Exercicis de mostreig i estimació — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

Perquè la prova destrueix el producte: per saber quant dura cada bombeta cal cremar-la, i no en quedaria cap per vendre.

σ/$\sqrt{n}$, és a dir la desviació típica de la població dividida per l'arrel de la mida de la mostra.

$\tfrac{100}{250} = 0{,}40$, és a dir un 40 %.

Població: els 900 alumnes de l'institut (el conjunt sobre el qual volem informació).
Mostra: els 90 alumnes triats, un subconjunt de la població.
Individu: cada alumne.
Variable: el temps diari dedicat al mòbil (en hores), que és quantitativa contínua.
La mitjana de 3,2 h es calcula a partir de la mostra: és un estadístic, i serveix com a estimació del paràmetre desconegut, que és la mitjana dels 900 alumnes.

a) Aleatori simple: tots els socis tenen la mateixa probabilitat de ser triats i la tria és totalment a l'atzar.
b) Sistemàtic: s'escull un punt de partida aleatori i després es salta un nombre fix de posicions (k = 1200/100 = 12).
c) Estratificat (proporcional): la població es divideix en grups (els cursos) i de cada estrat se n'agafa una part proporcional a la seva mida.
d) Per conglomerats: es trien grups sencers (les aules) i s'enquesta tots els seus membres.

El pas del mostreig sistemàtic és k = N/n = 1500/60 = 25.
Es comença pel número escollit a l'atzar entre 1 i 25 (aquí el 9) i s'hi va sumant k: 9, 9 + 25 = 34, 34 + 25 = 59, 59 + 25 = 84.
Els quatre primers són 9, 34, 59 i 84.
Comprovació: l'últim número de la mostra és 9 + 59·25 = 1484, que no supera 1500, i s'han triat 60 persones.

Cal triar 5 alumnes diferents amb números entre 1 i 600.
417, 52 i 598 són vàlids.
El segon 52 es descarta: un alumne no pot ser triat dues vegades (mostreig sense reposició).
233 és vàlid; el 640 es descarta perquè no correspon a cap alumne (supera 600); el 105 és vàlid.
Mostra: els alumnes 417, 52, 598, 233 i 105.

L'estimador puntual de la mitjana poblacional μ és la mitjana de la mostra: $\bar{x}$ = (3 + 0 + 5 + 2 + 4 + 6 + 1 + 3)/8 = 24/8 = 3.
Estimació: els joves de la ciutat dediquen, de mitjana, uns 3 h setmanals a l'esport.
Cal recordar que és només una estimació: una altra mostra de 8 joves podria donar un valor una mica diferent.

La pregunta A és tendenciosa: ja incorpora una opinió («lent i car») i està formulada de manera que la resposta «sí» sembli l'única raonable. Això indueix les respostes i produeix un biaix de formulació.
La pregunta B és neutra: no suggereix cap resposta i permet graduar l'opinió de l'1 al 5.
Una bona pregunta d'enquesta ha de ser clara, neutra i amb opcions de resposta equilibrades.

L'error estàndard de la mitjana és σ/√n = 12/√64 = 12/8 = 1,5 minuts.
Interpretació: les mitjanes de mostres de 64 alumnes s'allunyen, típicament, uns 1,5 minuts de la mitjana real de tot el centre. Com més petit és l'error estàndard, més precisa és l'estimació.

La mostra no és representativa: qui surt d'una biblioteca llegeix més que la població general, així que el resultat sortirà inflat. Enquestar més gent al mateix lloc no ho resol, perquè el problema és on es tria la mostra i no la seva mida.

Té biaix de selecció: qui treballa en aquell horari no pot contestar, així que la mostra sobrerepresenta persones jubilades o que no treballen fora. Es corregeix repartint les trucades per franges horàries i incloent-hi tardes i caps de setmana, no trucant més gent al mateix horari.

Per 4. L'error depèn de l'arrel de la mida, i com que $\sqrt{4}$ = 2, quadruplicar la mostra divideix l'error per dos.

Perquè el valor estimat gairebé mai no coincideix exactament amb el de la població, i sense l'error estàndard no es pot saber si la diferència esperada és de pocs euros o de molts.

Si els peixos marcats s'han barrejat bé amb la resta, la proporció de marcats en la segona captura ha de ser semblant a la proporció de marcats a tot l'estany.
Proporció a la mostra: 9/45 = 0,2. Proporció a l'estany: 60/N.
Igualem: 60/N = 0,2, d'on N = 60/0,2 = 300 peixos (és a dir, N ≈ 60·45/9).
Hipòtesis: els peixos marcats es reparteixen uniformement entre la resta, la població no canvia (ni naixements, ni morts, ni migracions) i la marca no afecta la probabilitat de ser capturat.
És una estimació puntual: una altra recaptura podria donar un valor diferent.

Volem $\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq 2$, amb σ = 20: $\sqrt{n}$ ≥ $\tfrac{20}{2} = 10$, per tant n ≥ $10^{2}$ = 100 joves.
Per a un error de com a màxim 1 €: $\sqrt{n}$ ≥ $\tfrac{20}{1} = 20$, per tant n ≥ $20^{2}$ = 400 joves.
Observa que, per reduir l'error a la meitat (de 2 € a 1 €), la mida de la mostra s'ha de multiplicar per 4 (de 100 a 400): la precisió té un cost que creix ràpidament.

Fem servir l'error estàndard ≈ s/√n.
Escola A: 1,5/√100 = 1,5/10 = 0,15 h.
Escola B: 2,25/√225 = 2,25/15 = 0,15 h.
Les dues estimacions són igual de precises, tot i que B té una mostra molt més gran: la dispersió més gran dels seus alumnes compensa la mida de la mostra.
Error típic: pensar que la mostra més gran és sempre la més precisa; l'error depèn tant de la mida com de la dispersió.

És un biaix de no resposta: només ha contestat el 15 % dels veïns ($\tfrac{300}{2000}$), i és probable que ho hagin fet sobretot els més descontents o els més implicats. Les respostes no representen tots els veïns, encara que la mostra inicial fos aleatòria.
Augmentar la mida de la mostra no soluciona res si la proporció de no respostes continua sent alta.
Per reduir-lo: fer recordatoris o trucades de seguiment als qui no han contestat, oferir la resposta en línia i en paper, i comparar el perfil dels qui contesten (edat, barri) amb el del conjunt dels veïns.

a) Estratificat per botiga: els tres grups són molt diferents entre si, i estratificar assegura que tots hi són representats (amb un nombre de clients proporcional a l'afluència de cada botiga) i millora la precisió.
b) Sistemàtic: amb k = 8000/400 = 20, es tria un punt de partida a l'atzar entre 1 i 20 i després un veí de cada 20 de la llista. És ràpid i cobreix tot el padró.
c) Per conglomerats: es trien 4 aules a l'atzar i s'enquesta tots els seus alumnes, perquè cal limitar els desplaçaments. Funciona bé si cada aula és un petit «retrat» de tot l'institut.

Com que totes les mostres tenen la mateixa mida, la proporció conjunta és la mitjana de les cinc: $\hat{p}$ = (0,36 + 0,42 + 0,40 + 0,38 + 0,44)/5 = 2,00/5 = 0,40 (equival a una mostra de 250 persones).
Error estàndard conjunt: √(0,40·0,60/250) = √0,00096 ≈ 0,031.
Error estàndard d'una sola mostra de 50 persones amb $\hat{p}$ = 0,40: √(0,24/50) = √0,0048 ≈ 0,069.
L'error de la mostra conjunta és unes 2,2 vegades més petit (0,069/0,031 ≈ √5): ajuntar mostres dona una estimació més precisa.
Observa també que les cinc proporcions varien entre 0,36 i 0,44: és la variabilitat normal entre mostres.

Estimem cada estrat: dones, 63/180 = 0,35; homes, 30/120 = 0,25.
Proporció global ponderada pel pes de cada estrat a la població: $\hat{p}$ = 0,6·0,35 + 0,4·0,25 = 0,21 + 0,10 = 0,31.
Com que la mostra és proporcional (60 % dones i 40 % homes, igual que la població), també es pot calcular directament: (63 + 30)/300 = 93/300 = 0,31.
Nombre aproximat de persones: 0,31·10000 = 3100 persones.
Si la mostra no fos proporcional, només seria correcte el càlcul ponderat.

No. La mostra no és representativa per dues raons: només inclou oients d'aquella ràdio, i només els que decideixen trucar, que solen ser els que tenen una opinió més forta (sovint en contra). És un biaix d'autoselecció.
Millor: triar a l'atzar unes 1.000 persones del cens de població, estratificades per edat i territori, i fer-los la pregunta a totes.

Total: 60.000 habitants. Cada districte rep la seva part proporcional: 600 · 12000/60000 = 120, 180 i 300.
Amb una mostra simple, per atzar, un districte podria quedar poc representat. L'estratificada garanteix que cada districte hi pesa el que li toca, i les estimacions són més precises si els districtes es diferencien entre ells.

(a) $\tfrac{140}{400} = 0{,}35$, un 35 %.
(b) 0,35 · 20000 = 7.000 joves (és una estimació, no una xifra exacta).
(c) No necessàriament: cada mostra dona un resultat una mica diferent per atzar. Per això una estimació puntual s'ha d'acompanyar del seu error.

Com que p·(1 - p) = 0,25 - (p - 0,5$)^{2}$, el producte és màxim quan p = 0,5, i llavors val 0,25 (per a p = 0,3 val 0,21 i per a p = 0,1 val 0,09). Si no coneixem p, comptem amb aquest cas perquè així l'error real no superarà mai el fixat.
Condició: $\sqrt{0{,}\tfrac{25}{n}}$ ≤ 0,02, és a dir, $\tfrac{0{,}25}{n} \leq 0{,}0004$.
Aïllant: n ≥ $\tfrac{0{,}25}{0{,}0004} = 625$ alumnes.
Si més endavant sabéssim que p és proper a 0,1, bastaria n ≥ $\tfrac{0{,}09}{0{,}0004} = 225$.
Comprovació: amb n = 625 i p = 0,5, l'error estàndard és $\sqrt{0{,}\tfrac{25}{625}}$ = $\sqrt{0,0004}$ = 0,02.

a) Mostres (parells ordenats) i mitjanes: (2, 2) → 2; (2, 4) → 3; (2, 6) → 4; (4, 2) → 3; (4, 4) → 4; (4, 6) → 5; (6, 2) → 4; (6, 4) → 5; (6, 6) → 6.
b) Mitjana de les 9 mitjanes: (2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 + 4 + 5 + 6)/9 = 36/9 = 4. La mitjana de la població és μ = (2 + 4 + 6)/3 = 4. Coincideixen: cada mostra pot fallar, però la mitjana mostral no s'equivoca «de mitjana» (és un estimador sense biaix).
c) Població: σ² = ((2 - 4)² + 0 + (6 - 4)²)/3 = 8/3, així que σ ≈ 1,633. Mitjanes mostrals: variància = (4 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4)/9 = 12/9 = 4/3, i la desviació típica és ≈ 1,155.
Comprovació: σ/√n = 1,633/√2 = 1,155. Coincideix: és l'error estàndard de la mitjana.

Cal ponderar cada mitjana pel pes del municipi en la població: 2000/10000 = 0,2, 3000/10000 = 0,3 i 5000/10000 = 0,5.
Estimació: $\bar{x}$ = 0,2·38 + 0,3·45 + 0,5·52 = 7,6 + 13,5 + 26 = 47,1 €.
El càlcul de l'alumne, (38 + 45 + 52)/3 = 45 €, tracta els tres municipis com si tinguessin els mateixos habitants: dona el mateix pes al municipi petit que al gran. Subestima la mitjana perquè el municipi més gran és el que té la despesa més alta.
Comprovació: 47,1 està entre 38 i 52, i més a prop de 52 perquè aquest municipi pesa el 50 %.

Model de resposta:
Tipus: mostreig aleatori estratificat proporcional, perquè els tres col·lectius són molt diferents i volem que tots hi siguin representats.
Repartiment: la fracció de mostreig és 210/1050 = 1/5, així que s'enquesten 600/5 = 120 alumnes, 400/5 = 80 famílies i 50/5 = 10 professors.
Selecció: dins de cada col·lectiu es numera la llista de persones i es trien els números amb un generador de nombres aleatoris, descartant els repetits.
Biaix de no resposta: fer recordatoris, permetre contestar en línia o en paper i insistir amb les persones que no contesten, perquè no només hi respongui qui té una opinió forta.
Biaix de formulació: fer a tothom la mateixa pregunta, neutra i sense suggerir cap resposta, i garantir l'anonimat perquè la gent contesti amb sinceritat.

Facturació mitjana real d'una setmana: (5·1000 + 2000 + 500)/7 = 7500/7 ≈ 1071,43 € al dia.
Mostra sistemàtica amb pas k = 7 començant en dissabte: tots els dies triats són dissabte, i la mitjana de la mostra és 2000 € (52 dies, tots dissabtes).
L'error és 2000 - 1071,43 = 928,57 €: l'estimació és un 87 % més alta que el valor real.
Falla perquè la població té un patró periòdic de període 7 que coincideix amb el pas del mostreig: tots els elements triats comparteixen la mateixa característica.
Solucions: canviar el punt de partida de cada setmana, fer un mostreig aleatori simple de dies o estratificar per dia de la setmana.

a) Falsa. $\hat{p}$ és només una estimació puntual de la proporció real p; una altra mostra donaria un valor una mica diferent.
b) Certa. És la variabilitat del mostreig: cada mostra recull individus diferents i, per tant, dona estadístics lleugerament diferents.
c) Certa. L'error estàndard és σ/$\sqrt{n}$: amb la mateixa n, si σ és més gran, el quocient és més gran. Una població més dispersa dona estimacions menys precises.
d) Falsa: està invertit. Un paràmetre és un valor de la població (μ, p) i un estadístic és un valor calculat amb la mostra ($\bar{x}$, $\hat{p}$).
e) Certa. «Proporcional» vol dir que cada estrat apareix a la mostra amb el mateix pes que té a la població (30 de cada 100 enquestats, en aquest cas).