Exercicis d'estadística bidimensional: regressió i correlació — Matemàtiques 1r Batxillerat

a) Positiva: les persones més altes solen tenir el peu més gran, de manera que el núvol de punts puja d'esquerra a dreta.
b) Negativa: com més faltes, tendeix a haver-hi notes més baixes, i el núvol baixa.
c) Pràcticament nul·la: el dia de naixement no té cap relació amb el rendiment, i el núvol és una taca sense cap tendència (r ≈ 0).
d) Negativa: com més amunt és el poble, més baixa és la temperatura mitjana.
Recorda: el signe de la correlació indica el sentit de la relació, i el seu valor absolut, la força.

El coeficient de correlació compleix sempre -1 ≤ r ≤ 1, de manera que -1,2 és impossible (hi ha algun error de càlcul, per exemple en la covariància o en una desviació típica).
r = 0,87: relació lineal directa i forta; si x creix, y tendeix a créixer, i el núvol de punts és força estret al voltant d'una recta.
r = 0: no hi ha relació lineal; el núvol no segueix cap recta (encara que podria haver-hi una relació d'un altre tipus, com una paràbola).
r = -0,35: relació inversa i feble; si x creix, y tendeix a baixar una mica, però amb molta dispersió.

$\bar{x}$ = (160 + 165 + 170 + 175 + 180)/5 = 850/5 = 170 cm i ȳ = (52 + 58 + 62 + 68 + 75)/5 = 315/5 = 63 kg.
El punt mitjà és (170, 63).
Les dues rectes de regressió (la de y sobre x i la de x sobre y) passen sempre per aquest punt, que és com el «centre de gravetat» del núvol. Per això l'equació de la recta s'escriu y - ȳ = b·(x - $\bar{x}$).
Comprovació: les desviacions respecte de la mitjana sumen zero; per exemple, (160 - 170) + (165 - 170) + (170 - 170) + (175 - 170) + (180 - 170) = -10 - 5 + 0 + 5 + 10 = 0.

Mitjanes: $\bar{x}$ = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5 i ȳ = (6 + 4 + 3 + 1)/4 = 3,5.
σ_xy = Σxy/n - $\bar{x}$·ȳ. Σxy = 1·6 + 2·4 + 3·3 + 4·1 = 6 + 8 + 9 + 4 = 27, així que σ_xy = 27/4 - 2,5·3,5 = 6,75 - 8,75 = -2.
El signe negatiu indica una relació inversa: els alumnes amb més faltes tendeixen a tenir notes més baixes.
Comprovació amb desviacions: [(-1,5)(2,5) + (-0,5)(0,5) + (0,5)(-0,5) + (1,5)(-2,5)]/4 = (-3,75 - 0,25 - 0,25 - 3,75)/4 = -8/4 = -2.
Nota: la covariància té unitats (faltes·punts) i, per si sola, no permet saber si la relació és forta.

r = σ_xy/(σ_x·σ_y) = 2,7/(1,5·2) = 2,7/3 = 0,9.
Interpretació: r és positiu i molt proper a 1, així que hi ha una correlació lineal directa i forta: els alumnes que practiquen més hores tendeixen a treure millor nota.
El coeficient r no té unitats i sempre és entre -1 i 1, i això permet valorar la força de la relació, cosa que la covariància sola no permet.

Pendent: b = σ_xy/σ_x² = 7,5/5 = 1,5.
La recta passa pel punt mitjà (4, 10): y - 10 = 1,5·(x - 4), és a dir, y = 1,5x + 4.
Una inversió de 600 € és x = 6 centenars: y = 1,5·6 + 4 = 13, és a dir, unes vendes estimades de 13000 €.
Interpretació del pendent: cada 100 € més de publicitat s'associen, de mitjana, a 1500 € més de vendes.
Error típic: oblidar passar els 600 € a centenars abans de substituir a la recta.

Pendent 8: per cada grau més de temperatura, la parada ven, de mitjana, 8 gelats més.
Ordenada -90: seria el valor d'y per a x = 0 °C, però no té sentit real (vendes negatives) i queda molt fora del rang de dades (22–35 °C); és només el punt on la recta talla l'eix vertical.
Estimació per a 30 °C: y = 8·30 - 90 = 240 - 90 = 150 gelats.
És una interpolació (30 °C és dins del rang 22–35 °C) i, per tant, una estimació raonable.

a) Certa: el pendent és b = $\tfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}}$² i la variància $σ_{x}$² és positiva, així que b té el mateix signe que la covariància.
b) Falsa: r mesura la força de la relació lineal, no el percentatge de punts que cauen sobre la recta (pot ser que cap punt hi caigui exactament). El que val el 81 % és $r^{2}$ = 0,$9^{2}$, la part de la variació de y explicada per la recta.
c) Certa: r no té unitats; en multiplicar x per 100, la covariància i $σ_{x}$ es multipliquen per 100 i el factor es cancel·la en r = $σ_{xy}$/($σ_{x}$·$σ_{y}$).
d) Falsa: són dues rectes diferents que es tallen al punt mitjà ($\bar{x}$, ȳ) i només coincideixen quan r = 1 o r = -1, és a dir, quan tots els punts estan alineats.

Una correlació alta només indica que les dues variables varien juntes; no demostra que una sigui la causa de l'altra.
Aquí hi ha una variable oculta: el nombre d'habitants. Les poblacions grans tenen més bars i, alhora, més robatoris (més gent i més oportunitats), de manera que les dues quantitats creixen juntes sense que una causi l'altra.
Tancar bars no reduiria necessàriament els robatoris. Per estudiar-ho caldria comparar poblacions de mida semblant o fer servir taxes per habitant.

Pes estimat: y = 0,5·6 + 3,5 = 3 + 3,5 = 6,5 kg.
Residu = valor real - valor estimat = 7,1 - 6,5 = 0,6 kg.
El residu és positiu: el nadó pesa 0,6 kg més del que prediu la recta per a la seva edat, i el punt queda per sobre de la recta.
Un residu negatiu voldria dir que el punt queda per sota de la recta.

Mitjanes: $\bar{x}$ = 20/5 = 4 h i ȳ = 340/5 = 68 pulsacions per minut.
Desviacions: x - $\bar{x}$ = -4, -2, 0, 2, 4 i y - ȳ = 2, 4, 0, -2, -4. Productes: -8, -8, 0, -4, -16, que sumen -36.
Covariància: σ_xy = -36/5 = -7,2. Variàncies: σ_x² = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 8 i σ_y² = (4 + 16 + 0 + 4 + 16)/5 = 8, per tant σ_x = σ_y = √8 ≈ 2,83.
r = σ_xy/(σ_x·σ_y) = -7,2/8 = -0,9.
Interpretació: correlació inversa i forta; els alumnes que fan més esport tendeixen a tenir menys pulsacions en repòs.

Mitjanes: $\bar{x}$ = 15/5 = 3 i ȳ = 200/5 = 40. Desviacions: x - $\bar{x}$ = -2, -1, 0, 1, 2 i y - ȳ = -20, -10, 10, 0, 20.
Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = 40 + 10 + 0 + 0 + 40 = 90 i Σ(x - $\bar{x}$)² = 10, així que el pendent és b = 90/10 = 9 flexions per setmana.
Recta: y - 40 = 9(x - 3) → y = 9x + 13.
Per a x = 6: y = 9·6 + 13 = 67 flexions.
Fiabilitat: Σ(y - ȳ)² = 1000, de manera que r = 90/√(10·1000) = 0,9, una correlació forta. Però x = 6 és fora del rang observat (1–5): és una extrapolació curta, acceptable amb precaució, perquè el nombre de flexions no pot créixer indefinidament.

Pendent de y sobre x: b = r·$\tfrac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}} = 0{,}6$·$\tfrac{1{,}5}{2} = 0{,}45$. Recta: y - 5,5 = 0,45(x - 6) → y = 0,45x + 2,8.
Pendent de x sobre y: b' = r·$\tfrac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}} = 0{,}6$·$\tfrac{2}{1{,}5} = 0{,}8$. Recta: x - 6 = 0,8(y - 5,5) → x = 0,8y + 1,6.
Física d'un alumne amb 8 en Matemàtiques (recta de y sobre x): y = 0,45·8 + 2,8 = 6,4.
Matemàtiques d'un alumne amb 8 en Física (recta de x sobre y): x = 0,8·8 + 1,6 = 8,0.
Comprovació: b·b' = 0,45·0,8 = 0,36 = $r^{2}$. Com que |r| < 1, les dues rectes són diferents i cadascuna s'ha de fer servir en el seu sentit.

Mitjanes: $\bar{x}$ = 30/5 = 6 i ȳ = 45/5 = 9.
Variàncies: σ_x² = 200/5 - 6² = 40 - 36 = 4 i σ_y² = 450/5 - 9² = 90 - 81 = 9. Covariància: σ_xy = 297/5 - 6·9 = 59,4 - 54 = 5,4.
Correlació: r = 5,4/(2·3) = 0,9 (relació directa i forta).
Recta: b = σ_xy/σ_x² = 5,4/4 = 1,35 i a = ȳ - b·$\bar{x}$ = 9 - 1,35·6 = 0,9. Així, y = 1,35x + 0,9.
Per a 8 empleats: y = 1,35·8 + 0,9 = 11,7, és a dir, uns 11700 € de facturació mensual.
Cada empleat més s'associa, de mitjana, a 1350 € més de facturació.

Cada parella (x, y) té una freqüència f: (1, 1) amb f = 1; (2, 2) amb f = 2; (3, 2) amb f = 3; (4, 4) amb f = 4. En total, n = 10 partits.
Σf·x = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 → $\bar{x}$ = 3. Σf·y = 1 + 4 + 6 + 16 = 27 → ȳ = 2,7.
Σf·x² = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 → σ_x² = 10 - 9 = 1. Σf·y² = 1 + 8 + 12 + 64 = 85 → σ_y² = 8,5 - 2,7² = 1,21. Σf·xy = 1 + 8 + 18 + 64 = 91 → σ_xy = 9,1 - 3·2,7 = 1.
Correlació: r = 1/(1·1,1) ≈ 0,91.
Recta: b = σ_xy/σ_x² = 1 i a = 2,7 - 1·3 = -0,3, així que y = x - 0,3.
Error típic: dividir per 4 (les files de la taula) en lloc de per n = 10, que és la suma de les freqüències.

$\bar{x}$ = 3 i ȳ = 29/5 = 5,8. Desviacions de x: -2, -1, 0, 1, 2; Σ(x - $\bar{x}$)² = 10. Com que Σ(x - $\bar{x}$) = 0, Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = Σ(x - $\bar{x}$)·y = -18 - 7 + 0 + 4 + 6 = -15.
Pendent: b = -15/10 = -1,5. Ordenada: a = 5,8 + 1,5·3 = 10,3. Recta: y = -1,5x + 10,3.
Preus estimats: 8,8; 7,3; 5,8; 4,3 i 2,8. Residus (real - estimat): 0,2; -0,3; 0,2; -0,3 i 0,2.
Suma dels residus: 0,2 - 0,3 + 0,2 - 0,3 + 0,2 = 0, tal com ha de passar amb la recta de mínims quadrats.
Interpretació: cada any més d'antiguitat fa baixar el preu, de mitjana, 150 €; els residus són petits, així que la recta s'ajusta molt bé.

Als 30000 km: x = 30 → y = 8 - 0,08·30 = 8 - 2,4 = 5,6 mm. Com que 30 és dins del rang de dades (5–50) i |r| = 0,97, és una interpolació molt fiable.
Dibuix de 1,6 mm: 8 - 0,08x = 1,6 → 0,08x = 6,4 → x = 80, és a dir, 80000 km.
Aquest valor és una extrapolació, perquè 80 queda fora del rang observat (5–50): suposem que el desgast continuarà sent lineal, cosa que no tenim assegurada (depèn de la conducció, de l'estat de la carretera...). Cal prendre'l només com a orientatiu.
Nota: aïllar x de la recta de y sobre x només és acceptable perquè r és molt proper a -1 i les dues rectes de regressió gairebé coincideixen.

A) r = -9/(2·5) = -9/10 = -0,9. B) r = 5,1/(1,5·4) = 5,1/6 = 0,85.
La força de la relació lineal depèn del valor absolut de r: |-0,9| = 0,9 > 0,85.
La relació és més forta a l'estudi A, tot i que el seu r sigui «més petit» que el de B: el signe només indica el sentit. A és inversa (a més preu, menys vendes) i B és directa (a més formació, més productivitat).
Error típic: pensar que 0,85 és «millor» que -0,9 perquè és més gran com a nombre.

El pendent de la recta és b = σ_xy/σ_x² = 1,5. Per tant, σ_xy = b·σ_x² = 1,5·16 = 24.
De r = σ_xy/(σ_x·σ_y) aïllem σ_y = σ_xy/(r·σ_x) = 24/(0,6·4) = 24/2,4 = 10.
Comprovació: també b = r·σ_y/σ_x = 0,6·10/4 = 1,5, que coincideix amb el pendent donat.
Fixa't que l'ordenada a l'origen (2) no intervé en cap d'aquests càlculs: el pendent només depèn de σ_xy i de σ_x.

Com que x = 100·x', substituïm a la recta: y = 0,9·(100x') - 90 = 90x' - 90.
Nova recta: y = 90x' - 90. El pendent es multiplica per 100 (ara és el que augmenta el pes per cada metre més d'alçada: 90 kg/m) i l'ordenada a l'origen no canvia.
El coeficient de correlació continua sent r = 0,8: no té unitats i no canvia quan es multiplica una variable per un nombre positiu (la covariància i $σ_{x}$ es divideixen pel mateix factor 100, que es cancel·la).
Comprovació: un adolescent de 170 cm = 1,7 m. La recta antiga dona 0,9·170 - 90 = 63 kg i la nova 90·1,7 - 90 = 63 kg.

$R^{2}$ és el coeficient de determinació, $r^{2}$. Per tant, |r| = $\sqrt{0,81}$ = 0,9. Com que el pendent és negatiu, la relació és inversa i r = -0,9.
Preu estimat per a x = 3: y = 420 - 55·3 = 420 - 165 = 255 €.
El 81 % de la variació del preu s'explica per l'antiguitat; el 100 % - 81 % = 19 % restant depèn d'altres factors (estat, model, capacitat...).
Error típic: donar r = 0,9 sense signe; el signe de r sempre és el del pendent de la recta.

a) Les dues rectes passen pel punt mitjà, que és el seu punt de tall. De la primera, y = $\tfrac{(2x + 30)}{5}$; a la segona: 5x - 8(2x + 30)/5 + 30 = 0 → 25x - 16x - 240 + 150 = 0 → 9x = 90. Així, $\bar{x}$ = 10 i ȳ = $\tfrac{(20 + 30)}{5} = 10$.
b) Provem una assignació. Si 2x - 5y + 30 = 0 fos la de y sobre x: y = 0,4x + 6, amb pendent b = 0,4; llavors l'altra seria la de x sobre y: x = 1,6y - 6, amb pendent b' = 1,6. Es compleix b·b' = 0,64 = $r^{2}$ ≤ 1: és possible.
Amb l'assignació contrària, y = 0,625x + 3,75 (b = 0,625) i x = 2,5y - 15 (b' = 2,5), i b·b' = 1,5625 > 1, impossible perquè $r^{2}$ ≤ 1. Per tant, la de y sobre x és 2x - 5y + 30 = 0, i la de x sobre y, 5x - 8y + 30 = 0.
c) $r^{2}$ = b·b' = 0,64 → r = 0,8 (positiu, perquè els pendents són positius). Com que b = r·$σ_{y}$/$σ_{x}$: 0,4 = 0,8·$σ_{y}$/$σ_{x}$ → $\tfrac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}} = 0{,}5$, és a dir, $σ_{x}$ = 2σ_y.

a) $\bar{x}$ = 3 i ȳ = 3. Desviacions: x - $\bar{x}$ = -2, -1, 0, 1, 2 i y - ȳ = -1, 1, 0, 1, -1. Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = 2 - 1 + 0 + 1 - 2 = 0, així que σ_xy = 0 i r = 0: no hi ha cap relació lineal.
b) Amb els sis punts: $\bar{x}$ = 27/6 = 4,5 i ȳ = 27/6 = 4,5. Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = 67,5; Σ(x - $\bar{x}$)² = 77,5; Σ(y - ȳ)² = 71,5. r = 67,5/√(77,5·71,5) = 67,5/74,4 ≈ 0,91.
c) Un sol punt llunyà de la resta ha fet passar r de 0 a 0,91 i ha convertit una recta horitzontal (y = 3) en una de pendent positiu (b = 67,5/77,5 ≈ 0,87). El coeficient de correlació és molt sensible als valors atípics: abans d'interpretar-lo cal mirar el núvol de punts i revisar si hi ha punts extrems que el condicionen.

a) Dins de cada grup els tres punts estan alineats: els del grup A sobre la recta y = x + 4 i els del grup B sobre y = x - 2, totes dues amb pendent positiu. Per tant, r_A = 1 i r_B = 1.
b) Per als sis punts: $\bar{x}$ = 21/6 = 3,5 i ȳ = 27/6 = 4,5. Desviacions de x: -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5. Desviacions de y: 0,5; 1,5; 2,5; -2,5; -1,5; -0,5.
Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = -1,25 - 2,25 - 1,25 - 1,25 - 2,25 - 1,25 = -9,5; Σ(x - $\bar{x}$)² = 17,5; Σ(y - ȳ)² = 17,5. r = -9,5/17,5 ≈ -0,54.
c) Dins de cada grup, més hores d'estudi signifiquen millor nota, però el grup que estudia menys (A) parteix d'un nivell més alt i el que estudia més (B), d'un nivell més baix; en ajuntar-los, la tendència global es torna negativa. És la paradoxa de Simpson: una variable oculta (el grup) pot invertir el signe de la correlació.
Cal comprovar que les dades són homogènies abans d'interpretar r.

$\bar{x}$ = 2,5 i Σ(x - $\bar{x}$)² = 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 = 5. Com que Σ(x - $\bar{x}$) = 0, Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = Σ(x - $\bar{x}$)·y = (-1,5)·2 + (-0,5)·3 + 0,5·5 + 1,5·a = -2 + 1,5a.
Pendent: b = (-2 + 1,5a)/5 = 1,4 → -2 + 1,5a = 7 → a = 6.
Llavors ȳ = (2 + 3 + 5 + 6)/4 = 4 i l'ordenada és 4 - 1,4·2,5 = 0,5. Recta: y = 1,4x + 0,5.
Correlació: Σ(y - ȳ)² = 4 + 1 + 1 + 4 = 10, així que r = 7/√(5·10) = 7/√50 ≈ 0,99 (relació directa gairebé perfecta).
Comprovació: Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = (-1,5)(-2) + (-0,5)(-1) + (0,5)(1) + (1,5)(2) = 3 + 0,5 + 0,5 + 3 = 7.

a) $\bar{x}$ = 42/6 = 7 i ȳ = 42/6 = 7. Desviacions de x: -5, -3, -1, 1, 3, 5; de y: -4, -3, -1, 2, 3, 3. Productes: 20, 9, 1, 2, 9, 15, que sumen 56. Σ(x - $\bar{x}$)² = 70 i Σ(y - ȳ)² = 48. r = 56/√(70·48) = 56/√3360 = 56/57,97 ≈ 0,97: relació directa molt forta (r² ≈ 0,93).
b) Pendent b = 56/70 = 0,8 dm per any; ordenada a = 7 - 0,8·7 = 1,4. Recta: y = 0,8x + 1,4.
c) Als 7 anys: y = 0,8·7 + 1,4 = 7,0 dm. És una interpolació (7 és dins de 2–12) i, amb r ≈ 0,97, una estimació fiable.
Als 30 anys: y = 0,8·30 + 1,4 = 25,4 dm, uns 2,5 m. És una extrapolació molt llunyana al rang observat (2–12 anys) i poc fiable: un arbre no creix a ritme constant, i els últims valors (10 i 10) ja suggereixen que el creixement s'alenteix.

a) Si x = x'/1000 i y = y'/100, substituïm a y = 12x + 20: y'/100 = 12·x'/1000 + 20 → y' = 1,2x' + 2000.
La nova recta és y' = 1,2x' + 2000: el pendent s'ha dividit per 10 i l'ordenada s'ha multiplicat per 100.
El coeficient de correlació no té unitats i no canvia quan es multiplica cada variable per un nombre positiu: continua sent r = 0,85.
b) La covariància es multiplica per tots dos factors: σ'_xy = 1000·100·$σ_{xy}$ = $10^{5}$·$σ_{xy}$. La variància de x es multiplica per $1000^{2}$ = $10^{6}$.
Comprovació: el pendent nou és σ'_xy/σ'_x² = $10^{5}σ_{xy}$/($10^{6}σ_{x}$²) = ($\tfrac{1}{10}$)·12 = 1,2, que coincideix amb el pendent trobat.

a) $\bar{t}$ = 3 i $\bar{h}$ = 55. Σ(t - 3)(h - 55) = 100 + 35 + 0 + 25 + 140 = 300; Σ(t - 3)² = 10; Σ(h - 55)² = 9350. r = 300/√(10·9350) = 300/305,8 ≈ 0,98. Pendent 300/10 = 30 i ordenada 55 - 30·3 = -35: h = 30t - 35.
b) Amb u = t² = 1, 4, 9, 16, 25: ū = 11; Σ(u - 11)(h - 55) = 1870; Σ(u - 11)² = 374. r = 1870/√(374·9350) = 1870/1870 = 1. Pendent 1870/374 = 5 i ordenada 55 - 5·11 = 0: h = 5u = 5t².
c) Per a t = 6 s: el model lineal dona h = 30·6 - 35 = 145 m i el model h = 5t² dona 5·36 = 180 m (el valor correcte de la caiguda lliure).
El model lineal té un r = 0,98 que sembla excel·lent, però en extrapolar es queda 35 m curt, perquè la relació real no és lineal. Un r alt no garanteix que la recta sigui el model adequat: cal mirar la forma del núvol i, si cal, canviar de variable.

a) $\bar{x}$ = 6 i ȳ = 6. Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = 12 - 2 + 0 + 6 + 4 = 20; Σ(x - $\bar{x}$)² = 40; Σ(y - ȳ)² = 24.
Recta de y sobre x: b = 20/40 = 0,5 → y - 6 = 0,5(x - 6) → y = 0,5x + 3. Recta de x sobre y: b' = 20/24 = 5/6 → x - 6 = (5/6)(y - 6) → x = (5/6)y + 1.
b) Amb la recta de x sobre y: x = (5/6)·9 + 1 = 8,5 kg/ha. Aïllant x de la de y sobre x: 9 = 0,5x + 3 → x = 12 kg/ha.
La correcta és la primera: per estimar x a partir de y cal la recta de x sobre y, que minimitza els errors en x. La segona està pensada per estimar y, i aquí dona 12 kg/ha, una dosi fora del rang provat (2–10), perquè la correlació és moderada (r = 20/√960 ≈ 0,65).
Les dues rectes només coincidirien si r = ±1; fixa't que b·b' = 0,5·5/6 ≈ 0,42 = r², lluny d'1.

a) El pendent és b = (47 - 32)/(20 - 10) = 1,5. Recta: y - 32 = 1,5(x - 10) → y = 1,5x + 17.
b) La recta passa pel punt mitjà ($\bar{x}$, ȳ): 41 = 1,5·$\bar{x}$ + 17 → $\bar{x}$ = 24/1,5 = 16 hores.
c) El pendent és b = σ_xy/σ_x², d'on σ_xy = b·σ_x² = 1,5·16 = 24. A més, b = r·σ_y/σ_x, d'on σ_y = b·σ_x/r = 1,5·4/0,75 = 8 kg.
Comprovació: r = σ_xy/(σ_x·σ_y) = 24/(4·8) = 0,75.