Flashcards: Distribucions binomial i normal

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Què és una variable aleatòria?

   Una assignació d'un nombre a cada resultat d'un experiment aleatori: el nombre de cares en tres llançaments, el guany d'una aposta, el temps d'espera en una cua.

2. 2.Diferència entre una variable aleatòria discreta i una de contínua

   La discreta pren valors aïllats que es poden llistar, normalment recomptes. La contínua pot prendre qualsevol valor d'un interval, com un temps o una alçada.

3. 3.Per què en una variable contínua no té sentit preguntar per la probabilitat d'un valor concret?

   Perquè sempre val zero. En una contínua només tenen sentit les preguntes sobre intervals.

4. 4.Què ha de complir una distribució de probabilitat perquè sigui vàlida?

   Totes les probabilitats han d'estar entre 0 i 1 i la seva suma ha de fer 1. Comprovar-ho és la manera més ràpida de detectar un error.

5. 5.Fórmula de l'esperança d'una variable discreta i què significa

   $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$: el valor mitjà a la llarga. És una mitjana ponderada amb probabilitats en comptes de freqüències.

6. 6.Què vol dir que l'esperança del guany d'un joc sigui negativa?

   Que a la llarga s'hi perd, encara que de tant en tant es guanyi. Calcula-la sobre el guany net: el premi menys el que costa participar.

7. 7.Quines quatre condicions ha de complir una situació per ser binomial?

   Un nombre fix de repeticions $n$, dos resultats possibles (èxit i fracàs), probabilitat d'èxit $p$ constant i repeticions independents.

8. 8.Fórmula de la probabilitat binomial $P(X = k)$

   $P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$, on $k$ és el nombre d'èxits de $B(n, p)$.

9. 9.Què compta el factor $C(n, k)$ de la fórmula binomial?

   De quantes maneres es poden repartir els $k$ èxits entre les $n$ repeticions. Si l'oblides, el resultat surt molt més petit del que toca.

10. 10.Mitjana i desviació típica d'una binomial $B(n, p)$

    $\mu = n p$ i $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$. Calcula primer la mitjana: et diu si el resultat que obtens és raonable.

11. 11.Com calcules «com a mínim un èxit» en una binomial?

    Pel succés contrari: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$, en comptes de sumar tots els casos d'1 a $n$.

12. 12.Error típic: aplicar la binomial a extraccions sense reposició d'un grup petit

    Llavors la probabilitat d'èxit canvia a cada pas i el model no serveix. Comprova sempre les quatre condicions abans de fer servir la fórmula.

13. 13.Què indiquen els dos paràmetres de la normal $N(\mu, \sigma)$?

    $\mu$, la mitjana, marca el centre de la campana. $\sigma$, la desviació típica, en marca l'amplada: com més gran, més estesa i baixa.

14. 14.Per què en una distribució normal coincideixen la mitjana, la mediana i la moda?

    Perquè la corba és simètrica respecte de la mitjana.

15. 15.Regla del 68 i el 95 en una normal

    El 68 % de les dades cau a menys d'una desviació típica de la mitjana i el 95 %, a menys de dues.

16. 16.Com es tipifica un valor i què indica $z$?

    $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$. Passa qualsevol normal a la normal estàndard $N(0, 1)$, i $z$ diu a quantes desviacions típiques de la mitjana és el valor.

17. 17.Què dona la taula de la normal estàndard?

    La probabilitat acumulada $P(Z \leq z)$, és a dir l'àrea a l'esquerra. Només serveix per a $N(0, 1)$: abans has de tipificar.

18. 18.Error típic: donar el valor de la taula quan et demanen la probabilitat de superar un valor

    La taula dona la probabilitat de quedar per sota. Per a la de sobre, resta d'1: $P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)$.

19. 19.Com trobes $P(Z \leq -z)$ si la taula només té valors positius?

    Per simetria: $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$.

20. 20.Com es calcula la probabilitat d'un interval en una normal estàndard?

    Restant les dues acumulades: $P(a \leq Z \leq b) = P(Z \leq b) - P(Z \leq a)$.

21. 21.Quan es pot aproximar una binomial per una normal?

    Quan $n p$ i $n(1-p)$ són tots dos més grans que 5: s'esperen prou èxits i prou fracassos perquè la distribució sigui gairebé simètrica.

22. 22.Quina normal fas servir per aproximar una binomial $B(n, p)$?

    La que té la mateixa mitjana i la mateixa desviació típica: $N\left(np,\ \sqrt{np(1-p)}\right)$.

23. 23.Què és la correcció de continuïtat?

    En passar de la binomial a la normal, cada valor sencer ocupa mig punt a cada costat: $P(X \leq 40)$ es calcula amb 40,5 i $P(X \geq 40)$, amb 39,5.

24. 24.En aproximar una binomial per una normal, com calcules $P(X = k)$?

    Com la probabilitat de l'interval de $k - 0{,}5$ a $k + 0{,}5$, perquè en una normal un sol valor té probabilitat zero.

Altres flashcards de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

• Educació financera
• Equacions, inequacions i sistemes
• Funcions
• Límits i continuïtat
• La derivada i les seves aplicacions
• Estadística descriptiva
• Regressió i correlació
• Combinatòria i probabilitat
• Mostreig i estimació puntual
• Patrons i pensament computacional
• Pensament computacional i eines tecnològiques

Següent tema: Mostreig i estimació puntual →