Exercicis d'inferència i intervals de confiança — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2n Batxillerat

La població són els 2.000 socis, de qui es vol saber l'opinió. La mostra són els 150 socis enquestats.

Per 9, perquè l'error depèn de l'arrel de la mida i $\sqrt{9}$ = 3.

Per 4. El marge és proporcional a $\tfrac{1}{\sqrt{n}}$: per dividir-lo per 2, cal que $\sqrt{n}$ es multipliqui per 2, és a dir, que n es multipliqui per 4.

En el mostreig estratificat proporcional, cada estrat aporta a la mostra la mateixa proporció que té a la població. La fracció de mostreig és $\tfrac{60}{600} = 0{,}1$ (un de cada deu).
ESO: 240·0,1 = 24 alumnes; batxillerat: 200·0,1 = 20 alumnes; cicles: 160·0,1 = 16 alumnes.
Comprovació: 24 + 20 + 16 = 60.
Dins de cada etapa, els alumnes s'han de triar a l'atzar.

Un paràmetre descriu tota la població (normalment és desconegut: μ, σ, p); un estadístic es calcula a partir de la mostra i serveix per estimar-lo ($\bar{x}$, s, $\hat{p}$).
a) Paràmetre: es refereix a tots els alumnes (μ).
b) Estadístic: proporció mostral $\hat{p}$ dels 500 enquestats.
c) Paràmetre: desviació típica de tota la població (σ).
d) Estadístic: mitjana mostral $\bar{x}$ dels 200 usuaris.
La inferència consisteix a fer servir els estadístics (b i d) per estimar els paràmetres.

L'error estàndard de la mitjana mostral és σ/√n.
Per a n = 81: 18/√81 = 18/9 = 2.
Perquè valgui 1: 18/√n = 1 → √n = 18 → n = 324 individus.
Fixa't que per dividir l'error per 2 cal multiplicar la mostra per 4 (de 81 a 324): l'error baixa amb l'arrel quadrada de n, no amb n.

Per a mostres grans, la proporció mostral segueix aproximadament una normal de mitjana p i desviació típica $\sqrt{p\cdot (1 - \tfrac{p)}{n}}$.
Mitjana: 0,3. Desviació típica: $\sqrt{0{,}3\cdot 0{,}\tfrac{7}{525}}$ = $\sqrt{0{,}\tfrac{21}{525}}$ = $\sqrt{0,0004}$ = 0,02.
$\hat{p}$ ≈ N(0,3; 0,02).
Condició per aproximar: n·p = 157,5 ≥ 5 i n·(1 - p) = 367,5 ≥ 5; es compleix de sobres.

L'interval de confiança per a la mitjana està centrat en la mitjana mostral: $\bar{x}$ = $\tfrac{(42{,}6 + 47{,}4)}{2} = 45$.
El marge d'error és la meitat de l'amplada: E = $\tfrac{(47{,}4 - 42{,}6)}{2} = 2{,}4$.
L'interval s'escriu $\bar{x}$ ± E = 45 ± 2,4.
Interpretació: amb una confiança del 95 %, la mitjana poblacional és entre 42,6 i 47,4.

El pas és k = N/n = 2000/50 = 40.
Es tria a l'atzar un número entre 1 i 40 (aquí, el 17) i després s'avança de 40 en 40.
Els tres següents són el 17 + 40 = 57, el 97 i el 137.
El mostreig sistemàtic és vàlid si la llista no té cap periodicitat relacionada amb el que s'estudia; si en té, pot introduir biaix.

a) No probabilístic (mostra de voluntaris o autoseleccionada): no tots tenen la mateixa probabilitat de ser-hi, i qui respon sol tenir opinions més marcades. Té biaix.
b) Aleatori simple: tots els clients tenen la mateixa probabilitat de ser triats i la tria es fa per sorteig.
c) Estratificat (proporcional): la població es divideix en grups (cursos) i dins de cada grup es tria a l'atzar.
d) Sistemàtic: es parteix d'un punt inicial i es tria una unitat cada k = 100.

Té biaix de selecció: només recull qui hi va, que no representa tota la població. No es corregeix amb més enquestes al mateix lloc, perquè el problema és el procediment de tria.

L'error estàndard és $\tfrac{12}{\sqrt{144}} = 1$. Amb el valor crític 1,96, el marge és 1,96, així que el 95 % de les mitjanes mostrals cauran entre 78,04 i 81,96.

Perquè el valor crític és més gran, 2,576 contra 1,96: per estar més segurs de contenir el valor real cal deixar més marge, i això significa menys precisió.

Perquè és el valor que fa màxim el producte $\hat{p}$(1-$\hat{p}$), i per tant dona l'error estàndard més gran i la mida de mostra més prudent: qualsevol altra proporció real necessitaria menys dades.

Proporció mostral: $\hat{p}$ = 120/400 = 0,3.
Error estàndard: √($\hat{p}$·(1 - $\hat{p}$)/n) = √(0,3·0,7/400) = √0,000525 = 0,0229.
Marge d'error: E = 1,96·0,0229 = 0,0449.
Interval: 0,3 ± 0,0449 = (0,255; 0,345).
Amb una confiança del 95 %, entre el 25,5 % i el 34,5 % de les persones de la comarca van a la feina en bicicleta.
Error típic: posar 120 en lloc de 0,3 dins de l'arrel.

El marge d'error de l'interval per a la mitjana és E = z·σ/$\sqrt{n}$.
Imposem 1,96·$\tfrac{12}{\sqrt{n}} \leq 2$ → $\sqrt{n}$ ≥ 1,96·$\tfrac{12}{2} = 11{,}76$ → n ≥ 11,$76^{2}$ = 138,3.
Com que n ha de ser enter, cal una mostra de com a mínim 139 alumnes.
Comprovació: amb n = 139, E = 1,96·$\tfrac{12}{\sqrt{139}} = 1{,}99$ ≤ 2; amb n = 138 sortiria 2,002, lleugerament més gran.
Recorda: la mida de la mostra sempre s'arrodoneix cap amunt.

Marge d'error per a una proporció: E = z·$\sqrt{p\cdot (1 - \tfrac{p)}{n}}$.
Sense estimació prèvia es pren p = 0,5, que fa màxim el producte p·(1 - p) = 0,25 i dona la mida de mostra més prudent.
1,96·$\sqrt{0{,}\tfrac{25}{n}}$ ≤ 0,03 → $\sqrt{0{,}\tfrac{25}{n}}$ ≤ $\tfrac{0{,}03}{1{,}96}$ → n ≥ 0,25·($\tfrac{1{,}96}{0{,}03}$$)^{2}$ = 0,25·4268,4 = 1067,1.
Cal enquestar com a mínim 1068 persones.
Per això molts sondejos tenen al voltant de 1000 enquestats: és la mida que dona un marge d'uns 3 punts.

La proporció mostral segueix aproximadament $\hat{p}$ ≈ N(p; $\sqrt{p\cdot (1 - \tfrac{p)}{n}}$) = N(0,2; $\sqrt{0{,}2\cdot 0{,}\tfrac{8}{400}}$) = N(0,2; 0,02).
Tipifiquem: z = $\tfrac{(0{,}25 - 0{,}2)}{0{,}02} = 2{,}5$.
P($\hat{p}$ > 0,25) = P(Z > 2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062.
Només en un 0,6 % de les mostres la proporció superaria el 25 %: seria un resultat molt poc probable si p fos realment 0,2.

Un habitatge: X ~ N(50; 8). z = $\tfrac{(53 - 50)}{8} = 0{,}375$ ≈ 0,38 → P(X > 53) = 1 - 0,648 = 0,352.
Mitjana de 64 habitatges: $\bar{x}$ ~ N(50; $\tfrac{8}{\sqrt{64}}$) = N(50; 1). z = $\tfrac{(53 - 50)}{1} = 3$ → P($\bar{x}$ > 53) = 1 - 0,9987 = 0,0013.
Per a un sol habitatge, superar 53 $m^{3}$ és habitual (35 %), però que la mitjana de 64 habitatges superi 53 $m^{3}$ és gairebé impossible (0,13 %).
La raó és que la mitjana mostral té molta menys dispersió que la variable: la seva desviació típica és $\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1$ en lloc de 8, perquè en fer la mitjana els valors alts i baixos es compensen.

Mitjana mostral: és el centre de l'interval, $\bar{x}$ = $\tfrac{(46{,}08 + 53{,}92)}{2} = 50$.
Marge d'error: E = $\tfrac{(53{,}92 - 46{,}08)}{2} = 3{,}92$.
Com que E = z·σ/$\sqrt{n}$: 3,92 = z·$\tfrac{20}{\sqrt{100}} = 2$z → z = 1,96.
El valor z = 1,96 deixa 0,025 a cada cua (P(Z ≤ 1,96) = 0,975), de manera que el nivell de confiança és 1 - 2·0,025 = 0,95: el 95 %.

L'error és fer servir la desviació típica de la població (σ = 9) en lloc de l'error estàndard de la mitjana, σ/√n: l'interval depèn de com varia la mitjana mostral, no de com varien les dades individuals.
Error estàndard: σ/√n = 9/√36 = 9/6 = 1,5.
Marge d'error: E = 1,96·1,5 = 2,94.
Interval correcte: 70 ± 2,94 = (67,06; 72,94).
L'interval de l'alumne era 6 vegades més ample del compte (√36 = 6) i, per tant, pràcticament inútil.

(a) Amb n = 100, la mitjana mostral segueix aproximadament una normal amb la mateixa mitjana i amb desviació $\tfrac{60}{\sqrt{100}} = 6$: N(210; 6).
(b) Tipifico: z = $\tfrac{(222 - 210)}{6} = 2$. P($\bar{x}$ > 222) = 1 - 0,9772 = 0,0228. Només un 2,3 % de les mostres donarien una mitjana tan alta.

L'error estàndard és $\tfrac{15}{\sqrt{225}} = 1$ i el valor crític del 90 % és 1,645, així que el marge és 1,645 i l'interval va de 36,36 € a 39,65 €. La interpretació correcta és que, repetint el mostreig moltes vegades, el 90 % dels intervals construïts d'aquesta manera contindrien la despesa mitjana real de la població.

La diferència observada és de 3 punts i el marge d'error és de 2,8 punts per a cada estimació, així que els intervals se solapen: el de la primera va del 31,2 % al 36,8 % i el de la segona del 28,2 % al 33,8 %. Amb aquestes dades no es pot afirmar amb seguretat que la primera opció vagi per davant; la diferència queda dins del que explica l'atzar del mostreig.

a) Error estàndard: σ/√n = 25/√100 = 2,5. Marge: E = 1,96·2,5 = 4,9. Interval: 160 ± 4,9 = (155,1; 164,9) g.
Interpretació: si repetíssim el mostreig moltes vegades, el 95 % dels intervals construïts així contindrien el pes mitjà real de la collita.
b) 1,96·25/√n ≤ 3 → √n ≥ 16,33 → n ≥ 266,8: cal pesar com a mínim 267 pomes.
c) Al 99 %: E = 2,576·2,5 = 6,44. Interval: 160 ± 6,44 = (153,56; 166,44) g.
L'amplada passa de 9,8 g a 12,88 g: més confiança exigeix un interval més ample (menys precisió) si no s'augmenta la mostra.

a) $\hat{p}$ = 210/600 = 0,35 (35 %).
b) Error estàndard: √($\hat{p}$·(1 - $\hat{p}$)/n) = √(0,35·0,65/600) = √0,000379 = 0,0195. Marge: E = 2,576·0,0195 = 0,0502.
Interval: 0,35 ± 0,0502 = (0,2998; 0,4002), és a dir, entre el 30,0 % i el 40,0 % aproximadament.
c) 2,576·√(0,35·0,65/n) ≤ 0,02 → n ≥ 0,35·0,65·(2,576/0,02)² = 0,2275·16589,4 = 3774,1 → com a mínim 3775 alumnes.
Per reduir el marge de 5 a 2 punts (dividir-lo per 2,5) cal multiplicar la mostra per 2,5² = 6,25 (de 600 a uns 3750).

a) La mitjana mostral segueix $\bar{x}$ ~ N(60; $\tfrac{20}{\sqrt{100}}$) = N(60; 2). z = $\tfrac{(63 - 60)}{2} = 1{,}5$ → P($\bar{x}$ > 63) = 1 - 0,9332 = 0,0668.
b) Volem P(|$\bar{x}$ - 60| < 2) = 0,95, és a dir, que el marge d'error al 95 % sigui 2: 1,96·$\tfrac{20}{\sqrt{n}} \leq 2$.
$\sqrt{n}$ ≥ 1,96·$\tfrac{20}{2} = 19{,}6$ → n ≥ 19,$6^{2}$ = 384,16.
Cal una mostra de com a mínim 385 famílies.
Comprovació: amb n = 385, $\tfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}019$ i 1,96·1,019 = 1,998 < 2.

a) Error estàndard: $\tfrac{80}{\sqrt{64}} = 10$. Marge: 1,96·10 = 19,6. Interval: 1170 ± 19,6 = (1150,4; 1189,6) hores.
b) El valor 1200 queda fora de l'interval: amb una confiança del 95 %, la durada mitjana real és inferior a 1190 hores. Si la mitjana fos 1200, obtenir una mitjana mostral de 1170 o menys seria molt poc probable (z = $\tfrac{(1170 - 1200)}{10}$ = -3). L'afirmació no és compatible amb les dades.
c) Amb n = 16: error estàndard $\tfrac{80}{\sqrt{16}} = 20$, marge 1,96·20 = 39,2 i interval (1130,8; 1209,2). Ara 1200 sí que hi queda: amb una mostra tan petita no es pot descartar l'afirmació.
La mida de la mostra determina la precisió: la mateixa diferència de 30 hores és concloent amb 64 bateries i no ho és amb 16.

a) $\hat{p}$ = (0,520 + 0,600)/2 = 0,56; marge E = (0,600 - 0,520)/2 = 0,04 (4 punts percentuals).
b) E = 1,96·√($\hat{p}$·(1 - $\hat{p}$)/n) → 0,04 = 1,96·√(0,56·0,44/n) → √(0,2464/n) = 0,02041 → 0,2464/n = 0,0004165 → n = 0,2464/0,0004165 ≈ 592.
Es van enquestar unes 592 persones (al voltant de 600; l'arrodoniment dels extrems fa que no surti un valor exacte).
c) Sí: tot l'interval és per sobre de 0,5 (el seu extrem inferior és 0,52), de manera que, amb una confiança del 95 %, la proporció real supera el 50 %. Si l'interval hagués inclòs el 0,5, no es podria afirmar.

a) $\hat{p}$ ≈ N(p; $\sqrt{p\cdot (1 - \tfrac{p)}{n}}$) = N(0,40; $\sqrt{0{,}4\cdot 0{,}\tfrac{6}{1600}}$) = N(0,40; 0,01225).
b) z = $\tfrac{(0{,}38 - 0{,}40)}{0{,}01225}$ = -1,63 → P($\hat{p}$ < 0,38) = P(Z < -1,63) = 1 - 0,9484 = 0,0516, un 5,2 %.
c) Marge: 1,96·0,01225 = 0,024. Interval: 0,40 ± 0,024 = (0,376; 0,424).
En el 95 % dels sondejos d'aquesta mida el partit obtindria entre el 37,6 % i el 42,4 %: el sondeig té un marge d'error d'uns 2,4 punts.

a) Els pesos són 60 %, 30 % i 10 %: $800\cdot 0{,}6=480$ de Ciències Socials, $800\cdot 0{,}3=240$ de Salut i $800\cdot 0{,}1=80$ d'Arts.

b) Proporcions per facultat: $288/480=0{,}60$, $96/240=0{,}40$ i $20/80=0{,}25$. Com que l'afixació és proporcional, l'estimació global és directament $\hat p=\dfrac{288+96+20}{800}=\dfrac{404}{800}=0{,}505$.
Error màxim al 95 %: $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}505\cdot 0{,}495}{800}}=1{,}96\cdot 0{,}01768=0{,}0346$.
Interval: $(0{,}505-0{,}0346;\;0{,}505+0{,}0346)=(0{,}4704;\;0{,}5396)$. Amb un 95 % de confiança, entre el 47 % i el 54 % dels estudiants hi estan a favor.

c) L'interval conté valors per sota i per sobre de 0,5. Les dades són compatibles tant amb una majoria favorable com amb una majoria contrària: no es pot afirmar que la majoria hi estigui a favor. Per decidir-ho caldria una mostra més gran (o el resultat podria ser, realment, un empat).

d) L'altre equip obtindria $\dfrac{0{,}6\cdot 240+0{,}4\cdot 240+0{,}25\cdot 240}{720}=\dfrac{300}{720}\approx 0{,}417$.
A la seva mostra cada facultat pesa un terç, però a la població Arts només és el 10 % i Ciències Socials el 60 %. Com que Arts és la facultat menys favorable, l'estimació queda esbiaixada cap avall. Es corregeix ponderant cada proporció pel pes real de l'estrat: $0{,}6\cdot 0{,}60+0{,}3\cdot 0{,}40+0{,}1\cdot 0{,}25=0{,}505$. Fer una mostra més gran amb el mateix disseny no arreglaria el biaix.

Errors típics

• Repartir la mostra a parts iguals entre els estrats i dir que és afixació proporcional.
• Fer la mitjana simple de les tres proporcions (0,6 + 0,4 + 0,25)/3 en lloc de ponderar-les.
• Concloure que hi ha majoria perquè $\hat p=0{,}505\gt 0{,}5$, sense tenir en compte l'error de mostreig.

Conceptes treballats: mostreig estratificat, afixació proporcional, estimació puntual, interval de confiança per a una proporció, biaix, interpretació d'intervals.

a) $n\ge\left(\dfrac{1{,}96\cdot 6}{0{,}5}\right)^2=23{,}52^2=553{,}19$. Cal entrevistar com a mínim 554 llars (s'arrodoneix cap amunt perquè l'error no superi 0,50 €).

b) $400+3n\le 1500\Rightarrow n\le 366{,}7$, és a dir, 366 entrevistes.
$E=1{,}96\cdot\dfrac{6}{\sqrt{366}}=1{,}96\cdot 0{,}3136\approx 0{,}61$ €. L'error passa de 0,50 € a 0,61 €.

c) $0{,}5=z\cdot\dfrac{6}{\sqrt{366}}\Rightarrow z=\dfrac{0{,}5\sqrt{366}}{6}\approx 1{,}59$. Com que $P(Z\le 1{,}59)=0{,}9441$, el nivell de confiança és $2\cdot 0{,}9441-1=0{,}8882$, aproximadament un 89 %.
Amb el mateix pressupost, o s'accepta més error o s'accepta menys confiança: no es poden millorar les dues coses alhora sense augmentar n.

d) Interval al 95 %: $(23{,}40-0{,}61;\;23{,}40+0{,}61)=(22{,}79;\;24{,}01)$ €. El valor 25 € queda clarament fora de l'interval: les dades no són compatibles amb l'afirmació de la plataforma (amb un 95 % de confiança, la despesa mitjana és inferior a 25 €). Fins i tot amb l'interval del 89 % de c), que és més estret, la conclusió seria la mateixa.

Errors típics

• Arrodonir 553,19 a 553: amb 553 llars l'error seria lleugerament superior a 0,50 €.
• Fer servir la variància (36) en lloc de la desviació típica a la fórmula de l'error.
• A c), confondre $P(Z\le z)$ amb el nivell de confiança: cal comptar les dues cues.

Conceptes treballats: error màxim d'estimació, mida de la mostra, nivell de confiança, interval de confiança per a la mitjana, compatibilitat d'una afirmació amb un interval.

a) $\bar x=\dfrac{27{,}04+30{,}96}{2}=29$ min i $E=\dfrac{30{,}96-27{,}04}{2}=1{,}96$ min.
De $E=1{,}96\dfrac{\sigma}{\sqrt{144}}$: $1{,}96=1{,}96\cdot\dfrac{\sigma}{12}\Rightarrow\sigma=12$ min.

b) Al 99 %, $z_{\alpha/2}=2{,}575$: $E=2{,}575\cdot\dfrac{12}{12}=2{,}575$ min i l'interval és $(26{,}425;\;31{,}575)$.
Per tenir més seguretat que l'interval contingui la mitjana real cal fer-lo més ample: amb la mateixa mostra, més confiança implica menys precisió.

c) L'interval estima on és la mitjana poblacional; no diu res directament de la proporció d'individus. Els temps individuals tenen desviació típica 12 min, molt més gran que la de la mitjana mostral (1 min).
Si $X\sim N(29;\,12)$: $P(27{,}04\lt X\lt 30{,}96)=P\left(|Z|\lt \frac{1{,}96}{12}\right)\approx P(|Z|\lt 0{,}16)=2\cdot 0{,}5636-1=0{,}1272$.
Només un 13 % dels treballadors, aproximadament, triga entre 27 i 31 minuts: el titular confon la variabilitat de la mitjana amb la dels individus.

d) Amb n = 36: $\bar X\sim N\left(29;\,\frac{12}{6}\right)=N(29;\,2)$.
$P(\bar X\ge 31{,}5)=P\left(Z\ge\frac{31{,}5-29}{2}\right)=P(Z\ge 1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056$.
Un 10,6 % de les mostres de 36 treballadors donarien una mitjana de 31,5 min o més: no és un resultat estrany. Amb mostres petites les mitjanes varien força, i els dos estudis no són contradictoris.

Errors típics

• Interpretar un interval de confiança com l'interval on hi ha el 95 % dels individus.
• A a), oblidar dividir per $\sqrt{144}=12$ en recuperar σ.
• A d), tipificar amb σ = 12 en lloc de l'error estàndard $12/\sqrt{36}=2$.

Conceptes treballats: interval de confiança per a la mitjana, error màxim, nivell de confiança, distribució de la mitjana mostral, diferència entre variabilitat individual i de la mitjana.

a) La suma supera 1000 kg si $\bar X\gt \dfrac{1000}{12}\approx 83{,}33$ kg.
Per a una persona: $P(X\gt 83{,}33)=P\left(Z\gt\frac{83{,}33-75}{12}\right)=P(Z\gt 0{,}69)=1-0{,}7549=0{,}2451$. Una de cada quatre persones pesa més de 83,33 kg.

b) $\bar X\sim N\left(75;\,\frac{12}{\sqrt{12}}\right)=N(75;\,3{,}46)$:$$P(\bar X\gt 83{,}33)=P\left(Z\gt\frac{83{,}33-75}{3{,}46}\right)=P(Z\gt 2{,}41)=1-0{,}9920=0{,}0080.$$Només un 0,8 % dels grups de 12 persones superarien el límit.

c) Amb 12 persones la probabilitat és 0,0080 ≤ 0,01. Amb 13 persones el límit per al pes mitjà baixa a $1000/13\approx 76{,}92$ kg, molt a prop de la mitjana: $\bar X\sim N(75;\,3{,}33)$ i $P\left(Z\gt\frac{76{,}92-75}{3{,}33}\right)=P(Z\gt 0{,}58)=1-0{,}7190=0{,}2810$.
El salt és enorme (del 0,8 % al 28 %), de manera que el cartell ha de dir 12 persones.

d) La mitjana de 12 persones varia molt menys que el pes d'una persona (desviació 3,46 kg en lloc de 12 kg): els pesos alts i baixos es compensen. Per això és fàcil que una persona passi de 83 kg i molt difícil que la mitjana de 12 ho faci.
El càlcul suposa que les 12 persones són una mostra aleatòria i independent de la població. Un equip de rem no ho és: tots solen ser alts i pesants, la mitjana del grup pot superar de molt 75 kg i la probabilitat de sobrecàrrega seria molt més gran. Per això els fabricants deixen marges de seguretat.

Errors típics

• Fer servir σ = 12 per a la mitjana de 12 persones en lloc de $12/\sqrt{12}$.
• Calcular la probabilitat que cadascuna de les 12 persones pesi més de 83,33 kg (això no és el que provoca la sobrecàrrega).
• Aplicar el resultat a qualsevol grup sense comprovar que la mostra sigui aleatòria.

Conceptes treballats: distribució de la mitjana mostral, error estàndard, suma de variables normals, independència i representativitat, presa de decisions.

a) $\hat p=\dfrac{290}{500}=0{,}58$ i $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}58\cdot 0{,}42}{500}}=0{,}0433$. Interval: $(0{,}5367;\;0{,}6233)$.
Tot l'interval és per sobre de 0,5: amb un 95 % de confiança, la majoria dels residents hi està a favor.

b) Centre: $\hat p=\dfrac{100}{200}=0{,}5$, $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{200}}=0{,}0693$, interval $(0{,}4307;\;0{,}5693)$.
Resta: $\hat p=\dfrac{190}{300}=0{,}6333$, $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}6333\cdot 0{,}3667}{300}}=0{,}0545$, interval $(0{,}5788;\;0{,}6879)$.

c) Les dades hi donen suport: al centre l'interval inclou el 50 % i valors per sobre i per sota (no es pot dir que hi hagi majoria en cap sentit), mentre que a la resta tot l'interval és per sobre del 57 %.
L'interval del centre és més ample per dos motius: la mostra és més petita (200 en lloc de 300; l'error és proporcional a $1/\sqrt n$) i $\hat p=0{,}5$ és el valor que fa màxim $\hat p(1-\hat p)$. En general, les conclusions sobre subgrups són menys precises que les del total.

d) $n\ge\left(\dfrac{1{,}96}{0{,}04}\right)^2\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=600{,}25\Rightarrow n=601$ residents del centre, tres vegades els que s'han enquestat.

Errors típics

• Fer servir n = 500 per calcular l'error dels subgrups.
• Dir que hi ha majoria al centre perquè $\hat p=0{,}5$ «arriba» al 50 %.
• Arrodonir 600,25 a 600.

Conceptes treballats: interval de confiança per a una proporció, error màxim, anàlisi per subgrups, mida de la mostra, interpretació d'intervals.

a) Amb $n=400$ i $p=0{,}9$: $np=360$ i $n(1-p)=40$, tots dos grans, de manera que$$\hat P\sim N\left(0{,}9;\,\sqrt{\frac{0{,}9\cdot 0{,}1}{400}}\right)=N(0{,}9;\,0{,}015).$$

b) $\hat p=344/400=0{,}86$. $P(\hat P\le 0{,}86)=P\left(Z\le\frac{0{,}86-0{,}9}{0{,}015}\right)=P(Z\le -2{,}67)=1-0{,}9962=0{,}0038$.
Si l'anunci fos cert, només 4 de cada 1000 mostres donarien un resultat tan baix.

c) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}86\cdot 0{,}14}{400}}=1{,}96\cdot 0{,}01735=0{,}0340$. Interval: $(0{,}826;\;0{,}894)$.

d) Les dues anàlisis apunten al mateix: el resultat observat és molt improbable si p = 0,9, i l'interval de confiança no conté 0,9 (tot ell és per sota). Amb un 95 % de confiança, l'empresa resol entre el 83 % i el 89 % de les trucades al primer contacte, menys del que anuncia.
L'empresa podria objectar que la mostra no és representativa: per exemple, si totes les trucades són d'una mateixa setmana amb una incidència tècnica, o d'un sol torn. La validesa de la conclusió depèn que la mostra sigui aleatòria i representativa de totes les trucades.

Errors típics

• Fer servir $\hat p=0{,}86$ per calcular la desviació a b): si suposem que l'anunci és cert, la desviació és la de p = 0,9.
• Calcular $P(\hat P=0{,}86)$: en una variable contínua cal calcular la cua.
• Interpretar que «la probabilitat que l'empresa digui la veritat és 0,0038».

Conceptes treballats: distribució de la proporció mostral, interval de confiança per a una proporció, raonament sobre la compatibilitat d'una afirmació, representativitat.

a) Diari: $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}7\cdot 0{,}3}{2000}}=0{,}0201$, interval $(0{,}680;\;0{,}720)$.
Telefònica: $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}52\cdot 0{,}48}{600}}=0{,}0400$, interval $(0{,}480;\;0{,}560)$.

b) L'interval de confiança només té sentit si la mostra és aleatòria. Al web hi vota qui vol (autoselecció): hi participen sobretot els lectors d'aquell diari i els més mobilitzats contra la mesura, de manera que la mostra no representa la població. L'error de la fórmula només mesura l'error aleatori de mostreig, no el biaix.
L'enquesta telefònica, tot i tenir menys persones, és més fiable: la seva estimació (entre el 48 % i el 56 %) és coherent, i l'interval del diari, tot i semblar molt precís, és precís al voltant d'un valor esbiaixat.

c) $n\ge\left(\dfrac{1{,}96}{0{,}02}\right)^2\cdot 0{,}52\cdot 0{,}48=2397{,}2\Rightarrow n=2398$ persones (quatre vegades més, aproximadament, perquè l'error s'ha de reduir a la meitat).

d) Amb 20 000 vots i el mateix 70 %, la fórmula donaria $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}21}{20\,000}}\approx 0{,}0064$, menys d'un punt. Però augmentar n només redueix l'error aleatori; el biaix d'autoselecció es manté igual, i el resultat seria «molt precisament esbiaixat». Una mostra gran no corregeix una mostra mal triada.

Errors típics

• Pensar que una mostra més gran sempre és millor, independentment de com s'ha triat.
• Interpretar l'error màxim com una mesura de tots els errors possibles de l'enquesta.
• A c), arrodonir 2397,2 cap avall.

Conceptes treballats: mostreig aleatori i no probabilístic, biaix d'autoselecció, interval de confiança per a una proporció, mida de la mostra, límits de la inferència.

a) $E=1{,}96\cdot\dfrac{4}{\sqrt{64}}=0{,}98$ ml. Interval: $(147{,}5-0{,}98;\;147{,}5+0{,}98)=(146{,}52;\;148{,}48)$ ml.
El valor nominal de 150 ml queda fora (per sobre) de l'interval: amb un 95 % de confiança la màquina serveix de mitjana menys de 150 ml i cal recalibrar-la.

b) $\bar X\sim N(150;\,0{,}5)$ i $P(\bar X\le 147{,}5)=P\left(Z\le\frac{147{,}5-150}{0{,}5}\right)=P(Z\le -5)\approx 0$ (menys d'una entre un milió).
Si la màquina estigués ben calibrada, seria pràcticament impossible obtenir aquesta mitjana: la desviació no és atzar, és un problema de calibratge.

c) $n\ge\left(\dfrac{2{,}575\cdot 4}{1}\right)^2=106{,}09\Rightarrow n=107$ gots.

d) Amb n = 4: $E=1{,}96\cdot\dfrac{4}{2}=3{,}92$ ml i l'interval és $(143{,}58;\;151{,}42)$, que conté 150. Aquest tècnic no tindria prou evidència per dir que la màquina està mal calibrada.
La mitjana observada és la mateixa, però amb 4 gots l'estimació és molt imprecisa (error 4 vegades més gran, perquè $\sqrt{64}/\sqrt 4=4$). «No trobar evidència» amb una mostra petita no vol dir que la màquina funcioni bé.

Errors típics

• Dividir per 64 en lloc de $\sqrt{64}=8$ en calcular l'error estàndard.
• Fer servir 1,96 a c), on el nivell és del 99 % (cal 2,575).
• Interpretar que si 150 és dins de l'interval de d), «la màquina està ben calibrada».

Conceptes treballats: interval de confiança per a la mitjana, distribució de la mitjana mostral, mida de la mostra, efecte de n sobre la precisió, presa de decisions.

a) $0{,}031=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{n}}\Rightarrow n=\left(\dfrac{1{,}96\cdot 0{,}5}{0{,}031}\right)^2=999{,}4$. La mostra és d'unes 1000 persones (l'error de 3,1 és un valor arrodonit).

b) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}18\cdot 0{,}82}{1000}}=0{,}0238$. Interval: $(0{,}156;\;0{,}204)$, entre el 15,6 % i el 20,4 %.
L'error és de 2,4 punts perquè $0{,}18\cdot 0{,}82=0{,}1476$ és més petit que $0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$. La fitxa tècnica dona el valor més gran possible de l'error, vàlid per a qualsevol percentatge.

c) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}75}{180}}=0{,}0633$. Interval: $(0{,}187;\;0{,}313)$.
El suport real entre els joves podria anar del 19 % al 31 %: «un de cada quatre» és només l'estimació puntual i té un marge de més de 6 punts. Un titular prudent ho hauria d'indicar, i també que l'error de ±3,1 de la fitxa no s'aplica als subgrups, que tenen mostres molt més petites.

d) $0{,}031=z\sqrt{\dfrac{0{,}25}{800}}\Rightarrow z=\dfrac{0{,}031\sqrt{800}}{0{,}5}\approx 1{,}75$. Com que $P(Z\le 1{,}75)=0{,}9599$, el nivell és $2\cdot 0{,}9599-1=0{,}9198$, aproximadament un 92 %. Amb menys mostra, aquesta empresa aconsegueix el mateix error a costa de tenir menys confiança: els dos errors de ±3,1 no són comparables.

Errors típics

• Aplicar l'error general de la fitxa (±3,1) a qualsevol percentatge o a qualsevol subgrup.
• Aïllar n oblidant elevar al quadrat.
• A d), donar com a nivell de confiança $P(Z\le 1{,}75)=0{,}96$ sense considerar les dues cues.

Conceptes treballats: error màxim, mida de la mostra, interval de confiança per a una proporció, cas més desfavorable, nivell de confiança, lectura crítica de fitxes tècniques.

a) $E=1{,}96\cdot\dfrac{14}{\sqrt{49}}=3{,}92$ µg/m³. Interval: $(34{,}08;\;41{,}92)$.
L'interval conté valors superiors a 40, de manera que les dades no permeten afirmar amb un 95 % de confiança que la mitjana d'aquell dia sigui inferior a 40 µg/m³, tot i que la mitjana mostral (38) ho és.

b) Cada interval falla amb probabilitat 0,05, independentment dels altres. El nombre d'intervals que fallen és $F\sim B(40;\,0{,}05)$, amb $E(F)=40\cdot 0{,}05=2$ intervals.

c) $P(F\ge 1)=1-0{,}95^{40}=1-0{,}1285=0{,}8715$.
$P(F\gt 4)=1-P(F\le 4)=1-\sum_{k=0}^{4}\binom{40}{k}0{,}05^k\,0{,}95^{40-k}\approx 1-0{,}9520=0{,}0480$.
És gairebé segur (87 %) que algun dels 40 intervals no conté la mitjana real, i en canvi és poc probable (4,8 %) que en fallin més de 4.

d) Un cop calculat, l'interval $(34{,}08;\;41{,}92)$ és fix i la mitjana real també: o la conté o no la conté; no hi ha cap probabilitat en joc. El 95 % fa referència al mètode: si es repetís el procediment amb moltes mostres, aproximadament el 95 % dels intervals obtinguts contindrien la mitjana real. Això és exactament el que mostren b) i c): de 40 intervals, de mitjana n'hi ha 2 que fallen, però no sabem quins.

Errors típics

• Pensar que si la mitjana mostral és inferior a 40, la mitjana real també ho és amb seguretat.
• Calcular P(F ≥ 1) com 40 · 0,05 = 2 (això és l'esperança, no una probabilitat).
• Interpretar el nivell de confiança com la probabilitat que el paràmetre sigui dins d'un interval concret ja calculat.

Conceptes treballats: interval de confiança per a la mitjana, interpretació freqüentista del nivell de confiança, distribució binomial, probabilitat del complementari, presa de decisions ambientals.