Exercicis d'equacions, sistemes i inequacions — Matemàtiques 4t ESO

Multiplico per x: 6 = 2x, per tant x = 3. El 3 no anul·la el denominador, per tant val.

Arrels x = -3 i x = 3. Obre cap amunt, per tant és positiva per fora: (-∞, -3) U (3, +∞).

3x² - 12x = 0: traiem factor comú, 3x(x - 4) = 0. Un producte és zero si algun factor ho és: 3x = 0 → x = 0, o x - 4 = 0 → x = 4.
2x² - 18 = 0: aïllem $x^{2}$: $x^{2}$ = 9, per tant x = 3 o x = -3 (l'arrel quadrada té dos signes).
Comprovació: 3·16 - 12·4 = 0 i 2·(-3$)^{2}$ - 18 = 0.
Error típic: dividir per x la primera equació i perdre la solució x = 0.

Identifiquem els coeficients: a = 2, b = -7, c = 3.
x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) = (7 ± √(49 - 24))/4 = (7 ± 5)/4.
x₁ = (7 + 5)/4 = 3 i x₂ = (7 - 5)/4 = 1/2.
Comprovació: 2·9 - 21 + 3 = 0, i 2·(1/4) - 7/2 + 3 = 1/2 - 7/2 + 3 = 0.
Recorda: -b val +7 perquè b = -7.

El discriminant és Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0 hi ha dues solucions reals, si Δ = 0 n'hi ha una de doble i si Δ < 0 no n'hi ha cap.
a) Δ = 36 - 36 = 0: una solució doble (x = 3).
b) Δ = 1 - 24 = -23 < 0: cap solució real.
c) Δ = 16 + 20 = 36 > 0: dues solucions reals (x = 5 i x = -1).
Comprovació de c): 25 - 20 - 5 = 0 i 1 + 4 - 5 = 0.

La primera equació ja té la y aïllada. Substituïm y per 2x - 1 a la segona: 3x + 2(2x - 1) = 12.
Desenvolupem i resolem: 3x + 4x - 2 = 12 → 7x = 14 → x = 2.
Calculem y: y = 2·2 - 1 = 3.
Solució: x = 2, y = 3.
Comprovació: 3·2 + 2·3 = 12 i 3 = 2·2 - 1.

Passem el 3 a l'altre membre: -2x ≥ 7 - 3 → -2x ≥ 4.
Dividim entre -2: com que és un nombre negatiu, la desigualtat canvia de sentit, i queda x ≤ -2.
La solució és l'interval (-∞, -2], que inclou el -2.
Comprovació: x = -3 dona 3 + 6 = 9 ≥ 7 (cert), mentre que x = 0 dona 3 ≥ 7 (fals).

Comparem els quocients dels coeficients de les dues equacions.
a) 1/2 = 2/4 = 5/10: la segona equació és el doble de la primera. Compatible indeterminat: té infinites solucions.
b) 1/2 = 2/4, però 5/7 és diferent: les rectes són paral·leles i no es tallen. Incompatible: cap solució.
c) 1/2 és diferent de 2/(-1): les rectes es tallen en un sol punt. Compatible determinat. Per resoldre'l: de la segona, y = 2x; a la primera, x + 4x = 5 → x = 1 i y = 2.
Comprovació de c): 1 + 2·2 = 5 i 2·1 - 2 = 0.

Si les solucions són 4 i -3, l'equació és (x - 4)(x + 3) = 0.
Desenvolupem: $x^{2}$ + 3x - 4x - 12 = $x^{2}$ - x - 12 = 0.
Regla ràpida: $x^{2}$ - (suma de les solucions)·x + (producte de les solucions) = 0; aquí la suma és 4 + (-3) = 1 i el producte és 4·(-3) = -12.
Comprovació: x = 4 → 16 - 4 - 12 = 0; x = -3 → 9 + 3 - 12 = 0.
Qualsevol múltiple, com 2x² - 2x - 24 = 0, té les mateixes solucions.

Canvi t = $x^{2}$: $t^{2}$ - 10t + 9 = 0, t = $\tfrac{(10 \pm 8)}{2}$: t = 9 i t = 1. Desfaig: x = ± 3 i x = ± 1. Quatre solucions.

Anomeno x l'ample en metres; llavors el llarg és x + 3. L'àrea és base per altura, per tant x(x + 3) = 70, o sigui $x^{2}$ + 3x - 70 = 0. Discriminant 9 + 280 = 289, i $\sqrt{289}$ = 17. x = $\tfrac{(-3 \pm 17)}{2}$: x = 7 o x = -10. Una longitud no pot ser negativa, per tant descarto x = -10: és el parany del signe. L'ample fa 7 m i el llarg 7 + 3 = 10 m; comprovo que 7 · 10 = 70.

Anomeno x el preu d'un cafè i y el d'un croissant, en euros. Les dues comandes donen el sistema 3x + 2y = 8,5 i 2x + y = 5. Aïllo la y a la segona equació, que és la més senzilla: y = 5 - 2x. Ho fico a la primera: 3x + 2(5 - 2x) = 8,5, o sigui 3x + 10 - 4x = 8,5, és a dir -x = -1,5, per tant x = 1,5. Torno enrere: y = 5 - 2 · 1,5 = 2. Cada cafè val 1,50 € i cada croissant, 2 €.

$x^{2}$ - 1 = x + 1; $x^{2}$ - x - 2 = 0; (x - 2)(x + 1) = 0: x = 2, -1. Solucions (2, 3) i (-1, 0).

$x^{2}$ = 4x - 4; $x^{2}$ - 4x + 4 = 0; (x - 2$)^{2}$ = 0: x = 2 (doble). Única solució (2, 4): la recta és tangent a la paràbola.

Condicions: x ≠ 1 i x ≠ -1. El mínim comú múltiple dels denominadors és (x - 1)(x + 1) = x² - 1.
Multipliquem tots els termes per aquest MCM: 3(x + 1) + 2(x - 1) = 2(x² - 1).
Desenvolupem: 3x + 3 + 2x - 2 = 2x² - 2 → 5x + 1 = 2x² - 2 → 2x² - 5x - 3 = 0.
x = (5 ± √(25 + 24))/4 = (5 ± 7)/4, és a dir, x = 3 i x = -1/2.
Cap dels dos valors és 1 ni -1, per tant tots dos són vàlids.
Comprovació amb x = 3: 3/2 + 2/4 = 3/2 + 1/2 = 2. Amb x = -1/2: 3/(-3/2) + 2/(1/2) = -2 + 4 = 2.

Fem el canvi t = x²: l'equació queda t² + 2t - 8 = 0.
t = (-2 ± √(4 + 32))/2 = (-2 ± 6)/2, és a dir, t = 2 i t = -4.
Desfem el canvi: x² = 2 → x = √2 o x = -√2. En canvi, x² = -4 no té solució real, perquè un quadrat mai no és negatiu.
Solucions: x = √2 ≈ 1,41 i x = -√2 ≈ -1,41.
Comprovació: (√2)⁴ + 2·(√2)² - 8 = 4 + 4 - 8 = 0.

Aïllem l'arrel: $\sqrt{x + 7}$ = x + 1.
Elevem al quadrat els dos membres: x + 7 = (x + 1$)^{2}$ = $x^{2}$ + 2x + 1 → $x^{2}$ + x - 6 = 0.
x = $\tfrac{(-1 \pm \sqrt{1 + 24})}{2}$ = $\tfrac{(-1 \pm 5)}{2}$, és a dir, x = 2 i x = -3.
Comprovem en l'equació inicial: x = 2 → $\sqrt{9}$ - 1 = 3 - 1 = 2, que coincideix amb x, per tant és solució. x = -3 → $\sqrt{4}$ - 1 = 2 - 1 = 1, que no és -3, per tant no és solució.
Només és solució x = 2. En elevar al quadrat poden aparèixer solucions falses: -3 compleix (x + 1$)^{2}$ = x + 7, però fa x + 1 = -2, i una arrel quadrada no pot valer un nombre negatiu. Per això sempre cal comprovar.

Multipliquem la primera equació per 4 per eliminar denominadors: 2(x + 1) - y = 4 → 2x + 2 - y = 4 → 2x - y = 2.
El sistema queda 2x - y = 2, x - 2y = -5.
De la primera, y = 2x - 2. Substituïm a la segona: x - 2(2x - 2) = -5 → x - 4x + 4 = -5 → -3x = -9 → x = 3.
Aleshores y = 2·3 - 2 = 4.
Comprovació en el sistema original: $\tfrac{(3 + 1)}{2}$ - $\tfrac{4}{4} = 2$ - 1 = 1 i 3 - 2·4 = -5.

Cerquem primer les arrels i estudiem el signe de la paràbola, que s'obre cap amunt (el coeficient de $x^{2}$ és positiu).
$x^{2}$ - 5x + 6 = 0 → x = 2 i x = 3. La paràbola és negativa entre les arrels: $x^{2}$ - 5x + 6 < 0 per a x ∈ (2, 3) (extrems exclosos perquè la desigualtat és estricta).
2x² + x - 3 = 0 → x = $\tfrac{(-1 \pm \sqrt{1 + 24})}{4}$ = $\tfrac{(-1 \pm 5)}{4}$, és a dir, x = 1 i x = -$\tfrac{3}{2}$. La paràbola és positiva fora de les arrels i val 0 en elles: 2x² + x - 3 ≥ 0 per a x ∈ (-∞, -$\tfrac{3}{2}$] ∪ [1, +∞).
Comprovació: x = 2,5 → 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 < 0; x = 2 → 8 + 2 - 3 = 7 ≥ 0.

Imposem h(t) = 15: 20t - 5t² = 15 → 5t² - 20t + 15 = 0 → $t^{2}$ - 4t + 3 = 0.
t = $\tfrac{(4 \pm \sqrt{16 - 12})}{2}$ = $\tfrac{(4 \pm 2)}{2}$, és a dir, t = 1 s i t = 3 s.
Hi ha dues respostes perquè la pilota passa pels 15 m una vegada pujant (t = 1 s) i una altra baixant (t = 3 s).
Torna a terra quan h = 0: 5t(4 - t) = 0 → t = 0 (el llançament) o t = 4 s. Tarda 4 s.
Comprovació: h(1) = 20 - 5 = 15 i h(3) = 60 - 45 = 15.

L'error: un producte només obliga que un factor valgui 0 quan el producte és 0. Aquí val 14, i hi ha moltes maneres de multiplicar dos nombres per obtenir 14 (2·7, 1·14, (-7)·(-2), …), així que no es pot igualar cada factor a 14.
Cal desenvolupar i portar-ho tot a un membre: (x - 3)(x + 2) = $x^{2}$ - x - 6 = 14 → $x^{2}$ - x - 20 = 0.
x = $\tfrac{(1 \pm \sqrt{1 + 80})}{2}$ = $\tfrac{(1 \pm 9)}{2}$, és a dir, x = 5 i x = -4.
Comprovació: x = 5 → 2·7 = 14; x = -4 → (-7)·(-2) = 14.
Els valors de l'alumne no funcionen: x = 17 dona 14·19 = 266 i x = 12 dona 9·14 = 126, i cap dels dos és 14.

Anomeno x l'amplada del marc en cm. El marc envolta el quadre pels dos costats, per tant el conjunt fa 20 + 2x d'alt i 30 + 2x d'ample. La seva àrea és (20 + 2x)(30 + 2x) = 936. Desenvolupo: 600 + 100x + 4x² = 936, i ordeno: 4x² + 100x - 336 = 0; divideixo per 4 per simplificar: $x^{2}$ + 25x - 84 = 0. Discriminant 625 + 336 = 961, i $\sqrt{961}$ = 31. x = $\tfrac{(-25 \pm 31)}{2}$: x = 3 o x = -28. Una amplada no pot ser negativa, per tant descarto x = -28. El marc fa 3 cm d'ample; comprovo que 26 · 36 = 936.

Anomeno b la velocitat de la barca en aigua quieta i c la del corrent, en km/h. Riu avall el corrent ajuda, per tant la velocitat efectiva és b + c; riu amunt hi va en contra, per tant és b - c. Amb velocitat igual a espai partit per temps: avall b + c = 30/1,5 = 20 i amunt b - c = 30/3 = 10. Ja tinc un sistema lineal. Sumo les dues equacions per eliminar la c: 2b = 30, per tant b = 15. Substitueixo: 15 + c = 20, per tant c = 5. La barca va a 15 km/h en aigua quieta i el corrent, a 5 km/h.

Primera: x > 1. Segona: x ≤ 5. Intersecció: (1, 5].

Sigui x les hores que triga l'aixeta ràpida sola; la lenta en triga x + 3.
En 1 hora, la ràpida omple 1/x del dipòsit i la lenta 1/(x + 3). Entre les dues omplen 1/2 del dipòsit cada hora (perquè juntes triguen 2 h).
1/x + 1/(x + 3) = 1/2 → multipliquem per 2x(x + 3): 2(x + 3) + 2x = x(x + 3) → 4x + 6 = x² + 3x → x² - x - 6 = 0.
x = (1 ± √(1 + 24))/2 = (1 ± 5)/2, és a dir, x = 3 o x = -2. Descartem x = -2 perquè un temps no pot ser negatiu.
L'aixeta ràpida triga 3 h i la lenta 6 h.
Comprovació: 1/3 + 1/6 = 1/2, és a dir, juntes omplen mig dipòsit cada hora i el dipòsit sencer en 2 h.

Sigui x la xifra de les desenes i y la de les unitats: el nombre és 10x + y. Amb les xifres invertides és 10y + x.
Condicions: x + y = 11 i (10y + x) - (10x + y) = 27, és a dir, 9y - 9x = 27 → y - x = 3.
Sumant x + y = 11 i y - x = 3: 2y = 14 → y = 7, i x = 11 - 7 = 4.
El nombre és 47.
Comprovació: 4 + 7 = 11 i 74 - 47 = 27.

a) El sistema té una única solució quan els coeficients de x i de y no són proporcionals: $\tfrac{1}{2}$ ≠ $\tfrac{2}{k}$, és a dir, k ≠ 4. Per a tots els valors de k diferents de 4 és compatible determinat.
b) Per a k = 4 queda x + 2y = 3 i 2x + 4y = 5. Els coeficients de la segona equació són el doble dels de la primera, però el terme independent no (5 ≠ 6): les rectes són paral·leles. El sistema és incompatible (cap solució). Comprovació: si multipliquem la primera per 2 obtenim 2x + 4y = 6, que contradiu 2x + 4y = 5.
c) Per a k = 3: x + 2y = 3 i 2x + 3y = 5. De la primera, x = 3 - 2y. A la segona: 2(3 - 2y) + 3y = 5 → 6 - y = 5 → y = 1 i x = 1.
Comprovació: 1 + 2 = 3 i 2 + 3 = 5.

Primera inequació: $x^{2}$ - 4x - 5 = 0 → x = $\tfrac{(4 \pm \sqrt{16 + 20})}{2}$ = $\tfrac{(4 \pm 6)}{2}$, és a dir, x = 5 i x = -1. La paràbola s'obre cap amunt, així que és ≤ 0 entre les arrels: x ∈ [-1, 5].
Segona inequació: 2x - 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2, és a dir, x ∈ (2, +∞).
Les dues condicions s'han de complir alhora: intersecció [-1, 5] ∩ (2, +∞) = (2, 5].
Comprovació: x = 5 → 25 - 20 - 5 = 0 ≤ 0 i 2·5 - 1 = 9 > 3; en canvi x = 2 no val, perquè 2·2 - 1 = 3 no és major que 3.

a) El discriminant és Δ = (-6$)^{2}$ - 4·1·k = 36 - 4k.
Si k < 9, Δ > 0: dues solucions reals diferents.
Si k = 9, Δ = 0: una solució doble.
Si k > 9, Δ < 0: cap solució real.
b) Per a k = 8: $x^{2}$ - 6x + 8 = 0 → x = $\tfrac{(6 \pm \sqrt{36 - 32})}{2}$ = $\tfrac{(6 \pm 2)}{2}$, és a dir, x = 4 i x = 2.
Per a k = 9: $x^{2}$ - 6x + 9 = (x - 3$)^{2}$ = 0 → x = 3 (solució doble).
Comprovació: 8 < 9 dona dues solucions i k = 9 en dona una de sola, tal com diu l'apartat a).

Aïllem x a la segona equació: x = y + 1. Substituïm a la primera: (y + 1$)^{2}$ + $y^{2}$ = 25.
Desenvolupem: $y^{2}$ + 2y + 1 + $y^{2}$ = 25 → 2y² + 2y - 24 = 0 → $y^{2}$ + y - 12 = 0.
y = $\tfrac{(-1 \pm \sqrt{1 + 48})}{2}$ = $\tfrac{(-1 \pm 7)}{2}$, és a dir, y = 3 i y = -4.
Per a y = 3: x = 4. Per a y = -4: x = -3.
Solucions: (x, y) = (4, 3) i (-3, -4).
Comprovació: $4^{2}$ + $3^{2}$ = 25 i 4 - 3 = 1; (-3$)^{2}$ + (-4$)^{2}$ = 25 i -3 - (-4) = 1.
Error típic: escriure (y + 1$)^{2}$ = $y^{2}$ + 1, oblidant el doble producte.