Exercicis de pensament computacional i eines tecnològiques — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

a) A3 = 12 · 8 / 4 = 96 / 4 = 24. A4 = A1 + A2 + A3 = 12 + 8 + 24 = 44.
b) Amb A2 = 10: A3 = 12 · 10 / 4 = 30 i A4 = 12 + 10 + 30 = 52.
Les cel·les amb fórmules guarden la relació amb les altres cel·les, no un valor fix, i el full les recalcula cada cop que canvia una dada. Això permet provar escenaris diferents canviant només una cel·la.

a) A B4 queda =A4*1,21. La fórmula d'origen fa servir una referència relativa (A2): en copiar-la dues files avall, la referència també es desplaça dues files i passa a ser A4.
b) B2 = 12,10; B3 = 30,25; B4 = 48,40; B5 = 121,00.
c) 12,10 + 30,25 + 48,40 + 121,00 = 211,75 euros. Comprovació: 1,21 · (10 + 25 + 40 + 100) = 1,21 · 175 = 211,75.

a) En copiar la fórmula avall, F1 es desplaça com qualsevol referència relativa: a C3 queda =B3*F2 i a C4 queda =B4*F3. Com que F2 i F3 són buides, valen 0 i C3 i C4 mostren 0. Només C2 és correcta.
b) Cal fixar F1 amb una referència absoluta, posant el símbol $ davant de la columna i de la fila: =B2*$F$1. Així en copiar-la sempre es multiplica per F1.
c) C2 = 200 · 0,05 = 10; C3 = 350 · 0,05 = 17,5; C4 = 500 · 0,05 = 25.

a) Suma = 51, per tant la mitjana és 51 / 7 ≈ 7,29. Ordenades, les dades són 4, 5, 6, 8, 9, 9, 10: la mediana (valor central, el quart) és 8. El valor que més es repeteix és el 9 (dues vegades): moda = 9.
b) =MÀXIM(A1:A7)-MÍNIM(A1:A7), que dona 10 − 4 = 6.
c) Amb 40 en comptes de 10, la suma passa a 81 i la mitjana a 81 / 7 ≈ 11,57 (puja gairebé 4,3 punts). La mediana continua sent 8 i la moda 9. La mitjana és sensible als valors extrems; la mediana, no.

a) C2: 3,5 < 5, «Suspès». C3: 5 no és menor que 5 i sí que és menor que 7, «Aprovat». C4: 6,75 < 7, «Aprovat». C5: 9,2 no és menor que 9, «Excel·lent».
b) La fórmula avalua les condicions en ordre i s'atura a la primera que és certa. Si s'arriba a la segona pregunta (B < 7) és perquè la primera (B < 5) ha estat falsa, és a dir, B ≥ 5. L'ordre de les condicions fa de filtre.

a) Hi ha 7 «Sí», 3 «No» i 2 «Potser».
b) =COMPTA.SI(A1:A12;"Sí")/COMPTAA(A1:A12), on COMPTAA compta les cel·les no buides (12 respostes). Resultat: $\tfrac{7}{12} \approx 0{,}583$, és a dir, un 58,3 %.
c) =COMPTA.SI(A1:A12;"Sí")+COMPTA.SI(A1:A12;"No")+COMPTA.SI(A1:A12;"Potser") ha de donar 12 (7 + 3 + 2). Si dona menys, hi ha respostes mal escrites (per exemple «si» sense accent), que COMPTA.SI no reconeix com a «Sí»: cal netejar les dades abans d'analitzar-les.

a) Cada fila avança un any: B3 és l'any 1, …, B7 és l'any 5. Els valors són 1.000,00; 1.040,00; 1.081,60; 1.124,86; 1.169,86 i 1.216,65. B7 = 1.216,65 €.
b) 1.216,65 − 1.000 = 216,65 € d'interessos.
c) =1000*1,04^5 (o =B2*POTÈNCIA(1,04;5)), perquè multiplicar 5 vegades per 1,04 és multiplicar per 1,04⁵ ≈ 1,216653.

a) (i) =SUMA(A1:A5); (ii) =COMPTA.SI(A1:A5;">1500"); (iii) =MÀXIM(A1:A5).
b) =SI(A1>MITJANA($A$1:$A$5);"per sobre";"per sota"). El rang de la mitjana va amb referències absolutes ($) perquè no s'ha de desplaçar en copiar-lo; la referència A1 és relativa.
La mitjana és (1.200 + 1.800 + 950 + 2.400 + 1.500) / 5 = 7.850 / 5 = 1.570. Resultats: A1 «per sota», A2 «per sobre», A3 «per sota», A4 «per sobre», A5 «per sota». A (ii) la resposta és 2 famílies (1.800 i 2.400; els 1.500 no superen 1.500).

a) Mostra #DIV/0!: s'intenta dividir entre 0, i la divisió entre zero no està definida.
b) =SI(B1=0;"sense dades";A1/B1). Quan B1 és 0 mostra el text; si no, fa la divisió.
c) Un sol error en una cel·la es propaga a totes les fórmules que en depenen (per exemple, una suma o una mitjana d'aquella columna també donarà error). Controlar els casos límit evita que un resultat final sigui un error o, pitjor, un valor enganyós sense que ningú se n'adoni.

a) m = (2 + 4 + 4 + 6) / 4 = 4. Les desviacions són −2, 0, 0 i 2, i els seus quadrats 4, 0, 0 i 4, per tant s = 8. Mostra m = 4, variància = 8 / 4 = 2 i desviació típica √2 ≈ 1,41.
b) =MITJANA(A1:A4), =VAR.P(A1:A4) i =DESVEST.P(A1:A4) (la «P» indica que es tracta de la població sencera).
c) 8 / 3 ≈ 2,67 (i una desviació de ≈ 1,63). És la variància mostral, que es calcula amb =VAR.S i =DESVEST.S quan les dades són només una mostra d'una població més gran.

a) =SUMA.SI(A2:A9;"Transport";B2:B9) = 45 + 30 + 25 = 100 €.
b) Aliments: 120 + 85 + 95 = 300 €. Oci: 60 + 40 = 100 €. Total: 100 + 300 + 100 = 500 €. Percentatges: Transport 100 / 500 = 20 %; Aliments 300 / 500 = 60 %; Oci 100 / 500 = 20 %. La suma dels percentatges és 100 %.
c) Si el total de cada categoria és a la columna E (E2 per a Transport, E3 per a Aliments, E4 per a Oci), el percentatge és =E3/SUMA($E$2:$E$4). El numerador (E3) és relatiu: canvia en copiar. El denominador té referències absolutes ($) perquè ha de ser sempre el mateix total.

a) S = 9.000: només s'aplica el primer tram, 0,1 · 9.000 = 900 €. S = 25.000: 0,1 · 12.000 = 1.200; 0,2 · (25.000 − 12.000) = 0,2 · 13.000 = 2.600; en total 3.800 €. S = 40.000: 1.200 + 0,2 · 18.000 + 0,3 · 10.000 = 1.200 + 3.600 + 3.000 = 7.800 €.
b) 900 / 9.000 = 10 %; 3.800 / 25.000 = 15,2 %; 7.800 / 40.000 = 19,5 %.
c) Els trams baixos es graven sempre a un tipus menor que el marginal, de manera que el tipus mitjà (efectiu) queda entre el tipus més baix i el marginal. Per exemple, amb S = 40.000 el marginal és del 30 %, però només la part que supera els 30.000 € paga això; una pujada de sou de 1.000 € fa pagar 300 € més, però no 30 % de tot el sou. Per això, en un sistema per trams, un augment de sou mai no fa que es cobri menys en termes nets.

a) Quocients de A: 48.000; 24.000; 16.000; 12.000; … Quocients de B: 31.000; 15.500; 10.333; … Quocients de C: 13.000; 6.500; … Quocients de D: 9.000; 4.500; … Els 7 més grans, en ordre: 48.000 (A), 31.000 (B), 24.000 (A), 16.000 (A), 15.500 (B), 13.000 (C) i 12.000 (A). El vuitè seria 10.333 (B), que ja no entra.
b) A, 4 escons; B, 2; C, 1; D, 0. Total: 7.
c) Vots (total 101.000): A, 47,5 %; B, 30,7 %; C, 12,9 %; D, 8,9 %. Escons (de 7): A, 57,1 %; B, 28,6 %; C, 14,3 %; D, 0 %. La llista més votada obté una proporció d'escons superior a la de vots, i la D, amb gairebé el 9 % dels vots, no té representació. El mètode afavoreix les llistes grans i, com que hi ha pocs escons, el llindar efectiu per entrar és alt.

a) y = 0,9143x + 2,6333. El pendent significa que, de mitjana, cada hora addicional d'estudi s'associa amb un augment de 0,91 punts a la nota. El terme independent, 2,63, és la nota que preveu el model amb 0 hores (és una extrapolació fora de les dades observades).
b) Amb 5 hores: y = 0,9143 · 5 + 2,6333 = 7,20. Amb 7 hores: y = 0,9143 · 7 + 2,6333 = 9,03.
c) r = 0,9931 és molt proper a 1: hi ha una correlació lineal positiva molt forta i el model s'ajusta molt bé a les dades. La predicció per a 5 hores és fiable (és interpolar: 5 és dins de l'interval 1–6). La de 7 hores és una extrapolació i és menys fiable: ens porta una mica fora del rang observat i, a més, la nota no pot superar 10. Correlació no vol dir causalitat: altres factors també influeixen en la nota.

a) $P_{0}$ = 20.000 i $P_{n+1}$ = 1,025 · $P_{n}$ + 100.
b) $P_{1}$ = 20.600; $P_{2}$ = 21.215; $P_{3}$ ≈ 21.845; $P_{4}$ ≈ 22.492; $P_{5}$ ≈ 23.154. Al cap de 5 anys, aproximadament 23.154 habitants.
c) $P_{6}$ ≈ 23.833; $P_{7}$ ≈ 24.528; $P_{8}$ ≈ 25.242. El primer any amb més de 25.000 és l'any 8.
Algorisme:
P ← 20000
n ← 0
mentre P ≤ 25000
    P ← 1,025 · P + 100
    n ← n + 1
mostra n
Mostra n = 8.

a) La funció genera valors a l'atzar cada vegada que el full es recalcula, de manera que cada recalcul és una nova mostra. Esperem una proporció de cares de 0,5 en les dues simulacions (la mitjana teòrica), però no necessàriament exactament.
b) n = 10: √(0,25 / 10) = √0,025 ≈ 0,1581 (uns 15,8 punts percentuals). n = 1.000: √(0,25 / 1.000) ≈ 0,0158 (uns 1,6 punts percentuals).
c) 7 cares de 10: P(X ≥ 7) = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176 / 1024 ≈ 0,172, és a dir, un 17 % de les vegades: no és gens sorprenent. 600 cares o més de 1.000 és a més de 6 desviacions típiques de les 500 esperades (la desviació del nombre de cares és √250 ≈ 15,8): la probabilitat és pràcticament zero. Aquest contrast és la llei dels grans nombres: la proporció observada s'acosta cada cop més a la teòrica quan n creix; amb poques proves, hi ha molta variació.

a) Amb d = 1.200: any 1: 1.200; any 2: 1.200 · 1,02 + 1.200 = 2.424; any 3: 2.424 · 1,02 + 1.200 = 3.672,48; any 4: 3.672,48 · 1,02 + 1.200 = 4.945,93 €. Amb d = 1.250: 5.152,01 €. Fórmula: capital final = d · (1,02⁴ − 1) / 0,02 = d · 4,121608.
b) El punt mig és 1.225, amb capital final 1.225 · 4,121608 ≈ 5.048,97 € > 5.000. L'ingrés necessari és, doncs, entre 1.200 i 1.225. El nou punt mig, 1.212,5, dona 4.997,45 € < 5.000: és a [1.212,5; 1.225]. Una aproximació és 1.218.
c) d = 100 / 0,082432 ≈ 1.213,12 €. «Cerca d'objectius» canvia el valor de la cel·la d fins que la cel·la del capital final val 5.000: fa una recerca numèrica automàtica semblant a la bisecció.

a) =(B3/B2-1)*100 (o =(B3-B2)/B2 amb format de percentatge). Resultats: 2,00 %; 0,98 %; 2,98 %; −1,01 %; 2,04 %.
b) =B2/$B$2*100: la referència del primer any ha de ser absoluta. Índexs: 100; 102,00; 103,00; 106,07; 105,00; 107,14.
c) L'índex final és 107,14: l'increment total és del 7,14 % (4.500 / 4.200 − 1). La suma de taxes anuals és 2,00 + 0,98 + 2,98 − 1,01 + 2,04 = 7,00 %, que no coincideix: les taxes es calculen cada any sobre una base diferent i, per tant, no se sumen sinó que es multipliquen: 1,02 · 1,0098 · 1,0298 · 0,9899 · 1,0204 ≈ 1,0714.

a) =COMPTA.SI.CONJUNT(A2:A11;">=30";B2:B11;"Sí"). Les persones de 30 o més que diuen Sí són les de 41, 35, 31 i 45 anys: 4 persones.
b) De 30 o més hi ha 7 persones (34, 41, 52, 35, 31, 45 i 38) i 4 usen la bici: $\tfrac{4}{7} \approx 57{,}1$ %. De menys de 30 n'hi ha 3 (17, 29 i 23) i 2 la usen: $\tfrac{2}{3} \approx 66{,}7$ %.
c) La diferència (66,7 % contra 57,1 %) és petita, i els grups són de 3 i 7 persones: una sola persona més o menys canvia molt els percentatges. Amb una mostra tan reduïda i no triada a l'atzar, no es pot generalitzar a tota la població.

a) f(0) = 520 + 520 − 1.000 = 40 > 0 i f(0,1) = 520/1,1 + 520/1,21 − 1.000 ≈ 472,73 + 429,75 − 1.000 = −97,52 < 0. Com que f és contínua en aquest interval i canvia de signe, té una arrel entre 0 i 0,1.
b) m = 0,05: f = −33,1 < 0, arrel a [0; 0,05]. m = 0,025: f = 2,26 > 0, arrel a [0,025; 0,05]. m = 0,0375: f = −15,7 < 0, arrel a [0,025; 0,0375]. m = 0,03125: f = −6,8 < 0, arrel a [0,025; 0,03125]. m = 0,028125: f = −2,29 < 0, arrel a [0,025; 0,028125]. Després de 5 passos l'interval té una amplada de 0,003125.
c) 520v + 520v² = 1.000 equival a 520v² + 520v − 1.000 = 0, de manera que v = (−520 + √(520² + 4 · 520 · 1.000)) / 1.040 ≈ 0,97414 i i = 1/v − 1 ≈ 2,66 %. El full de càlcul ho fa amb la funció =TIR(…) sobre els fluxos de caixa (−1.000; 520; 520), que dona la taxa interna de rendibilitat, 2,66 %.

a) La primera persona pot néixer qualsevol dia (365/365). La segona ha d'evitar un dia: 364/365. La tercera ha d'evitar dos dies: 363/365, i així successivament, fins a la k-èsima, que ha d'evitar k − 1 dies: (365 − k + 1)/365. Com que els naixements són independents, es multipliquen les probabilitats.
b) n = 3: p = 1 · 364/365 · 363/365 = 132.132/133.225 ≈ 0,99180 i 1 − p ≈ 0,0082. Per a n = 10 la probabilitat és 0,1169; per a n = 22, 0,4757; per a n = 23, 0,5073; per a n = 30, 0,7063.
c) El menor n és 23 (per a 22 no s'arriba al 50 %: 47,6 %). Sorprèn perquè la intuïció pensa en la probabilitat que algú coincideixi amb mi (que sí és petita), però aquí es compta qualsevol parella: en un grup de 23 hi ha 23 · 22 / 2 = 253 parelles possibles, i cadascuna té una oportunitat de coincidir.

a) =MITJANA(B2:B4) a C4, que es copia fins a C9. Se n'obtenen 6 (n − 2 = 8 − 2): els dos primers mesos no tenen prou dades anteriors.
b) Mes 3: (9,1 + 9,4 + 8,8) / 3 = 9,10. Mes 4: (9,4 + 8,8 + 8,2) / 3 = 8,80. Mes 5: (8,8 + 8,2 + 8,6) / 3 = 8,53. Mes 6: (8,2 + 8,6 + 8,0) / 3 = 8,27. Mes 7: (8,6 + 8,0 + 7,7) / 3 = 8,10. Mes 8: (8,0 + 7,7 + 7,9) / 3 = 7,87.
c) La sèrie original puja i baixa (9,4 → 8,8 → 8,2 → 8,6 → 8,0…), però la mitjana mòbil baixa de manera quasi constant, de 9,10 a 7,87: la tendència és descendent. La mitjana mòbil va per darrere (utilitza dades passades), de manera que si la tendència canvia, ho notarà tard, i no inclou cap model del futur: només descriu el passat recent.

a) μ = 100 / 5 = 20. Les diferències entre parelles no ordenades són: 5, 10, 15, 20 (el 10 amb la resta), 5, 10, 15 (el 15), 5, 10 (el 20) i 5 (el 25), que sumen 100. Per a parelles ordenades és el doble: s = 200. G = 200 / (2 · 25 · 20) = 200 / 1.000 = 0,2.
b) μ = 100 / 5 = 20 també. Només hi ha diferència entre l'últim i els altres quatre: 4 parelles de diferència 75, és a dir 300, i en ordenades 600. G = 600 / 1.000 = 0,6. Aquesta distribució és molt més desigual, tot i tenir la mateixa mitjana: la mitjana sola amaga la desigualtat.
c) L'ordre interior s'executa n · n = n² vegades: 25 per a n = 5. Per a n = 1.000 serien 1.000.000 d'operacions: un full de càlcul ho resol sense problema; però si n fos de 100 milions de persones (una població real), n² seria de l'ordre de 10¹⁶, impracticable. Per això s'utilitzen versions que primer ordenen les dades i necessiten només un bucle.

a) Arribades: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Client 1: inici 0, espera 0, final 4. Client 2: arriba a 3, inici màx(3, 4) = 4, espera 1, final 8. Client 3: arriba a 6, inici 8, espera 2, final 12. Client 4: arriba a 9, inici 12, espera 3, final 16. Client 5: espera 4, final 20. Client 6: espera 5, final 24. Client 7: espera 6, final 28. Client 8: arriba a 21, inici 28, espera 7, final 32.
Esperes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mitjana: $\tfrac{28}{8} = 3{,}5$ minuts.
b) A l'instant 32 (minuts).
c) L'espera creix un minut a cada client: arriben a ritme d'un cada 3 minuts, però se n'atén un cada 4, de manera que la cua s'acumula sense límit. Perquè no creixi cal que el temps d'atenció sigui com a màxim de 3 minuts (igual o inferior al temps entre arribades), o bé obrir una segona finestreta.

a) ln 100 = 4,605; ln 160 = 5,075; ln 260 = 5,561; ln 410 = 6,016; ln 650 = 6,477. Els increments són 0,470, 0,486, 0,455, 0,461: gairebé constants (entre 0,45 i 0,49), que és el senyal que les dades creixen amb un factor gairebé constant, és a dir, de manera exponencial.
b) ln b = 0,4685, per tant b = e^0,4685 ≈ 1,5975; ln a = 4,6099, per tant a = e^4,6099 ≈ 100,5. Model: y ≈ 100,5 · 1,$598^{x}$.
c) El factor 1,598 indica un creixement setmanal d'aproximadament el 59,8 %. Setmana 6: y ≈ 100,5 · 1,$598^{6}$ ≈ 1.670 milers d'usuaris. Un creixement exponencial no pot durar indefinidament (el nombre d'usuaris té un límit), de manera que la predicció només és fiable a curt termini.

a) Ordenades: 3, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 40. Q1 és a la posició 1 + 0,25 · 10 = 3,5: entre el tercer (13) i el quart (14): Q1 = 13,5. Q3 és a la posició 1 + 0,75 · 10 = 8,5: entre el vuitè (15) i el novè (16): Q3 = 15,5. Rang interquartílic: 15,5 − 13,5 = 2.
b) Tanca inferior: 13,5 − 1,5 · 2 = 10,5. Tanca superior: 15,5 + 3 = 18,5. Són atípics els valors que queden fora de [10,5; 18,5]: el 3 i el 40.
c) Amb tots els valors: $\tfrac{174}{11} \approx 15{,}82$ h. Sense el 3 ni el 40: $\tfrac{131}{9} \approx 14{,}56$ h. Els dos atípics es compensen en part (un és molt baix i l'altre molt alt), però la mitjana canvia més d'una hora. Abans d'eliminar un atípic cal investigar-ne l'origen: pot ser un error de mesura o de transcripció (llavors es corregeix o s'elimina) o un cas real però poc habitual (llavors s'ha de conservar i, si cal, analitzar-lo a part). Eliminar-lo només perquè «no encaixa» distorsiona la conclusió.

a) Mes 1: interès 0,005 · 20.000 = 100; deute = 20.000 + 100 − 400 = 19.700. Mes 2: interès 0,005 · 19.700 = 98,50; deute = 19.700 + 98,50 − 400 = 19.398,50.
b) Al mes 58 el deute més els interessos és menor que 400: s'ha de pagar només aquest import (272,27 €), perquè la instrucció «mínim(400, deute + interès)» no permet pagar més del que es deu. Els 57 primers pagaments són de 400 €.
c) Total pagat = 57 · 400 + 272,27 = 23.072,27 €; interessos = 23.072,27 − 20.000 = 3.072,27 €. Perquè el deute disminueixi la quota ha de ser major que l'interès del primer mes (100 €): si fos de 100 € o menys el deute no baixaria mai i l'algorisme no s'acabaria (bucle infinit). Amb una quota més alta s'estalvien interessos.

a) (8000; 7,5; no): renda < 9000 i nota ≥ 7, «concedida». (8000; 6,9; no): nota < 7 i no és nombrosa, «denegada». (9000; 8; no): renda no és < 9000 (és igual) i no és nombrosa, «denegada». (12000; 6; sí): primera regla falla per la renda, la segona sí (nombrosa i nota ≥ 6), «concedida». (12000; 5,9; sí): nota < 6, «denegada». (8000; 6,5; sí): la primera regla falla (nota < 7), la segona se satisfà, «concedida».
b) Els casos (9000; 8; no) i (12000; 5,9; sí) proven els límits: la renda de 9000 (la desigualtat és estricta, <) i la nota de 5,9, a prop del 6. També (8000; 6,9; no) prova la nota 6,9 just per sota del 7. Els errors d'un programa solen estar als límits (confondre < amb ≤).
c) Una persona amb renda baixa (8000) i nota de 6,5 que no és d'una família nombrosa és denegada, mentre que amb la mateixa renda i nota, si ho és, és concedida. Les regles afavoreixen les famílies nombroses fins i tot quan tenen més recursos que els que justifiquen l'ajuda (12000 amb nota 6 sí que es concedeix). Una modificació és fer que la regla de família nombrosa també exigeixi una renda màxima (per exemple, renda < 15000) o aplicar una sola regla amb un llindar de nota que depengui de la renda. Les regles sempre s'han de revisar amb el cas límit i amb casos reals, i sota la supervisió de qui té la responsabilitat de la decisió.