Exercicis de dinàmica — Física i Química 4t ESO

Si van en la mateixa direcció i sentit, les forces se sumen.
20 N + 30 N = 50 N, en el mateix sentit.

El pes és la força amb què la Terra atrau la massa: P = m·g.
P = 10 kg · 9,8 $\text{m/s}^{2}$ = 98 N.
Compte: la massa (10 kg) i el pes (98 N) són coses diferents.

Puja: p = $\tfrac{F}{S}$, i menys superfície és més pressió.

Apliquem la segona llei de Newton: F = m·a.
F = 150 kg · 2 m/s² = 300 N.
Comprovació: a = F/m = 300/150 = 2 m/s².
Recorda que és la força neta, és a dir, la suma de totes les forces que actuen sobre la moto.

La primera llei (llei de la inèrcia) diu que un cos manté el seu estat de repòs o de moviment rectilini uniforme mentre no hi actua una força neta.
Quan l'autobús frena, la força dels frens actua sobre l'autobús, però no directament sobre els passatgers. Per inèrcia, els passatgers segueixen movent-se amb la velocitat que tenien.
Per això, respecte de l'autobús, semblen impulsats cap endavant, fins que el cinturó o el respatller exerceixen una força que els frena.

a) Falsa. La massa (en kg) mesura la inèrcia del cos i no canvia; el pes (en N) és la força amb què la Terra l'atrau, P = m·g, i depèn del lloc.
b) Certa. Velocitat constant vol dir acceleració nul·la i, per la segona llei, força neta nul·la (és el cas de la primera llei).
c) Falsa. Cal una força neta per canviar la velocitat, no per mantenir-la. Si un cos es mou a velocitat constant, les forces que hi actuen s'equilibren (per exemple, l'empenta del motor i el fregament).

En un terra horitzontal la normal equilibra el pes: N = m·g = 8·9,8 = 78,4 N.
La força de fregament dinàmic és F_f = μ·N = 0,25·78,4 = 19,6 N.
Comprovació: F_f/N = 19,6/78,4 = 0,25.
Error típic: calcular el fregament amb la massa en kg (μ·m) en lloc de la normal en newtons.

La força que deforma la molla és el pes de la massa: F = m·g = 0,5·9,8 = 4,9 N.
L'allargament en metres és x = 5 cm = 0,05 m.
Llei de Hooke: F = k·x, d'on k = F/x = 4,9/0,05 = 98 N/m.
Comprovació: amb 1 kg l'allargament seria x = 9,8/98 = 0,1 m = 10 cm, el doble, com cal si F i x són proporcionals.
Error típic: no passar els centímetres a metres.

Pes de la caixa: P = m·g = 5·9,8 = 49 N, vertical i cap avall.
La caixa està en repòs, per tant la força neta és nul·la: la normal, vertical i cap amunt, equilibra el pes i val N = 49 N.
Amb la segona caixa a sobre, el terra ha de suportar tot el conjunt: N = (5 + 3)·9,8 = 78,4 N.
Atenció: la normal no sempre és igual al pes del cos; depèn de totes les forces que l'empenyen contra la superfície.

Forces de contacte: la tensió de la corda, el fregament, la força normal i la força elàstica de la molla; necessiten que els dos cossos es toquin.
Forces a distància: el pes (atracció gravitatòria de la Terra) i l'atracció de l'imant sobre el clau; actuen sense contacte directe entre els cossos.
Clau: si cal tocar el cos per exercir la força, és de contacte.

El cos més pesat (3 kg) baixa i estira l'altre cap amunt; tots dos es mouen amb la mateixa acceleració perquè els uneix la mateixa corda.
Pesos: P₁ = m₁ · g = 30 N (el de 3 kg) i P₂ = m₂ · g = 20 N (el de 2 kg).
La força que mou el sistema és la diferència de pesos, perquè tiben en sentits contraris: F_neta = 30 - 20 = 10 N.
Aquesta força mou la massa TOTAL: m_total = 3 + 2 = 5 kg.
a = F_neta / m_total = 10 / 5 = 2 m/s².
Per la tensió, miro només el cos que puja (2 kg): hi actuen la tensió cap amunt i el seu pes cap avall, i puja accelerant: T - P₂ = m₂ · a, d'on T = m₂ · (g + a) = 2 · 12 = 24 N.

Com que són perpendiculars, es combinen amb el teorema de Pitàgores.
F = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = $\sqrt{9 + 16}$ = $\sqrt{25}$ = 5 N.
La resultant és de 5 N, en diagonal.

Aplico directament la llei de la gravitació universal: F = G · $m_{1}$ · $\tfrac{m_{2}}{r^{2}}$.
Primer el producte de les masses: $m_{1}$ · $m_{2}$ = 5000 · 6000 = 3 · $10^{7}$.
El quadrat de la distància: $r^{2}$ = $2^{2}$ = 4.
Substitueixo: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 3 · $\tfrac{10^{7}}{4}$.
Multiplico a dalt: 6,67 · 3 = 20,01 i 10⁻¹¹ · $10^{7}$ = 10⁻⁴, o sigui 20,01 · 10⁻⁴ = 2 · 10⁻³ (aproximadament).
Divideixo per 4: F = 2 · 10⁻³ / 4 = 5 · 10⁻⁴ N.
És una força molt petita (mitja mil·lèsima de newton): la gravetat entre objectes normals és feble; només es nota quan una de les masses és enorme, com un planeta.

La pressió que fa un líquid depèn de la fondària: p = ρ · g · h, on ρ és la densitat, g la gravetat i h la fondària.
Compte amb les unitats: la densitat ha d'anar en $\text{kg/m}^{3}$ i la fondària en metres, i ja ho estan.
Substitueixo: p = 1000 · 9,8 · 2 = 19600 Pa.
Són uns 19600 pascals (a part encara hi hauria la pressió de l'aire de sobre). Com més fondo baixes, més pressió: per això a la part fonda notes més les orelles.

Prenem el sentit del moviment com a positiu. Forces horitzontals: +900 N (motor), -350 N (fregament) i -150 N (vent).
Força neta: F = 900 - 350 - 150 = 400 N, cap endavant.
Acceleració: a = F/m = 400/500 = 0,8 m/s².
Per anar a velocitat constant la força neta ha de ser zero: el motor ha d'equilibrar les resistències, 350 + 150 = 500 N.

La força que fa baixar el carretó és la component del pes paral·lela a la rampa: P_x = m·g·sin α, amb sin α = desnivell/llargada = 2,5/10 = 0,25.
P_x = 4·9,8·0,25 = 9,8 N, i com que no hi ha fregament és la força neta.
Acceleració: a = P_x/m = 9,8/4 = 2,45 m/s² (o directament a = g·sin α = 9,8·0,25).
Velocitat: v² = 2·a·d = 2·2,45·10 = 49, d'on v = 7 m/s.
Observa que l'acceleració no depèn de la massa.

Sobre la persona actuen el pes, P = 60·9,8 = 588 N cap avall, i la normal N cap amunt. Prenem el sentit positiu cap amunt: N - P = m·a.
a) Puja accelerant: a = +1,5 $\text{m/s}^{2}$, N = m·(g + a) = 60·(9,8 + 1,5) = 678 N (sembla que pesi més).
b) Baixa accelerant: a = -1,5 $\text{m/s}^{2}$, N = m·(g + a) = 60·(9,8 - 1,5) = 498 N (sembla que pesi menys).
c) Velocitat constant: a = 0 i N = P = 588 N.

Velocitat: 72 km/h = 20 m/s. Amb les rodes bloquejades, l'única força horitzontal és el fregament: F_f = μ·m·g, de manera que a = F_f/m = μ·g.
Asfalt sec: a = 0,7·9,8 = 6,86 m/s²; d = v²/(2·a) = 400/(2·6,86) = 29,2 m.
Asfalt mullat: a = 0,3·9,8 = 2,94 m/s²; d = 400/(2·2,94) = 68,0 m.
La massa se simplifica (a = μ·g): la distància no en depèn. Depèn de la velocitat i del coeficient de fregament.

Tractem els dos blocs com un sol sistema de massa 4 + 6 = 10 kg: a = F/m_total = 30/10 = 3 m/s².
La tensió és l'única força horitzontal que accelera el bloc A: T = m_A·a = 4·3 = 12 N.
Comprovació amb el bloc B: F - T = 30 - 12 = 18 N, i m_B·a = 6·3 = 18 N.

Acceleració centrípeta: a_c = v²/R = 4²/1 = 16 m/s², dirigida cap al centre del cercle.
L'única força horitzontal és la tensió de la corda, que fa de força centrípeta: T = m·a_c = 0,5·16 = 8 N.
Si la corda es trenqués, ja no hi hauria cap força neta sobre la pedra i, per la primera llei, continuaria en línia recta, en la direcció tangent a la circumferència, amb 4 m/s.

Per la tercera llei, el segon patinador empeny el primer amb una força igual (120 N) i de sentit contrari. Aquestes dues forces actuen sobre cossos diferents, per això no s'anul·len.
Patinador de 60 kg: a₁ = F/m₁ = 120/60 = 2 m/s², en un sentit.
Patinador de 40 kg: a₂ = F/m₂ = 120/40 = 3 m/s², en el sentit contrari.
Les forces són iguals, però l'acceleració és inversament proporcional a la massa: el patinador més lleuger accelera més.

El pes va vertical avall; el descomponc. La component que fa baixar pel pla és P · sin 30°.
Pes: P = m · g = 50 N. Component pla avall: 50 · 0,5 = 25 N.
El fregament sempre s'oposa al moviment: com que el caixó baixa, el fregament (10 N) va pla amunt, així que es resta.
Força neta pel pla: F_neta = 25 - 10 = 15 N.
Segona llei: a = F_neta / m = 15 / 5 = 3 m/s².
Comprovació de sentit: la component que empeny avall (25 N) és més gran que el fregament (10 N), per tant el caixó baixa accelerant; té sentit.

El bloc que penja (4 kg) estira tot el sistema amb el seu pes; el de la taula (6 kg) no té cap pes que ajudi a moure's horitzontalment (el seu pes l'equilibra la normal de la taula), però sí que frena pel fregament.
Pes que estira: P = m · g = 40 N (el bloc de 4 kg).
El fregament (10 N) s'oposa al moviment, així que es resta: F_neta = 40 - 10 = 30 N.
Aquesta força mou la massa total: m_total = 6 + 4 = 10 kg.
a = F_neta / m_total = 30 / 10 = 3 m/s².
Tensió: miro el bloc de la taula, que només és estirat per la tensió i frenat pel fregament: T - F_r = m · a, amb la seva massa de 6 kg, d'on T = F_r + m · a = 10 + 6 · 3 = 28 N.
Comprovació amb el bloc que penja: P - T = m · a dona 40 - 28 = 12 = 4 · 3. Quadra.

(a) L'empenta d'Arquimedes és igual al pes de l'aigua que l'objecte desallotja: E = ρ · V · g, on V és el volum submergit.
E = 1000 · 0,001 · 9,8 = 9,8 N.
(b) Ara comparo l'empenta amb el pes de l'objecte. El pes: P = m · g = 0,5 · 9,8 = 4,9 N.
Com que l'empenta cap amunt (9,8 N) és més gran que el pes cap avall (4,9 N), la força neta va cap amunt: l'objecte FLOTA i puja fins a la superfície.
Parany: no es tracta de comparar densitats de memòria, sinó de veure quina força guanya, l'empenta o el pes.

Components del pes: P_x = m·g·sin 30° = 10·9,8·0,5 = 49 N (paral·lela al pla) i P_y = m·g·cos 30° = 10·9,8·0,866 = 84,9 N (perpendicular); la normal és N = P_y = 84,9 N.
a) Velocitat constant: la força neta és zero, així que el fregament equilibra P_x: F_f = 49 N. Coeficient: μ = F_f/N = 49/84,9 = 0,577.
b) En pujar, el fregament s'oposa al moviment i va pla avall, igual que P_x: F = P_x + F_f = 49 + 49 = 98 N.
Observa que, en pujar, el fregament canvia de sentit i s'afegeix al pes en lloc de compensar-lo.

a) Per a tot el conjunt (1400 kg): F_neta = 3500 - 500 - 200 = 2800 N, i a = 2800/1400 = 2 m/s².
b) Sobre el remolc actuen la tensió T cap endavant i el fregament de 200 N cap enrere: T - 200 = 400·2, d'on T = 800 + 200 = 1000 N.
c) Sobre el cotxe: la força motriu (3500 N) cap endavant, el fregament (500 N) i la tensió de la barra (1000 N) cap enrere: 3500 - 500 - 1000 = 2000 N = 1000·2. Coincideix amb m·a.
La tensió és la força que accelera el remolc; el cotxe la nota com una resistència addicional.

a) Durant els 4 s: F_neta = 10 - 4 = 6 N, a₁ = 6/2 = 3 m/s² i v = a₁·t = 3·4 = 12 m/s.
b) x₁ = (1/2)·a₁·t² = 0,5·3·4² = 24 m.
c) Quan es deixa d'empènyer, només actua el fregament: a₂ = -4/2 = -2 m/s². Distància fins a aturar-se: x₂ = v²/(2·|a₂|) = 12²/4 = 36 m.
Distància total: 24 + 36 = 60 m.
Comprovació: el bloc triga t₂ = 12/2 = 6 s a aturar-se i la seva velocitat mitjana en aquest tram és 6 m/s, de manera que 6·6 = 36 m.

El fregament màxim és $F_{f}$ = μ·N = μ·m·g (la normal és igual al pes). En el límit del derrapatge, m·$\tfrac{v^{2}}{R} = \mu$·m·g.
La massa se simplifica: $v_{màx}$ = $\sqrt{\mu \cdot g\cdot R}$ = $\sqrt{0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 40}$ = $\sqrt{196}$ = 14 $\tfrac{m}{s} = 14$·3,6 = 50,4 km/h.
Amb el doble de massa la velocitat màxima és la mateixa (14 m/s): no en depèn.
Amb asfalt mullat: $v_{màx}$ = $\sqrt{0{,}2\cdot 9{,}8\cdot 40}$ = $\sqrt{78,4}$ = 8,85 $\tfrac{m}{s} = 31{,}9$ km/h.

a) Pes: P = 80·9,8 = 784 N (cap avall). Fregament: 600 N (cap amunt). Força neta: 784 - 600 = 184 N cap avall, i a = 184/80 = 2,3 m/s² cap avall.
b) A velocitat constant l'acceleració és nul·la, per tant la força neta és zero i el fregament iguala el pes: 784 N.
c) El fregament de l'aire augmenta amb la velocitat. Mentre és menor que el pes, hi ha força neta cap avall i el paracaigudista accelera, però cada cop menys. Quan arriba a 784 N les forces s'equilibren, l'acceleració és zero i, per la primera llei, continua caient amb velocitat constant.

a) Les forces d'acció i reacció són iguals i oposades però actuen sobre cossos diferents, i per això no s'anul·len. Sobre el carro només actuen la tirada del cavall (900 N cap endavant) i el fregament (600 N cap enrere).
b) F_neta = 900 - 600 = 300 N i a = 300/300 = 1 m/s².
c) Sobre el cavall actuen el carro, que el frena amb 900 N, i el terra, que l'empeny cap endavant amb una força F: F - 900 = 500·1, d'on F = 1400 N.
Comprovació amb tot el conjunt (800 kg): forces externes 1400 - 600 = 800 N i a = 800/800 = 1 m/s². El que fa avançar el conjunt és la força del terra sobre el cavall.