Exercicis de límits i continuïtat — Matemàtiques 1r Batxillerat

El grau del numerador (2) és més petit que el del denominador (3), per tant el límit val 0 i la funció té l'asímptota horitzontal y = 0.

Són indeterminacions ∞ - ∞, $\tfrac{0}{0}$ i 1^∞. No ho són k/∞ (val 0), ∞ + ∞ (val ∞) ni $\tfrac{0}{k}$ (val 0), que es resolen directament amb l'aritmètica de l'infinit.

Val 0. No és cap indeterminació: un nombre fix dividit per una cosa que es fa infinitament gran tendeix a 0.

La funció és racional i el denominador no s'anul·la a x = 2 (2 - 1 = 1 ≠ 0), així que la funció és contínua en aquest punt i el límit s'obté substituint directament.
lim_x→2 $\tfrac{(x^{2} + 3x)}{(x - 1)}$ = $\tfrac{(2^{2} + 3\cdot 2)}{(2 - 1)}$ = $\tfrac{(4 + 6)}{1} = 10$.
Només cal recórrer a factoritzar, al conjugat o a altres tècniques quan la substitució dona una indeterminació com $\tfrac{0}{0}$.

Substituint surt ∞/∞, que és una indeterminació. En un quocient de polinomis amb el mateix grau al numerador i al denominador, el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients dels termes de grau més alt.
lim_x→+∞ (3x² - 5x + 1)/(2x² + 7) = 3/2 = 1,5.
Justificació: si dividim numerador i denominador per x² queda (3 - 5/x + 1/x²)/(2 + 7/x²), i tots els termes amb x al denominador tendeixen a 0.
Conseqüència: la recta y = 1,5 és una asímptota horitzontal de la funció.

Substituint x = 3 surt 0/0: indeterminació. Com que 3 és arrel del numerador i del denominador, factoritzem i simplifiquem.
x² - 9 = (x - 3)(x + 3), per tant (x² - 9)/(x - 3) = x + 3 per a tot x ≠ 3.
lim_x→3 (x + 3) = 3 + 3 = 6.
Error típic: concloure que el límit «no existeix» perquè la funció no està definida a x = 3. El límit només mira què passa a prop del punt, no al punt mateix.

Substituint surt 0/0. Factoritzem: x² - 1 = (x - 1)(x + 1), i per a x ≠ 1 la funció coincideix amb x + 1.
lim_x→1 f(x) = 1 + 1 = 2.
El límit existeix i és finit, però f(1) no existeix: és una discontinuïtat evitable.
S'evitaria definint f(1) = 2; la gràfica és la recta y = x + 1 amb un «forat» al punt (1, 2).

Asímptota vertical: on s'anul·la el denominador sense que s'anul·li el numerador, és a dir x = 4 (el numerador hi val 9).
Límit per l'esquerra de 4: el numerador és positiu (≈ 9) i el denominador negatiu i molt petit, així que f(x) → -∞. Per la dreta, el denominador és positiu i molt petit: f(x) → +∞. La recta x = 4 és asímptota vertical.
Asímptota horitzontal: lim_x→±∞ (2x + 1)/(x - 4) = 2/1 = 2 (mateix grau: quocient de coeficients principals). La recta y = 2 és asímptota horitzontal.
Comprovació: f(1000) = 2001/996 ≈ 2,01, molt a prop de 2.

a) Certa: ser contínua a x = a vol dir que el límit existeix, que f(a) existeix i que tots dos coincideixen.
b) Falsa: pot existir el límit i la funció no estar definida al punt, o tenir-hi un valor diferent. Exemple: f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 4)}{(x - 2)}$ té límit 4 a x = 2 però no hi està definida (discontinuïtat evitable).
c) Certa: els polinomis són continus a tot ℝ i el seu límit en qualsevol punt és finit; només una funció que «es dispara» a prop d'un punt té asímptota vertical.
d) Certa: n'hi ha prou que un dels dos límits laterals sigui infinit perquè la recta x = a sigui asímptota vertical.

És una indeterminació ∞/∞. Per a x molt gran, √(4x² + 1) es comporta com √(4x²) = 2x: numerador i denominador són «de grau 1».
Dividim numerador i denominador per x (dins de l'arrel, per $x^{2}$): $\tfrac{\sqrt{4 + \tfrac{1}{x^{2}}}}{(1 + 3/x)}$ → $\tfrac{\sqrt{4}}{1} = 2$.
El límit val 2.
Compte: si x → -∞, llavors $\sqrt{x^{2}}$ = |x| = -x i el límit valdria -2.

El límit val 4: si els dos laterals coincideixen, el límit és aquest valor.

En substituir surt $\tfrac{5}{0}$, que no és indeterminació. Per l'esquerra el denominador és negatiu i petit, per tant el límit val -∞; per la dreta és positiu i petit, per tant val +∞. Com que els dos laterals no coincideixen, el límit no existeix, però hi ha asímptota vertical a x = 3.

Els graus són 3 i 2, per tant el límit és infinit. Quedant-te amb els termes principals surt 2x, i com que x tendeix a -∞, el resultat és -∞: la potència que sobra és senar i canvia el signe.

Per decidir la continuïtat a x = 2 cal comprovar dues coses: que el límit hi existeixi (els dos laterals coincideixin) i que valgui el mateix que f(2).
Límit per l'esquerra (tros $x^{2}$): lim_{x → 2−} f(x) = $2^{2}$ = 4.
Límit per la dreta (tros 2x): lim_{x → 2+} f(x) = 2·2 = 4.
Els dos laterals coincideixen (valen 4), per tant el límit existeix i lim_{x → 2} f(x) = 4.
Ara el valor de la funció: com que x = 2 compleix x ≤ 2, faig servir el tros $x^{2}$, i f(2) = $2^{2}$ = 4.
El límit (4) coincideix amb f(2) (4), així que la funció ÉS contínua a x = 2. Parany a evitar: no n'hi ha prou que el límit existeixi; ha de valer f(a).

L'error és tractar ∞ - ∞ com si fos 0: és una indeterminació, el resultat pot ser qualsevol nombre, infinit o no existir. Cal transformar l'expressió.
Fem la resta amb denominador comú: x²/(x - 1) - x = (x² - x(x - 1))/(x - 1) = (x² - x² + x)/(x - 1) = x/(x - 1).
Ara és un quocient de polinomis del mateix grau: lim_x→+∞ x/(x - 1) = 1/1 = 1.
El límit val 1, no 0. Interpretació: la gràfica de x²/(x - 1) s'acosta a la recta y = x + 1, per això la diferència amb x tendeix a 1.

Substituint: (2 - 2)/(4 - 4) = 0/0. Com que hi ha una arrel, multipliquem numerador i denominador pel conjugat √x + 2.
(√x - 2)(√x + 2) = x - 4, i l'expressió queda (x - 4)/[(x - 4)(√x + 2)] = 1/(√x + 2) per a x ≠ 4.
lim_x→4 1/(√x + 2) = 1/(2 + 2) = 1/4 = 0,25.
Comprovació: amb x = 4,01, (√4,01 - 2)/0,01 ≈ 0,2498, molt a prop de 0,25.

La base tendeix a 1 i l'exponent a +∞: indeterminació 1^∞. Fem servir que (1 + $\tfrac{1}{n}$$)^{n}$ → e quan n → ∞.
Escrivim (1 + $\tfrac{3}{x}$$)^{2x}$ = [(1 + $\tfrac{1}{(x/3)}$)^{$\tfrac{x}{3}$}$]^{6}$, perquè ($\tfrac{x}{3}$)·6 = 2x.
Quan x → +∞, també $\tfrac{x}{3}$ → +∞ i el claudàtor tendeix a e.
El límit val $e^{6}$ ≈ 403,4.
Regla ràpida: lim_x→+∞ (1 + a/x$)^{bx}$ = e^a·b; aquí e^3·2 = $e^{6}$.

Vertical: el denominador s'anul·la a x = 1 i el numerador hi val 2 ≠ 0. Per l'esquerra de 1 el límit és -∞ i per la dreta +∞: x = 1 és asímptota vertical.
Horitzontal: el grau del numerador (2) supera el del denominador (1), així que f tendeix a ±∞ quan x → ±∞ i no n'hi ha.
Obliqua: com que el grau del numerador és exactament un més, dividim: $x^{2}$ + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2, és a dir f(x) = x + 1 + $\tfrac{2}{(x - 1)}$.
El terme $\tfrac{2}{(x - 1)}$ tendeix a 0, per tant y = x + 1 és asímptota obliqua (als dos costats).
Error típic: buscar asímptota horitzontal i obliqua alhora; una funció racional no pot tenir totes dues.

Perquè f sigui contínua a x = 2 cal que lim_x→2 f(x) = f(2) = k.
Calculem el límit (surt $\tfrac{0}{0}$): $\tfrac{(x^{2} - 4)}{(x - 2)}$ = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2 per a x ≠ 2, així que lim_x→2 f(x) = 4.
Per tant k = 4.
Per a qualsevol altre valor de k el límit continua valent 4 però no coincideix amb f(2): f tindria una discontinuïtat evitable a x = 2.

f és racional: és contínua a tot arreu excepte on s'anul·la el denominador. x² - 4 = 0 → x = -2 i x = 2.
A x = -2: substituint surt 0/0. Simplifiquem: (x + 2)/[(x + 2)(x - 2)] = 1/(x - 2), i lim_x→-2 1/(x - 2) = 1/(-4) = -0,25. Límit finit i f(-2) no existeix: discontinuïtat evitable.
A x = 2: 1/(x - 2) tendeix a -∞ per l'esquerra i a +∞ per la dreta: discontinuïtat asimptòtica (de segona espècie), amb asímptota vertical x = 2.
Conclusió: f és contínua a ℝ - {-2, 2}, amb una discontinuïtat evitable a x = -2 i una d'asimptòtica a x = 2.

Definim g(x) = x³ + x - 5, que és polinòmica i, per tant, contínua a [1, 2].
g(1) = 1 + 1 - 5 = -3 < 0 i g(2) = 8 + 2 - 5 = 5 > 0: la funció canvia de signe.
Pel teorema de Bolzano existeix almenys un c de (1, 2) amb g(c) = 0, que és una solució de l'equació.
Afinem: g(1,5) = 3,375 + 1,5 - 5 = -0,125 < 0 i g(1,6) = 4,096 + 1,6 - 5 = 0,696 > 0. La solució és a l'interval (1,5; 1,6).
(De fet, c ≈ 1,516.)

Per l'esquerra (x < 1), el denominador és un negatiu molt petit: el límit és -∞.
Per la dreta, és un positiu molt petit: +∞.
Els laterals no coincideixen: no hi ha límit a x = 1. Hi ha una asímptota vertical.

Substituint dona $\sqrt{+\infty}$ - ∞, és a dir ∞ - ∞: una indeterminació que no diu el límit; cal transformar l'expressió.
Multiplico i divideixo pel conjugat $\sqrt{x^{2} + x}$ + x per fer desaparèixer l'arrel del numerador: (($\sqrt{x^{2} + x}$ - x)($\sqrt{x^{2} + x}$ + x))/($\sqrt{x^{2} + x}$ + x).
El numerador és una suma per diferència: ($\sqrt{x^{2} + x}$$)^{2}$ - $x^{2}$ = ($x^{2}$ + x) - $x^{2}$ = x.
Queda lim_{x → +∞} $\tfrac{(x)}{(\sqrt{x^{2} + x} + x)}$. Ara és una indeterminació ∞/∞ que sí puc resoldre: al denominador $\sqrt{x^{2} + x}$ es comporta com $\sqrt{x^{2}}$ = x quan x és molt gran, així que el denominador es comporta com x + x = 2x.
Per tant lim = $\tfrac{(x)}{(2x)}$ = $\tfrac{(1)}{(2)}$. El límit val $\tfrac{1}{2}$ (un nombre finit), no infinit: el parany de ∞ - ∞ és pensar que dona 0 o infinit directament.

Perquè f sigui contínua a x = 3 cal que els dos límits laterals coincideixin i valguin f(3).
Límit per la dreta (tros x² - 1), que a més és f(3): lim_{x → 3+} f(x) = 3² - 1 = 8.
Límit per l'esquerra (tros x + a): lim_{x → 3−} f(x) = 3 + a.
Per a la continuïtat imposo que coincideixin: 3 + a = 8, d'on a = 5.
Comprovació: amb a = 5 el límit per l'esquerra val 3 + 5 = 8, igual que el de la dreta i que f(3) = 8; la funció és contínua.
Si a = 0: el límit per l'esquerra valdria 3 + 0 = 3 i el de la dreta 8. Com que 3 ≠ 8, els laterals no coincideixen: hi hauria una discontinuïtat de salt a x = 3 (de salt finit 8 - 3 = 5).

Cada tros és un polinomi, continu al seu interval; només cal imposar la continuïtat als punts d'enganxament x = -1 i x = 2.
A x = -1: límit per l'esquerra -a + b; límit per la dreta i valor de la funció (-1$)^{2}$ + 1 = 2. Condició: -a + b = 2.
A x = 2: límit per l'esquerra $2^{2}$ + 1 = 5; límit per la dreta 2b - a. Condició: 2b - a = 5.
Resolem el sistema: de la primera equació, b = a + 2; substituint a la segona, 2(a + 2) - a = 5 → a = 1, i b = 3.
Comprovació: a x = -1, 1·(-1) + 3 = 2 coincideix amb 2; a x = 2, 3·2 - 1 = 5 coincideix amb 5.

El denominador tendeix a 0. Perquè el límit sigui finit, el numerador també ha de tendir a 0 (si no, el límit seria infinit): 4 + 2a + b = 0.
Llavors x = 2 és arrel del numerador i podem escriure $x^{2}$ + ax + b = (x - 2)(x - c). Simplificant, el límit val lim_x→2 (x - c) = 2 - c, que ha de ser 5: c = -3.
Així $x^{2}$ + ax + b = (x - 2)(x + 3) = $x^{2}$ + x - 6, és a dir a = 1 i b = -6.
Comprovació: 4 + 2·1 - 6 = 0, i $\tfrac{(x^{2} + x - 6)}{(x - 2)} = x$ + 3 → 5 quan x → 2.

La base tendeix a 2/2 = 1 i l'exponent a +∞: indeterminació 1^∞.
Escrivim la base com 1 + «alguna cosa petita»: (2x + 3)/(2x - 1) = 1 + 4/(2x - 1).
Fem servir que (1 + 1/g)^g → e quan g → ∞: (1 + 4/(2x - 1))^{x + 1} = [(1 + 1/((2x - 1)/4))^{(2x - 1)/4}]^{4(x + 1)/(2x - 1)}.
El claudàtor tendeix a e i l'exponent 4(x + 1)/(2x - 1) tendeix a 4/2 = 2.
El límit és e² ≈ 7,39.
Drecera: lim f^g = e^{lim g·(f - 1)} = e^{lim (x + 1)·4/(2x - 1)} = e².

f no està definida a x = 2 (denominador 0). Mirem els límits laterals traient el valor absolut segons el signe de $x^{2}$ - 4 = (x - 2)(x + 2).
Per la dreta (x una mica més gran que 2): $x^{2}$ - 4 > 0, f(x) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2 → 4.
Per l'esquerra (x una mica més petit que 2, però més gran que -2): $x^{2}$ - 4 < 0, f(x) = -(x - 2)(x + 2)/(x - 2) = -(x + 2) → -4.
Els límits laterals són finits però diferents (-4 i 4): discontinuïtat de salt, amb un salt de 8 unitats. No es pot evitar donant cap valor a f(2).
Error típic: simplificar |$x^{2}$ - 4|/(x - 2) = x + 2 sense mirar el signe i concloure que la discontinuïtat és evitable.

Passem tot a un costat: h(x) = e^x + x - 3, contínua a tot ℝ perquè és suma de funcions contínues.
h(0) = 1 + 0 - 3 = -2 < 0 i h(1) = e + 1 - 3 = e - 2 ≈ 0,72 > 0.
Pel teorema de Bolzano, hi ha almenys un c de (0, 1) amb h(c) = 0, és a dir e^c = 3 - c.
No en pot tenir més d'una: e^x és estrictament creixent i 3 - x estrictament decreixent, de manera que les dues gràfiques només es poden tallar un cop (equivalentment, h és estrictament creixent i només pot anul·lar-se una vegada).
(La solució és c ≈ 0,79.)

Quan x → 0 els dos termes tendeixen a infinit: indeterminació ∞ - ∞. Factoritzem el segon denominador, x² + 2x = x(x + 2), i fem denominador comú.
1/x - 2/(x(x + 2)) = [(x + 2) - 2]/(x(x + 2)) = x/(x(x + 2)) = 1/(x + 2) per a x ≠ 0.
lim_x→0 1/(x + 2) = 1/2 = 0,5.
Comprovació: amb x = 0,01, 1/0,01 - 2/(0,0001 + 0,02) = 100 - 99,5025 = 0,4975 ≈ 0,5.
Observació: cada terme per separat té límits laterals ±∞, però la diferència és una funció «ben educada» a prop de 0.