Exercicis de funcions — Matemàtiques 4t ESO

El denominador s'anul·la a x = -4. Domini: tots els reals menys el -4.

Passa de baixar a pujar, per tant a x = -2 hi ha un mínim.

f(0) = 2 i f(4) = 14. TVM = (14 - 2)/(4 - 0) = 12/4 = 3. En una recta, la TVM sempre és el pendent.

L'arrel quadrada només existeix si el radicand és més gran o igual que 0.
f: 2x - 6 ≥ 0 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3. Domini: [3, +∞).
g: 5 - x ≥ 0 → 5 ≥ x → x ≤ 5. Domini: (-∞, 5].
Comprovació: f(3) = $\sqrt{0}$ = 0 existeix, però f(2) = $\sqrt{-2}$ no; g(5) = 0 existeix, però g(6) = $\sqrt{-1}$ no.

Una relació és una funció si cada valor de x té UN SOL valor de y.
A: cada x (1, 2, 3 i 4) apareix una sola vegada, per tant és funció. Domini = {1, 2, 3, 4}; recorregut = {3, 5, 7} (el 3 es repeteix, i això és permès: dues x diferents poden tenir la mateixa y).
B: la x = 1 té dues imatges (2 i 4), per tant NO és funció.
C: cada x té una sola imatge (sempre 1), per tant és funció (constant). Domini = {0, 1, 2}; recorregut = {1}.

Per a cada valor mirem a quin tros pertany.
x = -3: és menor que 1, usem x + 2: f(-3) = -3 + 2 = -1.
x = 1: compleix x ≥ 1, usem $x^{2}$ - 1: f(1) = 1 - 1 = 0 (el primer tros no val perquè la desigualtat x < 1 és estricta).
x = 3: és major que 1, usem $x^{2}$ - 1: f(3) = 9 - 1 = 8.
Error típic: avaluar el 1 en el primer tros, que donaria 3.

f(0) = 12 i f(5) = -15 + 12 = -3.
Tall amb l'eix vertical (x = 0): (0, 12). Tall amb l'eix horitzontal (f(x) = 0): -3x + 12 = 0 → x = 4, és a dir, (4, 0).
És una funció afí amb pendent -3, que és negatiu: és decreixent (quan x augmenta, y disminueix).
Comprovació: de x = 0 a x = 4 la funció baixa de 12 a 0, és a dir, 3 unitats per cada unitat que augmenta x.

La paràbola y = a(x - h$)^{2}$ + k té el vèrtex a (h, k); si a > 0 s'obre cap amunt (el vèrtex és un mínim) i si a < 0 s'obre cap avall (el vèrtex és un màxim).
y = (x - 2$)^{2}$ + 3: h = 2 i k = 3, vèrtex (2, 3). Com que a = 1 > 0, té un mínim de valor 3.
y = -(x + 1$)^{2}$ + 4 = -(x - (-1)$)^{2}$ + 4: h = -1 i k = 4, vèrtex (-1, 4). Com que a = -1 < 0, té un màxim de valor 4.
Error típic: llegir h = 1 en lloc de h = -1 a (x + 1$)^{2}$; el signe de dins del parèntesi és el contrari.

x = -2: 2^-2 = 1/4 = 0,25. x = -1: 2^-1 = 1/2 = 0,5. x = 0: 2⁰ = 1. x = 1: 2¹ = 2. x = 3: 2³ = 8.
Una potència de base positiva sempre és positiva: 2^x > 0 per a qualsevol x. Per tant la funció mai no val 0 ni un valor negatiu.
Quan x és molt negativa, 2^x s'acosta a 0 sense arribar-hi (l'eix horitzontal és una asímptota), i el recorregut és (0, +∞).

f(-2) = 2·(-2)² - 3 = 2·4 - 3 = 5.
f(1/2) = 2·(1/2)² - 3 = 2·(1/4) - 3 = 1/2 - 3 = -5/2 = -2,5.
f(x) = 15 → 2x² - 3 = 15 → 2x² = 18 → x² = 9 → x = 3 o x = -3.
Hi ha dues x amb la mateixa imatge perquè la gràfica és simètrica respecte de l'eix vertical.
Comprovació: f(3) = 18 - 3 = 15 i f(-3) = 18 - 3 = 15.

Màxim a (2, 5) i mínim a (6, 1). Entre x = 2 i x = 6 decreix, perquè va del cim a la vall.

Resolc $x^{2}$ - 5x + 6 = 0: x = 2 i x = 3. Talla a (2, 0) i (3, 0).

La base és més petita que 1, per tant decreix i s'acosta a zero a mesura que la x creix.

Que són periòdiques: la seva gràfica es repeteix cada cert tram, mentre que una recta no es repeteix mai.

Com que el cost depèn linealment dels dies, C(d) = m·d + n. Pendent: m = (230 - 150)/(5 - 3) = 80/2 = 40.
Substituïm un dels punts: 150 = 40·3 + n → n = 30. Per tant C(d) = 40d + 30.
Interpretació: el pendent, 40, és el preu de cada dia (€/dia); l'ordenada a l'origen, 30, és la quantitat fixa que es paga encara que no es faci servir (C(0) = 30 €).
Per a 10 dies: C(10) = 40·10 + 30 = 430 €.
Comprovació: C(5) = 200 + 30 = 230 €.

Vèrtex: x = -b/(2a) = 6/2 = 3 i y = 3² - 6·3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. Vèrtex (3, -4); com que a = 1 > 0, la paràbola s'obre cap amunt i el vèrtex és el mínim.
Talls: amb l'eix vertical, x = 0 → y = 5, punt (0, 5). Amb l'horitzontal, x² - 6x + 5 = 0 → x = (6 ± 4)/2 = 5 i 1, punts (1, 0) i (5, 0).
Domini: tots els reals. Recorregut: [-4, +∞) (des del mínim cap amunt).
Decreix a (-∞, 3) i creix a (3, +∞).
Comprovació: la coordenada x del vèrtex és al mig dels dos talls, (1 + 5)/2 = 3.

Una funció és contínua en un punt si els dos trossos s'hi troben (la gràfica no fa cap salt).
g en x = 2: pel primer tros, 3 - 2 = 1; pel segon, 2 - 1 = 1 = g(2). Coincideixen, per tant g és contínua en x = 2.
h en x = 1: pel primer tros, h(1) = $1^{2}$ = 1; pel segon, quan x s'apropa a 1 per la dreta, 2x + 1 s'apropa a 3. No coincideixen: h presenta un salt de 3 - 1 = 2 unitats i no és contínua en x = 1.
Comprovació: g(1,99) = 1,01 i g(2,01) = 1,01 (valors propers); h(0,99) ≈ 0,98 i h(1,01) = 3,02 (hi ha el salt).

f: l'arrel exigeix x + 3 ≥ 0, és a dir, x ≥ -3. El denominador no pot ser 0: x ≠ 1. Domini: [-3, 1) ∪ (1, +∞).
g: cal que $x^{2}$ - 4x ≠ 0. Factoritzem: x(x - 4) = 0 → x = 0 o x = 4. Domini: tots els reals excepte 0 i 4, és a dir, R - {0, 4}.
Comprovació: f(1) tindria denominador 0 i f(-4) tindria $\sqrt{-1}$; g(0) i g(4) tenen denominador 0.

t(60) = 240/60 = 4 h; t(80) = 240/80 = 3 h; t(120) = 240/120 = 2 h.
Si es dobla la velocitat (de 60 a 120), el temps es redueix a la meitat (de 4 h a 2 h). És una proporcionalitat inversa: el producte v·t = 240 és sempre el mateix.
Domini en aquest context: v ha de ser positiva (v > 0), perquè amb v = 0 no s'arribaria mai i una velocitat negativa no té sentit aquí. Domini = (0, +∞). (Com a funció matemàtica, el domini seria R - {0}.)
Comprovació: 60·4 = 80·3 = 120·2 = 240.

Domini: el denominador x - 2 no pot ser 0, així que x ≠ 2: R - {2}.
Asímptota vertical: x = 2 (on s'anul·la el denominador). Asímptota horitzontal: quan |x| és molt gran, 1/(x - 2) s'acosta a 0 i la funció s'acosta a 3: y = 3.
Tall amb l'eix vertical: x = 0 → y = 1/(-2) + 3 = 2,5, punt (0; 2,5).
Tall amb l'eix horitzontal: y = 0 → 1/(x - 2) = -3 → x - 2 = -1/3 → x = 5/3, punt (5/3, 0).
Comprovació: y(5/3) = 1/(5/3 - 2) + 3 = 1/(-1/3) + 3 = -3 + 3 = 0.

Període: l'alçada es repeteix a cada volta, és a dir, cada 4 minuts.
Alçada mínima: 1 m (punt més baix). Alçada màxima: 1 m + el diàmetre = 1 + 10 = 11 m (punt més alt).
Als 2 minuts (mitja volta) la cabina és al punt més alt: 11 m.
Als 10 minuts: 10 = 2·4 + 2, és a dir, han passat 2 voltes completes i 2 minuts més, per tant l'alçada és la dels 2 minuts: 11 m.
Comprovació: 10 minuts són 2,5 voltes, i mitja volta després de la sortida és el punt més alt.

$\tfrac{(300 - 500)}{(5 - 0)}$ = -$\tfrac{200}{5}$ = -40 litres per minut. Negativa perquè es buida.

Allà on el denominador s'anul·la, x = 5. L'asímptota vertical és la recta x = 5.

Cada hora es multiplica per 2: 100 · $2^{4}$ = 100 · 16 = 1600 bacteris.

a) Anada: 30 km a 15 km/h triguen 2 h, i d(t) = 15t per a 0 ≤ t ≤ 2. Parada d'1 h: d(t) = 30 per a 2 ≤ t ≤ 3. Tornada: 30 km a 30 km/h triguen 1 h i la distància disminueix 30 km cada hora, així que d(t) = 30 - 30(t - 3) = 120 - 30t per a 3 ≤ t ≤ 4.
b) A l'anada: 15t = 20 → t = 4/3 h = 1 h 20 min, és a dir, a les 10:20 h. A la tornada: 120 - 30t = 20 → t = 10/3 h = 3 h 20 min, és a dir, a les 12:20 h.
c) Domini: [0, 4] (la ciclista arriba a casa a t = 4, a les 13:00 h). Recorregut: [0, 30].
Comprovació: d(2) = 30, d(3) = 30 i d(4) = 120 - 120 = 0, així que els trossos s'enllacen bé.

Punt (0, 3): k·$a^{0}$ = k = 3.
Punt (2, 12): 3·$a^{2}$ = 12 → $a^{2}$ = 4 → a = 2 (a ha de ser positiva).
La funció és y = 3·$2^{x}$, creixent perquè a = 2 > 1.
Per a x = 5: y = 3·$2^{5}$ = 3·32 = 96.
Per a y = 24: 3·$2^{x}$ = 24 → $2^{x}$ = 8 = $2^{3}$ → x = 3.
Comprovació: 3·$2^{3}$ = 24 i 3·$2^{2}$ = 12.

Els dos costats perpendiculars a la paret fan x cada un, i el costat paral·lel fa 40 - 2x (el que sobra de tanca).
Àrea: A(x) = x(40 - 2x) = -2x² + 40x, amb 0 < x < 20.
És una paràbola amb a = -2 < 0: s'obre cap avall i el màxim és al vèrtex. $x_{v}$ = -$\tfrac{b}{(2a)}$ = -$\tfrac{40}{(-4)} = 10$ m.
A(10) = -2·100 + 400 = 200 $m^{2}$.
Dimensions: 10 m de fons i 40 - 20 = 20 m de front. Àrea màxima: 200 $m^{2}$.
Comprovació: x = 9 dona 9·22 = 198 $m^{2}$ i x = 11 dona 11·18 = 198 $m^{2}$, tots dos menors que 200.

La taxa de variació mitjana en [a, b] és (f(b) - f(a))/(b - a).
f(x) = 2^x: en [0, 3], (8 - 1)/3 = 7/3 ≈ 2,33; en [3, 6], (64 - 8)/3 = 56/3 ≈ 18,67.
g(x) = 3x: en [0, 3], (9 - 0)/3 = 3; en [3, 6], (18 - 9)/3 = 3.
Conclusió: la funció lineal té la mateixa taxa (el pendent, 3) a tot arreu: creix a ritme constant. L'exponencial creix a un ritme cada cop més gran: al principi creix més a poc a poc que g (2,33 < 3), però després la supera amb escreix (18,67 > 3).
Comprovació: f(6) = 64 és molt més gran que g(6) = 18.

Perquè sigui contínua en x = 2, els dos trossos han de coincidir en aquest punt.
Segon tros: f(2) = 7 - 2 = 5.
Primer tros quan x s'apropa a 2: k·2 - 1 = 2k - 1. Imposem 2k - 1 = 5 → k = 3.
Amb k = 3: f(x) = 3x - 1 si x < 2. Aleshores f(-1) = 3·(-1) - 1 = -4 (és menor que 2) i f(4) = 7 - 4 = 3 (és major o igual que 2).
Comprovació: 3·2 - 1 = 5 = 7 - 2, així que els dos trossos s'enllacen en el punt (2, 5).

a) Falsa: per tallar l'eix vertical caldria x = 0, però 0 no pertany al domini de y = 1/x (divisió per zero). La gràfica tampoc no el toca: x = 0 n'és asímptota.
b) Falsa: 3^x és sempre positiva. Per exemple, 3^-2 = 1/9 > 0; només s'acosta a 0 quan x és molt negativa.
c) Certa: si f és creixent, f(b) > f(a) quan b > a, així que (f(b) - f(a))/(b - a) > 0.
d) Certa: amb a < 0 la paràbola s'obre cap avall, creix fins al vèrtex i després decreix, així que el vèrtex és el punt més alt (màxim absolut). Exemple: y = -x² + 4x té el màxim a (2, 4).