Exercicis de pensament computacional: algorismes i programació per blocs — Matemàtiques 1r ESO

a) Comença a (0, 0) mirant al nord. Avança 3 caselles cap amunt i arriba a (0, 3). Gira 90° a la dreta i passa a mirar cap a l'est. Avança 2 caselles cap a la dreta i arriba a (2, 3). Acaba a la casella (2, 3) mirant a l'est.
b) Ha recorregut 3 + 2 = 5 caselles. Els girs no compten com a caselles recorregudes.

a) Avança 3 passos, gira 90° i ho fa quatre vegades: torna al punt de sortida. Dibuixa un quadrat de 3 cm de costat.
b) Perímetre: 4 · 3 = 12 cm. També és el nombre total de passos que fa el personatge.
c) Àrea: 3 · 3 = 9 cm².
d) No. Amb 3 repeticions dibuixa només tres costats i s'acaba en un vèrtex diferent del de sortida: la figura queda oberta, en forma de «U».

Després de «x ← 4»: x = 4.
Després de «x ← x + 3»: x = 4 + 3 = 7.
Després de «x ← x · 2»: x = 7 · 2 = 14.
El programa mostra 14. Observa que «x ← x + 3» no és una equació: vol dir «agafa el valor de x, suma-hi 3 i torna a guardar el resultat a x».

a) n = 6; r = 6 · 2 = 12; r = 12 + 5 = 17. Mostra 17.
b) n = 0; r = 0; r = 0 + 5 = 5. Mostra 5.
c) Cal que n · 2 + 5 = 25. Restant 5: n · 2 = 20, i dividint entre 2: n = 10. Comprovació: 10 · 2 = 20 i 20 + 5 = 25.

Per a 4,9: la condició 4,9 ≥ 5 és falsa, per tant s'executa el «si no» i diu «suspès».
Per a 5: la condició 5 ≥ 5 és certa (el símbol ≥ inclou la igualtat) i diu «aprovat».
Per a 7,5: 7,5 ≥ 5 és certa i diu «aprovat».
Només s'executa una de les dues branques cada vegada.

Comença amb s = 0.
i = 1: s = 0 + 1 = 1.
i = 2: s = 1 + 2 = 3.
i = 3: s = 3 + 3 = 6.
i = 4: s = 6 + 4 = 10.
i = 5: s = 10 + 5 = 15.
i = 6: s = 15 + 6 = 21.
Mostra 21, que és la suma dels nombres de l'1 al 6. Comprovació sense bucle: 1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7 i 3 + 4 = 7, és a dir, 3 parelles de 7: 3 · 7 = 21.

a) Diu els nombres de l'1 al 20 que són múltiples de 3: 3, 6, 9, 12, 15 i 18.
b) En diu 6. (També es pot calcular: 20 : 3 = 6 amb residu 2, així que hi ha 6 múltiples de 3 fins al 20.)
c) Només cal canviar la condició per «si i és múltiple de 5». Llavors diria 5, 10, 15 i 20.

Per a c = 7,5: p = 4 · 7,5 = 30 i a = 7,5 · 7,5 = 56,25.
El programa diu primer 30 i després 56,25.
El perímetre p és una longitud: 30 cm. L'àrea a és una superfície: 56,25 cm².

a) L'ordre de les operacions fa primer la divisió: b / 2 = 10 / 2 = 5, i després la suma: 6 + 5 = 11. Mostra 11.
b) La mitjana de 6 i 10 és 8, no 11. La divisió només afecta b perquè no hi ha parèntesis.
c) m ← (a + b) / 2. Ara: (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8.

Mentre q sigui menor que 100, es duplica.
q = 5 (5 < 100, entra): q = 10.
10 < 100: q = 20.
20 < 100: q = 40.
40 < 100: q = 80.
80 < 100: q = 160.
160 < 100 és fals i el bucle s'acaba.
Ha fet 5 voltes i mostra 160. Fixa't que el valor final supera 100: la condició es comprova abans de cada volta, no durant.

a) El bucle de fora fa 3 voltes i a cada una el de dins en fa 4. Total: 3 · 4 = 12 vegades.
b) A cada execució compta augmenta 1, i comença a 0: mostra 12.
c) 7 · 10 = 70. Quan hi ha un bucle dins d'un altre, el nombre de repeticions és el producte de les voltes de cadascun.

a) Volta 1: c = 0 + 1 = 1; a = 1; b = 1; diu 1.
Volta 2: c = 1 + 1 = 2; a = 1; b = 2; diu 2.
Volta 3: c = 1 + 2 = 3; a = 2; b = 3; diu 3.
Volta 4: c = 2 + 3 = 5; diu 5.
Volta 5: c = 3 + 5 = 8; diu 8.
Volta 6: c = 5 + 8 = 13; diu 13.
Volta 7: c = 8 + 13 = 21; diu 21.
Diu 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.
b) Cada nombre és la suma dels dos anteriors. És la successió de Fibonacci.
c) 13 + 21 = 34.

k = 4: 4 ≤ 10 és cert; cost = 3 + 1,5 · 4 = 3 + 6 = 9 €.
k = 10: 10 ≤ 10 és cert; cost = 3 + 1,5 · 10 = 3 + 15 = 18 €.
k = 15: 15 ≤ 10 és fals; cost = 3 + 15 + 2 · (15 − 10) = 18 + 10 = 28 €.
Fixa't que a k = 10 les dues fórmules donen el mateix resultat (18 €): el cost no fa cap salt quan es canvia de tram.

n = 789 (és més gran que 9, entra al bucle): suma de xifres 7 + 8 + 9 = 24, i ara n = 24.
24 > 9: 2 + 4 = 6, i ara n = 6.
6 > 9 és fals: el bucle s'acaba i mostra 6.
Per a n = 99: 9 + 9 = 18; 1 + 8 = 9; mostra 9.
El programa repeteix la suma de xifres fins que només queda una xifra. El resultat coincideix amb el residu de dividir el nombre entre 9 (si el residu és 0, el programa dona 9). Comprovació: 789 : 9 = 87 amb residu 6.

1900: no és múltiple de 400 (1900 : 400 = 4,75); sí és múltiple de 100 (19 · 100). Diu «no traspàs».
2000: és múltiple de 400 (5 · 400). Diu «traspàs».
2024: no és múltiple de 400 ni de 100; però 2024 : 4 = 506 exacte. Diu «traspàs».
2026: no és múltiple de 400, ni de 100, ni de 4 (2026 : 4 = 506 amb residu 2). Diu «no traspàs».
L'ordre de les preguntes és important: si preguntéssim primer pels múltiples de 4, el 1900 sortiria malament.

a) Els divisors de 36 són 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36. Són 9 divisors: mostra 9.
b) 29 només és múltiple d'1 i de 29 (no és divisible per cap nombre de 2 a 28): mostra 2. 21 és múltiple d'1, 3, 7 i 21: mostra 4.
c) Només 29 té exactament 2 divisors, per tant és l'únic primer dels tres. 36 i 21 són compostos.

a) resta = 87. Moneda de 50: 87 ≥ 50, entrega-la i resta = 37; 37 ≥ 50 és fals.
Moneda de 20: 37 ≥ 20, entrega-la i resta = 17.
Moneda de 10: 17 ≥ 10, entrega-la i resta = 7.
Moneda de 5: 7 ≥ 5, entrega-la i resta = 2.
Moneda de 2: 2 ≥ 2, entrega-la i resta = 0.
Moneda d'1: no cal.
Entrega: 50, 20, 10, 5 i 2 cèntims.
b) 5 monedes. Comprovació: 50 + 20 + 10 + 5 + 2 = 87.
c) No. Si es proven totes les combinacions possibles de 4 monedes d'aquest sistema, cap suma 87; per tant 5 és el mínim i, en aquest cas, l'algorisme dona la millor solució.

a) Primera repetició: avança 2 al nord i arriba a (0, 2); gira a l'esquerra i mira a l'oest; avança 2 i arriba a (−2, 2); gira a la dreta i torna a mirar al nord.
b) Cada repetició el desplaça 2 cap a l'oest i 2 cap al nord, i el deixa mirant al nord. Després de 4 repeticions: (−8, 8), mirant al nord.
c) Cada repetició són 2 + 2 = 4 caselles, i 4 · 4 = 16 caselles. El robot fa una escala cap amunt i cap a l'esquerra.

a) 40 €: 40 ≥ 50 és fals; no hi ha descompte i mostra 40.
50 €: 50 ≥ 50 és cert; p = 50 − 0,2 · 50 = 50 − 10 = 40. Mostra 40.
65 €: p = 65 − 0,2 · 65 = 65 − 13 = 52. Mostra 52.
b) Sense l'article paga 48 €. Amb l'article, 51 − 0,2 · 51 = 51 − 10,2 = 40,80 €. Li surt millor afegir-lo: paga menys (40,80 € en lloc de 48 €) i s'emporta un article més.

a) Hi ha 30 parelles de 61: 30 · 61 = 1.830. El programa del Pau mostrarà també 1.830.
b) El bucle fa 60 voltes i a cada una hi ha una suma: 60 sumes.
c) La de la Laia: només cal una divisió i una multiplicació en lloc de 60 sumes. Dos algorismes poden donar el mateix resultat amb molta diferència de passos; això és el que importa quan s'han de fer càlculs amb quantitats molt grans.

a) A la línia i s'escriuen i estrelles: línia 1: *; línia 2: **; línia 3: ***; línia 4: ****; línia 5: *****. Forma un triangle.
b) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 estrelles.
c) Seria 1 + 2 + … + 20. Agrupem en parelles que sumen 21: (1 + 20), (2 + 19), … Hi ha 10 parelles: 10 · 21 = 210 estrelles.

a) m = 12: 12 no és múltiple de 18, m = 24. 24 no és múltiple de 18, m = 36. 36 = 2 · 18 és múltiple de 18: s'acaba. Mostra 36 després de 2 voltes.
b) m = 15 (no múltiple de 25) → 30 → 45 → 60 → 75. 75 = 3 · 25. Mostra 75 després de 4 voltes.
c) Calcula el mínim comú múltiple (m.c.m.) de a i b. Com que m només passa per múltiples de a, i va augmentant de menor a major, el primer que també és múltiple de b és el més petit dels múltiples comuns. Comprovació: m.c.m.(12, 18) = 36 i m.c.m.(15, 25) = 75.

a) 45 : 2 = 22, residu 1.
22 : 2 = 11, residu 0.
11 : 2 = 5, residu 1.
5 : 2 = 2, residu 1.
2 : 2 = 1, residu 0.
1 : 2 = 0, residu 1.
Llegint els residus de l'últim al primer: 1, 0, 1, 1, 0, 1. Així 45 s'escriu 101101 en base 2.
b) 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Coincideix.

a) dia 1: 1; dia 2: 2; dia 3: 4; dia 4: 8; dia 5: 16; dia 6: 32; dia 7: 64; dia 8: 128; dia 9: 256; dia 10: 512 (512 ≤ 1000, encara entra); dia 11: 1024 (1024 ≤ 1000 és fals, s'atura). Mostra 11 i 1024.
b) El dia d es posen 2^{d − 1} cèntims: el dia 11, $2^{10}$ = 1024 cèntims.
c) És 1024 cèntims (10,24 €), el dia 11. El creixement per duplicacions és molt ràpid: ja el dia 11 es posen més de 10 euros.

(3, 4, 8): 3 + 4 = 7 ≤ 8, per tant «no és triangle».
(5, 5, 5): 5 + 5 = 10 > 5, sí que és triangle; a = c (5 = 5), per tant «equilàter».
(6, 6, 9): 6 + 6 = 12 > 9; a ≠ c (6 ≠ 9); a = b (6 = 6), per tant «isòsceles».
(7, 8, 10): 7 + 8 = 15 > 10; a ≠ c; a ≠ b i b ≠ c; per tant «escalè».
La pregunta de si és triangle ha d'anar primer: si no, el programa podria classificar com a «escalè» o «isòsceles» tres segments amb què no es pot construir cap triangle.

a) Primera volta: es salva l'1 i s'elimina el 2; es salva el 3 i s'elimina el 4; es salva el 5 i s'elimina el 6; es salva el 7 i s'elimina el 8; es salva el 9 i s'elimina el 10. Queden 1, 3, 5, 7 i 9, i el compte continua a l'1.
Segona volta: es salva l'1 i s'elimina el 3; es salva el 5 i s'elimina el 7; es salva el 9 i s'elimina l'1. Queden 5 i 9 i el compte continua al 5: es salva el 5 i s'elimina el 9.
Ordre d'eliminació: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9.
b) Es salva el 5.
c) Amb 8 persones s'eliminen 2, 4, 6 i 8 a la primera volta; queden 1, 3, 5 i 7. Després s'eliminen el 3 i el 7, i al final el 5. Es salva l'1. (Quan hi ha una quantitat de persones que és una potència de 2, sempre es salva la primera.)

a) El perímetre és 2 · b + 2 · h = 24, per tant b + h = 12 i h = 12 − b.
b) b = 1: 1 · 11 = 11; b = 2: 2 · 10 = 20; b = 3: 3 · 9 = 27; b = 4: 4 · 8 = 32; b = 5: 5 · 7 = 35; b = 6: 6 · 6 = 36. Després els valors es repeteixen en ordre invers: b = 7: 35; b = 8: 32; b = 9: 27; b = 10: 20; b = 11: 11.
c) La variable «millor» va augmentant fins a 36 (quan b = 6) i cap valor posterior no la supera. Mostra 6 i 36. El corral òptim és un quadrat de 6 m de costat, amb una àrea de 36 $m^{2}$.

a) Cada volta resta una setmana (7 dies). Mentre quedi com a mínim 7 es continua restant: 100 − 14 · 7 = 100 − 98 = 2. Com que 2 < 7, s'atura. Fa 14 voltes i n = 2.
b) Passades 14 setmanes senceres tornem a ser en dilluns; encara falten 2 dies: dimarts i dimecres. Serà dimecres.
c) El valor final de n és el residu de la divisió 100 : 7 = 14 amb residu 2, i el nombre de voltes és el quocient, 14. Restar repetidament és el mateix que dividir.

a) Només quan i = 4 s'executa «s ← s + 1»; així s passa de 0 a 1 i el programa mostra 1.
b) Error 1: la condició «i = 4» només detecta el 4; hauria de ser «i és múltiple de 4». Error 2: «s ← s + 1» suma 1 en lloc de sumar el valor d'i.
c) Correcte: s ← 0; per i des d'1 fins a 30: si i és múltiple de 4 llavors s ← s + i; digues s.
Els múltiples de 4 fins al 30 són 4, 8, 12, 16, 20, 24 i 28. La suma és 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 = 112. Comprovació: 4 · (1 + 2 + … + 7) = 4 · 28 = 112.

a) Volta 1: xifres 3, 5, 2, 4. gran = 5432; petit = 2345. n = 5432 − 2345 = 3087.
Volta 2: xifres 3, 0, 8, 7. gran = 8730; petit = 0378 = 378. n = 8730 − 378 = 8352.
Volta 3: xifres 8, 3, 5, 2. gran = 8532; petit = 2358. n = 8532 − 2358 = 6174. Ara n = 6174 i el bucle s'atura.
b) 3 voltes. Mostra 3087, 8352 i 6174.
c) Per a 6174: gran = 7641 i petit = 1467, i 7641 − 1467 = 6174. Per això s'anomena la constant de Kaprekar: és un «punt fix» de l'algorisme, i qualsevol nombre de 4 xifres no totes iguals hi acaba arribant en un màxim de 7 voltes.