Exercicis de funcions — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

f(5) = 12 + 3 · 5 = 27 €.

El denominador s'anul·la a x = 8, així que el domini és tots els nombres reals llevat del 8.

Significa que amb 20 unitats el benefici és zero: és el llindar a partir del qual el negoci deixa de perdre diners.

f: l'arrel quadrada només existeix si el radicand no és negatiu: 2x − 6 ≥ 0 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3. Dom f = [3, +∞).
g: el logaritme només existeix si l'argument és estrictament positiu: x + 3 > 0 → x > −3. Dom g = (−3, +∞).
Comprovació: f(3) = $\sqrt{0}$ = 0 existeix, per això el 3 és dins de l'interval (tancat); en canvi g(−3) = ln 0 no existeix, i el −3 queda fora (obert).
Error típic: confondre les desigualtats; l'arrel admet el 0 (≥), però el logaritme no (>).

Tall amb l'eix Y: x = 0 → f(0) = −5, punt (0, −5).
Talls amb l'eix X: f(x) = 0 → x² − 4x − 5 = 0 → x = (4 ± √(16 + 20))/2 = (4 ± 6)/2, d'on x = 5 i x = −1. Punts (5, 0) i (−1, 0).
Comprovació: f(5) = 25 − 20 − 5 = 0 i f(−1) = 1 + 4 − 5 = 0.

En una funció a·$b^{x}$, si b > 1 és creixent i si 0 < b < 1 és decreixent. El canvi percentual per unitat és (b − 1)·100 %.
f: b = 1,05 > 1 → creixent; puja un 5 % per unitat (1,05 − 1 = 0,05).
g: b = 0,9 < 1 → decreixent; baixa un 10 % per unitat (0,9 − 1 = −0,10).
h: b = 2 > 1 → creixent; puja un 100 % per unitat (es duplica).
Comprovació: g(0) = 80 i g(1) = 80·0,9 = 72, una baixada de 8 sobre 80, és a dir, del 10 %.

Per a cada valor, primer mirem a quin tros pertany i després apliquem la fórmula d'aquest tros.
x = −3: com que −3 < 1, s'usa x + 2: f(−3) = −3 + 2 = −1.
x = 1: compleix x ≥ 1, així que s'usa $x^{2}$: f(1) = $1^{2}$ = 1. (Amb x + 2 s'hauria obtingut 3, que és incorrecte.)
x = 4: com que 4 ≥ 1, s'usa $x^{2}$: f(4) = 16.
Observació: el punt x = 1 pertany al segon tros perquè la condició d'aquest tros inclou la igualtat (≥).

Una relació és una funció si a cada valor de la variable d'entrada li correspon un únic valor de sortida.
(a) Sí: cada alumne té una sola data de naixement. Que dos alumnes comparteixin data no és cap problema.
(b) No: una data pot correspondre a diversos alumnes (o a cap), així que una mateixa entrada té diverses sortides.
(c) No: per a x = 4 hi ha dos valors, y = 2 i y = −2.
(d) Sí: cada x té un únic quadrat. Que x = 2 i x = −2 donin el mateix resultat (4) no impedeix que sigui funció.

Primera taula: les diferències entre valors consecutius són constants (7 − 4 = 3, 10 − 7 = 3, 13 − 10 = 3). És lineal, amb pendent 3 i ordenada a l'origen 4: y = 3x + 4.
Segona taula: els quocients entre valors consecutius són constants ($\tfrac{8}{4} = 2$, $\tfrac{16}{8} = 2$, $\tfrac{32}{16} = 2$). És exponencial, amb valor inicial 4 i factor 2: y = 4·$2^{x}$.
Comprovació: 3·3 + 4 = 13 i 4·$2^{3}$ = 32.

log₂ x és l'exponent al qual cal elevar 2 per obtenir x.
f(1/4) = −2 (perquè 2⁻² = 1/4); f(1/2) = −1; f(1) = 0; f(2) = 1; f(8) = 3 (perquè 2³ = 8).
Domini: només x > 0, és a dir, (0, +∞), ja que cap potència de 2 dona 0 ni un nombre negatiu.
Tall amb l'eix X: f(x) = 0 quan x = 1, punt (1, 0).
Prop de x = 0 per la dreta els valors baixen cada cop més (f(1/8) = −3, f(1/1024) = −10...): l'eix Y és una asímptota vertical. La funció és creixent, però molt lentament.

A x = 4 hi ha un màxim relatiu, perquè la funció passa de créixer a decréixer. A x = 9 hi ha un mínim relatiu, perquè passa de decréixer a créixer.

x = -$\tfrac{b}{(2a)}$ = -16/(2 · (-2)) = 4, i el valor és f(4) = -32 + 64 = 32. El vèrtex és el punt (4, 32) i és un màxim.

B(x) = 15x - (2400 + 9x) = 6x - 2400. El benefici val zero quan 6x = 2400, o sigui x = 400 unitats: aquest és el llindar de rendibilitat.

L'índex és 0,96, així que f(6) = 2500 · 0,$96^{6}$. Com que 0,$96^{6}$ = 0,7828 aproximadament, quedaran 1.957 socis aproximadament.

Una funció és parella si f(−x) = f(x) (gràfica simètrica respecte de l'eix Y) i és senar si f(−x) = −f(x) (gràfica simètrica respecte de l'origen).
f(−x) = (−x$)^{4}$ − 2(−x$)^{2}$ + 3 = $x^{4}$ − 2x² + 3 = f(x): és parella.
g(−x) = (−x$)^{3}$ − 4(−x) = −$x^{3}$ + 4x = −($x^{3}$ − 4x) = −g(x): és senar.
h(−x) = (−x$)^{2}$ + (−x) = $x^{2}$ − x, que no és ni h(x) ni −h(x): no és ni parella ni senar, i la gràfica no té cap d'aquestes dues simetries.
Comprovació amb valors: f(2) = f(−2) = 11; g(1) = −3 i g(−1) = 3 (oposats); h(1) = 2 i h(−1) = 0 (ni iguals ni oposats).

(g∘f)(60) = g(f(60)) = g(55) = 0,8·55 = 44 €: primer s'aplica el cupó (60 − 5) i després el 20 %.
(f∘g)(60) = f(g(60)) = f(48) = 48 − 5 = 43 €: primer s'aplica el 20 % (0,8·60) i després el cupó.
Convé aplicar primer el 20 % i després el cupó (43 € < 44 €): el descompte percentual s'aplica sobre un preu més alt i, per tant, és més gran.
En general, (g∘f)(x) = 0,8(x − 5) = 0,8x − 4 i (f∘g)(x) = 0,8x − 5: la composició de funcions no és commutativa.

El cost total es reparteix entre x persones: p(x) = 600/x.
p(5) = 600/5 = 120 € per persona; p(12) = 600/12 = 50 € per persona.
Quan x creix, p(x) disminueix i s'acosta a 0 sense arribar-hi mai: com més persones, menys paga cadascuna. És una funció de proporcionalitat inversa, de gràfica hiperbòlica.
En el context, x només pot ser 1, 2, 3... (nombres naturals), de manera que la gràfica és un conjunt de punts aïllats i no una línia contínua.
Comprovació: p(5)·5 = 600 i p(12)·12 = 600.

Per a t = 0: N(0) = a·$b^{0}$ = a, així que a = 200.
Per a t = 3: 200·$b^{3}$ = 1600 → $b^{3}$ = 8 → b = 2.
Funció: N(t) = 200·$2^{t}$; el cultiu es duplica cada hora.
Al cap de 5 hores: N(5) = 200·$2^{5}$ = 200·32 = 6400 bacteris.
Comprovació: N(3) = 200·$2^{3}$ = 1600.

Una paràbola de vèrtex (3, 4) s'escriu B(x) = a(x − 3$)^{2}$ + 4.
Com que passa per (0, −5): −5 = a(0 − 3$)^{2}$ + 4 = 9a + 4 → 9a = −9 → a = −1.
B(x) = −(x − 3$)^{2}$ + 4 = −$x^{2}$ + 6x − 5.
Benefici de 3 milers d'euros: −$x^{2}$ + 6x − 5 = 3 → $x^{2}$ − 6x + 8 = 0 → x = $\tfrac{(6 \pm \sqrt{36 - 32})}{2}$ = $\tfrac{(6 \pm 2)}{2}$, d'on x = 4 o x = 2.
Es guanyen 3000 € amb 200 unitats i també amb 400 unitats. N'hi ha dues perquè la paràbola és simètrica respecte de la recta x = 3 (300 unitats, on el benefici és màxim, 4000 €): 2 i 4 són simètrics respecte del 3.
Comprovació: B(2) = −4 + 12 − 5 = 3 i B(4) = −16 + 24 − 5 = 3.

Fins a 200 kWh: C(x) = 0,15x. El consum de 200 kWh costa 0,15·200 = 30 €.
A partir de 200 kWh es mantenen aquests 30 € i cada kWh addicional costa 0,20 €: C(x) = 30 + 0,20(x − 200) = 0,20x − 10.
Funció: C(x) = 0,15x si 0 ≤ x ≤ 200; C(x) = 0,20x − 10 si x > 200.
150 kWh: C(150) = 0,15·150 = 22,50 €. 260 kWh: C(260) = 30 + 0,20·60 = 42 €.
Comprovació: la funció és contínua en x = 200 (0,20·200 − 10 = 30 €).
Error típic: aplicar 0,20 € a tots els kWh quan x > 200 (260·0,20 = 52 €); la tarifa més alta només afecta els kWh que passen de 200.

Escrivim y = 1,08(x − 3) i aïllem x: y/1,08 = x − 3, d'on x = y/1,08 + 3.
Funció inversa: D⁻¹(y) = y/1,08 + 3. Dona els euros que cal lliurar per obtenir y dòlars.
Per a 216 dòlars: D⁻¹(216) = 216/1,08 + 3 = 200 + 3 = 203 €.
Comprovació: D(203) = 1,08·(203 − 3) = 1,08·200 = 216 dòlars.

(a) B(0) = -20: sense vendre res, es perden 20.000 € (els costos fixos).
(b) -$x^{2}$ + 12x - 20 = 0 dona x = 2 i x = 10. La paràbola obre cap avall: hi ha beneficis entre 2.000 i 10.000 unitats.
(c) Al vèrtex, x = 6: B(6) = -36 + 72 - 20 = 16, és a dir, 16.000 €.

Pendent: $\tfrac{(3700 - 4200)}{(2023 - 2018)}$ = -100 t per any: cada any es recullen 100 t menys.
R(t) = 4200 - 100·(t - 2018).
R(t) = 3000 dona t - 2018 = 12, és a dir, l'any 2030 (si la tendència es mantingués, cosa que el model no garanteix).

El model lineal és f(x) = 20000 + 800x i l'exponencial g(x) = 20000 · 1,03^x. Al cap de 5 anys: f(5) = 24000 € i g(5) = 20000 · 1,1593 = 23185 €, o sigui que guanya la lineal. Al cap de 20 anys: f(20) = 36000 € i g(20) = 20000 · 1,8061 = 36122 €, o sigui que guanya l'exponencial. El creixement percentual acaba passant al davant encara que comenci més a poc a poc.

a) Pendent: $\tfrac{(96 - 120)}{(14 - 10)}$ = −6 unitats per cada euro de pujada. q(p) = 120 − 6(p − 10) = 180 − 6p.
b) I(p) = p·q(p) = p(180 − 6p) = 180p − 6p².
c) És una paràbola amb coeficient de $p^{2}$ negatiu (−6), de manera que el màxim és al vèrtex: p = −180/(2·(−6)) = 15 €.
Ingressos màxims: I(15) = 15·(180 − 90) = 15·90 = 1350 € (es venen q(15) = 90 unitats).
Comprovació: I(14) = 14·96 = 1344 € i I(16) = 16·84 = 1344 €, tots dos inferiors a 1350 €.

|2x − 6| = 2x − 6 quan 2x − 6 ≥ 0, és a dir, x ≥ 3, i |2x − 6| = −(2x − 6) = 6 − 2x quan x < 3.
f(x) = 6 − 2x si x < 3; f(x) = 2x − 6 si x ≥ 3.
f(−1) = 6 + 2 = 8; f(3) = 0; f(5) = 10 − 6 = 4.
Equació f(x) = 4: si x < 3, 6 − 2x = 4 → x = 1 (vàlida, perquè 1 < 3); si x ≥ 3, 2x − 6 = 4 → x = 5 (vàlida, perquè 5 ≥ 3).
Solucions: x = 1 i x = 5, simètriques respecte de x = 3.
Comprovació: |2·1 − 6| = |−4| = 4 i |2·5 − 6| = |4| = 4.

a) El factor és 0,85 = 1 − 0,15, així que perd un 15 % del valor cada any.
b) V(3) = 18000·0,$85^{3}$ = 18000·0,614125 = 11054,25 €.
c) La meitat del preu inicial és 9000 €. Plantegem 18000·0,$85^{t}$ = 9000 → 0,$85^{t}$ = 0,5.
Prenem logaritmes: t·log 0,85 = log 0,5 → t = log 0,5/log 0,85 ≈ $\tfrac{(-0{,}30103)}{(-0{,}07058)} \approx 4{,}27$ anys.
Comprovació: V(4) = 18000·0,$85^{4}$ ≈ 9396 € (encara per sobre de 9000) i V(5) ≈ 7987 € (ja per sota). El valor passa de la meitat durant el cinquè any.

Domini: el denominador no pot ser 0, així que x + 1 ≠ 0. Dom f = tots els reals excepte x = −1, és a dir, (−∞, −1) ∪ (−1, +∞).
Tall amb l'eix X: f(x) = 0 → x − 2 = 0 → x = 2; punt (2, 0). Tall amb l'eix Y: f(0) = −2/1 = −2; punt (0, −2).
Signe: els valors que poden canviar el signe són x = −1 (denominador 0) i x = 2 (numerador 0). Provem un valor a cada tram: f(−2) = (−4)/(−1) = 4 > 0; f(0) = −2 < 0; f(3) = 1/4 > 0.
f és positiva a (−∞, −1) ∪ (2, +∞) i negativa a (−1, 2).
Observació: en x = −1 la funció no està definida i hi canvia de signe; és on té una asímptota vertical.

a) Amb x en quilòmetres: A(x) = 40 + 0,10x i B(x) = 0,30x.
b) Igualem els costos: 40 + 0,10x = 0,30x → 40 = 0,20x → x = 200 km. La B creix més de pressa (pendent 0,30 contra 0,10), de manera que per a x > 200 resulta A(x) < B(x). Per tant, la tarifa A és més barata quan es recorren més de 200 km.
c) 150 km: A = 40 + 15 = 55 € i B = 45 €; convé la B. 300 km: A = 40 + 30 = 70 € i B = 90 €; convé la A.
Comprovació: a 200 km, A = 60 € i B = 60 €; és el punt on es tallen les dues rectes.

Mes 0: f(0) = c = 3.
Mes 1: a + b + c = 6 → a + b = 3. Mes 2: 4a + 2b + c = 11 → 4a + 2b = 8 → 2a + b = 4.
Restem les dues darreres equacions: (2a + b) − (a + b) = 4 − 3 → a = 1, i llavors b = 3 − 1 = 2.
f(x) = x² + 2x + 3.
Comprovació: f(0) = 3, f(1) = 1 + 2 + 3 = 6 i f(2) = 4 + 4 + 3 = 11.
Predicció: f(4) = 16 + 8 + 3 = 27 milers d'euros de benefici el mes 4 (suposant que el model continua sent vàlid).