Exercicis d'estadística i probabilitat — Matemàtiques 1r Batxillerat

Ors: 10. Figures: 12. Ors que són figures: 3. P = 10/40 + 12/40 - 3/40 = 19/40 = 0,475.

Dues (èxit o fracàs).

Una campana simètrica (la campana de Gauss).

Mitjana: $\bar{x}$ = (6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14)/6 = 60/6 = 10 min.
Variància: σ² = Σ(x - $\bar{x}$)²/n. Les desviacions respecte de 10 són -4, -2, -1, 1, 2 i 4, i els seus quadrats 16, 4, 1, 1, 4 i 16, que sumen 42. σ² = 42/6 = 7 min².
Desviació típica: σ = √7 ≈ 2,65 min.
Comprovació amb l'altra fórmula: Σx²/n - $\bar{x}$² = 642/6 - 10² = 107 - 100 = 7.
Error típic: oblidar l'arrel i donar la variància (7) com si fos la desviació típica; la variància s'expressa en min², no en min.

El coeficient de variació és el quocient entre la desviació típica i la mitjana, CV = σ/$\bar{x}$ (sovint en percentatge). No té unitats, i per això serveix per comparar dispersions de dades de mides diferents.
Llargues: CV = 2/50 = 0,04 = 4 %.
Curtes: CV = 0,6/8 = 0,075 = 7,5 %.
Les varetes curtes tenen una dispersió relativa més gran (7,5 % davant de 4 %), tot i que la seva desviació típica en centímetres és més petita.
Error típic: comparar directament 2 cm i 0,6 cm; la desviació típica depèn de la mida de les dades i, per si sola, no permet comparar-ne la dispersió.

La paraula té 9 lletres, però la A hi surt 3 vegades; les altres sis (C, T, L, U, N i Y) són totes diferents.
Són permutacions amb repetició: 9!/3! = 362880/6 = 60480.
Per què dividim per 3!: si les 9 lletres fossin diferents hi hauria 9! ordenacions, però en intercanviar entre elles les tres A no apareix cap ordenació nova; cada ordenació real surt comptada 3! = 6 vegades.
Hi ha 60480 ordenacions diferents.

Primer cas: importa l'ordre (qui guanya l'or, la plata o el bronze) i ningú no es pot repetir: variacions de 12 elements agafats de 3 en 3. V(12, 3) = 12·11·10 = 1320 maneres.
Segon cas: només importa quins tres atletes pugen al podi, no l'ordre: combinacions. C(12, 3) = 12·11·10/(3·2·1) = 1320/6 = 220 grups.
Relació entre els dos resultats: cada grup de 3 atletes es pot ordenar de 3! = 6 maneres, i 220·6 = 1320.
Criteri per triar: si canviar l'ordre dels elements dona un resultat diferent, són variacions; si no, són combinacions.

Hi ha 6·6 = 36 resultats equiprobables, així que podem aplicar la regla de Laplace: P = casos favorables/casos possibles.
Les sumes possibles van de 2 a 12 i les que són múltiples de 3 són 3, 6, 9 i 12.
Suma 3: (1,2), (2,1) → 2 casos. Suma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 casos. Suma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 casos. Suma 12: (6,6) → 1 cas.
Casos favorables: 2 + 5 + 4 + 1 = 12, i P = 12/36 = 1/3 ≈ 0,333.
Error típic: comptar (1,2) i (2,1) com un sol resultat; els dos daus es distingeixen i són resultats diferents.

Siguin A = «fa anglès» i B = «fa música»: P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 i P(A ∩ B) = 0,2.
Almenys una: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,6 + 0,3 - 0,2 = 0,7.
Cap de les dues: és el contrari d'«almenys una», 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0,7 = 0,3.
Només anglès: P(A) - P(A ∩ B) = 0,6 - 0,2 = 0,4.
Comprovació: només anglès 0,4 + només música 0,1 + les dues 0,2 + cap 0,3 = 1.
Error típic: sumar 0,6 + 0,3 = 0,9 sense restar la intersecció, que compta dues vegades els alumnes que fan les dues activitats.

a) Falsa: σ és l'arrel quadrada positiva de la variància, que és una mitjana de quadrats; sempre σ ≥ 0, i només val 0 si totes les dades són iguals.
b) Certa: la nova mitjana és $\bar{x}$ + 5 i cada desviació (x + 5) - ($\bar{x}$ + 5) = x - $\bar{x}$ no canvia, així que la variància i la desviació típica tampoc.
c) Certa: si són incompatibles, P(A ∩ B) = 0 i la fórmula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) es redueix a la suma.
d) Falsa: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) i P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A), que només coincideixen si P(A) = P(B). Contraexemple amb la baralla de 40 cartes: A = «rei» i B = «figura»: P(A|B) = 4/12 = 1/3, però P(B|A) = 1.

1. Mitjanes: $\bar{x}$=$\tfrac{(1+2+3+4+5)}{(5)} = 3$ i $\bar{y}$=$\tfrac{(2+3+5+6+9)}{(5)} = 5$.

1. Taula de càlcul amb les desviacions $d_{x}$=x-$\bar{x}$ i $d_{y}$=y-$\bar{y}$:

• x = 1, y = 2, $d_{x}$ = -2, $d_{y}$ = -3, $d_{x}$·$d_{y}$ = 6, $d_{x}$² = 4, $d_{y}$² = 9.
• x = 2, y = 3, $d_{x}$ = -1, $d_{y}$ = -2, $d_{x}$·$d_{y}$ = 2, $d_{x}$² = 1, $d_{y}$² = 4.
• x = 3, y = 5, $d_{x}$ = 0, $d_{y}$ = 0, $d_{x}$·$d_{y}$ = 0, $d_{x}$² = 0, $d_{y}$² = 0.
• x = 4, y = 6, $d_{x}$ = 1, $d_{y}$ = 1, $d_{x}$·$d_{y}$ = 1, $d_{x}$² = 1, $d_{y}$² = 1.
• x = 5, y = 9, $d_{x}$ = 2, $d_{y}$ = 4, $d_{x}$·$d_{y}$ = 8, $d_{x}$² = 4, $d_{y}$² = 16.
• Sumes: $d_{x}$ = 0, $d_{y}$ = 0, $d_{x}$·$d_{y}$ = 17, $d_{x}$² = 10, $d_{y}$² = 30.

1. Covariància i desviacions típiques (divideixo cada suma per n=5): $σ_{xy}$=$\tfrac{(17)}{(5)} = 3{,}4$; $σ_{x}$²=$\tfrac{(10)}{(5)} = 2$, i doncs $σ_{x}$=$\sqrt{2}$≈ 1,41; $σ_{y}$²=$\tfrac{(30)}{(5)} = 6$, i doncs $σ_{y}$=$\sqrt{6}$≈ 2,45.

1. Coeficient de correlació: r=($σ_{xy}$)/($σ_{x}$·$σ_{y}$)=$\tfrac{(3{,}4)}{(1{,}41\cdot 2{,}45)} \approx 0{,}98$.

1. Recta de regressió de y sobre x: el pendent és b=($σ_{xy}$)/($σ_{x}$²)=$\tfrac{(3{,}4)}{(2)} = 1{,}7$; la recta passa per ($\bar{x}$, $\bar{y}$)=(3, 5), així que y-5=1,7(x-3), és a dir y=1,7x-0,1.

1. Predicció per a x=3,5: y=1,7·3,5-0,1=5,85.

1. Interpretació (el parany): r≈ 0,98 és POSITIU (les dues variables pugen juntes) i molt a prop d'1, o sigui una correlació MOLT forta. Com que 3,5 hores cau DINS del rang de les dades [1, 5] i la correlació és forta, la predicció (nota ≈ 5,9) és fiable.

1. Mitjanes: $\bar{x}$=$\tfrac{(2+3+4+5+6)}{(5)} = 4$ i $\bar{y}$=$\tfrac{(9+7+6+4+4)}{(5)} = 6$.

1. Taula de càlcul amb $d_{x}$=x-$\bar{x}$ i $d_{y}$=y-$\bar{y}$:

• x = 2, y = 9, $d_{x}$ = -2, $d_{y}$ = 3, $d_{x}$·$d_{y}$ = -6, $d_{x}$² = 4, $d_{y}$² = 9.
• x = 3, y = 7, $d_{x}$ = -1, $d_{y}$ = 1, $d_{x}$·$d_{y}$ = -1, $d_{x}$² = 1, $d_{y}$² = 1.
• x = 4, y = 6, $d_{x}$ = 0, $d_{y}$ = 0, $d_{x}$·$d_{y}$ = 0, $d_{x}$² = 0, $d_{y}$² = 0.
• x = 5, y = 4, $d_{x}$ = 1, $d_{y}$ = -2, $d_{x}$·$d_{y}$ = -2, $d_{x}$² = 1, $d_{y}$² = 4.
• x = 6, y = 4, $d_{x}$ = 2, $d_{y}$ = -2, $d_{x}$·$d_{y}$ = -4, $d_{x}$² = 4, $d_{y}$² = 4.
• Sumes: $d_{x}$ = 0, $d_{y}$ = 0, $d_{x}$·$d_{y}$ = -13, $d_{x}$² = 10, $d_{y}$² = 18.

1. Covariància i desviacions típiques (dividint per n=5): $σ_{xy}$=$\tfrac{(-13)}{(5)}$=-2,6; $σ_{x}$²=$\tfrac{(10)}{(5)} = 2$, $σ_{x}$=$\sqrt{2}$≈ 1,41; $σ_{y}$²=$\tfrac{(18)}{(5)} = 3{,}6$, $σ_{y}$=$\sqrt{3,6}$≈ 1,90.

1. Coeficient de correlació: r=($σ_{xy}$)/($σ_{x}$·$σ_{y}$)=$\tfrac{(-2{,}6)}{(1{,}41\cdot 1{,}90)}$≈ -0,97.

1. Recta de regressió de y sobre x: pendent b=($σ_{xy}$)/($σ_{x}$²)=$\tfrac{(-2{,}6)}{(2)}$=-1,3; passa per (4, 6), així que y-6=-1,3(x-4), és a dir y=-1,3x+11,2.

1. Predicció per a x=7: y=-1,3·7+11,2=2,1, és a dir unes 210 unitats.

1. Interpretació (el parany): r≈ -0,97 té signe NEGATIU, o sigui una relació INVERSA (quan el preu puja, les vendes baixen), i el valor absolut, 0,97, molt a prop d'1, indica una correlació molt forta. El preu 7 € queda just fora del rang [2, 6] (una petita extrapolació); com que r és molt fort, la predicció encara és raonablement fiable, però caldria prudència en allunyar-se més del rang.

P(Y|X) = 90/120 = 0,75. P(X|Y) = 90/110 ≈ 0,82. Fixa't que no són iguals: la condició canvia el grup de referència.

El nombre d'encerts segueix una B(8, 0,5): hi ha 8 proves independents i cada pregunta té dos resultats (encert amb probabilitat p=0,5, o error). La fórmula binomial és:

P(X=k)=C(n,k)·$p^{k}$·(1-p)^n−k.

Amb n=8, k=5 i p=0,5:

P(X=5)=C(8,5)·0,$5^{5}$·0,$5^{3}$=C(8,5)·0,$5^{8}$.

El nombre combinatori: C(8,5)=$\tfrac{(8!)}{(5!\cdot 3!)} = 56$.
La potència: 0,$5^{8}$=$\tfrac{(1)}{(256)} \approx 0{,}0039$.

Per tant P(X=5)=56·$\tfrac{(1)}{(256)}$=$\tfrac{(56)}{(256)} \approx 0{,}219$, és a dir un 21,9 %.

Parany: això és la probabilitat d'encertar-ne EXACTAMENT 5, no la de «5 o més». Per a «5 o més» caldria sumar P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8).

Amb una taula de freqüències: $\bar{x}$ = Σ f·x/n i σ² = Σ f·x²/n - $\bar{x}$², on n = Σ f = 20.
Σ f·x = 0·1 + 1·5 + 2·9 + 3·3 + 4·2 = 0 + 5 + 18 + 9 + 8 = 40, així que $\bar{x}$ = 40/20 = 2 llibres.
Σ f·x² = 0·1 + 1·5 + 4·9 + 9·3 + 16·2 = 0 + 5 + 36 + 27 + 32 = 100.
σ² = 100/20 - 2² = 5 - 4 = 1, i σ = 1 llibre.
Comprovació amb desviacions: Σ f·(x - 2)² = 1·4 + 5·1 + 9·0 + 3·1 + 2·4 = 20, i 20/20 = 1.
Error típic: dividir per 5 (el nombre de files de la taula) en lloc de per n = 20, que és la suma de les freqüències.

Amb dades agrupades fem servir la marca de classe, el punt mitjà de cada interval: 5, 15, 25, 35 i 45 min.
Σ f·x = 6·5 + 15·15 + 14·25 + 3·35 + 2·45 = 30 + 225 + 350 + 105 + 90 = 800, així que $\bar{x}$ = 800/40 = 20 min.
Σ f·x² = 6·25 + 15·225 + 14·625 + 3·1225 + 2·2025 = 150 + 3375 + 8750 + 3675 + 4050 = 20000.
σ² = 20000/40 - 20² = 500 - 400 = 100, i σ = 10 min.
La classe modal és la de més freqüència, [10, 20), amb 15 alumnes.
Són valors aproximats: suposem que dins de cada interval totes les dades valen la marca de classe.

Les dades ja estan ordenades i n = 12. Meitat inferior: 7, 8, 9, 11, 12, 12. Meitat superior: 14, 15, 16, 18, 19, 40.
Mediana: mitjana dels dos valors centrals, $\tfrac{(12 + 14)}{2} = 13$ min.
$Q_{1}$ = mediana de la meitat inferior = $\tfrac{(9 + 11)}{2} = 10$ min, i $Q_{3}$ = mediana de la meitat superior = $\tfrac{(16 + 18)}{2} = 17$ min.
Rang interquartílic: RIQ = 17 - 10 = 7 min.
Límits: $Q_{1}$ - 1,5·7 = -0,5 i $Q_{3}$ + 1,5·7 = 27,5. Els valors normals són els de l'interval [-0,5; 27,5].
El 40 queda fora d'aquest interval: és un valor atípic. Tots els altres hi són dins.

L'ordre dels membres de la comissió no importa: són combinacions. «Almenys 2 noies» vol dir 2, 3 o 4 noies.
2 noies i 2 nois: C(5, 2)·C(7, 2) = 10·21 = 210.
3 noies i 1 noi: C(5, 3)·C(7, 1) = 10·7 = 70.
4 noies: C(5, 4) = 5.
Total: 210 + 70 + 5 = 285 comissions.
Comprovació pel contrari: en total hi ha C(12, 4) = 495 comissions; en treiem les que tenen 0 noies, C(7, 4) = 35, i les que en tenen 1, 5·C(7, 3) = 5·35 = 175; 495 - 35 - 175 = 285.

Fem el diagrama d'arbre. Com que no hi ha reposició, després de la primera extracció les probabilitats de la segona canvien.
Dues vermelles: P(V₁)·P(V₂|V₁) = (5/8)·(4/7) = 20/56.
Dues blaves: P(B₁)·P(B₂|B₁) = (3/8)·(2/7) = 6/56.
Els dos camins són incompatibles, així que se sumen: P = 20/56 + 6/56 = 26/56 = 13/28 ≈ 0,464.
Comprovació amb combinacions: casos favorables C(5, 2) + C(3, 2) = 10 + 3 = 13, sobre casos possibles C(8, 2) = 28.

De P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) aïllem la intersecció: P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 - 0,7 = 0,2.
Independents: ho són si P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Aquí P(A)·P(B) = 0,4·0,5 = 0,2 = P(A ∩ B): sí que són independents.
Incompatibles: ho serien si P(A ∩ B) = 0, però val 0,2: no són incompatibles.
Fixa't que «independents» i «incompatibles» són conceptes diferents: dos esdeveniments incompatibles amb probabilitat no nul·la mai no són independents, perquè saber que ha passat A fa impossible B.

Apliquem el teorema de la probabilitat total, amb el grup com a partició: P(A) = 12/30 = 0,4 i P(B) = 18/30 = 0,6.
P(aprovar|A) = 0,75 i P(aprovar|B) = 2/3.
P(aprovar) = P(A)·P(aprovar|A) + P(B)·P(aprovar|B) = 0,4·0,75 + 0,6·(2/3) = 0,30 + 0,40 = 0,70.
Comprovació amb els alumnes: el 75 % de 12 són 9 aprovats i els 2/3 de 18 són 12; (9 + 12)/30 = 21/30 = 0,70.
Error típic: fer la mitjana simple (0,75 + 0,667)/2 ≈ 0,71, sense tenir en compte que els grups tenen mides diferents.

1. Mitjanes: $\bar{x}$=$\tfrac{(2+4+6+8+10)}{(5)} = 6$ i $\bar{y}$=$\tfrac{(5+4+8+7+11)}{(5)} = 7$.

1. Taula de càlcul amb $d_{x}$=x-$\bar{x}$ i $d_{y}$=y-$\bar{y}$:

• x = 2, y = 5, $d_{x}$ = -4, $d_{y}$ = -2, $d_{x}$·$d_{y}$ = 8, $d_{x}$² = 16, $d_{y}$² = 4.
• x = 4, y = 4, $d_{x}$ = -2, $d_{y}$ = -3, $d_{x}$·$d_{y}$ = 6, $d_{x}$² = 4, $d_{y}$² = 9.
• x = 6, y = 8, $d_{x}$ = 0, $d_{y}$ = 1, $d_{x}$·$d_{y}$ = 0, $d_{x}$² = 0, $d_{y}$² = 1.
• x = 8, y = 7, $d_{x}$ = 2, $d_{y}$ = 0, $d_{x}$·$d_{y}$ = 0, $d_{x}$² = 4, $d_{y}$² = 0.
• x = 10, y = 11, $d_{x}$ = 4, $d_{y}$ = 4, $d_{x}$·$d_{y}$ = 16, $d_{x}$² = 16, $d_{y}$² = 16.
• Sumes: $d_{x}$ = 0, $d_{y}$ = 0, $d_{x}$·$d_{y}$ = 30, $d_{x}$² = 40, $d_{y}$² = 30.

1. Covariància i desviacions típiques (dividint per n=5): $σ_{xy}$=$\tfrac{(30)}{(5)} = 6$; $σ_{x}$²=$\tfrac{(40)}{(5)} = 8$, $σ_{x}$=$\sqrt{8}$≈ 2,83; $σ_{y}$²=$\tfrac{(30)}{(5)} = 6$, $σ_{y}$=$\sqrt{6}$≈ 2,45.

1. Coeficient de correlació: r=($σ_{xy}$)/($σ_{x}$·$σ_{y}$)=$\tfrac{(6)}{(2{,}83\cdot 2{,}45)} \approx 0{,}87$.

1. Recta de regressió de y sobre x: pendent b=($σ_{xy}$)/($σ_{x}$²)=$\tfrac{(6)}{(8)} = 0{,}75$; passa per (6, 7), així que y-7=0,75(x-6), és a dir y=0,75x+2,5.

1. Predicció per a x=20: y=0,75·20+2,5=17,5 punts.

1. Interpretació (el parany): r≈ 0,87 és positiu i força alt, o sigui una correlació forta, i podria semblar que la predicció és bona. PERÒ x=20 hores està MOLT fora del rang de dades observat [2, 10]: és una extrapolació llunyana. La recta només és fiable dins (o molt a prop) del rang de les dades, de manera que la predicció de 17,5 punts NO és fiable, per molt bo que sigui el valor de r.

Positius de malalts: 0,02 · 0,95 = 0,019. Falsos positius: 0,98 · 0,10 = 0,098.
P(positiu) = 0,019 + 0,098 = 0,117.
Bayes: P(malalt | positiu) = 0,019/0,117 ≈ 0,1624, un 16 %.
És poc, perquè la malaltia és rara i hi ha molts més sans que donen positiu per error que no pas malalts.

Tipifico els dos extrems amb z=(x-m)/(s), on la mitjana és m=500 i la desviació típica s=5:

$z_{1}$=$\tfrac{(495-500)}{(5)}$=-1 i $z_{2}$=$\tfrac{(510-500)}{(5)} = 2$.

Així, P(495<X<510)=P(-1<Z<2)=Φ(2)-Φ(-1).

De la taula de la N(0, 1): Φ(2)=0,9772 i Φ(1)=0,8413. Per simetria de la campana, Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0,8413=0,1587.

P(-1<Z<2)=0,9772-0,1587=0,8185.

És a dir, aproximadament el 81,85 % de les ampolles. Parany doble: la z negativa NO és a la taula directa, s'obté per simetria (Φ(-z)=1-Φ(z)); i per a un interval cal RESTAR les dues probabilitats acumulades, no sumar-les.

Mitjana global: ponderada pel nombre d'alumnes, $\bar{x}$ = (10·8 + 20·5)/30 = 180/30 = 6.
Per a la variància recuperem la suma dels quadrats de cada grup: Σx² = n·(σ² + $\bar{x}$²). Grup A: 10·(4 + 64) = 680. Grup B: 20·(1 + 25) = 520.
Variància global: σ² = (680 + 520)/30 - 6² = 40 - 36 = 4, i σ = 2.
Comprovació amb la descomposició en variació dins dels grups i entre grups: [10·4 + 20·1 + 10·(8 - 6)² + 20·(5 - 6)²]/30 = (60 + 60)/30 = 4.
Error típic: fer la mitjana ponderada de les desviacions, (10·2 + 20·1)/30 = 1,33. Dona un valor massa petit, perquè ignora que les mitjanes dels dos grups són diferents i això afegeix dispersió.

Un canvi lineal F = a·C + b transforma la mitjana de la mateixa manera: $\bar{F}$ = 1,8·18 + 32 = 64,4 °F.
La desviació típica només queda multiplicada per |a|: sumar 32 desplaça totes les dades igual i no en canvia la dispersió. σ_F = 1,8·6 = 10,8 °F.
Coeficients de variació: en °C, CV = 6/18 = 0,333 (33,3 %); en °F, CV = 10,8/64,4 = 0,168 (16,8 %).
Les dades són les mateixes i el CV s'ha reduït a la meitat aproximadament: el CV no és invariant davant d'un canvi d'escala amb desplaçament, perquè la mitjana depèn d'on es posa el zero (0 °C no és el mateix zero que 0 °F).
Conclusió: el CV només té sentit en magnituds amb un zero natural (longituds, masses, temps, temperatura en kèlvins); per a temperatures en °C o °F cal comparar desviacions típiques.

a) Probabilitat total: P(D) = 0,50·0,01 + 0,30·0,02 + 0,20·0,04 = 0,005 + 0,006 + 0,008 = 0,019, és a dir, l'1,9 % de les peces.
b) Teorema de Bayes: P(M|D) = P(M)·P(D|M)/P(D).
P(A|D) = 0,005/0,019 = 0,263; P(B|D) = 0,006/0,019 = 0,316; P(C|D) = 0,008/0,019 = 0,421.
Comprovació: 0,263 + 0,316 + 0,421 = 1.
Una peça defectuosa és més probable que vingui de la màquina C (42,1 %), tot i que és la que en fabrica menys: el seu percentatge de peces defectuoses (4 %) és tan alt que compensa la quota baixa (20 %). La probabilitat inicial s'ha actualitzat amb la informació que la peça és defectuosa.

Entre 1 i 30 hi ha 6 múltiples de 5 (5, 10, 15, 20, 25 i 30) i 24 nombres que no ho són. L'extracció és simultània: l'ordre no importa, així que comptem combinacions.
Casos possibles: C(30, 5) = 142506.
Casos favorables: triem 2 de les 6 boles múltiples de 5 i 3 de les 24 que no ho són: C(6, 2)·C(24, 3) = 15·2024 = 30360.
P = 30360/142506 ≈ 0,213.
Interpretació: en un 21 % de les extraccions hi ha exactament dues boles amb un número múltiple de 5.
Error típic: calcular només C(6, 2)/C(30, 5), oblidant que també cal triar les altres 3 boles entre les que no són múltiples de 5.

Suposem que el concursant ha triat la porta 1. Al començament, P(premi a la 1) = 1/3 i P(premi a la 2 o a la 3) = 2/3.
Si el premi és a la 1 (prob. 1/3), el presentador obre una de les altres dues i canviar fa perdre. Si el premi és a la 2 o a la 3 (prob. 2/3), el presentador no té opció: obre l'altra porta buida, i canviar fa guanyar.
Per tant, P(guanyar si es manté) = 1/3 i P(guanyar si es canvia) = 2/3: li convé canviar.
Amb Bayes, si el presentador obre la 3: P(premi a la 2 | obre la 3) = P(premi a la 2)·P(obre la 3 | premi a la 2)/P(obre la 3) = (1/3·1)/(1/2) = 2/3, amb P(obre la 3) = 1/3·1/2 + 1/3·1 + 1/3·0 = 1/2.
Intuïció: obrir una porta buida no canvia la probabilitat de la porta triada (continua sent 1/3), però concentra en l'altra porta tancada tota la resta, 2/3.

«Almenys dos coincideixen» és el contrari de «tots els aniversaris són diferents»; calculem aquest i el restem de 1.
El primer alumne pot néixer qualsevol dia ($\tfrac{365}{365}$); el segon ha d'evitar-ne un ($\tfrac{364}{365}$); el tercer en té dos de prohibits ($\tfrac{363}{365}$); i així fins al trentè, que n'ha d'evitar 29 ($\tfrac{336}{365}$).
P(tots diferents) = ($\tfrac{365}{365}$)·($\tfrac{364}{365}$)·($\tfrac{363}{365}$)···($\tfrac{336}{365}$) = $\tfrac{(365\cdot 364\cdot \cdot \cdot 336)}{365^{30}} \approx 0{,}294$ (amb calculadora).
P(almenys dos coincideixen) = 1 - 0,294 = 0,706, és a dir, un 70,6 %.
El resultat sorprèn, però és correcte: no es compara cada alumne amb un de concret, sinó que hi ha 30·$\tfrac{29}{2} = 435$ parells possibles. Amb només 23 alumnes la probabilitat ja supera el 50 % (≈ 0,507).