Exercicis de successions i límits — Matemàtiques 1r Batxillerat

Divergeix (cap a +∞): creix sense aturador.

Substituïm n = 1, 2, 3, 4, 5 a la fórmula. El factor (-1)ⁿ val -1 quan n és senar i +1 quan n és parell, així que els signes s'alternen.
a₁ = (-1)·2/1 = -2; a₂ = (+1)·3/2 = 3/2; a₃ = (-1)·4/3 = -4/3; a₄ = 5/4; a₅ = -6/5.
Per a n = 10 (parell): a₁₀ = (+1)·11/10 = 11/10 = 1,1.
Observació: el valor absolut dels termes s'acosta a 1, però els signes alternen, així que els termes no s'aproximen a cap valor concret.

Un nombre és terme de la successió si existeix un nombre natural n (n = 1, 2, 3, ...) tal que a_n val aquest nombre.
4n - 7 = 93 → 4n = 100 → n = 25. És un nombre natural, així que 93 és el terme que ocupa el lloc 25 (a₂₅ = 93).
4n - 7 = 50 → 4n = 57 → n = 57/4 = 14,25. No és un nombre natural, així que 50 no és terme de la successió.
Comprovació: a₂₅ = 4·25 - 7 = 93; i els termes que envolten el 50 són a₁₄ = 49 i a₁₅ = 53.

Cada terme, a partir del tercer, és la suma dels dos anteriors. Els dos primers, a₁ = 1 i a₂ = 3, són dades.
a₃ = a₂ + a₁ = 3 + 1 = 4; a₄ = 4 + 3 = 7; a₅ = 7 + 4 = 11; a₆ = 11 + 7 = 18; a₇ = 18 + 11 = 29; a₈ = 29 + 18 = 47.
Els vuit primers termes són 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47.
Observació: per calcular un terme concret, com a₈, cal haver calculat abans tots els anteriors; per això de vegades és útil trobar una fórmula del terme general.

Mirem les diferències entre termes consecutius: 11 - 7 = 4, 15 - 11 = 4, 19 - 15 = 4. Són totes iguals, per tant és una progressió aritmètica de diferència d = 4 i primer terme a₁ = 7.
Terme general: a_n = a₁ + (n - 1)·d = 7 + (n - 1)·4 = 4n + 3.
Terme 30: a₃₀ = 4·30 + 3 = 123.
Comprovació: a₄ = 4·4 + 3 = 19, que coincideix amb el quart terme de la llista.

Cada període de 3 hores el nombre de bacteris es multiplica per 2: és una progressió geomètrica de raó r = 2. Si $b_{n}$ és el nombre de bacteris al cap de n períodes, $b_{0}$ = 500 i $b_{n}$ = 500·$2^{n}$.
24 hores són $\tfrac{24}{3} = 8$ períodes, així que $b_{8}$ = 500·$2^{8}$ = 500·256 = 128000 bacteris.
Comprovació: al cap de 3 hores n'hi ha 1000, de 6 hores 2000, de 9 hores 4000, ... i cada vegada el doble; després de 8 duplicacions, 500·256 = 128000.
Error típic: calcular 500·2·8 = 8000; duplicar vuit vegades vol dir multiplicar per $2^{8}$, no per 2·8.

És una progressió geomètrica de primer terme a₁ = 1 i raó r = (1/3)/1 = 1/3.
Com que |r| = 1/3 < 1, els termes s'acosten a 0 i la suma dels infinits termes té un valor finit, donat per S = a₁/(1 - r).
S = 1/(1 - 1/3) = 1/(2/3) = 3/2 = 1,5.
Comprovació: les sumes parcials s'hi acosten: 1 + 1/3 = 1,333…; 1 + 1/3 + 1/9 = 1,444…; amb quatre termes 1,481…; i tendeixen a 1,5.
Si |r| ≥ 1 la suma dels infinits termes no es pot calcular amb aquesta fórmula, perquè els termes no tendeixen a 0.

Una potència $r^{n}$ depèn de la base r: si |r| < 1 tendeix a 0 i si r > 1 tendeix a +∞.
lim ($\tfrac{2}{3}$$)^{n}$ = 0, perquè $\tfrac{2}{3}$ és menor que 1: cada terme és $\tfrac{2}{3}$ de l'anterior (0,667; 0,444; 0,296; ...).
lim ($\tfrac{3}{2}$$)^{n}$ = +∞, perquè $\tfrac{3}{2}$ > 1: els termes (1,5; 2,25; 3,375; ...) creixen sense límit.
lim (-$\tfrac{1}{2}$$)^{n}$ = 0, perquè |-$\tfrac{1}{2}$| < 1: els termes alternen de signe (-0,5; 0,25; -0,125; ...) però el seu valor absolut s'acosta a 0.
(-2$)^{n}$ dona -2, 4, -8, 16, ...: el valor absolut creix sense límit i el signe alterna, per tant no s'acosta a cap nombre ni a +∞ ni a -∞. El límit no existeix (la successió és oscil·lant).

En les dues fraccions el numerador i el denominador tendeixen a infinit; per decidir quin dels dos domina, comparem els graus dels polinomis o dividim pel terme de grau més alt del denominador.
Primera: el grau del numerador (1) és menor que el del denominador (2). Dividint per $n^{2}$: $\tfrac{(4/n + 1/n^{2})}{(1 - 3/n^{2})}$ → $\tfrac{(0 + 0)}{(1 - 0)} = 0$.
Segona: el grau del numerador (3) és major que el del denominador (1). Dividint per n: $\tfrac{(n^{2} - 2/n)}{(5 + 1/n)}$; el numerador tendeix a +∞ i el denominador a 5, per tant el límit és +∞.
Resum: grau del numerador menor → límit 0; grau major → ±∞ (el signe el donen els coeficients principals); grau igual → quocient dels coeficients principals.
Comprovació amb n = 100: $\tfrac{401}{9997} \approx 0{,}04$ (ja és molt petit) i 999998/501 ≈ 1996 (gran, i seguiria creixent).

$a_{1}$ = 1 - 6 = -5; $a_{2}$ = 4 - 12 = -8; $a_{3}$ = 9 - 18 = -9; $a_{4}$ = 16 - 24 = -8; $a_{5}$ = 25 - 30 = -5; $a_{6}$ = 36 - 36 = 0.
Els termes baixen de -5 a -9 ($a_{1}$ > $a_{2}$ > $a_{3}$) i després pugen ($a_{3}$ < $a_{4}$ < $a_{5}$ < $a_{6}$). Com que no sempre pugen ni sempre baixen, la successió no és ni creixent ni decreixent (no és monòtona).
Per justificar-ho: $a_{n+1}$ - $a_{n}$ = (n + 1$)^{2}$ - 6(n + 1) - ($n^{2}$ - 6n) = 2n - 5, que és negatiu per a n = 1 i n = 2, i positiu per a n ≥ 3.
Per tant, és decreixent fins al terme $a_{3}$ i creixent a partir d'$a_{3}$ ($a_{3}$ < $a_{4}$ < $a_{5}$ < ...).

Decreixent: 1, $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{3}$, ...; cada terme és més petit que l'anterior.

a₁ = 1; a₂ = 1 + 1 = 2; a₃ = 2 + 2 = 4; a₄ = 4 + 3 = 7.

El nombre de butaques per fila forma una progressió aritmètica: identifiquem a₁ = 18 (primera fila) i d = 2 (cada fila en suma 2). El parany és no confondre d amb el nombre de files.
Primer necessitem l'última fila, a₁₅: a₁₅ = a₁ + (15 - 1) · d = 18 + 14 · 2 = 18 + 28 = 46 butaques.
Ara sumem els 15 termes amb S_n = n · (a₁ + a_n) / 2: S₁₅ = 15 · (18 + 46) / 2 = 15 · 64 / 2 = 15 · 32 = 480.
La sala té 480 butaques.

L'estalvi mensual és una progressió aritmètica: a₁ = 10 (gener) i d = 5 (cada mes 5 més). El parany és sumar 12 vegades 10, o confondre l'estalvi d'un mes amb el total acumulat.
Últim mes (desembre), a₁₂: a₁₂ = 10 + (12 - 1) · 5 = 10 + 55 = 65 euros.
Total acumulat amb S_n = n · (a₁ + a_n) / 2: S₁₂ = 12 · (10 + 65) / 2 = 12 · 75 / 2 = 6 · 75 = 450.
Al cap de 12 mesos haurà estalviat 450 euros.

Les persones que reben el missatge a cada ronda formen una progressió geomètrica: identifiquem $a_{1}$ = 3 (primera ronda) i raó r = 3 (cada ronda es multiplica per 3). El parany és sumar-ho a mà o confondre-ho amb una aritmètica.
Comptem des de la ronda 1 fins a la 6 amb $S_{n}$ = $a_{1}$ · $\tfrac{(r^{n} - 1)}{(r - 1)}$:
$S_{6}$ = 3 · $\tfrac{(3^{6} - 1)}{(3 - 1)} = 3$ · $\tfrac{(729 - 1)}{2} = 3$ · $\tfrac{728}{2} = 3$ · 364 = 1092.
En total han rebut el missatge 1092 persones.

El límit és 2: mana el terme de grau més alt, 2n/n = 2.

De a₈ = a₃ + 5d: 31 = 11 + 5d, d'on d = 20/5 = 4.
Primer terme: a₃ = a₁ + 2d → 11 = a₁ + 8, d'on a₁ = 3.
Terme general: a_n = 3 + (n - 1)·4 = 4n - 1.
Suma dels 20 primers: a₂₀ = 4·20 - 1 = 79 i S₂₀ = 20·(a₁ + a₂₀)/2 = 10·(3 + 79) = 820.
Comprovació: a₃ = 4·3 - 1 = 11 i a₈ = 4·8 - 1 = 31.

Hem de tenir una progressió geomètrica de 5 termes amb $a_{1}$ = 4 i $a_{5}$ = 324. Com que $a_{5}$ = $a_{1}$·$r^{4}$: 324 = 4·$r^{4}$, d'on $r^{4}$ = 81.
Les solucions reals de $r^{4}$ = 81 són r = 3 i r = -3.
Amb r = 3: 4, 12, 36, 108, 324. Amb r = -3: 4, -12, 36, -108, 324.
Hi ha dues solucions: els tres mitjans són 12, 36 i 108, o bé -12, 36 i -108.
Comprovació: 4·$3^{4}$ = 4·81 = 324, i també 4·(-3$)^{4}$ = 324.

Perdre un 12 % vol dir que cada any el valor es multiplica per 0,88. És una progressió geomètrica de raó 0,88: el valor al cap de n anys és $V_{n}$ = 18000·0,$88^{n}$.
Al cap de 5 anys: $V_{5}$ = 18000·0,$88^{5}$ = 18000·0,5277 ≈ 9499 €.
Volem $V_{n}$ < 9000, és a dir, 0,$88^{n}$ < 0,5. Prenent logaritmes: n·ln 0,88 < ln 0,5, i com que ln 0,88 és negatiu, en dividir canvia el sentit de la desigualtat: n > ln 0,5/ln 0,88 = $\tfrac{(-0{,}6931)}{(-0{,}1278)} \approx 5{,}42$.
Per tant calen 6 anys.
Comprovació: $V_{5}$ ≈ 9499 € encara supera 9000 €, i $V_{6}$ = 18000·0,$88^{6}$ ≈ 8359 € ja és menor.

Els múltiples de 7 formen una progressió aritmètica de diferència 7. El primer múltiple més gran que 100 és 105 (7·15) i l'últim més petit que 500 és 497 (7·71).
Nombre de termes: a_n = a₁ + (n - 1)·d → 497 = 105 + (n - 1)·7 → (n - 1)·7 = 392 → n - 1 = 56 → n = 57. (També: de 7·15 a 7·71 hi ha 71 - 15 + 1 = 57 múltiples.)
Suma: S = n·(a₁ + a_n)/2 = 57·(105 + 497)/2 = 57·301 = 17157.
Comprovació: el terme del mig ocupa el lloc 29, a₂₉ = 105 + 28·7 = 301, i la suma és 57 termes de mitjana 301: 57·301 = 17157.

Escrivim els primers termes: a₁ = 1/3, a₂ = 3/4, a₃ = 1, a₄ = 7/6, ... Semblen créixer.
Ho demostrem: a_n+1 - a_n = (2n + 1)/(n + 3) - (2n - 1)/(n + 2) = [(2n + 1)(n + 2) - (2n - 1)(n + 3)]/((n + 2)(n + 3)) = [(2n² + 5n + 2) - (2n² + 5n - 3)]/((n + 2)(n + 3)) = 5/((n + 2)(n + 3)) > 0. La successió és estrictament creixent.
Fites: com que (2n - 1)/(n + 2) = 2 - 5/(n + 2), sempre és menor que 2, i com que és creixent, el seu mínim és a₁ = 1/3. Està fitada: 1/3 ≤ a_n < 2.
Límit: dividim per n, (2 - 1/n)/(1 + 2/n) → 2/1 = 2 (coincideix amb la fita superior, que no s'arriba a assolir mai).

Les diferències són 3, 5, 7, 9: no és aritmètica. Si restes 1 a cada terme surten 1, 4, 9, 16, 25, els quadrats.
Terme general: $a_{n}$ = $n^{2}$ + 1. Terme 20: $20^{2}$ + 1 = 401.

Mana el terme de grau 2: coeficients 1 a dalt i 2 a baix. El límit és $\tfrac{1}{2}$.

És una indeterminació ∞ - ∞. Es multiplica i es divideix pel conjugat:
$\tfrac{(n^{2} + 3n - n^{2})}{(\sqrt{n^{2} + 3n} + n)} = 3$n/($\sqrt{n^{2} + 3n}$ + n).
Dividint per n: $\tfrac{3}{(\sqrt{1 + \tfrac{3}{n}} + 1)}$, que tendeix a $\tfrac{3}{2}$.

L'error és tractar 1^∞ com si valgués 1. La base tendeix a 1, però mai no val exactament 1 (és una mica més gran) i l'exponent n tendeix a infinit: és una indeterminació del tipus 1^∞, i en aquest cas el límit és el nombre e ≈ 2,718 (per exemple, per a n = 100: 1,01¹⁰⁰ ≈ 2,705).
Per calcular lim ((n + 3)/(n + 1))ⁿ veiem que la base tendeix a 1 i l'exponent a infinit. Escrivim la base com 1 més una fracció: (n + 3)/(n + 1) = 1 + 2/(n + 1).
Fem que l'exponent sigui l'invers de la fracció: (1 + 2/(n + 1))ⁿ = [(1 + 1/((n + 1)/2))^{(n + 1)/2}]^{2n/(n + 1)}.
El claudàtor tendeix a e, i l'exponent 2n/(n + 1) tendeix a 2. Per tant el límit és e² ≈ 7,389.
Comprovació numèrica: per a n = 1000, (1003/1001)¹⁰⁰⁰ ≈ 7,36, ja molt a prop de e².

Primer cau 2 m. Després de cada bot, la pilota puja i torna a baixar la mateixa altura, i aquesta altura es multiplica per 0,6 cada cop.
Altures dels bots: 2·0,6 = 1,2 m; 1,2·0,6 = 0,72 m; 0,72·0,6 = 0,432 m; ... Cada bot suposa pujar i baixar, és a dir, recórrer el doble de cada altura: 2,4 m; 1,44 m; 0,864 m; ... És una progressió geomètrica de primer terme 2,4 i raó 0,6.
Com que |r| = 0,6 < 1, la suma dels infinits termes és finita: S = 2,4/(1 - 0,6) = 2,4/0,4 = 6 m.
Distància total: 2 m de la primera caiguda més 6 m dels bots, és a dir, 2 + 6 = 8 m.
Comprovació: 2 + 2,4 + 1,44 + 0,864 = 6,704 m després de tres bots, i les sumes parcials tendeixen a 8 m.

El numerador és la suma dels n primers termes de la progressió aritmètica 1, 2, 3, ..., n, amb $a_{1}$ = 1 i $a_{n}$ = n: 1 + 2 + ... + n = n(1 + n)/2 = $\tfrac{(n^{2} + n)}{2}$.
Substituïm al límit: ($\tfrac{(n^{2} + n)}{2}$)/$n^{2}$ = ($n^{2}$ + n)/(2n²).
Numerador i denominador tenen grau 2, així que el límit és el quocient dels coeficients principals: $\tfrac{1}{2}$. (O bé, dividint per $n^{2}$: $\tfrac{(1 + 1/n)}{2}$ → $\tfrac{1}{2}$.)
Comprovació: per a n = 100 la suma val 5050 i $\tfrac{5050}{1000}$0 = 0,505, molt a prop de $\tfrac{1}{2}$.

Totes les potències tendeixen a infinit; domina la que té la base més gran, 3ⁿ. Dividim numerador i denominador per 3ⁿ, tenint en compte que 3ⁿ⁺¹ = 3·3ⁿ i 2ⁿ⁺¹ = 2·2ⁿ.
(3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ)/(3ⁿ - 2ⁿ⁺¹) = (3 + (2/3)ⁿ)/(1 - 2·(2/3)ⁿ).
Com que (2/3)ⁿ → 0, el límit és (3 + 0)/(1 - 0) = 3.
Comprovació: per a n = 10, el quocient val (3¹¹ + 2¹⁰)/(3¹⁰ - 2¹¹) = (177147 + 1024)/(59049 - 2048) = 178171/57001 ≈ 3,13, i va baixant cap a 3.

Les distàncies diàries formen una progressió aritmètica amb a₁ = 5 i d = 0,5. La suma dels n primers termes és S_n = n·(2a₁ + (n - 1)·d)/2.
Imposem S_n = 195: n·(10 + 0,5(n - 1))/2 = 195 → n·(9,5 + 0,5n) = 390 → 0,5n² + 9,5n - 390 = 0 → n² + 19n - 780 = 0.
n = (-19 ± √(361 + 3120))/2 = (-19 ± √3481)/2 = (-19 ± 59)/2, d'on n = 20 o n = -39. El nombre de dies ha de ser positiu: n = 20.
Comprovació: el dia 20 corre a₂₀ = 5 + 19·0,5 = 14,5 km, i S₂₀ = 20·(5 + 14,5)/2 = 195 km.

Escrivim els tres termes com a/r, a i a·r, amb a el terme del mig i r la raó.
Producte: (a/r)·a·(a·r) = a³ = 216, d'on a = 6.
Suma: 6/r + 6 + 6r = 21 → 6/r + 6r = 15. Multipliquem per r: 6 + 6r² = 15r → 6r² - 15r + 6 = 0 → 2r² - 5r + 2 = 0.
r = (5 ± √(25 - 16))/4 = (5 ± 3)/4, d'on r = 2 o r = 1/2.
Amb r = 2: 3, 6, 12. Amb r = 1/2: 12, 6, 3. Són els mateixos tres nombres, escrits en ordre creixent o decreixent.
Comprovació: 3 + 6 + 12 = 21 i 3·6·12 = 216.