Exercicis de derivades — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2n Batxillerat

f'(x) = 8x - 7, i f'(1) = 8 - 7 = 1.

La recta passa per (3, 5) i té pendent 2: y - 5 = 2·(x - 3), o sigui, y = 2x - 1.

Sí: tota funció derivable en un punt hi és contínua. Al revés no: una funció pot ser contínua i no derivable, com en un punt angulós, on les derivades laterals no coincideixen.

Escrivim $\tfrac{3}{x}$ com 3x^-1 per aplicar la regla de la potència a tots els termes.
f'(x) = 2·3x² - 4 + 3·(-1)$x^{-2}$ = 6x² - 4 - $\tfrac{3}{x^{2}}$.
f'(1) = 6 - 4 - 3 = -1.
Interpretació: en x = 1 la funció és decreixent (el pendent de la tangent és -1).
Error típic: derivar $\tfrac{3}{x}$ com 3 o com -$\tfrac{3}{x}$; recorda que ($\tfrac{1}{x}$)' = -$\tfrac{1}{x^{2}}$.

Regla del producte: (u·v)' = u'·v + u·v', amb u = $x^{2}$ + 1 (u' = 2x) i v = 2x - 3 (v' = 2).
f'(x) = 2x·(2x - 3) + ($x^{2}$ + 1)·2 = 4x² - 6x + 2x² + 2 = 6x² - 6x + 2.
Comprovació: desenvolupant, f(x) = 2x³ - 3x² + 2x - 3, i derivant terme a terme, f'(x) = 6x² - 6x + 2. Coincideix.
Error típic: derivar cada factor i multiplicar les derivades (2x·2 = 4x); això no és la regla del producte.

Regla del quocient: (u/v)' = (u'·v - u·v')/v², amb u = 3x + 1 (u' = 3) i v = x - 2 (v' = 1).
f'(x) = (3·(x - 2) - (3x + 1)·1)/(x - 2)² = (3x - 6 - 3x - 1)/(x - 2)² = -7/(x - 2)².
El denominador (x - 2)² és sempre positiu i el numerador és -7, així que f'(x) < 0 per a tot x ≠ 2.
La funció és decreixent en tot el seu domini, R - {2} (a cada un dels dos intervals (-∞, 2) i (2, +∞)).

Regla de la cadena: es deriva la funció «de fora» deixant el que hi ha a dins igual, i es multiplica per la derivada «de dins».
a) f'(x) = 5(2x² - 3$)^{4}$·(4x) = 20x(2x² - 3$)^{4}$.
b) g'(x) = $e^{3x}$·3 = 3e^3x.
c) h'(x) = ($\tfrac{1}{(x^{2} + 1)}$)·2x = 2x/($x^{2}$ + 1).
Error típic: oblidar el factor de la derivada interior (per exemple, escriure 5(2x² - 3$)^{4}$ i prou).

Taxa de variació mitjana: TVM[1, 4] = (f(4) - f(1))/(4 - 1) = (4 - (-2))/3 = 6/3 = 2.
La taxa de variació instantània és la derivada: f'(x) = 2x - 3.
f'(1) = -1: en x = 1 la funció està decreixent (pendent negatiu).
f'(4) = 5: en x = 4 la funció està creixent, i més de pressa.
Interpretació: de mitjana entre 1 i 4 la funció puja 2 unitats per cada unitat de x, tot i que al principi de l'interval baixa i al final puja.

Primera derivada: f'(x) = 3x² - 12x + 2.
Segona derivada: f''(x) = 6x - 12.
f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0: en x = 1 la funció és còncava (la gràfica té forma de ∩ en aquest punt).
f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0: en x = 3 la funció és convexa (forma de ∪).
Observació: entre els dos valors, en x = 2, f'' s'anul·la i canvia de signe: és el punt d'inflexió.

a) Falsa. Que f'(a) = 0 només fa de x = a un candidat. Per exemple, f(x) = $x^{3}$ té f'(0) = 0 i en x = 0 no hi ha ni màxim ni mínim: la funció és creixent a tot R, i en 0 hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal.
b) Certa. Si la derivada és sempre positiva, la funció és sempre creixent i mai no passa de créixer a decréixer ni al revés, que és el que cal per tenir un extrem relatiu.
c) Certa. Créixer vol dir que el pendent de la tangent no és mai negatiu; pot ser zero en algun punt aïllat (com $x^{3}$ en x = 0), per això s'escriu ≥ i no >.

La tangent és horitzontal. Aquests punts són candidats a màxim o a mínim relatiu, i per decidir-ho cal mirar el signe de la derivada abans i després.

No és derivable: com que les derivades laterals no coincideixen, hi ha un punt angulós, és a dir un canvi brusc de pendent sense salt.

f'(x) = 2x - 8, que s'anul·la a x = 4. La derivada és negativa abans i positiva després, així que a x = 4 hi ha un mínim relatiu, amb f(4) = 16 - 32 + 3 = -13.

f'(x) = -2x + 10, que s'anul·la a x = 5. La derivada és positiva per a valors més petits que 5 i negativa per als més grans, així que la funció creix fins a 5 i decreix a partir de 5, amb un màxim a x = 5.

Dues rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent; el pendent de y = 2x + 7 és 2, així que busquem el punt on f'(x) = 2.
f'(x) = 2x - 6; 2x - 6 = 2 → x = 4.
El punt és (4, f(4)) = (4, 16 - 24 + 2) = (4, -6).
Tangent: y - (-6) = 2(x - 4), és a dir, y = 2x - 14.
Comprovació: la recta passa pel punt (2·4 - 14 = -6) i té pendent 2, paral·lela a la donada però diferent (ordenades 7 i -14).

Perquè sigui derivable en x = 1, primer ha de ser contínua i, a més, les derivades laterals han de coincidir.
Derivades dels trams: (ax² + b)' = 2ax i (4x - 1)' = 4. En x = 1: 2a = 4 → a = 2.
Continuïtat en x = 1: a·1 + b = 4·1 - 1 → 2 + b = 3 → b = 1.
f(x) = 2x² + 1 si x ≤ 1; 4x - 1 si x > 1.
Comprovació: f(1) = 3 pels dos trams, i la derivada val 4 pels dos costats: la gràfica no té cap salt ni cap punt angulós en x = 1.
Error típic: imposar només la igualtat de derivades i oblidar la continuïtat (o al revés).

Cost marginal: C'(x) = 0,04x + 6.
C'(100) = 0,04·100 + 6 = 10 €/unitat.
Interpretació: quan ja se'n produeixen 100, produir-ne una més fa pujar el cost total uns 10 €; és el ritme al qual creix el cost en aquest nivell de producció.
Comprovació: C(101) - C(100) = (0,02·10201 + 606 + 800) - (0,02·10000 + 600 + 800) = 1610,02 - 1600 = 10,02 €, pràcticament 10 €.
Fixa't que el cost marginal creix amb x (és una recta de pendent 0,04): cada unitat addicional costa una mica més que l'anterior.

f'(x) = 3x² - 6x; f''(x) = 6x - 6.
f''(x) = 0 → x = 1. Per a x < 1, f'' < 0: còncava (∩). Per a x > 1, f'' > 0: convexa (∪).
Com que f'' canvia de signe en x = 1, hi ha punt d'inflexió: (1, f(1)) = (1, 1 - 3 + 2) = (1, 0).
Extrems: f'(x) = 3x(x - 2) = 0 → x = 0 i x = 2. f''(0) = -6 < 0: màxim relatiu en (0, 2); f''(2) = 6 > 0: mínim relatiu en (2, -2).
El punt mitjà entre x = 0 i x = 2 és x = 1, exactament l'abscissa del punt d'inflexió (passa sempre en les cúbiques, que són simètriques respecte del seu punt d'inflexió).

f'(x) = 4x³ - 16x = 4x($x^{2}$ - 4) = 4x(x - 2)(x + 2).
f'(x) = 0 → x = 0, x = 2 i x = -2: tres punts crítics.
f''(x) = 12x² - 16.
f''(0) = -16 < 0: màxim relatiu en (0, 3).
f''(2) = 48 - 16 = 32 > 0: mínim relatiu en (2, 16 - 32 + 3) = (2, -13).
f''(-2) = 32 > 0: mínim relatiu en (-2, -13).
La gràfica té forma de «W»: dos mínims iguals i un màxim entremig (la funció és parella).

Punt de tangència: f(2) = 3/1 = 3, és a dir, (2, 3).
Pendent: f'(x) = (1·(x - 1) - (x + 1)·1)/(x - 1)² = -2/(x - 1)², i f'(2) = -2/1 = -2.
Tangent: y - 3 = -2(x - 2) → y = -2x + 7.
Tangent horitzontal: caldria f'(x) = 0, però -2/(x - 1)² no s'anul·la mai (el numerador és la constant -2). No hi ha cap punt amb tangent horitzontal: la funció és decreixent a tot el seu domini i no té extrems relatius.

f'(x) = 2x - $\tfrac{8}{x}$ = (2x² - 8)/x.
f'(x) = 0 → 2x² = 8 → x = 2 (descartem x = -2 perquè no és del domini).
Signe de f' (el denominador x és positiu): per a 0 < x < 2, per exemple x = 1, f'(1) = 2 - 8 = -6 < 0, decreix; per a x > 2, per exemple x = 3, f'(3) = 6 - $\tfrac{8}{3}$ > 0, creix.
En x = 2 la funció passa de decréixer a créixer: mínim relatiu, f(2) = 4 - 8·ln 2 = 4 - 5,545 = -1,55.
Resum: decreixent en (0, 2), creixent en (2, +∞), mínim en el punt (2; -1,55) i cap màxim relatiu.

Separant, C(x) = 5000/x + 40 = 5000x⁻¹ + 40, i la derivada és C'(x) = -5000/x². A 50 unitats, C'(50) = -5000/2500 = -2 € per unitat. El signe negatiu vol dir que el cost mitjà encara baixa 2 € per cada unitat més que es produeix, perquè els 5.000 € fixos es reparteixen entre més unitats.

I(60) = -1800 + 4800 = 3000 € i I'(x) = -x + 80, així que I'(60) = 20 €. La tangent és y - 3000 = 20(x - 60), o sigui y = 20x + 1800. El pendent diu que a 60 unitats cada unitat més aporta uns 20 € d'ingrés: encara convé vendre'n més, tot i que l'aportació va baixant i s'anul·la a les 80 unitats.

f'(x) = 3x² - 6x - 9, i igualant a zero, $x^{2}$ - 2x - 3 = 0, amb arrels x = 3 i x = -1. El signe és positiu abans de -1 (amb x = -2 dona 15), negatiu entre -1 i 3 (amb x = 0 dona -9) i positiu després de 3 (amb x = 4 dona 15). Per tant creix fins a -1, decreix de -1 a 3 i torna a créixer: a x = -1 hi ha un màxim relatiu amb f(-1) = 10 i a x = 3 un mínim relatiu amb f(3) = -22.

a) Ha derivat només $x^{2}$ i ha deixat $e^{x}$ com si fos una constant. Cal la regla del producte: f'(x) = 2x·$e^{x}$ + $x^{2}$·$e^{x}$ = $e^{x}$·x·(x + 2).
b) Com que $e^{x}$ > 0 sempre, f'(x) = 0 només quan x(x + 2) = 0: x = 0 i x = -2.
Signe de f': per a x < -2 (per exemple x = -3: (-3)·(-1) > 0) creix; entre -2 i 0 (x = -1: (-1)·1 < 0) decreix; per a x > 0 torna a créixer.
c) En x = -2 passa de créixer a decréixer: màxim relatiu, f(-2) = 4e^-2 ≈ 0,54. En x = 0 passa de decréixer a créixer: mínim relatiu, f(0) = 0.
Comprovació: f(x) ≥ 0 sempre (és un quadrat per una exponencial), així que 0 ha de ser un mínim.

a) f'(x) = 3x² + 2ax + b i f''(x) = 6x + 2a.
Punt d'inflexió en x = 1: f''(1) = 6 + 2a = 0 → a = -3.
Màxim en x = -1: f'(-1) = 3 - 2a + b = 3 + 6 + b = 0 → b = -9.
Passa per (0, 3): f(0) = c = 3. Per tant, f(x) = x³ - 3x² - 9x + 3.
b) f''(-1) = -6 - 6 = -12 < 0: és un màxim, amb f(-1) = -1 - 3 + 9 + 3 = 8.
f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1), que també s'anul·la en x = 3; f''(3) = 18 - 6 = 12 > 0: mínim relatiu en (3, 27 - 27 - 27 + 3) = (3, -24).

a) V'(t) = -1,5t² + 12t = -1,5t(t - 8). S'anul·la en t = 0 i t = 8. Per a 0 < t < 8, V' > 0 (per exemple V'(2) = 18): el nombre de visitants creix; per a 8 < t ≤ 10, V' < 0 (V'(9) = -13,5): decreix.
Màxim en t = 8 hores: V(8) = -256 + 384 = 128 centenars, és a dir, 12800 visitants.
b) V(10) = -500 + 600 = 100 centenars: queden 10000 persones a la fira quan tanca.
c) V''(t) = -3t + 12 = 0 → t = 4. Per a t < 4, V'' > 0 i el ritme d'entrada V' creix; per a t > 4 decreix: en t = 4 hi ha el punt d'inflexió, el moment en què la gent entra més de pressa.
Aquest ritme màxim és V'(4) = -24 + 48 = 24 centenars de persones per hora (2400 persones/hora); en aquell moment hi ha V(4) = 64 centenars de visitants.

a) Que la tangent en x = 2 sigui y = 3x - 1 dona dues condicions: el pendent f'(2) = 3 i el punt f(2) = 3·2 - 1 = 5.
f'(x) = 2x + a → f'(2) = 4 + a = 3 → a = -1.
f(2) = 4 + 2a + b = 4 - 2 + b = 5 → b = 3. Per tant, f(x) = x² - x + 3.
b) f'(x) = 2x - 1 = 0 → x = 1/2; com que és una paràbola amb coeficient principal positiu (f'' = 2 > 0), és un mínim: f(1/2) = 1/4 - 1/2 + 3 = 11/4 = 2,75.
En el mínim la tangent és horitzontal: y = 2,75.
Comprovació: f(2) = 4 - 2 + 3 = 5, que és sobre la recta y = 3x - 1.

a) Dom f = R - {1}. f'(x) = (2x·(x - 1) - x²·1)/(x - 1)² = (x² - 2x)/(x - 1)² = x(x - 2)/(x - 1)².
b) f'(x) = 0 en x = 0 i x = 2; a més, x = 1 no és del domini. El denominador és positiu, així que el signe el dona x(x - 2): positiu en (-∞, 0) i en (2, +∞) (creixent), negatiu en (0, 1) i en (1, 2) (decreixent).
c) En x = 0 passa de créixer a decréixer: màxim relatiu en (0, 0). En x = 2 passa de decréixer a créixer: mínim relatiu en (2, 4).
d) Són extrems relatius (locals), no absoluts: cada un compara només amb els punts del seu voltant. Entre els dos hi ha l'asímptota vertical x = 1, on la funció salta de -∞ a +∞, i per això el «mínim» (4) pot quedar per sobre del «màxim» (0).

a) V(1) = 50·e^-0,5 = 50·0,6065 = 30,33 milers; V(6) = 300·$e^{-3}$ = 300·0,0498 = 14,94 milers.
b) Regla del producte i de la cadena: V'(t) = 50·e^-0,5t + 50t·(-0,5)e^-0,5t = 50e^-0,5t(1 - 0,5t) = 25e^-0,5t(2 - t).
Com que e^-0,5t > 0, V'(t) = 0 només en t = 2; per a t < 2 la derivada és positiva i per a t > 2 negativa: màxim en t = 2 hores, amb V(2) = 100·$e^{-1}$ = 36,79 milers de visualitzacions per hora.
c) V'(4) = 25e^-2·(2 - 4) = -50e^-2 = -6,77. El signe negatiu diu que a la quarta hora el ritme de visualitzacions està baixant, a raó d'unes 6770 visualitzacions per hora menys cada hora.
d) Quan t → +∞, l'exponencial e^-0,5t tendeix a 0 més de pressa del que creix 50t, i V(t) → 0: el vídeo deixa de rebre visualitzacions.

a) El segon tram en $t=4$ val $40-\frac{64}{4}=24$ i la seva derivada, $\frac{64}{t^2}$, hi val $4$. El primer tram té $U'(t)=2at+b$.

Continuïtat: $16a+4b=24$. Derivabilitat: $8a+b=4$. De la segona, $b=4-8a$; substituint: $16a+16-32a=24\Rightarrow a=-\tfrac12$, i $b=8$.

Per tant $U(t)=-0{,}5t^2+8t$ per a $0\le t\le 4$. Que sigui derivable en $t=4$ vol dir que el ritme d'arribada d'usuaris (4000 usuaris/mes) és el mateix just abans i just després del canvi de fórmula: el model no té cap canvi brusc de tendència.

b) Primer tram: $U'(t)=8-t\gt 0$ per a $0\le t\le 4$. Segon tram: $U'(t)=\frac{64}{t^2}\gt 0$. La funció és creixent a tot el domini: el nombre d'usuaris no baixa mai.

El ritme $U'(t)$ passa de 8 (en $t=0$) a 4 (en $t=4$) i després continua baixant ($64/t^2$ és decreixent). El ritme màxim és en el llançament, $t=0$, amb 8000 usuaris nous per mes.

c) $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\left(40-\frac{64}{t}\right)=40$: el model preveu una saturació a 40 000 usuaris (asímptota horitzontal $U=40$).

Com que $U(4)=24\lt 30$, els 30 000 usuaris s'assoleixen al segon tram: $40-\frac{64}{t}=30\Rightarrow t=6{,}4$ mesos, és a dir, durant el setè mes.

d) $U''(t)=-1$ al primer tram i $U''(t)=-\frac{128}{t^3}\lt 0$ al segon: la funció és còncava a tot el domini. El creixement s'alenteix sempre; no hi ha cap punt d'inflexió ni cap fase d'acceleració. Si l'equip esperava un «efecte boca-orella» que acceleri les altes, aquest model no el recull.

Errors típics

• Imposar només la continuïtat: amb una sola equació no es poden trobar dues incògnites.
• Derivar malament $-\frac{64}{t}$: la derivada és $+\frac{64}{t^2}$, positiva.
• Confondre «el moment de més usuaris» (que no existeix, perquè sempre creixen) amb «el moment de més creixement» (màxim de U').

Conceptes treballats: continuïtat i derivabilitat de funcions a trossos, càlcul de paràmetres, monotonia, ritme de variació, curvatura, límit a l'infinit i asímptota horitzontal.

a) $C'(x)=0{,}003x^2-0{,}6x+40$, i $C'(100)=30-60+40=10$ €/motxilla.

Cost real: $C(100)=3000$ € i $C(101)=3010{,}001$ €, de manera que la motxilla 101 costa 10,001 €. La diferència és d'una mil·lèsima perquè en $x=100$ la gràfica de $C$ gairebé no es corba (és el punt d'inflexió, apartat b): la recta tangent hi aproxima molt bé la funció.

b) $C''(x)=0{,}006x-0{,}6=0\Rightarrow x=100$. Com que $C''\lt 0$ per a $x\lt 100$ i $C''\gt 0$ per a $x\gt 100$, $C'$ decreix i després creix: el cost marginal és mínim (10 €) a 100 motxilles. És el punt d'inflexió de $C$: fins a 100 la corba és còncava (cada motxilla surt més barata que l'anterior, s'aprofita millor la maquinària) i a partir de 100 és convexa (cada motxilla surt més cara: saturació, hores extres…).

c) $B(x)=29{,}2x-C(x)=-0{,}001x^3+0{,}3x^2-10{,}8x-1000$.

$B'\lt 0$ a $[0,20)$, $B'\gt 0$ a $(20,180)$ i $B'\lt 0$ a $(180,250]$. El benefici decreix, creix i torna a decréixer: mínim relatiu en $x=20$, amb $B(20)=-1104$ €, i màxim relatiu en $x=180$, amb $B(180)=944$ €.

d) $B'(20)=0$ només diu que la tangent és horitzontal; el canvi de signe de $B'$ (de negatiu a positiu) indica que és un mínim: amb 20 motxilles el taller perd 1104 € a la setmana. La producció recomanada és de 180 motxilles (944 € de benefici). Fabricar-ne 200 dona $B(200)=840$ €: a partir de 180, cada motxilla costa més del que es ven ($C'(x)\gt 29{,}2$) i el benefici baixa.

Errors típics

• Pensar que $B'(x)=0$ sempre dona un màxim: cal estudiar el signe de $B'$ o de $B''$.
• Confondre el mínim del cost marginal ($C''=0$) amb el mínim del cost total.
• Equivocar-se de signe en treure factor comú −0,003 i acabar amb els intervals de creixement invertits.

Conceptes treballats: cost marginal i aproximació per la tangent, segona derivada i punt d'inflexió, benefici marginal, monotonia i extrems relatius, interpretació econòmica.

a) $u'(t)=0{,}15(t-2)(t-7)$ és positiva si $t\lt 2$ o $t\gt 7$ i negativa si $2\lt t\lt 7$. L'atur augmenta de 2015 a 2017, disminueix de 2017 a 2022 i torna a augmentar de 2022 a 2024. Hi ha un màxim relatiu en $t=2$ (inici de 2017) i un mínim relatiu en $t=7$ (inici de 2022).

b) $u'(t)=0{,}15t^2-1{,}35t+2{,}1$ és una paràbola oberta cap amunt; el seu mínim és al vèrtex: $u''(t)=0{,}3t-1{,}35=0\Rightarrow t=4{,}5$ (mitjan 2019). Allà $u'(4{,}5)=0{,}15\cdot 2{,}5\cdot(-2{,}5)=-0{,}9375$: l'atur baixava gairebé un punt percentual per any.

c) $u''(3)=0{,}9-1{,}35=-0{,}45\lt 0$: la gràfica és còncava. Com que en $t=3$ l'atur baixa ($u'(3)=-0{,}6$), la concavitat vol dir que cada vegada baixava més de pressa (la baixada s'accelerava fins a mitjan 2019).

d) Derivant: $u'(t)=0{,}15t^2-1{,}35t+2{,}1=0{,}15(t^2-9t+14)=0{,}15(t-2)(t-7)$, que coincideix amb la donada. Valors: $u(0)=12$, $u(2)=13{,}9$, $u(7)=10{,}775$, $u(9)=12{,}675$.

Atur màxim del període: 13,9 %, a l'inici de 2017. Atur mínim: 10,775 %, a l'inici de 2022. El titular era encertat: el 2022 hi ha el mínim (relatiu i absolut) i després $u'\gt 0$. Ara bé, el 2024 l'atur (12,675 %) encara no havia tornat al màxim de 2017.

Errors típics

• Confondre on l'atur és mínim (u' = 0 amb canvi de signe) amb on baixa més de pressa (mínim de u').
• Donar com a màxim absolut el màxim relatiu sense comparar-lo amb els valors als extrems de l'interval.
• Llegir el signe de u' com si fos el signe de u: una derivada negativa no vol dir atur negatiu.

Conceptes treballats: relació entre el signe de la derivada i la monotonia, extrems relatius i absoluts, segona derivada i curvatura, ritme de variació, interpretació de models.

a) $V'(t)=60\cdot 0{,}25\,e^{-0{,}25t}=15\,e^{-0{,}25t}$ milers d'exemplars per setmana: és el ritme de vendes en cada moment. Com que $V''(t)=-3{,}75\,e^{-0{,}25t}\lt 0$, $V'$ és decreixent: cada setmana es venen menys exemplars que l'anterior (la novetat es va esgotant).

b) $V(4)=60(1-e^{-1})\approx 37{,}927$ i $V'(4)=15e^{-1}\approx 5{,}518$. Tangent:

Estimació per a $t=5$: $y\approx 43{,}445$ milers. Valor del model: $V(5)=60(1-e^{-1{,}25})\approx 42{,}810$ milers. La tangent sobreestima unes 635 unitats perquè $V$ és còncava ($V''\lt 0$): la gràfica queda per sota de les seves tangents. L'aproximació suposa que el ritme de la setmana 4 es manté, però en realitat baixa.

c) $15e^{-0{,}25t}\lt 2\iff e^{-0{,}25t}\lt \frac{2}{15}\iff -0{,}25t\lt \ln\frac{2}{15}\iff t\gt 4\ln 7{,}5\approx 8{,}06$. Poc després d'acabar la vuitena setmana el ritme baixa de 2000 exemplars setmanals: durant la novena setmana ja es pot retirar la publicitat.

d) $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}V(t)=60$: uns 60 000 exemplars en total (asímptota horitzontal $V=60$). No hi ha màxims relatius perquè $V'(t)\gt 0$ sempre: les vendes acumulades no poden baixar mai (cada setmana se'n venen, encara que poques). És lògic; el que té un màxim és el ritme $V'$, que és màxim en $t=0$.

Errors típics

• Oblidar el factor $-0{,}25$ de la regla de la cadena o el signe: $\left(1-e^{-0{,}25t}\right)'=+0{,}25\,e^{-0{,}25t}$.
• No canviar el sentit de la desigualtat en dividir per un nombre negatiu (−0,25).
• Confondre les vendes acumulades V(t) amb les vendes setmanals V'(t).

Conceptes treballats: regla de la cadena amb exponencials, ritme de variació, recta tangent i aproximació lineal, concavitat, inequacions exponencials, límit a l'infinit.

a) $N'(t)=3at^2+2bt+c$ i $N''(t)=6at+2b$.

• $N(0)=20\Rightarrow d=20$.
• $N''(2)=0\Rightarrow 12a+2b=0\Rightarrow b=-6a$.
• $N'(4)=0\Rightarrow 48a+8b+c=0\Rightarrow 48a-48a+c=0\Rightarrow c=0$.
• $N(4)=36\Rightarrow 64a+16b+4c+20=36\Rightarrow 64a-96a=16\Rightarrow a=-\tfrac12$, i $b=3$.

Per tant, $N(t)=-0{,}5t^3+3t^2+20$.

b) $N'(t)=-1{,}5t^2+6t=1{,}5\,t\,(4-t)$. A $(0,4)$ és positiva i a $(4,6)$, negativa: $N$ creix de les 18 h a les 22 h i decreix de les 22 h a les 24 h, de manera que en $t=4$ hi ha el màxim (36 000 usuaris). A mitjanit: $N(6)=-108+108+20=20$, és a dir, 20 000 usuaris, els mateixos que a les 18 h.

c) $N'(2)=1{,}5\cdot2\cdot2=6$: a les 20 h s'hi connecten 6000 usuaris nets per hora, el ritme màxim ($N''(t)=-3t+6$ passa de positiva a negativa en $t=2$). $N'(6)=1{,}5\cdot6\cdot(-2)=-18$: a mitjanit se'n desconnecten 18 000 per hora.

d) $t=0$ és l'extrem esquerre de l'interval d'estudi: no es pot comparar amb valors «a banda i banda». $N'(0)=0$ indica que a les 18 h el saldo de connexions és nul (tangent horitzontal) i que a partir d'aquí comença a créixer; a més, $N(0)=20$ és el valor mínim de $N$ a $[0,6]$, compartit amb $N(6)$.

Errors típics

• Traduir «creix més de pressa» per N'(2) = 0 en lloc de N''(2) = 0.
• Utilitzar només N'(4) = 0 i oblidar que també cal N(4) = 36: queden incògnites sense determinar.
• Concloure que hi ha un màxim en t = 4 sense comprovar el canvi de signe de la derivada (o el signe de N'').

Conceptes treballats: càlcul de paràmetres a partir de condicions sobre f, f' i f'', extrems relatius, punt d'inflexió com a màxim ritme de creixement, interpretació en context.

a) $C'(t)=\dfrac{20(t^2+4)-20t\cdot 2t}{(t^2+4)^2}=\dfrac{20(4-t^2)}{(t^2+4)^2}$. El denominador és positiu, de manera que el signe depèn de $4-t^2$: $C'\gt 0$ per a $0\le t\lt 2$ i $C'\lt 0$ per a $t\gt 2$. La concentració creix durant 2 hores i després disminueix: màxim en $t=2$ h, amb $C(2)=\frac{40}{8}=5$ mg/L.

b) $\frac{20t}{t^2+4}\ge4\iff 20t\ge 4t^2+16\iff t^2-5t+4\le0\iff (t-1)(t-4)\le0\iff 1\le t\le4$. És eficaç entre la primera i la quarta hora: 3 hores. A partir de les 4 h la concentració és inferior a 4 mg/L i continua baixant, i una nova dosi tampoc no fa efecte fins al cap d'una hora ($C(t)\lt 4$ per a $t\lt 1$). Si s'esperés a les 6 h, el pacient estaria sense analgèsia entre les 4 h i les 7 h; per mantenir l'efecte, la segona dosi s'hauria de prendre cap a les 3 h. (El model és per a una sola dosi; sumar-ne dues és una aproximació.)

c) $C'(2\sqrt3)=\dfrac{20(4-12)}{(12+4)^2}=\dfrac{-160}{256}=-0{,}625$ mg/L per hora, amb $C(2\sqrt3)\approx4{,}33$ mg/L. Cap a les 3 h 28 min el fàrmac s'elimina més de pressa que en cap altre moment: abans de la inflexió la baixada s'accelera i després es frena.

d) El grau del numerador (1) és menor que el del denominador (2): $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)=0$. Amb el temps el fàrmac desapareix de la sang; $C=0$ és una asímptota horitzontal.

Errors típics

• Equivocar-se en l'ordre de la regla del quocient: és $\frac{u'v-uv'}{v^2}$, no $\frac{uv'-u'v}{v^2}$.
• Considerar també t = −2 com a extrem: no té sentit en el context (t ≥ 0).
• Confondre el moment de concentració màxima (C' = 0) amb el moment d'eliminació més ràpida (inflexió).

Conceptes treballats: regla del quocient, monotonia i extrems, inequacions racionals, punt d'inflexió i ritme de variació, límits i asímptotes horitzontals.

a) En $x=20$: $a=0{,}1\cdot20=2$. En $x=50$: $b=a+0{,}25\cdot30=2+7{,}5=9{,}5$. La continuïtat és important perquè, si $T$ fes un salt, guanyar un euro més podria fer pagar de cop molts euros d'impost i fins i tot reduir la renda neta.

b) Derivada per l'esquerra en $x=20$: 0,1; per la dreta: 0,25. Són diferents, de manera que $T$ no és derivable en $x=20$ (hi ha un punt angulós). Interpretació: el tipus marginal (el que es paga de cada euro addicional) salta del 10 % al 25 %, però l'impost total no salta.

c) Al segon tram, $t(x)=\dfrac{2+0{,}25x-5}{x}=\dfrac{0{,}25x-3}{x}=0{,}25-\dfrac3x$. $t'(x)=\dfrac{3}{x^2}\gt 0$: el tipus mitjà creix (impost progressiu), però sempre per sota del 25 %.

$t(40)=0{,}25-0{,}075=0{,}175$: un 17,5 % (paga 7000 €). Per a 80 000 € (tercer tram): $t(x)=\dfrac{9{,}5+0{,}4x-20}{x}=0{,}4-\dfrac{10{,}5}{x}$, i $t(80)=0{,}4-0{,}13125=0{,}26875$, un 26,9 % (paga 21 500 €).

d) Amb 20 100 €: $T(20{,}1)=2+0{,}25\cdot0{,}1=2{,}025$ milers. Paga 25 € més d'impost i cobra 75 € nets més. El 25 % només s'aplica als 100 € que passen del límit; l'augment sempre li surt a compte. Rendes molt altes: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(0{,}4-\frac{10{,}5}{x}\right)=0{,}4$: el tipus mitjà s'acosta al 40 % sense arribar-hi mai.

Errors típics

• Aplicar el 25 % a tota la renda quan se supera el límit del tram (confondre tipus marginal i tipus mitjà).
• Pensar que una funció contínua sempre és derivable: aquí és contínua però té punts angulosos.
• Oblidar sumar la quota dels trams anteriors (a i b) en escriure cada tram.

Conceptes treballats: funcions a trossos, continuïtat, derivades laterals i derivabilitat, tipus marginal i tipus mitjà, monotonia, límit a l'infinit.

a) $f(0)=\frac{100}{10}=10$: un 10 % de les llars. Com que $e^{-0{,}5t}\to0$, $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=100$: a llarg termini gairebé totes les llars en tindrien.

b) $f'(t)=-100\,(1+9e^{-0{,}5t})^{-2}\cdot 9\cdot(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t}=\dfrac{450\,e^{-0{,}5t}}{(1+9e^{-0{,}5t})^2}$.

D'altra banda, $0{,}5\,f\left(1-\frac f{100}\right)=0{,}5\cdot\dfrac{100}{1+9e^{-0{,}5t}}\cdot\dfrac{9e^{-0{,}5t}}{1+9e^{-0{,}5t}}=\dfrac{450\,e^{-0{,}5t}}{(1+9e^{-0{,}5t})^2}$, que és el mateix.

Com que $0\lt f(t)\lt 100$, els tres factors són positius i $f'(t)\gt 0$: el percentatge sempre augmenta.

c) El ritme $g(y)=0{,}5y-0{,}005y^2$ és una paràbola oberta cap avall en la variable $y=f(t)$, amb vèrtex en $y=\frac{0{,}5}{0{,}01}=50$. El ritme és màxim quan la meitat de les llars ja tenen plaques. Moment: $\frac{100}{1+9e^{-0{,}5t}}=50\iff 9e^{-0{,}5t}=1\iff t=2\ln9\approx4{,}39$ anys. Ritme: $g(50)=0{,}5\cdot50\cdot0{,}5=12{,}5$ punts percentuals per any.

d) Abans de $t\approx4{,}39$, $f'$ creix: la corba és convexa i la instal·lació s'accelera (cada llar que en té en convenç d'altres). Després és còncava: el ritme baixa perquè queden poques llars sense plaques (saturació). El punt $(4{,}39;\ 50)$ és el punt d'inflexió.

Errors típics

• Derivar $\frac{100}{1+9e^{-0{,}5t}}$ oblidant la derivada interna $-0{,}5$ o el signe menys del quocient.
• Buscar el màxim de f (que no existeix, perquè és sempre creixent) en lloc del màxim de f'.
• Concloure que el ritme màxim és al principi perquè «al principi tot creix molt».

Conceptes treballats: regla de la cadena i del quocient, monotonia, punt d'inflexió com a màxim de la derivada, límit a l'infinit, model logístic de difusió.

a) $I(0)=20$ i $I(6)=216-432+270+20=74$. $\text{TVM}_{[0,6]}=\frac{74-20}{6}=9$: de mitjana, els ingressos han augmentat 9000 € cada mes durant els sis primers mesos.

b) $I'(t)=3t^2-24t+45=9\iff 3t^2-24t+36=0\iff t^2-8t+12=0\iff t=2$ o $t=6$. Als mesos 2 i 6 el ritme instantani és igual al mitjà: la recta tangent a la gràfica en aquests punts és paral·lela a la recta secant que uneix $(0,20)$ i $(6,74)$.

c) $I'(t)=3(t^2-8t+15)=3(t-3)(t-5)$: positiva a $[0,3)$, negativa a $(3,5)$ i positiva a $(5,8]$. Màxim relatiu en $t=3$: $I(3)=74$; mínim relatiu en $t=5$: $I(5)=70$. Als extrems de l'interval: $I(0)=20$ i $I(8)=512-768+360+20=124$. Mínim absolut: 20 (en $t=0$); màxim absolut: 124 (en $t=8$).

d) Que $I(3)=I(6)$ només diu que la TVM a $[3,6]$ és 0, no que els ingressos estiguin quiets. $I'(4)=48-96+45=-3$: al quart mes els ingressos baixaven a un ritme de 3000 € per mes; van baixar fins a 70 000 € (mes 5) i després van remuntar. La taxa mitjana amaga el que passa dins de l'interval.

Errors típics

• Calcular la TVM com a (I(6) − I(0))/I(0) (variació relativa) en lloc de dividir per la longitud de l'interval.
• Prendre el màxim relatiu (t = 3) com a màxim absolut sense avaluar l'extrem t = 8.
• Interpretar una TVM nul·la com si la funció fos constant.

Conceptes treballats: taxa de variació mitjana i instantània, interpretació geomètrica (secant i tangent), monotonia, extrems relatius i absoluts en un interval tancat.

a) Mínim en $x=1$: $f'(1)=2+a=0\Rightarrow a=-2$. Continuïtat en $x=2$: $4+2a+b=c\ln1+4=4\Rightarrow b=-2a=4$. Derivabilitat en $x=2$: per l'esquerra $2\cdot2+a=2$; per la dreta $\frac{c}{2-1}=c$. Per tant, $c=2$.

$f(x)=x^2-2x+4$ si $0\le x\le2$, i $f(x)=2\ln(x-1)+4$ si $x\gt 2$.

b) Primer tram: $f'(x)=2x-2$, negativa a $[0,1)$ i positiva a $(1,2]$. Segon tram: $f'(x)=\frac{2}{x-1}\gt 0$. L'acció baixa durant el primer mes i després puja sempre. Preu de sortida: $f(0)=4$ €. Preu mínim: $f(1)=3$ €.

c) Primer tram: $f''(x)=2\gt 0$, convexa. Segon tram: $f''(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\lt 0$, còncava. Sí que hi ha canvi de curvatura en $x=2$: $f''(2)$ no existeix, però $f$ hi és contínua i derivable i la curvatura canvia, de manera que és un punt d'inflexió. Per a l'inversor: fins al segon mes la remuntada s'accelera; a partir d'aleshores el preu continua pujant, però cada mes puja menys ($f'(x)=\frac2{x-1}$ disminueix).

d) $2\ln(x-1)+4=8\iff\ln(x-1)=2\iff x=1+e^2\approx8{,}39$ mesos (durant el novè mes). Com que $f$ és creixent per a $x\gt 1$ i $f(1)=3$, a partir del primer mes el preu és sempre més gran que 3 €: segons el model, no hi tornarà mai. (Un model, és clar, no garanteix el comportament real de la borsa.)

Errors típics

• Imposar el mínim en x = 2 (el canvi de tram) en lloc de x = 1.
• Oblidar que ln 1 = 0 i plantejar malament la continuïtat.
• Afirmar que no hi ha inflexió en x = 2 perquè f''(2) no existeix: el que compta és el canvi de curvatura en un punt on la funció és contínua.

Conceptes treballats: funcions a trossos amb logaritmes, continuïtat i derivabilitat amb paràmetres, extrems relatius, curvatura i punt d'inflexió, equacions logarítmiques.