Exercicis de nombres reals i complexos — Matemàtiques 1r Batxillerat

Multipliques dalt i baix per $\sqrt{3}$: 4·$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$. El 4 i el 3 no tenen factor comú, per tant el resultat final és 4·$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Només x - 2. La regla de Ruffini demana un divisor de la forma x - a, és a dir de grau 1 i amb el coeficient de la x igual a 1; aquí a = 2. El divisor $x^{2}$ + 3 té grau 2 i s'ha de fer per divisió llarga.

El màxim comú divisor dels coeficients 10, 15 i 5 és 5, i la potència comuna de la x és la més petita, $x^{2}$. Queda 5x²·(2x² - 3x + 1).

√16 = 4: natural (i, per tant, també enter, racional i real).
-7/2 = -3,5: racional (decimal exacte), però no enter.
0,333… = 1/3: racional, perquè és un decimal periòdic.
π = 3,14159…: irracional, té infinites xifres decimals no periòdiques.
√5 = 2,236…: irracional, perquè 5 no és un quadrat perfecte.
2,101001000100001…: irracional; té infinites xifres que no es repeteixen periòdicament (cada vegada hi ha un zero més).
Tots sis són nombres reals: R = Q ∪ I.

|x - 5| < 3 vol dir que la distància de x a 5 és menor que 3: -3 < x - 5 < 3. Sumant 5 a tot arreu, 2 < x < 8.
Per tant A = (2, 8), interval obert perquè la desigualtat és estricta.
L'interval [-1, 7] té centre $\tfrac{(-1 + 7)}{2} = 3$ i radi (7 - (-1))/2 = 4: són els nombres que disten de 3 com a màxim 4 unitats.
Així, [-1, 7] = {x ∈ R : |x - 3| ≤ 4}, amb ≤ perquè els extrems hi són inclosos.
Comprovació: x = 7 dona |7 - 3| = 4 ≤ 4 (hi és), i x = 8 dona 5 (no hi és).

Descomponem cada radicand per treure factors fora de l'arrel: $\sqrt{50}$ = $\sqrt{25\cdot 2}$ = 5$\sqrt{2}$; $\sqrt{18}$ = $\sqrt{9\cdot 2}$ = 3$\sqrt{2}$; $\sqrt{8}$ = $\sqrt{4\cdot 2}$ = 2$\sqrt{2}$.
Com que ara tots són radicals semblants (mateix índex i mateix radicand), es poden sumar: 5$\sqrt{2}$ + 3$\sqrt{2}$ - 2$\sqrt{2}$ = 6$\sqrt{2}$.
Per al producte, arrels del mateix índex es multipliquen sota una sola arrel: $\sqrt{12}$·$\sqrt{27}$ = $\sqrt{12\cdot 27}$ = $\sqrt{324}$ = 18.
Comprovació amb calculadora: 6$\sqrt{2}$ ≈ 8,49 i $\sqrt{50}$ + $\sqrt{18}$ - $\sqrt{8}$ ≈ 7,07 + 4,24 - 2,83 = 8,48 (la petita diferència és d'arrodoniment).

log_a N = x significa a^x = N: busquem a quin exponent cal elevar la base per obtenir el nombre.
log₂ 32 = 5, perquè 2⁵ = 32.
log₃ (1/9) = -2, perquè 3^-2 = 1/9.
log 0,001 = -3, perquè 10^-3 = 0,001 (quan no s'escriu la base, és 10).
ln e⁵ = 5, perquè la base del logaritme neperià és el nombre e.
Error típic: pensar que el logaritme d'un nombre entre 0 i 1 no existeix; existeix, i és negatiu.

Teorema del residu: el residu de dividir P(x) entre x - a és P(a). Aquí el divisor és x + 2 = x - (-2), així que a = -2.
P(-2) = (-2$)^{4}$ - 3·(-2$)^{2}$ + 5·(-2) - 2 = 16 - 12 - 10 - 2 = -8.
El residu és -8. Com que no és zero, x + 2 no és un factor de P(x): pel teorema del factor, només ho seria si P(-2) = 0.
Error típic: substituir x = 2 en lloc de x = -2; el valor que s'ha de substituir és el que anul·la el divisor.

Suma: s'agrupen les parts reals i les parts imaginàries: (3 - 1) + (-2 + 4)i = 2 + 2i.
Resta: (3 - (-1)) + (-2 - 4)i = 4 - 6i.
Producte: es multiplica com dos binomis i s'aplica i² = -1: (3 - 2i)(-1 + 4i) = -3 + 12i + 2i - 8i² = -3 + 14i + 8 = 5 + 14i.
Error típic: oblidar que -8i² = +8 i deixar el producte com -11 + 14i.

Les potències de i es repeteixen cada quatre: $i^{1}$ = i, $i^{2}$ = -1, $i^{3}$ = -i, $i^{4}$ = 1. Per tant $i^{n}$ = $i^{r}$, on r és el residu de dividir n entre 4.
$i^{14}$: 14 = 4·3 + 2, així que $i^{14}$ = $i^{2}$ = -1.
$i^{27}$: 27 = 4·6 + 3, així que $i^{27}$ = $i^{3}$ = -i.
$i^{101}$: 101 = 4·25 + 1, així que $i^{101}$ = $i^{1}$ = i.
$\tfrac{1}{i}$: multipliquem numerador i denominador per i: $\tfrac{1}{i}$ = $\text{i/i}^{2}$ = $\tfrac{i}{(-1)}$ = -i.
Comprovació: i·(-i) = -$i^{2}$ = 1, així que -i és realment l'invers de i.

Quocient: 2x - 5. Residu: 5x + 4.
Comprovació: ($x^{2}$ + x)·(2x - 5) + 5x + 4 = 2x³ - 3x² - 5x + 5x + 4 = 2x³ - 3x² + 4.

Mòdul: r = $\sqrt{(-1)^{2} + (-1)^{2}}$ = $\sqrt{2}$.
Parany del quadrant: tan θ = $\tfrac{b}{a}$ = $\tfrac{(-1)}{(-1)} = 1$, i la calculadora dona 45°; però aquest angle és del PRIMER quadrant, i el nostre punt (part real i imaginària negatives) és al TERCER quadrant. Cal sumar 180°: θ = 45° + 180° = 225° (o 5π/4).
Forma polar: z = $\sqrt{2}$·(cos 225° + i·sin 225°).
Comprovació tornant a binòmica: cos 225° = -$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ i sin 225° = -$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, per tant z = $\sqrt{2}$·(-$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ - i·$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$) = -1 - i. Coincideix.

El mòdul és $\sqrt{4 + 4}$ = $\sqrt{8}$ = 2·$\sqrt{2}$. La tangent val $\tfrac{(-2)}{(-2)} = 1$ i la calculadora dona 45 graus, però el punt (-2, -2) és al TERCER quadrant, per tant hi sumes 180: l'argument és 225 graus.

El mòdul és $\sqrt{9 + 9}$ = $\sqrt{18}$ = 3·$\sqrt{2}$. La tangent val $\tfrac{3}{(-3)}$ = -1 i la calculadora dona -45 graus, però el punt és al segon quadrant, per tant hi sumes 180 i l'argument és 135 graus. En polar, z = (3·$\sqrt{2}$)₁₃₅.

Error absolut: E_a = |valor exacte - aproximació| = |1,7320508 - 1,73| = 0,0020508 ≈ 0,0021.
Error relatiu: E_r = E_a/|valor exacte| = 0,0020508/1,7320508 = 0,001184, és a dir, un 0,12 %.
Amb dues xifres decimals l'error absolut (0,0021) supera 0,001. Amb tres xifres, 1,732, l'error absolut és |1,7320508 - 1,732| = 0,0000508 < 0,001.
Per tant calen com a mínim 3 xifres decimals (1,732).
Recorda: l'error relatiu es calcula dividint l'error absolut pel valor exacte, i se sol expressar en tant per cent.

Quan el denominador és un binomi amb arrels, multipliquem numerador i denominador pel seu conjugat (el mateix binomi amb el signe del mig canviat) i apliquem (a + b)(a - b) = $a^{2}$ - $b^{2}$.
$\tfrac{3}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = 3$($\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$)/(($\sqrt{5}$ - $\sqrt{2}$)($\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$)) = 3($\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$)/(5 - 2) = 3($\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$)/3 = $\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$.
$\tfrac{2}{(3 + \sqrt{7})} = 2$(3 - $\sqrt{7}$)/((3 + $\sqrt{7}$)(3 - $\sqrt{7}$)) = 2(3 - $\sqrt{7}$)/(9 - 7) = 2(3 - $\sqrt{7}$)/2 = 3 - $\sqrt{7}$.
Comprovació amb calculadora: $\tfrac{3}{(2{,}236 - 1{,}414)} \approx 3{,}65$ i $\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$ ≈ 3,65; $\tfrac{2}{(3 + 2{,}646)} \approx 0{,}354$ i 3 - $\sqrt{7}$ ≈ 0,354.
Error típic: multiplicar només pel radical (per exemple, per $\sqrt{5}$) en lloc de pel conjugat sencer; així el denominador no queda racional.

Escrivim $3^{2x}$ = ($3^{x}$$)^{2}$ i fem el canvi t = $3^{x}$ (amb t > 0): $t^{2}$ - 4t + 3 = 0.
Resolem: t = $\tfrac{(4 \pm \sqrt{16 - 12})}{2}$ = $\tfrac{(4 \pm 2)}{2}$, és a dir, t = 3 o t = 1.
Desfem el canvi: $3^{x}$ = 3 dona x = 1; $3^{x}$ = 1 = $3^{0}$ dona x = 0.
Comprovació: per a x = 1, 9 - 12 + 3 = 0; per a x = 0, 1 - 4 + 3 = 0.
Solucions: x = 0 i x = 1. Si algun valor de t hagués sortit negatiu o zero, s'hauria de descartar, perquè una potència de base positiva sempre és positiva.

Fem servir les propietats log(a·b) = log a + log b, log(a/b) = log a - log b i log aⁿ = n·log a.
log 6 = log(2·3) = log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778.
log 1,5 = log(3/2) = log 3 - log 2 = 0,477 - 0,301 = 0,176.
log 8 = log 2³ = 3·log 2 = 3·0,301 = 0,903.
log √12 = (1/2)·log 12 = (1/2)·log(2²·3) = (1/2)·(2·0,301 + 0,477) = (1/2)·1,079 = 0,5395 ≈ 0,540.
Error típic: escriure log(2 + 3) = log 2 + log 3; el logaritme d'una suma no es pot descompondre.

Les arrels enteres, si n'hi ha, són divisors del terme independent -6: ±1, ±2, ±3, ±6.
Provem x = 1: P(1) = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0. Dividint per Ruffini entre x - 1 queda el quocient $x^{3}$ - 4x² + x + 6.
Provem x = -1 en el quocient: -1 - 4 - 1 + 6 = 0. Dividint entre x + 1 queda $x^{2}$ - 5x + 6.
Resolem $x^{2}$ - 5x + 6 = 0: x = $\tfrac{(5 \pm \sqrt{25 - 24})}{2}$ = $\tfrac{(5 \pm 1)}{2}$, és a dir, x = 2 o x = 3.
P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3); les arrels són 1, -1, 2 i 3, totes simples.
Comprovació: el producte dels termes independents dels factors és (-1)·1·(-2)·(-3) = -6, que coincideix amb el terme independent de P(x).

Per simplificar, factoritzem numerador i denominador: $x^{2}$ - 4 = (x - 2)(x + 2) (diferència de quadrats) i $x^{2}$ + 4x + 4 = (x + 2$)^{2}$ (quadrat d'un binomi).
$\tfrac{(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4x + 4)}$ = (x - 2)(x + 2)/(x + 2$)^{2}$ = $\tfrac{(x - 2)}{(x + 2)}$, vàlid per a x ≠ -2.
Per a la resta, el mínim comú múltiple dels denominadors és $x^{2}$ - 1 = (x - 1)(x + 1), així que $\tfrac{2}{(x - 1)} = 2$(x + 1)/((x - 1)(x + 1)).
$\tfrac{2}{(x - 1)}$ - $\tfrac{x}{(x^{2} - 1)}$ = (2x + 2 - x)/((x - 1)(x + 1)) = (x + 2)/((x - 1)(x + 1)) = $\tfrac{(x + 2)}{(x^{2} - 1)}$.
Error típic: «simplificar» sumands en lloc de factors (per exemple, tatxar $x^{2}$ a dalt i a baix de la primera fracció); només es poden simplificar factors comuns.

Per dividir complexos, multipliquem numerador i denominador pel conjugat del denominador, que el converteix en un nombre real.
(2 + 3i)/(1 - i) = (2 + 3i)(1 + i)/((1 - i)(1 + i)) = (2 + 2i + 3i + 3i²)/(1 - i²) = (2 + 5i - 3)/2 = (-1 + 5i)/2 = -1/2 + (5/2)i.
L'invers de z és 1/z = 1/(3 + 4i) = (3 - 4i)/((3 + 4i)(3 - 4i)) = (3 - 4i)/(9 + 16) = (3 - 4i)/25 = 3/25 - (4/25)i.
Comprovació: (3 + 4i)·(3 - 4i)/25 = (9 + 16)/25 = 1, com ha de ser.
En general, 1/z = (conjugat de z)/|z|²; aquí |z|² = 3² + 4² = 25.

Els valors absoluts canvien de signe a x = 2 i a x = -1: tres trams.
Si x ≥ 2: (x - 2) + (x + 1) = 5, 2x - 1 = 5, x = 3. Està al tram: val.
Si -1 ≤ x < 2: (2 - x) + (x + 1) = 3, i 3 ≠ 5: cap solució.
Si x < -1: (2 - x) - (x + 1) = 5, 1 - 2x = 5, x = -2. Està al tram: val.
Solucions: x = 3 i x = -2.

Pel logaritme d'un producte: log(x·(x - 3)) = 1, és a dir, x·(x - 3) = 10.
$x^{2}$ - 3x - 10 = 0 dona x = 5 i x = -2.
Cal comprovar-les: amb x = -2, log(-2) no existeix. L'única solució és x = 5 (comprovació: log(5) + log(2) = log(10) = 1).

Escric 8 en forma polar: mòdul 8 i argument 0°, és a dir 8 = 8·(cos 0° + i·sin 0°).
Un complex de mòdul r i argument θ té n arrels n-èsimes; totes tenen el MATEIX mòdul r^{$\tfrac{1}{n}$} i els arguments $\tfrac{(\theta + k\cdot 360°)}{n}$ amb k = 0, 1, ..., n - 1.
Aquí n = 3: el mòdul de cada arrel és 8^{$\tfrac{1}{3}$} = 2, i els arguments són $\tfrac{(0° + k\cdot 360°)}{3}$.

• k = 0: argument 0°, arrel 2·(cos 0° + i·sin 0°) = 2.
• k = 1: argument 120°, arrel 2·(cos 120° + i·sin 120°) = -1 + i·$\sqrt{3}$.
• k = 2: argument 240°, arrel 2·(cos 240° + i·sin 240°) = -1 - i·$\sqrt{3}$.

Parany: les n arrels no s'amunteguen; queden EQUIESPAIADES sobre una circumferència de radi 2, separades 360°/3 = 120° (formen un triangle equilàter).

a) Pel teorema del residu, ser divisible per x - 1 vol dir P(1) = 0: 1 + a + b + 6 = 0, és a dir, a + b = -7. Residu -4 en dividir entre x - 2 vol dir P(2) = -4: 8 + 4a + 2b + 6 = -4, és a dir, 4a + 2b = -18, o bé 2a + b = -9.
Restem les dues equacions: (2a + b) - (a + b) = -9 - (-7), d'on a = -2, i llavors b = -7 - a = -5.
Per tant P(x) = $x^{3}$ - 2x² - 5x + 6.
b) Com que x = 1 és arrel, dividim per Ruffini entre x - 1 (coeficients 1, -2, -5, 6): quocient $x^{2}$ - x - 6 i residu 0.
Resolem $x^{2}$ - x - 6 = 0: x = $\tfrac{(1 \pm \sqrt{1 + 24})}{2}$ = $\tfrac{(1 \pm 5)}{2}$, és a dir, x = 3 o x = -2.
P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2).
Comprovació: P(2) = (2 - 1)(2 - 3)(2 + 2) = 1·(-1)·4 = -4, tal com diu l'enunciat.

Un valor absolut sempre és ≥ 0, així que el membre dret ha de complir 3x ≥ 0, és a dir, x ≥ 0: qualsevol valor negatiu que surti s'haurà de descartar.
Cas 1 (el que hi ha dins és positiu o zero): $x^{2}$ - 4 = 3x → $x^{2}$ - 3x - 4 = 0 → x = $\tfrac{(3 \pm \sqrt{9 + 16})}{2}$ = $\tfrac{(3 \pm 5)}{2}$ → x = 4 o x = -1. Descartem x = -1.
Cas 2 (el que hi ha dins és negatiu): $x^{2}$ - 4 = -3x → $x^{2}$ + 3x - 4 = 0 → x = $\tfrac{(-3 \pm \sqrt{9 + 16})}{2}$ = $\tfrac{(-3 \pm 5)}{2}$ → x = 1 o x = -4. Descartem x = -4.
Comprovació: x = 4: |16 - 4| = 12 = 3·4, correcte. x = 1: |1 - 4| = 3 = 3·1, correcte. Amb x = -1 tindríem |1 - 4| = 3, però 3·(-1) = -3: no és solució.
Solucions: x = 1 i x = 4.

Condició prèvia: perquè els logaritmes existeixin cal x > 0 i y > 0.
Primera equació: log₂ x + log₂ y = log₂(x·y) = 5, per tant x·y = 2⁵ = 32.
De la segona, x = y + 4. Substituïm: (y + 4)·y = 32 → y² + 4y - 32 = 0 → y = (-4 ± √(16 + 128))/2 = (-4 ± 12)/2 → y = 4 o y = -8.
y = -8 no és vàlida: donaria x = -4 i logaritmes de nombres negatius, que no existeixen. Amb y = 4 obtenim x = 8.
Comprovació: log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5 i 8 - 4 = 4.
Solució: x = 8, y = 4.

a) En forma polar, els mòduls es multipliquen (o es divideixen) i els arguments se sumen (o es resten): z₁·z₂ = (2·3)_{30° + 45°} = 6_75°; z₁/z₂ = (2/3)_{30° - 45°} = (2/3)_-15° = (2/3)_345°, sumant 360° per donar l'argument entre 0° i 360°.
b) Mòdul de w = 1 + √3·i: |w| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2. Argument: tg α = √3/1 = √3 i, com que w és al primer quadrant, α = 60°. Així w = 2_60°.
Fórmula de De Moivre: w⁶ = (2⁶)_6·60° = 64_360° = 64_0°.
En forma binòmica: 64·(cos 0° + i·sin 0°) = 64.
Comprovació: w³ = 8_180° = -8, i (w³)² = (-8)² = 64.

Fem la divisió multiplicant pel conjugat del denominador: (k + 2i)/(3 - i) = (k + 2i)(3 + i)/((3 - i)(3 + i)) = (3k + ki + 6i + 2i²)/(9 + 1) = ((3k - 2) + (k + 6)i)/10.
Part real: (3k - 2)/10; part imaginària: (k + 6)/10.
a) És real si la part imaginària és 0: k + 6 = 0 → k = -6. Llavors el quocient val (3·(-6) - 2)/10 = -20/10 = -2.
b) És imaginari pur si la part real és 0 (i la imaginària no ho és): 3k - 2 = 0 → k = 2/3. Llavors el quocient val ((2/3 + 6)/10)·i = ((20/3)/10)·i = (2/3)i.
Comprovació de a): (-2)·(3 - i) = -6 + 2i, que és exactament el numerador k + 2i amb k = -6.

Si z = a + bi (amb a i b reals), |z|² = a² + b², que és un nombre real, i 2z = 2a + 2bi.
L'equació queda (a² + b² + 2a) + 2bi = 12 + 4i. Dos complexos són iguals quan coincideixen les parts reals i les parts imaginàries.
Part imaginària: 2b = 4 → b = 2. Part real: a² + 4 + 2a = 12 → a² + 2a - 8 = 0 → a = (-2 ± √(4 + 32))/2 = (-2 ± 6)/2 → a = 2 o a = -4.
Hi ha dues solucions: z = 2 + 2i i z = -4 + 2i.
Comprovació: per a z = 2 + 2i, |z|² = 8 i 2z = 4 + 4i, i 8 + 4 + 4i = 12 + 4i. Per a z = -4 + 2i, |z|² = 20 i 2z = -8 + 4i, i 20 - 8 + 4i = 12 + 4i.