Exercicis de funcions a trossos — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2n Batxillerat

f(0): com que 0 < 3, es fa servir el primer tram: 2·0 + 1 = 1. f(3): el 3 és del segon tram: 10 - 3 = 7. f(5) = 10 - 5 = 5.

Qui hi va 6 vegades és dins del primer tram: paga 30 €. Qui hi va 12 vegades fa 4 sessions a partir de la novena (la 9, la 10, l'11 i la 12): 30 + 4·2,50 = 40 €.

Per l'esquerra: 2 + 4 = 6. Per la dreta: 3·2 = 6. Els límits laterals coincideixen i també f(2) = 6: la funció és contínua a x = 2.

Una funció racional existeix per a tots els valors que no anul·len el denominador.
Resolem $x^{2}$ - 4 = 0: $x^{2}$ = 4, d'on x = 2 o x = -2.
Dom f = R - {-2, 2}.
Error típic: el numerador no afecta el domini; que x = -1 anul·li el numerador només vol dir que f(-1) = 0.

Una arrel quadrada només existeix si el radicand és més gran o igual que zero: 6 - 2x ≥ 0.
Aïllem: -2x ≥ -6 i, en dividir per un nombre negatiu, canviem el sentit de la desigualtat: x ≤ 3.
Dom f = (-∞, 3].
Comprovació: f(3) = $\sqrt{0}$ = 0 existeix, i f(4) = $\sqrt{-2}$ no existeix.

Per a cada valor, primer mirem a quin tram pertany i després apliquem la fórmula d'aquell tram.
f(-3): com que -3 < -1, f(-3) = (-3$)^{2}$ = 9.
f(-1): el punt -1 pertany al segon tram (la desigualtat -1 ≤ x inclou el -1), així que f(-1) = 3.
f(2): el punt 2 pertany al tercer tram (x ≥ 2), f(2) = 2·2 - 1 = 3.
f(4): 4 ≥ 2, f(4) = 2·4 - 1 = 7.
Error típic: als punts frontera cal fixar-se en quin tram té la desigualtat amb «igual».

Créixer un 2 % cada any vol dir multiplicar per 1,02 cada any: és un model exponencial.
P(t) = 5000·1,$02^{t}$.
P(10) = 5000·1,$02^{10}$ = 5000·1,219 = 6095 habitants (arrodonint).
Comprovació: P(1) = 5000·1,02 = 5100, que és 5000 més el 2 % de 5000 (100).
Error típic: escriure 5000 + 100t (model lineal); un percentatge constant aplicat cada any sobre la població d'aquell any és un creixement exponencial, no lineal.

a) Certa. Com que $x^{2}$ ≥ 0 per a tot x, el radicand $x^{2}$ + 1 és sempre més gran o igual que 1, mai negatiu; l'arrel existeix per a qualsevol x real.
b) Falsa. El logaritme només existeix per a arguments estrictament positius: cal $x^{2}$ > 0, que falla només en x = 0. Dom g = R - {0}.
Error típic: pensar que $x^{2}$ és «sempre positiu»; en x = 0 val zero, i ln 0 no existeix.

Un model lineal té la forma V(t) = $V_{0}$ + m·t, on $V_{0}$ = 24000 € és el valor inicial.
El pendent és la pèrdua de valor per any: m = $\tfrac{(4000 - 24000)}{8}$ = -20000/8 = -2500 €/any.
V(t) = 24000 - 2500t, per a 0 ≤ t ≤ 8.
V(5) = 24000 - 2500·5 = 11500 €.
Comprovació: V(8) = 24000 - 20000 = 4000 €, tal com diu l'enunciat.

Igualem a zero cada tram i comprovem que la solució pertanyi al tram corresponent.
Primer tram: $x^{2}$ - 1 = 0 dona x = 1 i x = -1; tots dos compleixen x ≤ 1, així que són vàlids.
Segon tram: 2x - 2 = 0 dona x = 1, però aquest valor no compleix x > 1: es descarta.
La funció s'anul·la només en x = -1 i x = 1.
Error típic: acceptar una solució sense comprovar que està dins del tram on s'ha trobat.

L'argument d'un logaritme ha de ser estrictament positiu, així que cal x - 3 > 0, és a dir x > 3. El domini és l'interval (3, +∞).

És una funció polinòmica de segon grau. B(20) = -200 + 800 - 300 = 300 €. Com que el coeficient de $x^{2}$ és negatiu, la paràbola s'obre cap avall i té un màxim.

El 900 és el cost fix, que es paga encara que no es produeixi res, i el 15 és el cost de cada unitat addicional. C(40) = 600 + 900 = 1500 €.

Per l'esquerra, 5 · 10 = 50; per la dreta, 50. Coincideixen, així que la funció és contínua a x = 10 i no hi ha salt.

Hi ha dues condicions alhora: el radicand ha de ser més gran o igual que zero i el denominador no pot ser zero.
Arrel: x + 2 ≥ 0, és a dir, x ≥ -2.
Denominador: x - 3 ≠ 0, és a dir, x ≠ 3.
Ajuntem les dues condicions: Dom f = [-2, 3) ∪ (3, +∞).
Comprovació: f(-2) = 0/(-5) = 0 existeix (el -2 entra al domini) i f(3) no existeix perquè dividiríem per zero.

L'error és passar de $x^{2}$ ≥ 9 a x ≥ 3 traient l'arrel sense tenir en compte els valors negatius: (-5$)^{2}$ = 25 també és més gran que 9.
Resolem bé la inequació $x^{2}$ - 9 ≥ 0. Les arrels de $x^{2}$ - 9 són x = -3 i x = 3, que divideixen la recta en tres zones.
Provem un valor de cada zona: x = -5 dona 16 ≥ 0 (sí); x = 0 dona -9 (no); x = 5 dona 16 (sí).
Dom f = (-∞, -3] ∪ [3, +∞). Els extrems -3 i 3 s'inclouen perquè el radicand pot valer zero.

Perquè f sigui contínua en x = 2 cal que els dos límits laterals coincideixin amb f(2).
Límit per l'esquerra (x → 2^-): 2² + k = 4 + k.
Límit per la dreta (x → 2⁺): 3·2 - 1 = 5.
Igualem: 4 + k = 5, d'on k = 1.
Comprovació: amb k = 1, f(2) = 4 + 1 = 5, igual que els dos límits laterals; la funció és contínua en x = 2 (i a tot R, perquè cada tram és un polinomi).

Cost: C(x) = 1200 + 8x. Ingressos: I(x) = 14x.
Benefici: B(x) = I(x) - C(x) = 14x - 1200 - 8x = 6x - 1200.
Punt mort: B(x) = 0 → 6x = 1200 → x = 200 tasses. Per sota de 200 hi ha pèrdues; per sobre, guanys.
B(350) = 6·350 - 1200 = 2100 - 1200 = 900 € de benefici.
Comprovació: amb 200 tasses, I = 2800 € i C = 1200 + 1600 = 2800 €: coincideixen.

Un model lineal és P(t) = m·t + n. Coneixem dos punts: t = 2, P = 9 i t = 5, P = 16,5.
Pendent: m = (16,5 - 9)/(5 - 2) = 7,5/3 = 2,5 €/h: és el preu de cada hora addicional.
Ordenada: 9 = 2,5·2 + n → n = 4 €: és la quota fixa que es paga en agafar la bici, independent del temps.
P(t) = 2,5t + 4.
P(8) = 2,5·8 + 4 = 24 €.
Comprovació: P(5) = 12,5 + 4 = 16,5 €, com diu l'enunciat.

Perdre un 12 % cada any és multiplicar per 1 - 0,12 = 0,88 cada any: V(t) = 18000·0,$88^{t}$.
V(4) = 18000·0,$88^{4}$ = 18000·0,5997 = 10794,52 €.
Volem V(t) < 9000: 18000·0,$88^{t}$ < 9000 → 0,$88^{t}$ < 0,5.
Prenem logaritmes: t·ln 0,88 < ln 0,5 → t > ln 0,5 / ln 0,88 = 5,42 (la desigualtat canvia de sentit perquè ln 0,88 és negatiu).
Com que t ha de ser un nombre enter d'anys, el valor baixa de 9000 € al 6è any: V(5) = 9499,17 € i V(6) = 8359,27 €.

Calculem el límit en x = 2. Substituint surt 0/0 (indeterminació), així que factoritzem: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
Per a x ≠ 2 podem simplificar: f(x) = x + 2, i per tant lim (x → 2) f(x) = 2 + 2 = 4.
El límit existeix i és finit (4), però f(2) = 3 ≠ 4: la funció no és contínua en x = 2.
Com que el límit existeix però no coincideix amb el valor de la funció, és una discontinuïtat evitable.
Per evitar-la, redefinim f(2) = 4, que és el valor del límit.

El denominador s'anul·la a x = 0 i, com que x són usuaris, el domini real són els valors estrictament positius. C(300) = (9000 + 6000)/300 = 50 € i C(1500) = (9000 + 30000)/1500 = 26 €. Escrivint C(x) = 9000/x + 20 es veu que, quan els usuaris creixen molt, el primer terme s'acosta a zero i el cost mitjà tendeix a 20 € per usuari sense baixar-ne mai.

El tall vertical és B(0) = -216 €, que són les pèrdues sense vendre res. Resolent -2x² + 48x - 216 = 0, o el que és el mateix $x^{2}$ - 24x + 108 = 0, el discriminant és 576 - 432 = 144 i les arrels són x = $\tfrac{(24 \pm 12)}{2}$, és a dir 6 i 18. El vèrtex és a x = -$\tfrac{48}{(-4)} = 12$, amb B(12) = -288 + 576 - 216 = 72 €. Hi ha guanys venent entre 7 i 17 unitats, i el benefici màxim és de 72 € amb 12 unitats.

Per a la primera: per l'esquerra 0,25 · 200 = 50 € i per la dreta 30 + 20 = 50 €, així que és contínua i no hi ha salt. Per a la segona: per l'esquerra 50 € i per la dreta 20 + 30 = 50 €, també contínua. Totes dues enganxen bé a 200 unitats; la diferència és el pendent posterior, i per tant quina surt més barata per a consums alts, que és la primera.

a) Fins a 10 m³: F(x) = 6 + 1,2x. Per sobre de 10, es paguen els 10 primers (12 €) més l'excés a 2 €: F(x) = 6 + 12 + 2(x - 10) = 2x - 2.
F(x) = 6 + 1,2x si 0 ≤ x ≤ 10; F(x) = 2x - 2 si x > 10.
b) F(8) = 6 + 1,2·8 = 15,60 €; F(15) = 2·15 - 2 = 28 €.
c) Límit per l'esquerra: 6 + 1,2·10 = 18; límit per la dreta: 2·10 - 2 = 18; F(10) = 18. Coincideixen: F és contínua en 10. Vol dir que no hi ha cap salt de preu en passar dels 10 m³: només canvia el preu del consum extra, no el de tot el consum.
d) Com que F(10) = 18 < 40, cal mirar el segon tram: 2x - 2 > 40 → x > 21. La factura supera els 40 € a partir de 21 m³ de consum.
Error típic: escriure el segon tram com 6 + 2x, cobrant tot el consum a 2 €; només l'excés es paga al preu alt.

Cada tram és un polinomi, continu en el seu interval; només cal imposar la continuïtat als punts de canvi, x = 1 i x = 3.
En x = 3: límit per l'esquerra 3² + b = 9 + b; límit per la dreta 2·3 + 1 = 7. Igualant, 9 + b = 7 → b = -2.
En x = 1: límit per l'esquerra a·1 + 2 = a + 2; límit per la dreta (i valor f(1)) 1² + b = 1 - 2 = -1. Igualant, a + 2 = -1 → a = -3.
f(x) = -3x + 2 si x < 1; x² - 2 si 1 ≤ x ≤ 3; 2x + 1 si x > 3.
Comprovació: en x = 1 els dos trams valen -1; en x = 3 els dos trams valen 7.
Consell: comença pel punt on només hi ha una incògnita (x = 3) i després fes servir el valor trobat a l'altre punt.

a) I(p) = p·(400 - 8p) = 400p - 8p². Té sentit per a p ≥ 0 i mentre la demanda no sigui negativa: 400 - 8p ≥ 0 → p ≤ 50. Domini: [0, 50].
b) I(p) és una paràbola amb el coeficient de $p^{2}$ negatiu (-8), així que té un màxim al vèrtex: p = -400/(2·(-8)) = 25 €.
I(25) = 400·25 - 8·$25^{2}$ = 10000 - 5000 = 5000 € diaris (amb una demanda de 200 unitats).
c) 400p - 8p² > 4200 → 8p² - 400p + 4200 < 0 → $p^{2}$ - 50p + 525 < 0.
Arrels: p = $\tfrac{(50 \pm \sqrt{2500 - 2100})}{2}$ = $\tfrac{(50 \pm 20)}{2}$, és a dir, p = 15 i p = 35. Com que la paràbola $p^{2}$ - 50p + 525 és negativa entre les arrels, els ingressos superen 4200 € per a preus entre 15 € i 35 € (sense incloure'ls).
Comprovació: I(15) = 6000 - 1800 = 4200 € i I(20) = 8000 - 3200 = 4800 € > 4200 €.

a) S_A(t) = 24000 + 500t és un model lineal (creixement constant de 500 €/any). S_B(t) = 24000·1,02^t és un model exponencial (es multiplica per 1,02 cada any).
b) S_A(5) = 24000 + 2500 = 26500 €; S_B(5) = 24000·1,02⁵ = 24000·1,1041 = 26497,94 €.
S_A(15) = 24000 + 7500 = 31500 €; S_B(15) = 24000·1,02¹⁵ = 24000·1,3459 = 32300,84 €.
c) El primer any A puja 500 € i B només 480 € (el 2 % de 24000), de manera que A és millor a curt termini; al cap de 5 anys gairebé empaten i a partir del 6è any (S_A(6) = 27000 €, S_B(6) = 27027,90 €) B ja guanya i la diferència creix cada any.
El motiu és que l'augment de B és un percentatge d'un sou cada cop més alt, mentre que A sempre suma la mateixa quantitat: a la llarga, un creixement exponencial acaba superant sempre un creixement lineal.

a) Pel primer tram, B(4) = 16 - 16 = 0; pel segon, 2·4 - 8 = 0. Els dos trams coincideixen en t = 4: B és contínua.
b) Pèrdues vol dir B(t) < 0. Al primer tram, $t^{2}$ - 4t = t(t - 4) < 0 per a 0 < t < 4. Al segon tram, 2t - 8 > 0 per a tot t > 4. Hi ha pèrdues durant els 4 primers anys (entre t = 0 i t = 4).
c) Al primer tram la paràbola $t^{2}$ - 4t s'obre cap amunt, té el mínim al vèrtex t = 2 (B(2) = -4) i val 0 als extrems t = 0 i t = 4: no hi ha cap benefici positiu. Al segon tram la recta és creixent, així que el màxim és al final: B(10) = 20 - 8 = 12, és a dir, 12000 € el desè any.
d) B(t) = 8 (milers). Segon tram: 2t - 8 = 8 → t = 8, que compleix 4 < t ≤ 10: vàlid. Primer tram: $t^{2}$ - 4t - 8 = 0 dona t = 2 ± $\sqrt{12}$, és a dir, t ≈ -1,46 i t ≈ 5,46, cap dels dos dins de [0, 4].
El benefici és de 8000 € només al cap de 8 anys.

a) C(x) = 20x si 0 < x ≤ 100; C(x) = 16x si x > 100.
b) Límit per l'esquerra en 100: 20·100 = 2000; límit per la dreta: 16·100 = 1600. Els límits laterals són finits però diferents: discontinuïtat de salt (el salt val 400 €).
c) C(100) = 2000 € i C(101) = 16·101 = 1616 €. Comprar una unitat més surt 384 € més barat: amb aquesta tarifa, a ningú li convé demanar entre 81 i 100 unitats, perquè una comanda de 101 és més barata.
d) Cal 16x > 2000 → x > 125. A partir de 126 unitats la comanda costa més que les 100 unitats a 20 €.
Comprovació: C(125) = 2000 € (empata) i C(126) = 2016 € > 2000 €.

a) Pel segon tram complet (de 12 a 30, és a dir, 18 milers) es paguen $0{,}2\cdot 18=3{,}6$ milers. Per tant:

A $x=12$: $\lim_{x\to 12^-}Q(x)=0$, $\lim_{x\to 12^+}Q(x)=0{,}2\cdot 0=0$ i $Q(12)=0$. A $x=30$: per l'esquerra $0{,}2\cdot 18=3{,}6$, per la dreta $3{,}6+0=3{,}6$, i $Q(30)=3{,}6$. És contínua als dos punts: és precisament el que garanteix un impost «per trams», en què cada tipus només afecta la part que supera el llindar.

b) $T(20)=\dfrac{0{,}2\cdot 8}{20}=\dfrac{1{,}6}{20}=0{,}08$ (8 %); $T(40)=\dfrac{3{,}6+0{,}35\cdot 10}{40}=\dfrac{7{,}1}{40}=0{,}1775$ (17,75 %); $T(60)=\dfrac{3{,}6+10{,}5}{60}=\dfrac{14{,}1}{60}=0{,}235$ (23,5 %).
Per a $x\gt 30$, $Q(x)=3{,}6+0{,}35x-10{,}5=0{,}35x-6{,}9$, de manera que $T(x)=0{,}35-\dfrac{6{,}9}{x}\lt 0{,}35$: els primers 30 000 € tributen a tipus més baixos (0 % i 20 %) i aquest «estalvi» de 6 900 € sempre es manté. El tipus efectiu s'acosta al 35 % quan la renda és molt gran, però no hi arriba mai.

c) Renda neta per trams: al segon, $N(x)=x-0{,}2(x-12)=0{,}8x+2{,}4$; al tercer, $N(x)=x-(0{,}35x-6{,}9)=0{,}65x+6{,}9$.
$N(29)=0{,}8\cdot 29+2{,}4=25{,}6$ i $N(31)=0{,}65\cdot 31+6{,}9=27{,}05$: amb l'augment, la renda neta passa de 25 600 € a 27 050 €, és a dir, 1 450 € més. No té raó: $N$ és contínua (perquè ho és $Q$) i tots els seus trams tenen pendent positiu (1; 0,8; 0,65), així que és creixent. El 35 % només s'aplica als 1 000 € que passen dels 30 000 €.

d) Al segon tram, $T(x)=\dfrac{0{,}2(x-12)}{x}\lt 0{,}2$ sempre, així que cal buscar-ho al tercer: $0{,}35x-6{,}9=0{,}2x\Rightarrow 0{,}15x=6{,}9\Rightarrow x=46$. Una renda de 46 000 € té un tipus efectiu del 20 %.
Comprovació: $Q(46)=0{,}35\cdot 46-6{,}9=9{,}2$ i $9{,}2/46=0{,}2$.

Errors típics

• Aplicar el 35 % a tota la renda quan se supera el llindar dels 30 000 €; això faria que $Q$ tingués un salt, cosa que un impost per trams evita.
• Confondre el tipus marginal (el del tram, 35 %) amb el tipus efectiu (impost total dividit per la renda).
• Buscar la solució de d) al segon tram sense comprovar que allà el tipus efectiu sempre és inferior al 20 %.

Conceptes treballats: funcions a trossos, continuïtat en els punts de canvi de tram, funcions lineals, tipus marginal i tipus efectiu, interpretació econòmica.

a) El màxim s'assoleix quan $0{,}04(t-30)=14\Rightarrow t-30=350\Rightarrow t=380$ minuts (6 h 20 min).

$A$ és contínua: als dos punts de canvi els límits laterals coincideixen (0 a $t=30$ i 14 a $t=380$).

b) 5 hores són 300 minuts: $A(300)=0{,}04\cdot 270=10{,}80$ € i $B(300)=2+0{,}025\cdot 300=9{,}50$ €. Per a 5 hores és més barat B.

c) Tram a tram:
• $0\le t\le 30$: $A=0\lt B$. A és més barat.
• $30\lt t\le 380$: $0{,}04t-1{,}2\lt 2+0{,}025t\iff 0{,}015t\lt 3{,}2\iff t\lt 213{,}3$ min.
• $380\lt t\le 1440$: $14\lt 2+0{,}025t\iff t\gt 480$ min.
Per tant, A surt més a compte per a estades de menys de 213,3 minuts (unes 3 h 33 min) i per a estades de més de 480 minuts (8 h). Entre aquests dos valors és més barat B; als dos extrems costen el mateix.

d) Al principi A és més barat perquè no cobra res (B ja cobra 2 € d'entrada), però com que el preu per minut d'A (0,04 €) és més alt que el de B (0,025 €), B l'acaba atrapant. Quan A arriba al màxim deixa de créixer mentre B continua creixent, i a partir de les 8 hores B torna a ser més car (un dia sencer a B costa 38 €). El màxim fa que la diferència $A-B$ canviï de signe dues vegades, i per això la solució és la unió de dos intervals.

Errors típics

• Escriure $0{,}04\,t$ en lloc de $0{,}04\,(t-30)$: els 30 minuts gratuïts no es cobren després.
• Resoldre la desigualtat amb una sola expressió d'$A$ i oblidar que el màxim de 14 € canvia la funció a partir de 380 minuts.
• Convertir malament els minuts: 213,3 min són 3 h 33 min, no 2 h 13 min.

Conceptes treballats: funcions a trossos, funcions lineals, inequacions, comparació de models, interpretació d'un preu màxim.

a) $S_1(t)=20\,000\cdot 1{,}08^t$ i $S_2(t)=32\,000\cdot 1{,}03^t$. Igualem:

Comprovació: al mes 9, $S_1\approx 39\,980$ i $S_2\approx 41\,753$ (encara guanya la segona); al mes 10, $S_1\approx 43\,178$ i $S_2\approx 43\,005$. La primera passa davant durant el desè mes.

b) $20\,000\cdot 1{,}08^t=40\,000\iff 1{,}08^t=2\iff t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}08}\approx 9{,}01$ mesos. El valor inicial es simplifica a l'equació ($C_0\cdot 1{,}08^t=2C_0$): en un creixement exponencial, el temps de duplicació només depèn del percentatge de creixement.

c) En un any el factor és $1{,}08^{12}\approx 2{,}5182$, és a dir, un creixement del 151,8 %. No és $12\cdot 8\%=96\%$ perquè cada mes l'augment del 8 % es calcula sobre una quantitat que ja ha crescut (creixement compost, no additiu).

d) $20\,000\cdot 1{,}08^t=8\,000\,000\iff 1{,}08^t=400\iff t=\dfrac{\ln 400}{\ln 1{,}08}\approx 77{,}9$ mesos, uns 6 anys i mig. És absurd que tota la població se subscrigui: el model exponencial descriu bé el creixement inicial, però a la llarga el mercat se satura (cada cop queden menys persones per captar). Per a previsions a llarg termini caldria un model amb un límit, com el logístic.

Errors típics

• Restar els percentatges (8 % − 3 % = 5 %) i plantejar $1{,}05^t$: el quocient correcte és $1{,}08/1{,}03$, no la diferència.
• Calcular el creixement anual com $12\cdot 8\,\%$, oblidant que el creixement és compost.
• Aplicar logaritmes a una suma ($\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$) en lloc d'aïllar primer la potència.

Conceptes treballats: funcions exponencials, equacions exponencials i logaritmes, temps de duplicació, creixement compost, límits de validesa d'un model.

a) Continuïtat a $x=50$: $C(50)=4\cdot 50+60=260$, de manera que $50a+b=260$. Cost de 200 samarretes: $200a+b=620$. Restant: $150a=360\Rightarrow a=2{,}4$, i $b=260-120=140$.
Continuïtat a $x=300$: $2{,}4\cdot 300+140=860=2{,}2\cdot 300+k\Rightarrow k=200$.

b) $M(50)=\dfrac{260}{50}=5{,}20$ €, $M(200)=\dfrac{620}{200}=3{,}10$ €, $M(500)=\dfrac{2{,}2\cdot 500+200}{500}=\dfrac{1300}{500}=2{,}60$ €.

c) Als tres trams, $M(x)=4+\dfrac{60}{x}$, $M(x)=2{,}4+\dfrac{140}{x}$ i $M(x)=2{,}2+\dfrac{200}{x}$. Cadascuna és decreixent, perquè en augmentar $x$ la fracció (amb numerador positiu) es fa més petita. A més, $M$ és contínua als punts de canvi (perquè ho és $C$), de manera que no hi ha cap salt cap amunt: el cost mitjà disminueix sempre. Econòmicament, el cost fix es reparteix entre més unitats i, a més, el cost de cada samarreta addicional baixa per trams.

d) $C(300)=860\lt 1000$, així que la comanda és del tercer tram: $2{,}2x+200\le 1000\Rightarrow x\le 363{,}6$. Com que el nombre de samarretes és enter, el màxim és 363 samarretes: $C(363)=998{,}60$ €, mentre que $C(364)=1000{,}80$ € ja passa del pressupost.

Errors típics

• Imposar la continuïtat amb $x=51$ en lloc d'igualar els valors (o els límits laterals) a $x=50$.
• Arrodonir 363,6 a 364: amb un pressupost màxim, s'ha d'arrodonir per sota.
• Fer servir l'expressió del segon tram a d) sense comprovar a quin tram correspon un cost de 1 000 €.

Conceptes treballats: funcions a trossos amb paràmetres, continuïtat, sistemes d'equacions lineals, cost total i cost mitjà, monotonia.

a) $V(0)=50+8\ln 1=50$: 50 000 unitats sense publicitat. $V(20)=50+8\ln 21\approx 74{,}36$: unes 74 360 unitats.

b) $50+8\ln(1+x)=80\iff\ln(1+x)=3{,}75\iff x=e^{3{,}75}-1\approx 41{,}52$. Caldria invertir uns 41 520 €.

c) $V(10)-V(0)=8\ln 11\approx 19{,}18$ milers d'unitats, mentre que $V(20)-V(10)=8\ln\frac{21}{11}\approx 5{,}17$ milers. Els segons 10 000 € aporten menys d'una tercera part del que aportaven els primers: la publicitat té rendiments decreixents, cosa típica dels models logarítmics, que creixen sempre però cada cop més a poc a poc.

d) $B(20)=2\cdot 74{,}36-20\approx 128{,}71$ milers d'euros. $V(40)=50+8\ln 41\approx 79{,}71$, de manera que $B(40)\approx 159{,}42-40=119{,}42$ milers.
Doblar la inversió fa vendre més (el marge augmenta $2\cdot 8\ln\frac{41}{21}\approx 10{,}70$ milers d'euros), però la publicitat addicional costa 20 milers: el benefici baixa uns 9 300 €. No convé. Vendre més no vol dir guanyar més quan el cost de vendre més creix més de pressa que el marge que genera.

Errors típics

• Aplicar malament les propietats dels logaritmes, per exemple $\ln(1+x)=\ln 1+\ln x$.
• Barrejar unitats: posar $x=20\,000$ en lloc de $x=20$, o donar les vendes en unitats sense multiplicar per 1 000.
• Decidir només amb les vendes (que sempre augmenten) en lloc de mirar el benefici.

Conceptes treballats: funció logarítmica, equacions logarítmiques i exponencials, rendiments decreixents, benefici, interpretació d'un model.

a) $C_A(t)=10\,000\cdot 1{,}03^t$ (exponencial) i $C_B(t)=10\,000\,(1+0{,}036t)=10\,000+360t$ (lineal). Al cap d'un any, $C_A(1)=10\,300$ € i $C_B(1)=10\,360$ €: a curt termini és millor B, perquè el seu tipus és més alt i l'efecte d'acumular interessos sobre interessos encara és petit.

b) Cal comparar $1{,}03^t$ amb $1+0{,}036t$:
• $t=12$: $1{,}03^{12}\approx 1{,}4258\lt 1{,}432$. Encara guanya B.
• $t=13$: $1{,}03^{13}\approx 1{,}4685\gt 1{,}468$. Ja guanya A.
A partir del tretzè any, A dona més capital (14 685,34 € davant de 14 680 €). És el que passa sempre: una funció exponencial creixent acaba superant qualsevol funció lineal.

c) $10\,000\cdot 1{,}03^t=15\,000\iff 1{,}03^t=1{,}5\iff t=\dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}03}\approx 13{,}72$ anys. Però al final de l'any 13 el capital és de 14 685,34 €, i no augmenta fins al final de l'any 14, quan passa a ser $10\,000\cdot 1{,}03^{14}\approx 15\,125{,}90$ €. Per tant, es disposa dels 15 000 € al cap de 14 anys, amb 15 125,90 €.

d) Durant cada any el capital no canvia i, al final de l'any, fa un salt. És una funció a trossos esglaonada:

No és contínua: als valors enters de $t$ té discontinuïtats de salt. La funció $10\,000\cdot 1{,}03^t$ per a $t$ real només coincideix amb el capital real als anys complets; per això a c) el resultat 13,72 s'ha d'interpretar.

Errors típics

• Donar 13 anys com a resposta de c) arrodonint 13,72 a l'enter més proper: el capital de l'any 13 encara no arriba als 15 000 €.
• Aplicar el 3,6 % al model compost o el 3 % al simple: cada producte té el seu tipus.
• Intentar resoldre $1{,}03^t=1+0{,}036t$ aplicant logaritmes als dos costats com si fos una equació exponencial pura.

Conceptes treballats: funció exponencial i funció lineal, equacions exponencials, interès simple i compost, funcions a trossos (esglaonades), continuïtat.

a) $p$ és un percentatge, de manera que $0\le p\le 100$; però per a $p=100$ el denominador s'anul·la. El domini és $[0,100)$. Quan $p$ s'acosta a 100, el denominador tendeix a 0 i el cost creix sense límit: eliminar el 100 % dels contaminants és econòmicament impossible.

b) $C(50)=\dfrac{30\,000}{50}=600$ (600 000 €); $C(90)=\dfrac{54\,000}{10}=5400$ (5,4 milions); $C(95)=\dfrac{57\,000}{5}=11\,400$ (11,4 milions).
Passar del 90 % al 95 % costa $11\,400-5400=6000$ milers, és a dir, 6 milions: deu vegades el que costa eliminar el primer 50 %. Com més net està l'embassament, més car és cada punt addicional.

c) $\dfrac{600p}{100-p}=2400\iff 600p=240\,000-2400p\iff 3000p=240\,000\iff p=80$. Es pot eliminar el 80 %.

d) $C(100-p)=600p\iff 100C=p\,(C+600)\iff p(C)=\dfrac{100C}{C+600}$, amb $C\ge 0$.
Com que $C\lt C+600$, sempre és $p(C)\lt 100$: per molt gran que sigui el pressupost, no s'arriba mai al 100 %. Per exemple, amb 6 milions ($C=6000$) s'elimina $p=\frac{600\,000}{6600}\approx 90{,}9$ %. Comprovació amb c): $p(2400)=\frac{240\,000}{3000}=80$.

Errors típics

• Donar com a domini $[0,100]$ sense excloure el valor que anul·la el denominador.
• Equivocar-se en el signe en multiplicar en creu: $2400(100-p)=240\,000-2400p$.
• Interpretar la inversa com $1/C(p)$ en lloc d'aïllar $p$ en funció de $C$.

Conceptes treballats: funcions racionals, domini en context, equacions racionals, funció inversa, interpretació del creixement il·limitat.

a) La demanda supera o iguala l'aforament quan $3000-100p\ge 2000\iff p\le 10$.

b) Al primer tram, $I$ és lineal i creixent: el màxim és a $p=10$, amb $I(10)=20\,000$ €. Al segon tram, $I$ és una paràbola cap avall amb vèrtex a $p=\frac{3000}{200}=15$, que sí que és dins de $(10,30]$: $I(15)=45\,000-22\,500=22\,500$ €.
El preu òptim és 15 €: hi aniran $3000-1500=1500$ persones i quedaran 500 places buides, amb uns ingressos de 22 500 €.

c) A 10 € s'omple el pavelló, però s'ingressen 20 000 €. Si s'apuja el preu fins a 15 €, es perden 500 assistents, però els 1 500 que queden paguen 5 € més cadascun i els ingressos augmenten 2 500 €. Omplir no és el mateix que maximitzar els ingressos.

d) Amb 1 000 places, la demanda supera l'aforament si $3000-100p\ge 1000\iff p\le 20$. Ara $I(p)=1000p$ per a $0\le p\le 20$ (màxim 20 000 € a $p=20$) i $I(p)=3000p-100p^2$ per a $20\lt p\le 30$. El vèrtex ($p=15$) ja no és dins d'aquest tram i la paràbola hi és decreixent, de manera que el màxim és a $p=20$: 20 € l'entrada, sala plena amb 1 000 persones i 20 000 €. Quan l'aforament és petit, la restricció de capacitat «talla» la paràbola abans del vèrtex.

Errors típics

• Maximitzar $3000p-100p^2$ a tot $[0,30]$ sense tenir en compte l'aforament.
• Acceptar el vèrtex d'una paràbola com a òptim sense comprovar que pertany al tram on és vàlida l'expressió.
• Pensar que el màxim d'ingressos és quan hi ha més assistents.

Conceptes treballats: funcions a trossos, funcions quadràtiques i vèrtex, màxims en un interval, ingressos, interpretació d'una restricció.

a) Lineal: pendent $\frac{15\,000-12\,000}{5}=600$ visitants/any, $L(t)=12\,000+600t$. Exponencial: en 5 anys el factor és 1,25, de manera que $E(t)=12\,000\cdot 1{,}25^{t/5}$.

b) $L(10)=18\,000$: error relatiu $\frac{19\,500-18\,000}{19\,500}\approx 7{,}7$ %. $E(10)=12\,000\cdot 1{,}25^2=18\,750$: error relatiu $\frac{750}{19\,500}\approx 3{,}8$ %. S'hi ajusta millor l'exponencial (encara que també es queda curt): els visitants creixen en proporció als que ja hi ha, no en quantitat fixa.

c) Factor anual: $1{,}25^{1/5}\approx 1{,}0456$, un creixement del 4,56 % anual.
$12\,000\cdot 1{,}25^{t/5}\gt 30\,000\iff 1{,}25^{t/5}\gt 2{,}5\iff t\gt \dfrac{5\ln 2{,}5}{\ln 1{,}25}\approx 20{,}5$. L'any 2035 ($t=20$) el model dona $12\,000\cdot 1{,}25^4\approx 29\,297$ visitants; per tant, els 30 000 se superen per primera vegada el 2036.

d) Amb 2015 i 2025: factor en 10 anys $\frac{19\,500}{12\,000}=1{,}625$, i factor anual $1{,}625^{1/10}\approx 1{,}0497$ (4,97 %).
Previsió per al 2045 ($t=30$): primer model $12\,000\cdot 1{,}25^6\approx 45\,776$; segon model $12\,000\cdot 1{,}625^3\approx 51\,492$. Una diferència de només 0,4 punts en el creixement anual es tradueix, al cap de 30 anys, en més de 5 700 visitants de diferència (un 12 %). En un model exponencial, petites diferències en el factor es multipliquen any rere any, i per això les previsions a llarg termini són molt incertes i cal revisar-les amb dades noves.

Errors típics

• Escriure el model exponencial com $12\,000\cdot 1{,}25^{t}$, com si el 25 % fos anual i no quinquennal.
• Dividir el 25 % entre 5 (5 % anual): el creixement és compost i el factor anual és $1{,}25^{1/5}$.
• Respondre «2035» a c) arrodonint 20,5 per sota, quan aquell any encara no s'arriba als 30 000.

Conceptes treballats: model lineal i model exponencial, ajust de models a dades, error relatiu, equacions exponencials, sensibilitat de les previsions.

a) Continuïtat a $x=20$: $a-20b=3000$. Continuïtat a $x=35$: $a-35b=0$. Restant, $15b=3000\Rightarrow b=200$ i $a=7000$. Per tant, $A(x)=7000-200x$ al tram central.
$b=200$ vol dir que, per cada 1 000 € més de renda, l'ajut es redueix 200 €: és com si la renda extra «tributés» un 20 % dins d'aquest tram.

b)

$N(20)=23\,000$ per tots dos costats i $N(35)=35\,000$ per tots dos costats: és contínua. Els tres trams tenen pendent positiu (1000, 800 i 1000), de manera que $N$ és creixent: guanyar més sempre vol dir disposar de més diners. Cap família no surt perjudicada.

c) Model antic: $N_0(x)=1000x+3000$ si $x\le 25$ i $N_0(x)=1000x$ si $x\gt 25$. A $x=25$: $\lim_{x\to 25^-}N_0(x)=28\,000$ i $\lim_{x\to 25^+}N_0(x)=25\,000$. Hi ha una discontinuïtat de salt de 3 000 € cap avall.
Una família amb renda $x\gt 25$ té menys renda disponible que la de 25 000 € si $1000x\lt 28\,000\iff x\lt 28$. Les famílies amb rendes entre 25 000 € i 28 000 € (sense incloure els extrems) sortien perjudicades: per exemple, amb 25 500 € disposaven de 25 500 €, 2 500 € menys que guanyant 25 000 €. Això desincentiva guanyar més; la retirada gradual (contínua) del model nou ho evita.

d) Com que $N(20)=23\,000$ i $N(35)=35\,000$, la renda buscada és al tram central: $800x+7000=30\,000\iff x=28{,}75$. Cal una renda de 28 750 €.
Comprovació: l'ajut és $7000-200\cdot 28{,}75=1250$ € i $28\,750+1250=30\,000$ €.

Errors típics

• Barrejar unitats: sumar $x$ (en milers) amb $A(x)$ (en euros) sense multiplicar per 1 000.
• Imposar la continuïtat només en un dels dos punts i quedar-se amb una equació per a dues incògnites.
• Incloure $x=28$ a l'interval de c): amb 28 000 € la renda disponible és igual, no més petita.

Conceptes treballats: funcions a trossos amb paràmetres, continuïtat i discontinuïtat de salt, límits laterals, monotonia, interpretació social d'un model.