Exercicis de polinomis — Matemàtiques 4t ESO

$x^{2}$ - 6x + 9: el terme del mig negatiu, l'últim positiu.

Coeficients 1, -5, 6 i a = 2. Baixo l'1; 1 · 2 = 2, -5 + 2 = -3; -3 · 2 = -6, 6 - 6 = 0. Quocient x - 3, residu 0.

Factoritzo dalt: x(x + 1)/x = x + 1. Ara sí que puc tatxar la x, perquè és factor comú.

El grau és l'exponent més gran de x: 3. El coeficient principal és el del terme de grau més alt: 2. El terme independent (el que no porta x) és -4.
P(-1) = 2·(-1$)^{3}$ - 5·(-1$)^{2}$ + (-1) - 4 = -2 - 5 - 1 - 4 = -12.
P(2) = 2·$2^{3}$ - 5·$2^{2}$ + 2 - 4 = 16 - 20 + 2 - 4 = -6.
Error típic: oblidar que (-1$)^{3}$ val -1 (potència senar) i no 1.

P + Q: se sumen els termes semblants (els del mateix grau): (3 + 1)$x^{3}$ + (-2 + 4)$x^{2}$ - x + (5 - 1) = 4x³ + 2x² - x + 4.
P - Q: restem canviant el signe de TOTS els termes de Q: 3x³ - 2x² + 5 - $x^{3}$ - 4x² + x + 1 = 2x³ - 6x² + x + 6.
2P - Q: primer 2P = 6x³ - 4x² + 10 i després restem Q: 6x³ - 4x² + 10 - $x^{3}$ - 4x² + x + 1 = 5x³ - 8x² + x + 11.
Error típic: canviar el signe només del primer terme de Q en restar.

99² = (100 - 1)² = 100² - 2·100·1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801.
51·49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50² - 1² = 2500 - 1 = 2499 (suma per diferència).
102² = (100 + 2)² = 100² + 2·100·2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404.
Comprovació amb calculadora: 99·99 = 9801, 51·49 = 2499 i 102·102 = 10404.

Pel teorema del residu, el residu de dividir P(x) entre x - a és P(a).
Entre x - 3: P(3) = 27 - 36 + 6 + 7 = 4. El residu és 4.
Entre x + 1 = x - (-1): P(-1) = -1 - 4 - 2 + 7 = 0. El residu és 0.
Per tant, la divisió entre x + 1 és exacta (x + 1 és un factor de P) i la divisió entre x - 3 no ho és.
Comprovació amb Ruffini per a x - 3: els coeficients 1, -4, 2, 7 donen 1, -1, -1 i residu 4.
Error típic: avaluar a 1 en lloc de -1 quan el divisor és x + 1.

Àrea = llarg · ample = (x + 5)(2x - 1) = 2x² - x + 10x - 5 = 2x² + 9x - 5.
Perímetre = 2·(llarg + ample) = 2·(x + 5 + 2x - 1) = 2·(3x + 4) = 6x + 8.
Per a x = 10: àrea = 2·100 + 90 - 5 = 285 m² i perímetre = 60 + 8 = 68 m.
Comprovació: per a x = 10 la parcel·la fa 15 m de llarg i 19 m d'ample; 15·19 = 285 m² i 2·(15 + 19) = 68 m.

Un nombre a és arrel de P si P(a) = 0.
P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0 → és arrel.
P(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 → no és arrel.
P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0 → és arrel.
P(3) = 27 - 36 + 3 + 6 = 0 → és arrel.
Un polinomi de grau 3 té com a màxim 3 arrels, i aquí ja en tenim 3: -1, 2 i 3. Com que el coeficient principal és 1, P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3).
Comprovació: el terme independent del producte és 1·(-2)·(-3) = 6, igual que el de P.

Si un polinomi de grau 2 amb coeficient principal 1 té arrels $r_{1}$ i $r_{2}$, es factoritza com (x - $r_{1}$)(x - $r_{2}$).
$x^{2}$ - 7x + 12 = 0 → x = $\tfrac{(7 \pm \sqrt{49 - 48})}{2}$ = $\tfrac{(7 \pm 1)}{2}$, és a dir, x = 4 i x = 3. Per tant, $x^{2}$ - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3).
$x^{2}$ + 2x - 15 = 0 → x = $\tfrac{(-2 \pm \sqrt{4 + 60})}{2}$ = $\tfrac{(-2 \pm 8)}{2}$, és a dir, x = 3 i x = -5. Per tant, $x^{2}$ + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5).
Comprovació: (x - 3)(x + 5) = $x^{2}$ + 5x - 3x - 15 = $x^{2}$ + 2x - 15.

2x · ($x^{2}$ + 3x - 2) = 2x³ + 6x² - 4x. -1 · ($x^{2}$ + 3x - 2) = -$x^{2}$ - 3x + 2. Sumo els semblants: 2x³ + 5x² - 7x + 2.

Coeficients 2, 3, 0, -1 i a = -2. Baixo el 2; 2 · (-2) = -4, 3 - 4 = -1; -1 · (-2) = 2, 0 + 2 = 2; 2 · (-2) = -4, -1 - 4 = -5. Quocient 2x² - x + 2, residu -5.

Factor comú 3: 3($x^{2}$ - 4); i $x^{2}$ - 4 = (x + 2)(x - 2). Queda 3(x + 2)(x - 2).

És un quadrat perfecte: 16 = $4^{2}$ i 8x = 2 · x · 4. Queda (x + 4$)^{2}$.

Ordenem i completem D amb els termes que falten: 2x⁴ - 3x³ + 0x² + x - 5.
1) 2x⁴ : $x^{2}$ = 2x². Restem 2x²·($x^{2}$ - 2) = 2x⁴ - 4x²: queda -3x³ + 4x² + x - 5.
2) -3x³ : $x^{2}$ = -3x. Restem -3x·($x^{2}$ - 2) = -3x³ + 6x: queda 4x² - 5x - 5.
3) 4x² : $x^{2}$ = 4. Restem 4·($x^{2}$ - 2) = 4x² - 8: queda -5x + 3, que és de grau 1 (menor que 2), i la divisió s'atura.
Quocient q(x) = 2x² - 3x + 4 i residu r(x) = -5x + 3.
Comprovació: ($x^{2}$ - 2)(2x² - 3x + 4) = 2x⁴ - 3x³ + 6x - 8; si hi sumem el residu -5x + 3 obtenim 2x⁴ - 3x³ + x - 5 = D(x).

L'arrel de 2x - 1 és x = 1/2. Apliquem Ruffini amb 1/2 als coeficients 2, -3, 5, -2: baixem el 2; 2·(1/2) = 1 i -3 + 1 = -2; -2·(1/2) = -1 i 5 - 1 = 4; 4·(1/2) = 2 i -2 + 2 = 0.
Ruffini dona quocient 2x² - 2x + 4 i residu 0, però aquest és el quocient de dividir entre x - 1/2.
Com que 2x - 1 = 2·(x - 1/2), el quocient de dividir entre 2x - 1 és la meitat: q(x) = x² - x + 2. El residu no canvia: r = 0.
Comprovació: (2x - 1)(x² - x + 2) = 2x³ - 2x² + 4x - x² + x - 2 = 2x³ - 3x² + 5x - 2.

Les possibles arrels enteres són divisors del terme independent, 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, per tant x = 1 és arrel. Dividim per Ruffini entre x - 1: coeficients 1, -2, -5, 6 → 1, -1, -6 i residu 0. Queda $x^{2}$ - x - 6.
Resolem $x^{2}$ - x - 6 = 0: x = $\tfrac{(1 \pm \sqrt{1 + 24})}{2}$ = $\tfrac{(1 \pm 5)}{2}$, és a dir, x = 3 i x = -2.
Per tant, P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3) i les arrels són 1, -2 i 3.
Comprovació: la suma d'arrels, 1 - 2 + 3 = 2, coincideix amb el coeficient de $x^{2}$ canviat de signe.

Factoritzem numerador i denominador i simplifiquem els factors comuns.
a) x² - 9 = (x - 3)(x + 3) (suma per diferència) i x² + 3x = x(x + 3) (factor comú). Aleshores $\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{x-3}{x}$, amb x ≠ 0 i x ≠ -3.
b) x² - 4x + 4 = (x - 2)² i x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Aleshores $\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$, amb x ≠ 2 i x ≠ -2.
Error típic: simplificar termes en lloc de factors; per exemple, a (x - 3)/x no es poden «treure» les x.

a) Factoritzem: x² - 1 = (x - 1)(x + 1) i x² + 2x = x(x + 2). Multipliquem numeradors i denominadors i simplifiquem:
$\frac{(x-1)(x+1)(x+2)}{x(x+2)(x+1)} = \frac{x-1}{x}$.
b) Dividir és multiplicar per la inversa: $\frac{x^2-4}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)\cdot 6x^2}{3x\,(x+2)} = 2x(x-2) = 2x^2-4x$.
Comprovació de b) amb x = 3: (9 - 4)/9 : 5/54 = (5/9)·(54/5) = 6, i 2·3·(3 - 2) = 6.

a) Falta el doble producte: (x + 4$)^{2}$ = $x^{2}$ + 2·x·4 + $4^{2}$ = $x^{2}$ + 8x + 16. El quadrat d'una suma NO és la suma de quadrats.
b) El segon membre es desenvolupa com 4x² - 16, que no és 2x² - 8. Cal treure primer el factor comú: 2x² - 8 = 2($x^{2}$ - 4) = 2(x - 2)(x + 2).
c) Cal dividir TOTS els termes del numerador pel denominador (o factoritzar): $\tfrac{(x^{2} + 3x)}{(3x)} = x$(x + 3)/(3x) = $\tfrac{(x + 3)}{3}$ = $\tfrac{x}{3}$ + 1.
Comprovació de c) amb x = 3: $\tfrac{(9 + 9)}{9} = 2$ i $\tfrac{3}{3}$ + 1 = 2, mentre que $x^{2}$ + 1 = 10.

Un polinomi amb arrels 1, -2 i 4 és de la forma P(x) = a(x - 1)(x + 2)(x - 4), on a és un nombre per determinar.
La condició P(0) = 16 dona a·(-1)·2·(-4) = 8a = 16, per tant a = 2.
Desenvolupem: (x - 1)(x + 2) = $x^{2}$ + x - 2 i ($x^{2}$ + x - 2)(x - 4) = $x^{3}$ - 3x² - 6x + 8. Multipliquem per 2: P(x) = 2x³ - 6x² - 12x + 16.
Comprovació: P(1) = 2 - 6 - 12 + 16 = 0, P(-2) = -16 - 24 + 24 + 16 = 0, P(4) = 128 - 96 - 48 + 16 = 0 i P(0) = 16.

P(2) = 4 - 2k + 6 = 10 - 2k. Vull que valgui 0: 10 - 2k = 0, per tant k = 5.

Veig $x^{2}$, 25 = $5^{2}$ i -10x = -2 · x · 5. Encaixa amb (x - 5$)^{2}$.

Denominador comú (x - 1)(x + 1) = $x^{2}$ - 1. Numeradors: (x + 1) - (x - 1) = 2. Queda $\tfrac{2}{(x^{2} - 1)}$.

Que P sigui divisible per x - 1 vol dir que P(1) = 0, i per x + 2, que P(-2) = 0 (teorema del factor).
P(1) = 1 + a + b - 6 = 0 → a + b = 5.
P(-2) = -8 + 4a - 2b - 6 = 0 → 4a - 2b = 14 → 2a - b = 7.
Sumant les dues equacions: 3a = 12 → a = 4, i llavors b = 5 - 4 = 1.
Així P(x) = x³ + 4x² + x - 6. Com que x - 1 i x + 2 en són factors, dividim entre (x - 1)(x + 2) = x² + x - 2: el quocient és x + 3.
Per tant P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3).
Comprovació: (x² + x - 2)(x + 3) = x³ + 3x² + x² + 3x - 2x - 6 = x³ + 4x² + x - 6.

$x^{4}$ - 5x² + 4 és biquadrat: fem t = $x^{2}$ i queda $t^{2}$ - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4). Per tant $x^{4}$ - 5x² + 4 = ($x^{2}$ - 1)($x^{2}$ - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2). Arrels: ±1 i ±2.
$x^{4}$ - 81 = ($x^{2}$$)^{2}$ - $9^{2}$ = ($x^{2}$ - 9)($x^{2}$ + 9) = (x - 3)(x + 3)($x^{2}$ + 9). El factor $x^{2}$ + 9 no té arrels reals ($x^{2}$ = -9 és impossible) i no es pot descompondre més. Arrels reals: 3 i -3.
Comprovació: el terme independent de la primera factorització és (-1)·1·(-2)·2 = 4, igual que el del polinomi.

Provem divisors de 2: P(1) = 1 - 3 + 2 = 0, per tant x = 1 és arrel. Ruffini entre x - 1 amb els coeficients 1, 0, -3, 2: 1, 1, -2 i residu 0. Queda $x^{2}$ + x - 2.
$x^{2}$ + x - 2 = 0 → x = $\tfrac{(-1 \pm \sqrt{1 + 8})}{2}$ = $\tfrac{(-1 \pm 3)}{2}$, és a dir, x = 1 i x = -2.
Així P(x) = (x - 1$)^{2}$(x + 2): l'arrel x = 1 és doble (apareix dues vegades) i x = -2 és simple.
Signe: (x - 1$)^{2}$ és sempre positiu excepte en x = 1, on val 0; així que el signe de P el decideix el factor x + 2. P(x) > 0 per a x > -2 amb x ≠ 1, i P(x) < 0 per a x < -2.
Comprovació: P(0) = 2 > 0 i P(-3) = -27 + 9 + 2 = -16 < 0.

Factoritzem el tercer denominador: x² - 4 = (x - 2)(x + 2). El mínim comú múltiple dels tres denominadors és (x - 2)(x + 2).
Passem les tres fraccions a aquest denominador comú: $\frac{x(x-2) - 2(x+2) + 8}{(x-2)(x+2)}$.
Numerador: x² - 2x - 2x - 4 + 8 = x² - 4x + 4 = (x - 2)² (compte amb el signe menys, que afecta tot el parèntesi: -2(x + 2) = -2x - 4).
Simplifiquem: $\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$, amb x ≠ 2 i x ≠ -2.
Comprovació amb x = 3: 3/5 - 2/1 + 8/5 = 11/5 - 2 = 1/5, i (3 - 2)/(3 + 2) = 1/5.

Un nombre senar es pot escriure com 2n - 1; el següent senar és 2n + 1 (amb n enter).
El seu producte és (2n - 1)(2n + 1) = (2n$)^{2}$ - $1^{2}$ = 4n² - 1 (suma per diferència).
Si hi afegim una unitat: 4n² - 1 + 1 = 4n² = (2n$)^{2}$, que és el quadrat del nombre parell 2n, situat entre els dos senars. Queda demostrat.
Comprovació: 7·9 + 1 = 64 = $8^{2}$, i 8 és el nombre que hi ha entre 7 i 9 (aquí n = 4).

a) La base és un quadrat de costat 20 - 2x i l'alçada és x, així que V(x) = x(20 - 2x$)^{2}$ = x(400 - 80x + 4x²) = 4x³ - 80x² + 400x. És un polinomi de grau 3.
b) V(3) = 4·27 - 80·9 + 400·3 = 108 - 720 + 1200 = 588 cm³ (comprovació: 3·$14^{2}$ = 588). V(5) = 4·125 - 80·25 + 400·5 = 500 - 2000 + 2000 = 500 cm³.
c) Traient factor comú: V(x) = 4x($x^{2}$ - 20x + 100) = 4x(x - 10$)^{2}$. Per a x = 10 el volum val 0: la base mesuraria 20 - 2·10 = 0 i no hi hauria caixa. Així x ha d'estar entre 0 i 10.