Exercicis d'equacions i sistemes — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

El discriminant és $b^{2}$ - 4ac = 36 - 36 = 0. Com que val zero, l'equació té una sola solució real, que és x = 3.

log(1000) = 3, perquè $10^{3}$ = 1000. Vol dir que 3 és l'exponent al qual cal elevar 10 per obtenir 1.000.

x > 5. En interval, la solució és (5, +∞).

Primera equació: 3x² = 27, d'on $x^{2}$ = 9 i x = ±3, és a dir, x = 3 i x = −3.
Segona equació: traiem factor comú, 2x(x + 5) = 0. Un producte és zero quan algun factor ho és: x = 0 o x + 5 = 0, és a dir, x = 0 i x = −5.
Comprovació: 3·(−3$)^{2}$ − 27 = 27 − 27 = 0 i 2·(−5$)^{2}$ + 10·(−5) = 50 − 50 = 0.
Error típic: dividir la segona equació per x; així es perd la solució x = 0.

Potència: 2·log x = log $x^{2}$.
Producte: log $x^{2}$ + log 3 = log (3x²).
Quocient: log (3x²) − log y = log (3x²/y).
Resultat: 2·log x + log 3 − log y = log (3x²/y).
Comprovació amb x = 10 i y = 3: 2·1 + 0,477 − 0,477 = 2 i log ($\tfrac{300}{3}$) = log 100 = 2.
Error típic: escriure log ($x^{2}$ + 3 − y); sumar logaritmes equival a multiplicar els arguments, no a sumar-los.

Primera: 64 = 2⁶, així que 2^x+1 = 2⁶. Amb la mateixa base, els exponents han de ser iguals: x + 1 = 6, d'on x = 5.
Segona: 1/125 = 1/5³ = 5⁻³, així que 5^x = 5⁻³ i x = −3.
Comprovació: 2⁵⁺¹ = 2⁶ = 64 i 5⁻³ = 1/125.

El cost d'un trajecte de x km és 3 + 1,20x. Volem que no superi els 15 €: 3 + 1,20x ≤ 15.
Restem 3 als dos membres: 1,20x ≤ 12. Dividim per 1,20 (és positiu, així que la desigualtat no canvia de sentit): x ≤ 10.
Com que els quilòmetres no poden ser negatius, x ∈ [0, 10]: com a màxim es poden fer 10 km.
Comprovació: amb 10 km, 3 + 1,20·10 = 15 €.

(a) La segona equació és el doble de la primera (2·3 = 6): són la mateixa recta, de manera que hi ha infinites solucions. Compatible indeterminat.
(b) Els coeficients de x i de y són iguals, però els termes independents no (3 ≠ 5): rectes paral·leles, sense cap punt comú. Incompatible.
(c) Els coeficients no són proporcionals ($\tfrac{1}{1}$ ≠ $\tfrac{1}{(-1)}$): les rectes es tallen en un sol punt. Compatible determinat; de fet, sumant les equacions, 2x = 4, x = 2 i y = 1.
Idea clau: cada equació és una recta del pla i el nombre de solucions és el nombre de punts comuns.

Si les solucions són 2 i −5, l'equació es pot escriure com (x − 2)(x + 5) = 0.
Desenvolupem: $x^{2}$ + 5x − 2x − 10 = $x^{2}$ + 3x − 10 = 0.
En una equació $x^{2}$ + bx + c = 0, la suma de les solucions és −b i el producte és c. Aquí −b = −3 i c = −10.
Comprovació: 2 + (−5) = −3 i 2·(−5) = −10, que coincideixen amb −b i c.
Qualsevol múltiple, com 2x² + 6x − 20 = 0, té les mateixes solucions.

Coeficients: a = 2, b = −5, c = −3. Discriminant: Δ = b² − 4ac = 25 + 24 = 49, i √49 = 7.
x = (5 ± 7)/4. Primera solució: (5 + 7)/4 = 3. Segona: (5 − 7)/4 = −1/2.
Comprovació: 2·3² − 5·3 − 3 = 18 − 15 − 3 = 0 i 2·(1/4) + 5/2 − 3 = 1/2 + 5/2 − 3 = 0.
Error típic: oblidar el signe de b; com que b = −5, el valor de −b és +5.

Es resol -$x^{2}$ + 70x - 600 = 0, o el que és el mateix $x^{2}$ - 70x + 600 = 0. El discriminant és 4900 - 2400 = 2500 i l'arrel quadrada és 50, així que x = $\tfrac{(70 \pm 50)}{2}$: surten x = 10 i x = 60. El benefici passa de negatiu a positiu a partir de 10 unitats.

Les arrels de $x^{2}$ - 100 = 0 són -10 i 10, i la paràbola és negativa entre les arrels: la solució matemàtica és (-10, 10). Com que x són unitats produïdes i no poden ser negatives, l'interval amb sentit és de 0 a 10 unitats.

Sigui x el preu del quilo de peres i y el de pomes. El sistema és 3x + 2y = 11 i 5x + 4y = 19. Multiplicant la primera per 2 i restant-hi la segona: 6x + 4y - (5x + 4y) = 22 - 19, o sigui x = 3. Llavors 9 + 2y = 11 i y = 1. Comprovació: 5 · 3 + 4 · 1 = 19 €. Les peres van a 3 €/kg i les pomes a 1 €/kg.

Sigui x els quilos del producte de 4 € i y els del de 7 €. El sistema és x + y = 300 i 4x + 7y = 5 · 300 = 1500. Substituint y = 300 - x: 4x + 2100 - 7x = 1500, o sigui -3x = -600 i x = 200. Per tant y = 100. Hi posa 200 kg del producte de 4 €/kg i 100 kg del de 7 €/kg.

Només es pot igualar cada factor a zero quan el producte val 0. Si el producte val 12, hi ha moltes parelles de factors possibles (1·12, 2·6, 3·4...).
Comprovació de l'error: amb x = 15, (15 − 3)(15 + 1) = 12·16 = 192 ≠ 12; amb x = 11, 8·12 = 96 ≠ 12.
Resolució correcta: desenvolupem, $x^{2}$ − 2x − 3 = 12, i ho passem tot a un membre: $x^{2}$ − 2x − 15 = 0.
x = $\tfrac{(2 \pm \sqrt{4 + 60})}{2}$ = $\tfrac{(2 \pm 8)}{2}$, d'on x = 5 o x = −3.
Comprovació: (5 − 3)(5 + 1) = 2·6 = 12 i (−3 − 3)(−3 + 1) = (−6)(−2) = 12.

Elevem al quadrat els dos membres: 2x + 7 = (x + 2$)^{2}$ = $x^{2}$ + 4x + 4.
Ho passem tot a un membre: $x^{2}$ + 2x − 3 = 0, d'on x = $\tfrac{(-2 \pm \sqrt{4 + 12})}{2}$ = $\tfrac{(-2 \pm 4)}{2}$, és a dir, x = 1 o x = −3.
Comprovació en l'equació original: x = 1 → $\sqrt{9}$ = 3 i 1 + 2 = 3, correcte. x = −3 → $\sqrt{1}$ = 1, però −3 + 2 = −1, i una arrel quadrada no pot ser −1.
L'única solució és x = 1; x = −3 és una solució falsa que ha aparegut en elevar al quadrat.

Busquem les arrels de $x^{2}$ − 2x − 8 = 0: x = $\tfrac{(2 \pm \sqrt{4 + 32})}{2}$ = $\tfrac{(2 \pm 6)}{2}$, és a dir, x = 4 i x = −2.
El coeficient de $x^{2}$ és positiu (paràbola amb les branques cap amunt): és positiva fora de les arrels i negativa entre elles.
Signe: x < −2 → positiu; −2 < x < 4 → negatiu; x > 4 → positiu. Com que la inequació és ≥ 0, les arrels també hi pertanyen.
Solució: (−∞, −2] ∪ [4, +∞).
Comprovació: x = 0 dona −8 (negatiu, no és solució) i x = 5 dona 25 − 10 − 8 = 7 (positiu, sí que ho és).

Resolem cada inequació per separat. Primera: 2x − 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2. Segona: x + 4 ≤ 10 → x ≤ 6.
La solució del sistema són els valors que compleixen les dues condicions alhora: la intersecció de (2, +∞) i (−∞, 6].
Solució: (2, 6], és a dir, 2 < x ≤ 6.
Comprovació: x = 6 → 11 > 3 i 10 ≤ 10 (compleix les dues); x = 2 → 3 > 3 és fals (el 2 queda fora); x = 7 → 11 ≤ 10 és fals.

Incògnites: x = edat de la mare i y = edat de la filla.
Sistema: x + y = 50 i x + 5 = 3(y + 5).
Simplifiquem la segona equació: x + 5 = 3y + 15, d'on x = 3y + 10.
Substituïm a la primera: 3y + 10 + y = 50 → 4y = 40 → y = 10 i x = 3·10 + 10 = 40.
La mare té 40 anys i la filla en té 10.
Comprovació: 40 + 10 = 50 i d'aquí a 5 anys tindran 45 i 15 anys, i 45 = 3·15.

Amb t = $x^{2}$ l'equació queda $t^{2}$ − 13t + 36 = 0.
t = $\tfrac{(13 \pm \sqrt{169 - 144})}{2}$ = $\tfrac{(13 \pm 5)}{2}$, d'on t = 9 o t = 4.
Desfem el canvi: $x^{2}$ = 9 → x = ±3; $x^{2}$ = 4 → x = ±2.
Té quatre solucions: x = −3, x = −2, x = 2 i x = 3.
Comprovació: $3^{4}$ − 13·$3^{2}$ + 36 = 81 − 117 + 36 = 0 i $2^{4}$ − 13·$2^{2}$ + 36 = 16 − 52 + 36 = 0.
Error típic: quedar-se amb t = 9 i t = 4 com a solucions; cal desfer el canvi i agafar també les arrels negatives.

Denominador comú 4x(x + 2): 4(x + 2) + 4x = 3x(x + 2).
Desenvolupem: 8x + 8 = 3x² + 6x, és a dir, 3x² − 2x − 8 = 0.
x = (2 ± √(4 + 96))/6 = (2 ± 10)/6, d'on x = 2 o x = −4/3.
Cap dels dos valors és 0 ni −2, de manera que cap anul·la un denominador i tots dos són vàlids.
Comprovació: x = 2 → 1/2 + 1/4 = 3/4. x = −4/3 → 1/(−4/3) + 1/(2/3) = −3/4 + 3/2 = 3/4.

Si el costat curt fa x: x·(x + 7) = 120, és a dir, $x^{2}$ + 7x - 120 = 0.
x = $\tfrac{(-7 \pm \sqrt{49 + 480})}{2}$ = $\tfrac{(-7 \pm 23)}{2}$: x = 8 o x = -15. La negativa no té sentit.
Mides: 8 m per 15 m.

La resta de logaritmes és el logaritme del quocient: log($\tfrac{(x + 15)}{x}$) = 1. Com que 1 = log(10), queda $\tfrac{(x + 15)}{x} = 10$, és a dir x + 15 = 10x i 9x = 15, o sigui x = 1,67 aproximadament. Comprovació: els arguments x + 15 = 16,67 i x = 1,67 són tots dos positius, així que la solució val.

a + i = 250 i 8a + 5i = 1640.
Substituint i = 250 - a: 8a + 1250 - 5a = 1640, 3a = 390, a = 130, i i = 120.
Comprovació: 8 · 130 + 5 · 120 = 1040 + 600 = 1640.

Plantegem 400·3^t = 1000000. Dividim per 400: 3^t = 2500.
Prenem logaritmes: t·log 3 = log 2500, d'on t = log 2500/log 3 ≈ 3,3979/0,4771 ≈ 7,12 dies.
Interpretació: el milió s'assoleix als 7 dies i unes 3 hores (0,12 dies ≈ 3 h).
Comprovació: 400·3⁷ = 874800 (encara no) i 400·3⁸ = 2624400 (ja s'ha superat), de manera que el valor exacte és entre 7 i 8 dies.
Error típic: escriure t = 2500/3; l'incògnita és l'exponent, i per aïllar-la cal fer servir logaritmes.

Sumem els logaritmes com el logaritme d'un producte: log₂[(x + 2)(x − 1)] = 2, d'on (x + 2)(x − 1) = 2² = 4.
Desenvolupem: x² + x − 2 = 4, és a dir, x² + x − 6 = 0, i x = (−1 ± 5)/2: x = 2 o x = −3.
Comprovació: els arguments dels logaritmes han de ser positius. x = 2 → log₂ 4 + log₂ 1 = 2 + 0 = 2, correcte. x = −3 → x + 2 = −1 < 0, el logaritme no existeix.
Solució: x = 2 (x = −3 és una solució falsa).

El nombre de solucions depèn del discriminant: Δ = $k^{2}$ − 4·1·9 = $k^{2}$ − 36.
Solució doble: Δ = 0 → $k^{2}$ = 36 → k = 6 o k = −6.
Dues solucions diferents: Δ > 0 → $k^{2}$ > 36 → k < −6 o k > 6.
Cap solució real: Δ < 0 → $k^{2}$ < 36 → −6 < k < 6.
Comprovació: k = 6 → $x^{2}$ + 6x + 9 = (x + 3$)^{2}$, solució doble x = −3; k = 10 → $x^{2}$ + 10x + 9 = 0, amb x = −1 i x = −9; k = 0 → $x^{2}$ + 9 = 0, sense solució real.

Sigui x el nombre d'alumnes: cadascun paga $\tfrac{1200}{x}$. Amb x + 4 alumnes pagaria $\tfrac{1200}{(x + 4)}$.
Condició: $\tfrac{1200}{x}$ − $\tfrac{1200}{(x + 4)} = 15$.
Multipliquem per x(x + 4): 1200(x + 4) − 1200x = 15x(x + 4) → 4800 = 15x² + 60x → $x^{2}$ + 4x − 320 = 0.
x = $\tfrac{(-4 \pm \sqrt{16 + 1280})}{2}$ = $\tfrac{(-4 \pm 36)}{2}$, d'on x = 16 o x = −20. El nombre d'alumnes ha de ser positiu: x = 16.
Hi van 16 alumnes i cadascun paga $\tfrac{1200}{16} = 75$ €.
Comprovació: amb 20 alumnes, $\tfrac{1200}{20} = 60$ €, que són 15 € menys que 75 €.

Sigui x el que posa al dipòsit, y al fons i z a les accions. Equacions: x + y + z = 12000; 0,02x + 0,04y + 0,06z = 440 (que, multiplicada per 50, és x + 2y + 3z = 22000); z = x/2 (és a dir, x − 2z = 0).
Sistema: x + y + z = 12000; x + 2y + 3z = 22000; x − 2z = 0.
Triangulem: E2 − E1 dona y + 2z = 10000; E3 − E1 dona −y − 3z = −12000.
Sumem aquestes dues: −z = −2000, d'on z = 2000. Llavors y = 10000 − 2·2000 = 6000 i x = 2z = 4000.
Posa 4000 € al dipòsit, 6000 € al fons i 2000 € a les accions.
Comprovació: 0,02·4000 + 0,04·6000 + 0,06·2000 = 80 + 240 + 120 = 440 €.

Siguin x i y els costats (en m). Sistema: x + y = 14 i $x^{2}$ + $y^{2}$ = 100.
De la primera, y = 14 − x. Substituïm a la segona: $x^{2}$ + (14 − x$)^{2}$ = 100 → $x^{2}$ + 196 − 28x + $x^{2}$ = 100 → 2x² − 28x + 96 = 0 → $x^{2}$ − 14x + 48 = 0.
x = $\tfrac{(14 \pm \sqrt{196 - 192})}{2}$ = $\tfrac{(14 \pm 2)}{2}$, d'on x = 8 o x = 6.
Si x = 8, llavors y = 6; si x = 6, llavors y = 8: és la mateixa parella de jardins.
Els costats fan 6 m i 8 m.
Comprovació: 6 + 8 = 14 i 36 + 64 = 100.
Error típic: desenvolupar (14 − x$)^{2}$ com 196 − $x^{2}$; és una identitat notable: 196 − 28x + $x^{2}$.