}$ = x·$e^{x}$: negativa si x < 0, positiva si x > 0. Decreixent a (-∞, 0), creixent a (0, +∞). Mínim relatiu i absolut (0, -1).
f''(x) = $e^{x}$ + x·$e^{x}$ = (x + 1)$e^{x}$: còncava a (-∞, -1), convexa a (-1, +∞). Punt d'inflexió (-1, -$\tfrac{2}{e}$) ≈ (-1, -0,74).
Gràfica: ve de l'esquerra enganxada a y = 0 per sota, baixa suaument (canvia de curvatura en x = -1), toca el mínim (0, -1), talla l'eix en (1, 0) i puja de manera exponencial.

Domini: x² + 1 > 0 sempre, Dom f = ℝ. Parella: f(-x) = ln(x² + 1) = f(x), simètrica respecte de OY.
Talls: f(x) = 0 → x² + 1 = 1 → x = 0; únic punt (0, 0). f ≥ 0 sempre, perquè x² + 1 ≥ 1.
Asímptotes: cap de vertical (contínua a ℝ). lim x → ±∞ = +∞, així que no hi ha horitzontal; tampoc obliqua, perquè lim f(x)/x = lim (2x/(x² + 1))/1 = 0 (L'Hôpital): la gràfica creix cada vegada més a poc a poc.
f'(x) = 2x/(x² + 1): negativa si x < 0, positiva si x > 0. Decreixent a (-∞, 0), creixent a (0, +∞); mínim absolut (0, 0).
f''(x) = [2(x² + 1) - 2x·2x]/(x² + 1)² = 2(1 - x²)/(x² + 1)²: positiva a (-1, 1) (convexa) i negativa fora (còncava). Punts d'inflexió (-1, ln 2) i (1, ln 2) ≈ (±1, 0,69).
Gràfica: forma de U molt oberta amb vèrtex a l'origen, que canvia a còncava en x = ±1 i continua pujant lentament, com un logaritme, cap als dos costats.

a) |x - 2| = x - 2 si x ≥ 2 i 2 - x si x < 2. Per tant, f(x) = -$x^{2}$ + 2x si x < 2, i f(x) = $x^{2}$ - 2x si x ≥ 2. Talls: f(x) = 0 → x = 0 o x = 2: punts (0, 0) i (2, 0).
b) Tros x < 2: f'(x) = -2x + 2 = 0 → x = 1; f' > 0 a (-∞, 1) i f' < 0 a (1, 2): màxim relatiu (1, 1). Tros x > 2: f'(x) = 2x - 2 > 0, creixent.
Resum: creixent a (-∞, 1) ∪ (2, +∞), decreixent a (1, 2). En x = 2 la funció passa de decréixer a créixer: mínim relatiu (2, 0), tot i que f' no hi existeix.
c) Derivades laterals en x = 2: per l'esquerra -2·2 + 2 = -2, per la dreta 2·2 - 2 = 2. Són diferents: f és contínua però no derivable en x = 2 (punt angulós).
Gràfica: a l'esquerra de x = 2, un tros de paràbola invertida amb vèrtex (1, 1) que passa per (0, 0) i (2, 0); a la dreta, un tros de paràbola cap amunt que surt de (2, 0) amb una «punxa» i puja indefinidament. Quan x → -∞, f → -∞.

a) Asímptota vertical en x = 1 → el denominador s'hi anul·la: 1 + b = 0 → b = -1.
f'(x) = [2x(x - 1) - (x² + a)]/(x - 1)² = (x² - 2x - a)/(x - 1)². Extrem en x = 3 → f'(3) = 0 → 9 - 6 - a = 0 → a = 3. (Cal comprovar que el numerador 9 + 3 = 12 ≠ 0 en x = 1, de manera que x = 1 és realment asímptota.)
b) f(x) = (x² + 3)/(x - 1) = x + 1 + 4/(x - 1): asímptota obliqua y = x + 1.
f'(x) = (x² - 2x - 3)/(x - 1)² = (x - 3)(x + 1)/(x - 1)² = 0 → x = -1 i x = 3. f''(x) = 8/(x - 1)³: f''(-1) = -1 < 0 → màxim relatiu (-1, f(-1)) = (-1, -2); f''(3) = 1 > 0 → mínim relatiu (3, f(3)) = (3, 6).
Curvatura: f'' < 0 si x < 1 (còncava) i f'' > 0 si x > 1 (convexa); sense punts d'inflexió.
Comprovació: f(3) = 12/2 = 6 i f(-1) = 4/(-2) = -2.

Zeros de f': x = 1 (doble) i x = -2. Signe: (x - 1$)^{2}$ ≥ 0 sempre, així que el signe de f' és el de x + 2: negatiu si x < -2 i positiu si x > -2 (excepte el zero aïllat en x = 1).
Monotonia: decreixent a (-∞, -2), creixent a (-2, 1) ∪ (1, +∞) (de fet, creixent a tot (-2, +∞)). Mínim relatiu en x = -2.
En x = 1: f'(1) = 0 però f' no canvia de signe (és positiva a banda i banda). No hi ha extrem: és un punt amb tangent horitzontal.
Curvatura: f''(x) = 2(x - 1)(x + 2) + (x - 1$)^{2}$ = (x - 1)(2x + 4 + x - 1) = 3(x - 1)(x + 1). Signe: + si x < -1, - a (-1, 1), + si x > 1.
Convexa a (-∞, -1) ∪ (1, +∞), còncava a (-1, 1). Punts d'inflexió en x = -1 i x = 1 (f'' canvia de signe als dos). Així, en x = 1 hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal, com el de y = $x^{3}$ a l'origen.
Error típic: marcar x = 1 com a extrem només perquè f'(1) = 0.

Domini ℝ, sense asímptotes (polinomi). Talls: f(x) = $x^{3}$(x - 4) = 0 → (0, 0) i (4, 0). Signe: negativa a (0, 4), positiva fora. Quan x → ±∞, f → +∞ (grau parell, coeficient positiu).
f'(x) = 4x³ - 12x² = 4x²(x - 3) = 0 → x = 0 (doble) i x = 3. Signe de f': 4x² ≥ 0, així que el signe és el de x - 3: negatiu si x < 3 (també a banda i banda de 0) i positiu si x > 3.
Decreixent a (-∞, 3), creixent a (3, +∞). Mínim relatiu i absolut (3, f(3)) = (3, -27). En x = 0 la tangent és horitzontal, però f' no canvia de signe: no és extrem.
f''(x) = 12x² - 24x = 12x(x - 2) = 0 → x = 0 i x = 2. Signe: + si x < 0, - a (0, 2), + si x > 2.
Convexa a (-∞, 0) ∪ (2, +∞), còncava a (0, 2). Punts d'inflexió (0, 0) (amb tangent horitzontal) i (2, -16).
Gràfica: baixa des de +∞, s'aplana en (0, 0) sense girar, continua baixant (còncava fins a (2, -16), després convexa) fins al mínim (3, -27), i puja tallant l'eix en (4, 0).

a) Falsa. L'asímptota només descriu el comportament quan x → ±∞; a prop de l'origen la gràfica pot creuar-la. Exemple: f(x) = $\tfrac{x}{(x^{2} + 1)}$ té asímptota horitzontal y = 0 i la talla en x = 0.
b) Falsa. Cal que f' canviï de signe. Exemple: f(x) = $x^{3}$, amb f'(0) = 0, és creixent a tot ℝ; en x = 0 hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal.
c) Falsa. Si lim f(x) quan x → +∞ és finit (hi ha horitzontal), aleshores lim f(x)/x = 0 i no pot haver-hi obliqua; i si hi ha obliqua, f(x) → ±∞ i no hi ha horitzontal. En una funció racional, a més, el tipus d'asímptota depèn només dels graus i és el mateix als dos costats.
d) Certa. Derivant f(-x) = f(x) amb la regla de la cadena: -f'(-x) = f'(x). En x = 0 queda -f'(0) = f'(0), d'on f'(0) = 0: la tangent en l'eix de simetria és horitzontal (com a y = $x^{2}$ o y = cos x).

a) Domini $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$. $f(-x)=-f(x)$: senar (simètrica respecte de l'origen). Talls: només $(0,0)$.

b) Verticals: $x=2$ ($\lim_{x\to2^\pm}f=\pm\infty$) i $x=-2$ ($\lim_{x\to-2^+}f=+\infty$, $\lim_{x\to-2^-}f=-\infty$). Obliqua: $f(x)=x+\dfrac{4x}{x^2-4}$, de manera que $y=x$ ($\dfrac{4x}{x^2-4}\to0$). $f(x)-x=\dfrac{4x}{x^2-4}$ és positiu per a $x\gt2$ (la corba és per sobre) i negatiu per a $x\lt-2$ (per sota).

c) $f'(x)=\dfrac{x^2(x^2-12)}{(x^2-4)^2}$. Zeros: $x=0$ i $x=\pm2\sqrt3\approx\pm3{,}46$. $f'\gt0$ si $|x|\gt2\sqrt3$ i $f'\lt0$ si $|x|\lt2\sqrt3$ ($x\ne0,\pm2$). Creix a $(-\infty,-2\sqrt3)$ i a $(2\sqrt3,\infty)$; decreix a la resta. Màxim relatiu $\left(-2\sqrt3,-3\sqrt3\right)$ i mínim relatiu $\left(2\sqrt3,3\sqrt3\right)\approx(3{,}46;\,5{,}20)$. A $x=0$, $f'=0$ però no hi ha canvi de signe: no és un extrem.

d) $f''(x)=\dfrac{8x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$: s'anul·la només a $x=0$. Signe: $\lt0$ a $(-\infty,-2)$, $\gt0$ a $(-2,0)$, $\lt0$ a $(0,2)$, $\gt0$ a $(2,\infty)$. Punt d'inflexió únic a $(0,0)$, amb tangent horitzontal ($f'(0)=0$). Esbós: tres branques; a $(-2,2)$ la corba baixa de $+\infty$ a $-\infty$ travessant l'origen.

e) A $(-2,2)$, $f$ decreix estrictament de $+\infty$ a $-\infty$: una solució per a tot $k$. A $(2,\infty)$, $f$ va de $+\infty$ al mínim $3\sqrt3$ i torna a $+\infty$: 2 solucions si $k\gt3\sqrt3$, 1 si $k=3\sqrt3$, 0 si $k\lt3\sqrt3$. A $(-\infty,-2)$, simètricament: 2 solucions si $k\lt-3\sqrt3$, 1 si $k=-3\sqrt3$, 0 en cas contrari. Total: 1 solució si $|k|\lt3\sqrt3$; 2 si $|k|=3\sqrt3$; 3 si $|k|\gt3\sqrt3$.

Errors típics

• Dir que $x=0$ és un extrem perquè $f'(0)=0$, sense mirar el canvi de signe.
• Confondre les asímptotes horitzontals i obliqües: el grau del numerador supera en 1 el del denominador, hi ha obliqua.
• Estudiar el signe de $f'$ sense tenir en compte les asímptotes verticals (els intervals de monotonia s'han de tallar a $\pm2$).
• Comptar el nombre de solucions de $f(x)=k$ només amb els extrems, oblidant la branca central.

Conceptes treballats: estudi complet d'una funció racional: domini, simetria, asímptotes (verticals i obliqües), monotonia, extrems, curvatura i inflexions; discussió del nombre de solucions d'una equació a partir de la gràfica.

a) Domini $\mathbb R\setminus\{0\}$; $f\gt0$ si $x\gt0$, $f\lt0$ si $x\lt0$; no talla cap eix. Límits: $x\to-\infty$: $0^-$ (asímptota horitzontal $y=0$ a l'esquerra); $x\to+\infty$: $+\infty$ (l'exponencial guanya) i $f(x)/x\to+\infty$, per tant no hi ha asímptota obliqua; $x\to0^+$: $+\infty$; $x\to0^-$: $-\infty$: asímptota vertical $x=0$.

b) $f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$: negativa per a $x\lt1$ ($x\ne0$) i positiva per a $x\gt1$. Decreix a $(-\infty,0)$ i a $(0,1)$; creix a $(1,\infty)$. Mínim relatiu a $(1,e)$.

c) $f''(x)=\dfrac{e^x(x^2-2x+2)}{x^3}$. El numerador és sempre positiu (discriminant $4-8\lt0$), de manera que el signe és el de $x$: còncava (cap avall) a $(-\infty,0)$, convexa a $(0,\infty)$. No té punts d'inflexió ($x=0$ no és del domini). Esbós: a la dreta, una «U» amb mínim $(1,e)$ que puja a $+\infty$ per l'asímptota vertical i per l'exponencial; a l'esquerra, una branca negativa que arrenca de $y=0^-$ i cau a $-\infty$ cap a $x=0$.

d) A $(0,\infty)$ el mínim de $f$ és $e$, de manera que $e^x/x\ge e$ i, multiplicant per $x\gt0$, $e^x\ge ex$. Solucions de $e^x=kx\iff f(x)=k$ ($x\ne0$): $k\lt0$: 1 solució (a $(-\infty,0)$, on $f$ decreix de $0^-$ a $-\infty$); $k=0$: cap ($f$ no s'anul·la); $0\lt k\lt e$: cap; $k=e$: 1 ($x=1$); $k\gt e$: 2 (una a $(0,1)$ i una a $(1,\infty)$).

Errors típics

• Dir que «hi ha asímptota obliqua» perquè la funció tendeix a infinit; cal que $f(x)/x$ tingui límit finit.
• Oblidar l'asímptota horitzontal $y=0$ a $-\infty$ (és només a un costat).
• Derivar com $e^x/1$ (oblidar la regla del quocient).
• En l'equació $e^x=kx$, comptar $x=0$ com a possible solució (no ho és per a cap $k$).

Conceptes treballats: estudi complet d'una funció amb exponencial, límits i asímptotes, extrems, curvatura, desigualtats a partir d'un mínim, nombre de solucions d'una equació amb paràmetre.

a) $f_k'(x)=3(x^2-k)$. Si $k\lt0$: $f_k'\gt0$ i $f_k$ estrictament creixent, sense extrems. Si $k=0$: $f_0=x^3$, creixent (amb tangent horitzontal a 0, que és un punt d'inflexió), sense extrems. Si $k\gt0$: zeros a $x=\pm\sqrt k$; $f_k'\gt0$ fora de $[-\sqrt k,\sqrt k]$ i $\lt0$ dins: màxim a $x=-\sqrt k$ i mínim a $x=\sqrt k$.

b) $f_k(\sqrt k)=k\sqrt k-3k\sqrt k=-2k\sqrt k$ i $f_k(-\sqrt k)=2k\sqrt k$. Amb $x=\sqrt k$ ($k=x^2$): $y=-2k\sqrt k=-2x^3$. Amb $x=-\sqrt k$: $y=2k\sqrt k=-2(-\sqrt k)^3=-2x^3$. En els dos casos $y=-2x^3$. Tots els extrems són sobre la cúbica $y=g(x)=-2x^3$.

c) El màxim és $f_k(-\sqrt k)=2k\sqrt k=16\iff k^{3/2}=8\iff k=4$. $f_4(x)=x^3-12x=x(x^2-12)$: arrels $0,\pm2\sqrt3\approx\pm3{,}46$; màxim $(-2,16)$; mínim $(2,-16)$; inflexió a l'origen amb tangent $y=-12x$.

d) $f_k''(x)=6x$: inflexió sempre a $x=0$, de pendent $f_k'(0)=-3k$. Arrels: $x(x^2-3k)=0$. Si $k\gt0$: tres arrels $0,\pm\sqrt{3k}$. Si $k\le0$: només $x=0$ (simple si $k\lt0$, triple si $k=0$).

Errors típics

• Suposar que sempre hi ha extrems relatius, sense discutir el signe de $k$.
• Escriure $\sqrt{k}$ per a $k\lt0$ o oblidar que $k\gt0$ per tenir punts crítics.
• Identificar el màxim amb $x=\sqrt k$ en lloc de $x=-\sqrt k$: comprova el signe de $f_k''$.
• Eliminar $k$ sense tractar per separat els dos extrems.

Conceptes treballats: estudi d'una família de funcions, discussió segons un paràmetre, extrems i inflexions, lloc geomètric dels extrems, nombre d'arrels reals.

a) Domini $(0,\infty)$. $\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty$: asímptota vertical $x=0$. $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}\overset{L'H}{=}\lim\dfrac1x=0$: asímptota horitzontal $y=0$ (per la dreta). Talla l'eix $OX$ a $(1,0)$.

b) $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$: positiva a $(0,e)$, negativa a $(e,\infty)$. Màxim absolut a $\left(e,\tfrac1e\right)\approx(2{,}72;\,0{,}368)$. $f''(x)=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$: zero a $x=e^{3/2}\approx4{,}48$; còncava a $(0,e^{3/2})$, convexa després; inflexió a $\left(e^{3/2},\tfrac32e^{-3/2}\right)\approx(4{,}48;\,0{,}335)$. Esbós: creix des de $-\infty$ fins al màxim, travessa $(1,0)$ i decreix lentament tendint a 0.

c) Com que $\pi\gt e$ i $f$ decreix a $[e,\infty)$: $f(\pi)\lt f(e)$, és a dir $\dfrac{\ln\pi}{\pi}\lt\dfrac1e\iff e\ln\pi\lt\pi\iff\ln(\pi^e)\lt\ln(e^\pi)$. Per tant $\pi^e\lt e^\pi$. Comprovació: $e^\pi\approx23{,}14$ i $\pi^e\approx22{,}46$.

d) $a^b=b^a\iff f(a)=f(b)$. $f$ és estrictament creixent a $(0,e]$ i estrictament decreixent a $[e,\infty)$, de manera que, si $a\lt b$ i $f(a)=f(b)$, cal $a\lt e\lt b$, per tant $a\in\{1,2\}$. $a=1$: $f(1)=0$ i $f(b)\gt0$ per a $b\gt1$: impossible. $a=2$: $f(2)=\dfrac{\ln2}2=f(4)$, i com que $f$ és injectiva a $[3,\infty)$, $b=4$ és l'única possibilitat. L'únic parell és $(2,4)$: $2^4=4^2=16$.

Errors típics

• Escriure que $\lim_{x\to0^+}\ln x/x=0$ (és $-\infty$).
• Concloure $\pi^e\gt e^\pi$ per haver invertit la desigualtat en passar de $\ln\pi/\pi\lt 1/e$ a potències.
• Intentar resoldre $a^b=b^a$ per tempteig sense justificar que no n'hi ha més.
• Oblidar que $f$ no és injectiva a tot el domini: només a cada tram de monotonia.

Conceptes treballats: estudi d'una funció amb logaritme, extrems absoluts, desigualtats numèriques a partir de la monotonia, injectivitat per trams, raonament.

a) Domini $\mathbb R$. $f\gt0$ sempre ($x^2+1\gt0$), cap tall amb $OX$; $f(0)=1$. $\lim_{x\to+\infty}f=0^+$ (asímptota horitzontal $y=0$) i $\lim_{x\to-\infty}f=+\infty$ (no hi ha asímptota a l'esquerra, ni obliqua: $f(x)/x\to-\infty$).

b) $f'(x)=2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}=-(x-1)^2e^{-x}\le0$, amb zero només a $x=1$. $f$ és estrictament decreixent a tot $\mathbb R$: no té extrems. A $x=1$ hi ha tangent horitzontal però $f'$ no canvia de signe.

c) $f''(x)=(x-1)(x-3)e^{-x}$: positiva a $(-\infty,1)$ (convexa), negativa a $(1,3)$ (còncava), positiva a $(3,\infty)$ (convexa). Inflexions a $\left(1,\tfrac2e\right)\approx(1;\,0{,}74)$ (amb tangent horitzontal) i a $\left(3,10e^{-3}\right)\approx(3;\,0{,}50)$.

d) La gràfica baixa des de $+\infty$ fins a tendir a 0. Com que és contínua i estrictament decreixent amb imatge $(0,\infty)$, l'equació $f(x)=k$ té una solució per a cada $k\gt0$ i cap per a $k\le0$.

Errors típics

• Dir que $x=1$ és un extrem perquè $f'(1)=0$.
• Equivocar-se en la derivada de $e^{-x}$ (oblidar el signe menys).
• Afirmar que hi ha asímptota horitzontal a $-\infty$: el límit és $+\infty$.
• Pensar que si no hi ha extrems, no es pot dir res sobre el nombre de solucions.

Conceptes treballats: estudi d'una funció amb exponencial, límits, derivades successives, factorització, extrems vs. punts crítics, imatge d'una funció monòtona.

a) Domini $[-2,2]$. $f(-x)=-f(x)$: senar. Talls: $f=0$ per a $x=0,\pm2$.

b) $f'(x)=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$, zeros a $x=\pm\sqrt2$. $f$ decreix a $(-2,-\sqrt2)$, creix a $(-\sqrt2,\sqrt2)$ i decreix a $(\sqrt2,2)$. Mínim relatiu $(-\sqrt2,-2)$ i màxim relatiu $(\sqrt2,2)$. Quan $x\to2^-$, $f'(x)\to-\infty$: tangent vertical a $(2,0)$ (i, per simetria, a $(-2,0)$).

c) $f''(x)=\dfrac{2x(x^2-6)}{(4-x^2)^{3/2}}$, que només s'anul·la a $x=0$ dins del domini ($\pm\sqrt6$ són fora). A $(0,2)$: $\lt0$, còncava; a $(-2,0)$: $\gt0$, convexa. Inflexió a l'origen, amb pendent $f'(0)=2$. La gràfica són dos lòbuls (un per sobre i un per sota de l'eix), amb tangents verticals als extrems.

d) $\displaystyle\int_0^2x\sqrt{4-x^2}\,dx=\Big[-\tfrac13(4-x^2)^{3/2}\Big]_0^2=\tfrac83$. Pels dos lòbuls, àrea total $\dfrac{16}3$. El rectangle inscrit en la semicircumferència $y=\sqrt{4-x^2}$ amb base $[-x,x]$ té àrea $2x\sqrt{4-x^2}=2f(x)$, màxima per a $x=\sqrt2$: $2\cdot2=4$, amb base $2\sqrt2$ i alçada $\sqrt2$.

Errors típics

• No restringir el domini a $[-2,2]$.
• Calcular l'àrea com la integral entre $-2$ i $2$: dona 0 per la simetria senar; cal doblar l'àrea d'un lòbul.
• Derivar $\sqrt{4-x^2}$ sense la regla de la cadena (oblidar el $-2x$ i el $\tfrac12$).
• Confondre un punt amb tangent vertical amb un extrem relatiu.

Conceptes treballats: estudi d'una funció amb arrel, domini restringit, tangents verticals, extrems, curvatura, integral definida d'una funció amb arrel, relació amb un problema d'optimització geomètrica.

a) $f'(x)=1-2\sin x=0\iff\sin x=\tfrac12\iff x=\tfrac\pi6,\ \tfrac{5\pi}6$. $f'\gt0$ a $[0,\tfrac\pi6)$, $f'\lt0$ a $(\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6)$ i $f'\gt0$ a $(\tfrac{5\pi}6,2\pi]$. Màxim relatiu a $x=\tfrac\pi6$, $f=\tfrac\pi6+\sqrt3\approx2{,}26$; mínim relatiu a $x=\tfrac{5\pi}6$, $f=\tfrac{5\pi}6-\sqrt3\approx0{,}89$.

b) $f''(x)=-2\cos x=0\iff x=\tfrac\pi2,\ \tfrac{3\pi}2$. $f''\lt0$ a $[0,\tfrac\pi2)$ i a $(\tfrac{3\pi}2,2\pi]$ (còncava), $f''\gt0$ a $(\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2)$ (convexa). Inflexions a $\left(\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right)$ i $\left(\tfrac{3\pi}2,\tfrac{3\pi}2\right)$, ambdós sobre la recta $y=x$.

c) Valors candidats: $f(0)=2$, $f(\tfrac\pi6)\approx2{,}26$, $f(\tfrac{5\pi}6)\approx0{,}89$, $f(2\pi)=2\pi+2\approx8{,}28$. Màxim absolut: $2\pi+2$ a $x=2\pi$; mínim absolut: $\tfrac{5\pi}6-\sqrt3$ a $x=\tfrac{5\pi}6$.

d) A $[0,\tfrac\pi6]$, $f$ creix de 2 a 2,26: sempre $\gt1$, cap solució. A $[\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6]$, $f$ decreix de 2,26 a 0,89 i, contínua i estrictament monòtona, pren el valor 1 exactament una vegada. A $[\tfrac{5\pi}6,2\pi]$, $f$ creix de 0,89 a 8,28: pren el valor 1 exactament una vegada. En total, dues solucions.

e) No. $f(x)-x=2\cos x$ no tendeix a 0 quan $x\to+\infty$ (oscil·la entre $-2$ i $2$), de manera que $y=x$ no és asímptota. La gràfica oscil·la al voltant de la recta, tallant-la a cada $x=\tfrac\pi2+k\pi$.

Errors típics

• Oblidar els valors als extrems de l'interval en buscar el màxim i el mínim absoluts.
• Resoldre $\sin x=\tfrac12$ i quedar-se només amb $\tfrac\pi6$ (falta $\tfrac{5\pi}6$).
• Dir que $y=x$ és asímptota perquè $f(x)$ «s'assembla» a $x$; la diferència ha de tendir a 0.
• Comptar solucions de $f(x)=1$ només amb Bolzano sense usar la monotonia per assegurar la unicitat.

Conceptes treballats: estudi d'una funció trigonomètrica, extrems relatius i absoluts en un interval tancat, curvatura, nombre de solucions d'una equació, asímptotes obliqües.

a) $x+c=0$ per a $x=3$: $c=-3$. Dividint, $\dfrac{ax^2+bx}{x-3}=ax+(b+3a)+\dfrac{3(b+3a)}{x-3}$. Per a l'obliqua: $a=2$ i $b+3a=1$, per tant $b=-5$. Així $f(x)=\dfrac{2x^2-5x}{x-3}=2x+1+\dfrac3{x-3}$. Com que el numerador no té terme independent, $f(0)=0$: passa per l'origen. (El numerador a $x=3$ val $3\ne0$: la vertical és real.)

b) Domini $\mathbb R\setminus\{3\}$. Talls: $x(2x-5)=0$: $(0,0)$ i $\left(\tfrac52,0\right)$. $f(x)-(2x+1)=\dfrac3{x-3}$: positiu per a $x\gt3$ (la corba és per sobre de l'asímptota) i negatiu per a $x\lt3$ (per sota). Vertical: $\lim_{x\to3^\pm}f=\pm\infty$.

c) $f'(x)=2-\dfrac3{(x-3)^2}=0\iff(x-3)^2=\tfrac32\iff x=3\pm\tfrac{\sqrt6}2\approx1{,}78;\ 4{,}22$. $f'\gt0$ a $(-\infty,3-\tfrac{\sqrt6}2)$ i a $(3+\tfrac{\sqrt6}2,\infty)$; $f'\lt0$ entre aquests valors (excepte a 3). Màxim relatiu a $x=3-\tfrac{\sqrt6}2$, $f=7-2\sqrt6\approx2{,}10$; mínim relatiu a $x=3+\tfrac{\sqrt6}2$, $f=7+2\sqrt6\approx11{,}90$. $f''(x)=\dfrac6{(x-3)^3}$: còncava a $x\lt3$, convexa a $x\gt3$, sense inflexions.