Exercicis d'àlgebra — Matemàtiques 1r Batxillerat

x = $\tfrac{(7 \pm \sqrt{49 - 48})}{2}$ = $\tfrac{(7 \pm 1)}{2}$, és a dir x = 4 o x = 3.

Gira (s'inverteix).

Sumant: 2x = 10, x = 5; y = 3. Solució (5, 3).

5x² - 45 = 0: aïllem x² = 45/5 = 9, per tant x = 3 o x = -3 (una solució positiva i una de negativa).
4x² + 8x = 0: traiem factor comú, 4x(x + 2) = 0. Un producte val zero quan algun dels factors és zero: 4x = 0 o x + 2 = 0, és a dir, x = 0 i x = -2.
Comprovació: 5·3² - 45 = 0 i 4·(-2)² + 8·(-2) = 16 - 16 = 0.
Error típic: dividir 4x² + 8x = 0 entre x; així es perd la solució x = 0.

El discriminant és Δ = b² - 4ac: si Δ > 0 hi ha dues solucions reals diferents, si Δ = 0 n'hi ha una de doble i si Δ < 0 no n'hi ha cap.
a) Δ = (-6)² - 4·1·9 = 36 - 36 = 0: una solució doble (x = 3).
b) Δ = 1² - 4·3·(-2) = 1 + 24 = 25 > 0: dues solucions reals (x = 2/3 i x = -1).
c) Δ = (-3)² - 4·2·5 = 9 - 40 = -31 < 0: cap solució real.
Comprovació de b): per a x = 2/3, 3·(2/3)² + 2/3 - 2 = 4/3 + 2/3 - 2 = 0.
Error típic: oblidar que, quan a i c tenen signes diferents, el terme -4ac és positiu (com a l'apartat b).

Si les arrels són $x_{1}$ = -2 i $x_{2}$ = 5, l'equació es pot escriure com (x - $x_{1}$)(x - $x_{2}$) = 0, és a dir, (x + 2)(x - 5) = 0.
Desenvolupem: $x^{2}$ - 5x + 2x - 10 = $x^{2}$ - 3x - 10 = 0.
Comprovació: en $x^{2}$ + bx + c = 0 la suma de les arrels és -b i el producte és c. Aquí -2 + 5 = 3 = -(-3) i (-2)·5 = -10 = c.
Qualsevol múltiple, com 2x² - 6x - 20 = 0, té les mateixes arrels.

Un producte val zero només si algun dels factors val zero.
(x - 3)(2x + 1)(x + 4) = 0: x - 3 = 0 dona x = 3; 2x + 1 = 0 dona x = -$\tfrac{1}{2}$; x + 4 = 0 dona x = -4.
$x^{3}$ - 9x = 0: traiem factor comú, x($x^{2}$ - 9) = 0, i factoritzem la diferència de quadrats: x(x - 3)(x + 3) = 0. Les solucions són x = 0, x = 3 i x = -3.
Comprovació: x = -3 dona (-3$)^{3}$ - 9·(-3) = -27 + 27 = 0.

Treiem el parèntesi: 3x - 6 - 5 < 2x + 1, és a dir, 3x - 11 < 2x + 1.
Passem les x a l'esquerra i els nombres a la dreta: 3x - 2x < 1 + 11, d'on x < 12.
Com que la desigualtat és estricta, el 12 no hi és inclòs: la solució és l'interval (-∞, 12).
Comprovació: x = 0 dona 3·(-2) - 5 = -11 < 1, correcte; en canvi x = 12 dona 25 < 25, que és fals.

De la segona equació aïllem la x: x = 6 - 4y.
Substituïm a la primera: 3(6 - 4y) - 2y = 4 → 18 - 12y - 2y = 4 → 18 - 14y = 4 → y = 14/14 = 1.
Tornem a l'expressió de x: x = 6 - 4·1 = 2.
Comprovació: 3·2 - 2·1 = 4 i 2 + 4·1 = 6, es compleixen les dues equacions.
Solució: x = 2, y = 1.

Comparem els coeficients de les dues equacions de cada sistema.
a) La segona equació és la primera multiplicada per 3, així que expressen la mateixa condició: sistema compatible indeterminat, amb infinites solucions (per exemple, x = 4 - 2y per a qualsevol y).
b) Els coeficients de les incògnites són proporcionals (2x - 2y és el doble de x - y), però el terme independent no ho és: hauria de ser 2·1 = 2 i és 5. Són dues rectes paral·leles: sistema incompatible, sense solució.
c) Els coeficients no són proporcionals ($\tfrac{2}{1}$ ≠ $\tfrac{1}{(-1)}$): les rectes es tallen en un sol punt, sistema compatible determinat (la solució és x = 2, y = 3).
Comprovació de c): 2·2 + 3 = 7 i 2 - 3 = -1.

Perquè en elevar al quadrat poden aparèixer solucions falses que no compleixen l'equació original; només valen les que la comproven.

L'arrel ja està aïllada; elevo els dos costats al quadrat: x + 6 = $x^{2}$, és a dir $x^{2}$ - x - 6 = 0. Fórmula general: x = $\tfrac{(1 \pm \sqrt{1 + 24})}{2}$ = $\tfrac{(1 \pm 5)}{2}$, d'on x = 3 o x = -2. Comprovació a l'equació original: per x = 3, $\sqrt{3 + 6}$ = $\sqrt{9}$ = 3, que coincideix amb el costat dret, és vàlida. Per x = -2, $\sqrt{-2 + 6}$ = $\sqrt{4}$ = 2, però el costat dret és -2 i 2 ≠ -2: és una solució estranya (apareix en elevar al quadrat) i es descarta. L'única solució és x = 3.

Dividint per -3 i girant el signe: x ≤ -3, és a dir l'interval (-∞, -3].

Anomeno x = kg de cafè natural i y = kg de torrefacte. Quantitat total de mescla: x + y = 20. Valor de la mescla: el natural aporta 12·x €, el torrefacte 8·y €, i la mescla ha de valer 9,5·20 = 190 €, per tant 12x + 8y = 190. Aïllo x = 20 - y i substitueixo: 12·(20 - y) + 8y = 190, és a dir 240 - 12y + 8y = 190, -4y = -50, y = 12,5. Llavors x = 20 - 12,5 = 7,5. Comprovació: 7,5 + 12,5 = 20 kg i 12·7,5 + 8·12,5 = 90 + 100 = 190 €, que entre 20 kg són 9,5 €/kg. Cal posar 7,5 kg de natural i 12,5 kg de torrefacte.

Fem el canvi t = $x^{2}$ (amb t ≥ 0), de manera que $x^{4}$ = $t^{2}$: $t^{2}$ - 5t - 36 = 0.
t = $\tfrac{(5 \pm \sqrt{25 + 144})}{2}$ = $\tfrac{(5 \pm 13)}{2}$, d'on t = 9 o t = -4.
Desfem el canvi: $x^{2}$ = 9 dona x = 3 o x = -3. En canvi $x^{2}$ = -4 no té solució real, perquè un quadrat mai no és negatiu.
Solucions: x = 3 i x = -3.
Comprovació: $3^{4}$ - 5·$3^{2}$ - 36 = 81 - 45 - 36 = 0.
Error típic: quedar-se amb t = 9 com a solució; la incògnita és x, no t.

Aïllem un dels radicals: √(2x + 3) = 2 + √(x - 2).
Elevem al quadrat els dos membres: 2x + 3 = 4 + 4√(x - 2) + (x - 2), és a dir, x + 1 = 4√(x - 2).
Tornem a elevar al quadrat: x² + 2x + 1 = 16(x - 2) → x² - 14x + 33 = 0 → x = (14 ± √(196 - 132))/2 = (14 ± 8)/2, d'on x = 11 o x = 3.
Comprovació: x = 11 dona √25 - √9 = 5 - 3 = 2, correcte; x = 3 dona √9 - √1 = 3 - 1 = 2, correcte. Les dues solucions són vàlides.
Error típic: elevar al quadrat sense aïllar abans un radical i escriure (a + b)² = a² + b²; no es pot oblidar el doble producte 2ab.

Els denominadors s'anul·len per a x = 1 i x = -1, així que aquests dos valors queden exclosos d'entrada.
Multipliquem tota l'equació pel denominador comú (x - 1)(x + 1): 3(x + 1) + 2(x - 1) = 2(x - 1)(x + 1).
Desenvolupem: 5x + 1 = 2x² - 2, i ho passem tot a un costat: 2x² - 5x - 3 = 0.
x = (5 ± √(25 + 24))/4 = (5 ± 7)/4, d'on x = 3 o x = -1/2. Cap dels dos és 1 ni -1, així que tots dos són vàlids.
Comprovació: x = 3 dona 3/2 + 2/4 = 1,5 + 0,5 = 2; x = -1/2 dona 3/(-1,5) + 2/0,5 = -2 + 4 = 2.

Anomenem E1, E2 i E3 les tres equacions i eliminem la x de E2 i E3: E2 - 2·E1 dona -3y - z = 0, i E3 - E1 dona y - 2z = -7.
Ara tenim dues equacions amb y i z. De la primera, z = -3y.
Substituïm a la segona: y - 2(-3y) = -7 → 7y = -7 → y = -1, i llavors z = -3·(-1) = 3.
Tornem a E1: x = 4 - y - z = 4 + 1 - 3 = 2.
Comprovació: E2: 2·2 - (-1) + 3 = 8; E3: 2 + 2·(-1) - 3 = -3.
Solució: x = 2, y = -1, z = 3 (sistema compatible determinat).

a) Busquem on s'anul·la: $x^{2}$ - 2x - 8 = 0 → x = $\tfrac{(2 \pm \sqrt{4 + 32})}{2}$ = $\tfrac{(2 \pm 6)}{2}$, és a dir, x = 4 i x = -2.
La paràbola té el coeficient de $x^{2}$ positiu, així que el polinomi és positiu fora de les arrels. Ho comprovem amb un valor de cada tram: x = -3 dona 9 + 6 - 8 = 7 > 0; x = 0 dona -8 < 0; x = 5 dona 25 - 10 - 8 = 7 > 0.
Solució: (-∞, -2) ∪ (4, +∞), amb els extrems exclosos perquè la desigualtat és estricta.
b) La segona inequació dona 2x < 10, és a dir, x < 5, o sigui (-∞, 5). La solució del sistema és la intersecció dels dos conjunts: (-∞, -2) ∪ (4, 5).
Comprovació de b): x = 4,5 compleix 4,$5^{2}$ - 2·4,5 - 8 = 3,25 > 0 i 2·4,5 - 1 = 8 < 9, així que és solució; x = 5,5 dona 2·5,5 - 1 = 10, que no és menor que 9.

La regla «un producte val zero si algun factor val zero» només serveix quan el producte és igual a 0. Aquí el producte és 14, i molts parells de factors donen 14 (2·7, 1·14, ...), així que no podem igualar un factor a 14. Comprovem-ho: x = 16 dona 14·19 = 266, que no és 14.
Primer desenvolupem i ho passem tot a un costat perquè quedi igual a 0: $x^{2}$ + x - 6 = 14 → $x^{2}$ + x - 20 = 0.
x = $\tfrac{(-1 \pm \sqrt{1 + 80})}{2}$ = $\tfrac{(-1 \pm 9)}{2}$, d'on x = 4 o x = -5.
Comprovació: (4 - 2)(4 + 3) = 2·7 = 14 i (-5 - 2)(-5 + 3) = (-7)(-2) = 14.

Anomenem x la longitud dels dos costats perpendiculars a la paret. El costat paral·lel a la paret fa 40 - 2x.
L'àrea és x(40 - 2x) = 150 → 40x - 2x² = 150 → $x^{2}$ - 20x + 75 = 0.
x = $\tfrac{(20 \pm \sqrt{400 - 300})}{2}$ = $\tfrac{(20 \pm 10)}{2}$, d'on x = 15 o x = 5.
Si x = 15 m, el costat de la paret fa 40 - 30 = 10 m. Si x = 5 m, fa 40 - 10 = 30 m.
Les dues solucions són vàlides (totes les longituds són positives): 15 m × 10 m o bé 5 m × 30 m.
Comprovació: 15·10 = 150 $m^{2}$ i 5·30 = 150 $m^{2}$.

Primer miro què anul·la el denominador: si x = 2, el denominador és 0, així que aquest valor mai no podrà ser solució. Com que tots dos costats tenen el mateix denominador, multiplico per x - 2: x² = 4, d'on x = 2 o x = -2. Comprovació: x = 2 anul·la el denominador, per tant és una solució estranya i es descarta; x = -2 dona (-2)²/(-2 - 2) = 4/(-4) = -1 als dos costats, i és vàlida. L'única solució és x = -2.

Punts crítics: el numerador s'anul·la a x = 1 i el denominador, a x = -2.
Signes: per a x < -2, (-)/(-) > 0; entre -2 i 1, (-)/(+) < 0; per a x > 1, (+)/(+) > 0.
Volem ≤ 0: el tram del mig. x = 1 hi entra (el quocient val 0), però x = -2 no (el denominador s'anul·la).
Solució: (-2, 1].

Anomeno x = € invertits al 3 % i y = € invertits al 5 %. Tot el capital: x + y = 10000. Interessos d'un any: el primer producte dona 0,03·x i el segon 0,05·y, i sumen 380 €, per tant 0,03x + 0,05y = 380. Aïllo x = 10000 - y i substitueixo: 0,03·(10000 - y) + 0,05y = 380, és a dir 300 - 0,03y + 0,05y = 380, 0,02y = 80, y = 4000. Llavors x = 10000 - 4000 = 6000. Comprovació: 6000 + 4000 = 10000 € i 0,03·6000 + 0,05·4000 = 180 + 200 = 380 €. Ha invertit 6000 € al 3 % i 4000 € al 5 %.

No podem multiplicar per x - 3 perquè no sabem si és positiu o negatiu, i en el segon cas s'hauria de canviar el sentit de la desigualtat. El que fem és passar-ho tot a un costat i reduir a comú denominador: $\tfrac{(x + 1)}{(x - 3)}$ - 2 ≥ 0 → $\tfrac{(x + 1 - 2x + 6)}{(x - 3)} \geq 0$ → $\tfrac{(7 - x)}{(x - 3)} \geq 0$.
El numerador s'anul·la en x = 7 i el denominador en x = 3. Aquests dos punts divideixen la recta en tres trams; estudiem el signe de la fracció amb un valor de cada tram: x = 0 dona $\tfrac{7}{(-3)}$ < 0; x = 5 dona $\tfrac{2}{2}$ > 0; x = 8 dona $\tfrac{(-1)}{5}$ < 0.
La fracció és positiva a (3, 7), val zero en x = 7 (que s'inclou perquè la desigualtat és ≥) i x = 3 s'exclou perquè anul·la el denominador.
Solució: (3, 7].
Comprovació: x = 7 dona $\tfrac{8}{4} = 2$ ≥ 2; x = 5 dona $\tfrac{6}{2} = 3$ ≥ 2.

a) Les possibles arrels racionals són p/q, amb p divisor de 6 i q divisor de 2. Provem x = 3: 54 - 27 - 33 + 6 = 0, així que x = 3 és arrel. Dividint per Ruffini entre x - 3 (coeficients 2, -3, -11, 6) queda el quocient 2x² + 3x - 2 i residu 0.
Resolem 2x² + 3x - 2 = 0: x = (-3 ± √(9 + 16))/4 = (-3 ± 5)/4, d'on x = 1/2 o x = -2.
Les arrels són -2, 1/2 i 3, i P(x) = 2(x + 2)(x - 1/2)(x - 3).
b) Les arrels divideixen la recta en quatre trams. Com que el coeficient de x³ és positiu, P(x) és positiu a la dreta de l'última arrel i el signe s'alterna en passar per cada arrel (totes són simples): x > 3: +; 1/2 < x < 3: -; -2 < x < 1/2: +; x < -2: -.
Com que la desigualtat és ≥, incloem les arrels: la solució és [-2, 1/2] ∪ [3, +∞).
Comprovació: P(0) = 6 > 0 i 0 és dins de [-2, 1/2]; P(1) = 2 - 3 - 11 + 6 = -6 < 0 i 1 és fora de la solució.

a) Aïllem x a la primera equació, x = 2 - my, i ho substituïm a la segona: m(2 - my) + 4y = 4 → (4 - m²)y = 4 - 2m → (2 - m)(2 + m)y = 2(2 - m).
Si m ≠ 2 i m ≠ -2, podem dividir per (2 - m)(2 + m): y = 2/(2 + m) i x = 2 - my = 4/(2 + m). Sistema compatible determinat.
Si m = 2, l'equació queda 0·y = 0, que es compleix per a qualsevol y: infinites solucions (x = 2 - 2y). Sistema compatible indeterminat.
Si m = -2, l'equació queda 0·y = 8, que és impossible. Sistema incompatible.
b) Per a m = 1 estem en el cas general: y = 2/3 i x = 4/3.
Comprovació: 4/3 + 2/3 = 2 i 4/3 + 4·(2/3) = 4/3 + 8/3 = 4.

El nombre de solucions depèn del discriminant: Δ = $k^{2}$ - 4·1·9 = $k^{2}$ - 36.
Dues solucions diferents: Δ > 0 → $k^{2}$ > 36 → k < -6 o k > 6.
Una solució doble: Δ = 0 → k = 6 o k = -6.
Cap solució real: Δ < 0 → $k^{2}$ < 36 → -6 < k < 6.
L'arrel doble és x = -$\tfrac{k}{2}$: per a k = 6, x = -3 (l'equació és $x^{2}$ + 6x + 9 = (x + 3$)^{2}$ = 0); per a k = -6, x = 3 (l'equació és (x - 3$)^{2}$ = 0).
Comprovació: k = 5 és entre -6 i 6 i dona $x^{2}$ + 5x + 9 = 0, amb Δ = 25 - 36 = -11 < 0, sense solucions reals.

Sigui v la velocitat habitual (en km/h). El temps habitual és $\tfrac{480}{v}$ i, amb 20 km/h més, $\tfrac{480}{(v + 20)}$. La diferència és de 2 hores: $\tfrac{480}{v}$ - $\tfrac{480}{(v + 20)} = 2$.
Multipliquem per v(v + 20): 480(v + 20) - 480v = 2v(v + 20) → 9600 = 2v² + 40v → $v^{2}$ + 20v - 4800 = 0.
v = $\tfrac{(-20 \pm \sqrt{400 + 19200})}{2}$ = $\tfrac{(-20 \pm 140)}{2}$, d'on v = 60 o v = -80. Descartem la velocitat negativa.
La velocitat habitual és 60 km/h i el temps és $\tfrac{480}{60} = 8$ h.
Comprovació: a 80 km/h trigaria $\tfrac{480}{80} = 6$ h, és a dir, 2 h menys.

Desenvolupem els quadrats: (x + y)² = x² + y² + 2xy = 34 + 30 = 64, i (x - y)² = x² + y² - 2xy = 34 - 30 = 4.
Per tant x + y = 8 o x + y = -8, i x - y = 2 o x - y = -2.
Combinem els quatre casos sumant i restant les dues equacions: x + y = 8 i x - y = 2 → x = 5, y = 3; x + y = 8 i x - y = -2 → x = 3, y = 5; x + y = -8 i x - y = 2 → x = -3, y = -5; x + y = -8 i x - y = -2 → x = -5, y = -3.
Comprovació: 5² + 3² = 34 i 5·3 = 15; (-3)² + (-5)² = 34 i (-3)(-5) = 15.
Hi ha quatre solucions: (5, 3), (3, 5), (-3, -5) i (-5, -3).