Exercicis de trigonometria — Matemàtiques 4t ESO

Tots dos valen $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ (aproximadament 0,71).

Per Pitàgores: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = $\sqrt{100}$ = 10.

Al tercer quadrant (entre 180 i 270).

Hipotenusa (Pitàgores): √(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
Angle α, oposat al catet de 3 cm: sin α = 3/5 = 0,6; cos α = 4/5 = 0,8; tg α = 3/4 = 0,75.
Angle β, oposat al catet de 4 cm: sin β = 4/5 = 0,8; cos β = 3/5 = 0,6; tg β = 4/3 ≈ 1,33.
Relació: sin α = cos β i cos α = sin β, perquè el catet oposat a un angle és l'adjacent de l'altre. En un triangle rectangle els dos angles aguts són complementaris (α + β = 90°), així que sin α = cos (90° - α).
A més, tg α · tg β = 3/4 · 4/3 = 1.

Recordem els valors: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3.
a) sin 30° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1.
b) tg 60° · cos 30° = √3 · (√3/2) = 3/2.
c) (√3/2)/(1/2) = √3, que coincideix amb tg 60°, perquè tg α = sin α / cos α.

Fem servir que 180° = π rad. Per passar de graus a radians multipliquem per $\tfrac{\pi}{180}$; per passar de radians a graus, per $\tfrac{180}{\pi}$.
30° = 30·$\tfrac{\pi}{180}$ = $\tfrac{\pi}{6}$ rad.
135° = 135·$\tfrac{\pi}{180} = 3$π/4 rad.
270° = 270·$\tfrac{\pi}{180} = 3$π/2 rad.
2π/3 rad = (2π/3)·($\tfrac{180}{\pi}$) = 120°.
5π/4 rad = (5π/4)·($\tfrac{180}{\pi}$) = 225°.
Comprovació: 225° és 180° + 45°, i 5π/4 = π + $\tfrac{\pi}{4}$.

sin 37° ≈ 0,602; cos 52° ≈ 0,616; tg 71° ≈ 2,904 (a la calculadora, la tangent és la tecla tan).
Per trobar l'angle fem servir la funció inversa (tecla tan^-1): α = tan^-1(2,5) ≈ 68,2°.
Comprovació: tg 68,2° ≈ 2,50.
Error típic: tenir la calculadora en mode radians; aleshores el resultat de sin 37 no té res a veure amb el sinus de 37 graus.

Ubiquem cada angle en un quadrant: el primer va de 0° a 90°, el segon de 90° a 180°, el tercer de 180° a 270° i el quart de 270° a 360°.
215° és al tercer quadrant (entre 180° i 270°): x i y són negatives, per tant sin 215° < 0, cos 215° < 0 i tg 215° = sin/cos > 0 (negatiu entre negatiu).
300° és al quart quadrant: x positiva i y negativa, per tant sin 300° < 0, cos 300° > 0 i tg 300° < 0.
Comprovació amb calculadora: sin 215° ≈ -0,574, cos 215° ≈ -0,819, tg 215° ≈ 0,700; sin 300° ≈ -0,866, cos 300° = 0,5, tg 300° ≈ -1,732.

Sigui α = 35°. El catet adjacent fa 8 cm.
Catet oposat: tg α = oposat/adjacent → oposat = 8·tg 35° ≈ 8·0,7002 = 5,60 cm.
Hipotenusa: cos α = adjacent/hipotenusa → hipotenusa = 8/cos 35° ≈ 8/0,8192 = 9,77 cm.
Comprovació amb Pitàgores: √(8² + 5,60²) = √(64 + 31,36) = √95,36 ≈ 9,77 cm.

Tots dos angles es mesuren respecte d'una línia horitzontal, la que va a l'altura dels ulls de l'observador.
Angle d'elevació: és l'angle que forma la visual amb l'horitzontal quan mirem cap amunt. Exemple: l'angle amb què veiem el cim d'un campanar des del carrer.
Angle de depressió: és l'angle que forma la visual amb l'horitzontal quan mirem cap avall. Exemple: l'angle amb què un vigilant situat dalt d'un far veu una barca al mar.
Els dos angles són iguals si es consideren des dels dos extrems de la mateixa visual: l'angle de depressió des del far fins a la barca és igual a l'angle d'elevació des de la barca fins al cim del far (són angles alterns interns entre paral·leles).

oposat = 12 · sin(60) = 12 · $\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 6$ · $\sqrt{3}$ (uns 10,39).

sin²(a) = 1 - 0,36 = 0,64, per tant sin(a) = 0,8 (positiu perquè és agut).

L'alçada és el catet oposat: 5 · sin(60) = 5 · 0,87 = 4,35 m.

No. El sinus és una coordenada d'un punt de la circumferència de radi 1, per tant està sempre entre -1 i 1.

Hipotenusa: BC = √(10² + 7²) = √149 ≈ 12,21 cm.
L'angle B és oposat al catet AC = 7 i adjacent al catet AB = 10: tg B = 7/10 = 0,7 → B = tan^-1(0,7) ≈ 35,0°.
L'angle C és complementari de B: C = 90° - 35,0° = 55,0°.
Comprovació: tg C = 10/7 ≈ 1,43 i tg 55° ≈ 1,43.

Dibuixem un triangle rectangle: el catet horitzontal és 25 m i el catet vertical h és la part de l'edifici que queda per sobre dels ulls de l'alumne.
tg 52° = $\tfrac{h}{25}$ → h = 25·tg 52° ≈ 25·1,2799 = 32,0 m.
A aquesta alçada hem de sumar-hi la dels ulls de l'alumne, 1,70 m: alçada de l'edifici ≈ 32,0 + 1,7 = 33,7 m.
Error típic: oblidar sumar l'alçada de l'observador.

L'angle de depressió (25°) és igual a l'angle d'elevació des de la barca fins al cim del far (angles alterns interns). En el triangle rectangle, l'alçada de 42 m és el catet oposat a aquest angle i la distància d és el catet adjacent.
tg 25° = 42/d → d = 42/tg 25° ≈ 42/0,4663 = 90,1 m.
La barca és a uns 90 m del peu del far.
Comprovació: 90,1·tg 25° ≈ 90,1·0,4663 = 42,0 m.

Relació fonamental: sin² α + cos² α = 1 → cos² α = 1 - 9/25 = 16/25 → cos α = ±4/5.
Al segon quadrant el cosinus és negatiu, així que cos α = -4/5.
tg α = sin α / cos α = (3/5)/(-4/5) = -3/4.
Comprovació: (3/5)² + (-4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.
Error típic: quedar-se amb el signe positiu de l'arrel sense mirar el quadrant.

sin 150°: 150° = 180° - 30°, és al segon quadrant, on el sinus és positiu: sin 150° = sin 30° = 1/2.
cos 120°: 120° = 180° - 60°, segon quadrant, on el cosinus és negatiu: cos 120° = -cos 60° = -1/2.
tg 225°: 225° = 180° + 45°, tercer quadrant, on la tangent és positiva: tg 225° = tg 45° = 1.
sin 330°: 330° = 360° - 30°, quart quadrant, on el sinus és negatiu: sin 330° = -sin 30° = -1/2.
Comprovació amb calculadora: sin 150° = 0,5, cos 120° = -0,5, tg 225° = 1 i sin 330° = -0,5.

a) sin α = 1/2: l'angle agut és 30°. El sinus és positiu al primer i al segon quadrant: α = 30° i α = 180° - 30° = 150°.
b) cos α = -√2/2: l'angle de referència és 45° (cos 45° = √2/2). El cosinus és negatiu al segon i al tercer quadrant: α = 180° - 45° = 135° i α = 180° + 45° = 225°.
Comprovació: sin 150° = 1/2; cos 135° = cos 225° = -√2/2 ≈ -0,707.
Idea clau: la calculadora només dona un dels angles; l'altre s'obté amb la simetria dels quadrants.

L'altura sobre la base divideix el triangle en dos triangles rectangles iguals, amb hipotenusa 10 cm i un angle de 20° (la meitat de 40°) a dalt.
Mitja base: 10·sin 20° ≈ 10·0,3420 = 3,42 cm, per tant la base fa 2·3,42 = 6,84 cm.
Altura: 10·cos 20° ≈ 10·0,9397 = 9,40 cm.
Àrea = base·altura/2 = 6,84·9,40/2 ≈ 32,1 cm².
Comprovació amb Pitàgores: 3,420² + 9,397² = 11,70 + 88,30 = 100,00 = 10².

tan(a) = 1 vol dir que l'oposat i el contigu són iguals, per tant el triangle és isòsceles i l'angle és de 45 graus.

Si tan(a) = 1, aleshores sin(a) = cos(a). Amb sin² + cos² = 1: 2 sin²(a) = 1, per tant sin(a) = cos(a) = $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Altre catet: $\sqrt{13^{2} - 5^{2}}$ = $\sqrt{169 - 25}$ = $\sqrt{144}$ = 12. Sinus de l'angle oposat al 5: $\tfrac{5}{13}$.

Sigui h l'alçada de la torre i d la distància de la segona posició a la base. Fem servir dos triangles rectangles.
Des de la segona posició (45°): tg 45° = h/d = 1 → d = h.
Des de la primera posició (30°), a distància d + 40 = h + 40: tg 30° = h/(h + 40) = 1/√3.
Aleshores √3·h = h + 40 → h(√3 - 1) = 40 → h = 40/(√3 - 1).
Racionalitzem: h = 40(√3 + 1)/((√3 - 1)(√3 + 1)) = 40(√3 + 1)/2 = 20(√3 + 1) m.
Aproximadament, h ≈ 20·2,732 = 54,6 m.
Comprovació: d = h ≈ 54,6 m i tg 30° = 54,6/94,6 ≈ 0,577 = 1/√3.

Partim del membre de l'esquerra i escrivim la tangent com sin/cos: tg α + 1/tg α = sin α/cos α + cos α/sin α.
Sumem les fraccions amb denominador comú sin α·cos α: (sin² α + cos² α)/(sin α·cos α).
Per la relació fonamental, sin² α + cos² α = 1, de manera que queda 1/(sin α·cos α), que és el membre de la dreta. Queda demostrada.
Comprovació amb α = 45°: tg 45° + 1/tg 45° = 1 + 1 = 2 i 1/(sin 45°·cos 45°) = 1/((√2/2)·(√2/2)) = 1/(1/2) = 2.

Com que tg α = sin α / cos α = -2, tenim sin α = -2·cos α.
Substituïm a la relació fonamental: (-2 cos α)² + cos² α = 1 → 4 cos² α + cos² α = 1 → cos² α = 1/5.
Al quart quadrant el cosinus és positiu: cos α = 1/√5 = √5/5.
Aleshores sin α = -2 cos α = -2√5/5 (negatiu, com cal al quart quadrant).
Comprovació: sin² α + cos² α = 20/25 + 5/25 = 1 i sin α / cos α = -2 (α ≈ 296,6°).

Unim el centre amb els vèrtexs: queden 5 triangles isòsceles iguals, i l'angle central de cada un és 360°/5 = 72°.
L'apotema divideix un d'aquests triangles en dos triangles rectangles amb un angle de 36° (la meitat de 72°) i catet oposat de 3 cm (la meitat del costat).
tg 36° = 3/apotema → apotema = 3/tg 36° ≈ 3/0,7265 ≈ 4,129 cm.
Àrea = perímetre·apotema/2 = (5·6)·4,129/2 ≈ 61,9 cm².
Comprovació: l'àrea d'un dels 5 triangles és 6·4,129/2 ≈ 12,387 cm², i 5·12,387 ≈ 61,9 cm².

Les diagonals d'un rombe es tallen perpendicularment pel punt mitjà i bisequen els angles. Cada quart del rombe és un triangle rectangle amb hipotenusa 10 cm (el costat) i un angle de 25° (la meitat de 50°).
Semidiagonal curta: 10·sin 25° ≈ 10·0,4226 = 4,23 cm, per tant la diagonal curta fa d ≈ 8,45 cm.
Semidiagonal llarga: 10·cos 25° ≈ 10·0,9063 = 9,06 cm, per tant la diagonal llarga fa D ≈ 18,13 cm.
Àrea = D·d/2 ≈ 18,13·8,45/2 ≈ 76,6 cm².
Comprovació: 4,226² + 9,063² = 17,86 + 82,14 = 100 = 10².

a) El pendent del 12 % és la tangent de l'angle: tg α = 12/100 = 0,12 → α = tan^-1(0,12) ≈ 6,84°.
b) El camió recorre 2000 m sobre la carretera, que és la hipotenusa del triangle. El desnivell és el catet oposat a α: 2000·sin α ≈ 2000·0,1191 = 238 m.
Comprovació: el recorregut horitzontal és 2000·cos α ≈ 2000·0,9929 = 1985,8 m, i el 12 % de 1985,8 és 238,3 m.
Error típic: calcular el 12 % de 2000 = 240 m; això només seria cert si els 2 km fossin horitzontals i no mesurats sobre la carretera.