Flashcards: Límits i continuïtat

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Què vol dir $\lim_{x \to a} f(x) = L$?

   Que $f(x)$ s'acosta a $L$ quan $x$ s'acosta a $a$. No mira quant val $f(a)$: la funció pot no estar definida a $a$ i tenir límit igualment.

2. 2.Quan existeix el límit d'una funció en un punt?

   Només si els dos límits laterals, per l'esquerra i per la dreta, donen el mateix. Si un dona 3 i l'altre 5, no hi ha límit en aquell punt.

3. 3.Primer pas, sempre, per calcular un límit en un punt?

   La substitució directa. Si surt un nombre, aquest és el límit i has acabat; si no, mires què ha sortit per triar el mètode.

4. 4.Què és una indeterminació? Vol dir que el límit no existeix?

   Un resultat com $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ que no decideix el límit. No vol dir que no existeixi, sinó que encara no el saps: cal transformar l'expressió.

5. 5.Com es resol $\dfrac{0}{0}$ en un quocient de polinomis?

   Factoritzes dalt i baix, simplifiques el factor comú $(x - a)$ i tornes a substituir. Pel teorema del factor, tots dos polinomis el porten.

6. 6.Com es resol $\dfrac{0}{0}$ si hi ha arrels?

   Multiplicant dalt i baix pel conjugat del tros que porta l'arrel: la diferència de quadrats elimina l'arrel i fa aparèixer el factor $(x - a)$.

7. 7.Error típic: $\dfrac{k}{0}$ amb $k \ne 0$ és una indeterminació?

   No: el quocient es fa infinitament gran en valor absolut. L'única feina és decidir-ne el signe amb els límits laterals.

8. 8.En un $\dfrac{k}{0}$, què passa si els laterals donen $+\infty$ i $-\infty$?

   El límit no existeix, encara que en aquell punt hi hagi una asímptota vertical.

9. 9.Límit a l'infinit d'un quocient de polinomis amb el grau del numerador més gran.

   És infinit. El signe surt del quocient dels coeficients principals i, a $-\infty$, també de si la potència que sobra és parella o senar.

10. 10.Límit a l'infinit d'un quocient de polinomis del mateix grau.

    El quocient dels coeficients principals, els que acompanyen les potències més altes. La resta de termes no compten.

11. 11.Cap a on tendeix a l'infinit una fracció de polinomis si el de baix té més grau?

    Val 0: el denominador creix més de pressa i esclafa la fracció.

12. 12.Error típic: quant val $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x^3}{x^2}$?

    $-\infty$, no $+\infty$: queda $\lim 3x$ i $x$ va cap a $-\infty$. A $-\infty$, les potències senars canvien el signe.

13. 13.Quin grau té una arrel quadrada quan compares graus a l'infinit?

    El de dins dividit entre 2: $\sqrt{x^4 + 1}$ té grau efectiu 2 i $\sqrt{x^2 + 3x}$, grau efectiu 1.

14. 14.Quant val $\lim_{x \to +\infty} a^x$?

    $+\infty$ si $a > 1$, i 0 si $0 < a < 1$.

15. 15.A l'infinit, qui guanya entre una exponencial, un polinomi i un logaritme?

    Una exponencial de base $a > 1$ creix més de pressa que qualsevol polinomi, i un polinomi de grau $\ge 1$ creix més de pressa que un logaritme.

16. 16.Quant valen $\dfrac{k}{\infty}$, $\infty + \infty$ i $k \cdot \infty$ (amb $k \ne 0$)? Són indeterminacions?

    $0$, $\infty$ i $\infty$ (amb el signe que toqui). No són indeterminacions: és l'aritmètica de l'infinit i ja has acabat.

17. 17.Quines són les set indeterminacions?

    $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^{\infty}$, $0^0$ i $\infty^0$.

18. 18.Quin mètode resol la indeterminació $\infty - \infty$?

    Si hi ha arrels, multiplicant pel conjugat. Si ve de restar dues fraccions, posant-les a comú denominador.

19. 19.Com transformes una indeterminació $0 \cdot \infty$ per poder-la resoldre?

    Passant-la a quocient, $f \cdot g = \dfrac{f}{1/g}$, i resolent la $\dfrac{0}{0}$ o la $\dfrac{\infty}{\infty}$ que en surt. Amb racionals n'hi ha prou de multiplicar les fraccions.

20. 20.Fórmula per resoldre la indeterminació $1^{\infty}$ de $\lim f(x)^{g(x)}$.

    $\lim f(x)^{g(x)} = e^{L}$, amb $L = \lim g(x)\,(f(x) - 1)$.

21. 21.Error típic: $1^{\infty}$ val 1?

    No: la base només tendeix a 1 i l'exponent infinit amplifica la diferència. Per exemple, $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$.

22. 22.Quan és contínua una funció en un punt $a$?

    Quan el límit hi existeix i coincideix amb el valor de la funció: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. La gràfica es dibuixa sense aixecar el llapis.

23. 23.Per quins tres motius pot ser discontínua una funció en un punt?

    Per un salt (laterals finits però diferents), per un forat (el límit existeix però la funció no hi està definida o hi val una altra cosa) o per un salt a l'infinit.

24. 24.On es busquen les asímptotes verticals?

    On el límit de la funció es fa infinit, típicament als valors que anul·len el denominador.

25. 25.Quan té una funció asímptota horitzontal?

    Quan el límit a l'infinit dona un nombre: si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, la recta $y = L$ és asímptota horitzontal.

26. 26.Quan té asímptota obliqua una funció racional i com es troba?

    Quan el numerador té un grau més que el denominador. Fas la divisió: el quocient $y = mx + n$ és l'asímptota, perquè la resta partida pel divisor tendeix a 0.

Altres flashcards de Matemàtiques 1r Batxillerat

• Nombres reals, polinomis i nombres complexos
• Àlgebra
• Trigonometria
• Geometria analítica al pla
• Successions
• Funcions
• Derivades
• Estadística i probabilitat
• Estadística bidimensional: regressió i correlació
• Distribucions de probabilitat: binomial i normal
• Matrius (introducció)
• Pensament computacional

Següent tema: Derivades →