Flashcards: Distribucions de probabilitat: binomial i normal

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Quina diferència hi ha entre una variable aleatòria discreta i una de contínua?

   La discreta pren valors aïllats que es poden comptar (nombre de cares, de cotxes). La contínua pot prendre qualsevol valor d'un interval (temps, pes, alçada).

2. 2.Quines dues condicions ha de complir una funció de probabilitat d'una variable discreta?

   Cada probabilitat ha d'estar entre 0 i 1, i la suma de totes ha de valer 1. Així trobes una probabilitat desconeguda.

3. 3.Fórmula de l'esperança d'una variable aleatòria discreta?

   $E(X) = \mu = \sum x_i\, p_i$: cada valor multiplicat per la seva probabilitat, i ho sumes tot. És el valor mitjà que obtindries repetint l'experiment moltes vegades.

4. 4.Fórmula pràctica de la variància d'una variable aleatòria discreta?

   $\sigma^2 = \sum x_i^2\, p_i - \mu^2$. La desviació típica és $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$, que té les mateixes unitats que X.

5. 5.Si $Y = aX + b$, què valen $E(Y)$ i $\sigma_Y$?

   $E(Y) = a\,E(X) + b$ i $\sigma_Y = |a|\,\sigma_X$. Sumar una constant desplaça la mitjana però no canvia la dispersió.

6. 6.Quan és equitatiu un joc d'atzar?

   Quan l'esperança del guany net és 0: el preu de la partida ha de ser igual al guany esperat.

7. 7.Quines condicions ha de complir un experiment perquè el nombre d'èxits segueixi una binomial $B(n;\ p)$?

   Un nombre fix n de proves, cada una amb només dos resultats (èxit o fracàs), independents entre si i amb la mateixa probabilitat d'èxit p a totes.

8. 8.Error típic: extreure boles sense reposició i fer servir la binomial. Què és el correcte?

   Sense reposició, les proves no són independents i la probabilitat d'èxit canvia a cada extracció: no és binomial. Només ho és amb reposició.

9. 9.Fórmula de la probabilitat de k èxits en una binomial $B(n;\ p)$?

   $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k q^{\,n-k}$, amb $q = 1 - p$. El nombre combinatori compta de quantes maneres es poden repartir els k èxits entre les n proves.

10. 10.Mitjana i desviació típica d'una binomial $B(n;\ p)$?

    $\mu = n p$ i $\sigma = \sqrt{n p q}$, amb $q = 1 - p$.

11. 11.Primer pas per calcular la probabilitat d'«almenys un èxit» en una binomial?

    Passa al complementari: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n$. És molt més curt que sumar tots els casos.

12. 12.Què és una funció de densitat d'una variable contínua?

    Una funció $f(x) \ge 0$ amb àrea total sota la corba igual a 1. La probabilitat d'un interval és l'àrea sota f en aquell interval.

13. 13.En una variable contínua, quant val $P(X = a)$? Què implica?

    Val 0, perquè un sol punt té amplada zero i, per tant, àrea zero. Per això $P(X \le a) = P(X < a)$: incloure o no l'extrem no canvia res.

14. 14.Com és la gràfica d'una distribució normal $N(\mu;\ \sigma)$?

    Una campana de Gauss simètrica respecte de $x = \mu$, amb el màxim a la mitjana. Com més gran és $\sigma$, més ampla i baixa és la campana.

15. 15.Què diu la regla 68-95-99,7 d'una normal?

    A una desviació típica de la mitjana hi cau aproximadament el 68 % de les dades; a dues, el 95 %; a tres, el 99,7 %.

16. 16.Què és la normal estàndard Z?

    La normal de mitjana 0 i desviació típica 1, $N(0;\ 1)$. És la que surt a les taules, que donen $P(Z \le z)$.

17. 17.Fórmula per tipificar un valor x d'una $N(\mu;\ \sigma)$?

    $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$. Diu a quantes desviacions típiques està x de la mitjana i et permet fer servir la taula de la $N(0;\ 1)$.

18. 18.Com calcules $P(Z > z)$ si la taula només dona $P(Z \le z)$?

    Amb el complementari: $P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)$.

19. 19.Com calcules $P(Z \le -z)$, amb z positiu, a partir de la taula?

    Per la simetria de la campana: $P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - P(Z \le z)$.

20. 20.Com calcules $P(a \le Z \le b)$ amb la taula?

    Restant les dues àrees acumulades: $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$.

21. 21.Com trobes el valor x que deixa a l'esquerra una probabilitat donada en una $N(\mu;\ \sigma)$?

    Busques a la taula, a l'inrevés, el z que té aquesta probabilitat acumulada i desfàs la tipificació: $x = \mu + z\,\sigma$.

22. 22.Quan es pot aproximar una binomial $B(n;\ p)$ per una normal, i per quina?

    Quan $np \ge 5$ i $nq \ge 5$. S'aproxima per $N(np;\ \sqrt{npq})$.

23. 23.Què és la correcció de continuïtat en aproximar una binomial per una normal?

    Com que la binomial és discreta, cada valor enter k ocupa l'interval de $k - 0{,}5$ a $k + 0{,}5$. Per exemple, $P(X \ge 7)$ passa a $P(X' \ge 6{,}5)$, amb X' la normal.

Altres flashcards de Matemàtiques 1r Batxillerat

• Nombres reals, polinomis i nombres complexos
• Àlgebra
• Trigonometria
• Geometria analítica al pla
• Successions
• Funcions
• Límits i continuïtat
• Derivades
• Estadística i probabilitat
• Estadística bidimensional: regressió i correlació
• Matrius (introducció)
• Pensament computacional

Següent tema: Matrius (introducció) →