Exercicis de trigonometria — Matemàtiques 1r Batxillerat

El de 100 graus cau al 2n quadrant i el cosinus hi és negatiu. El de 200 cau al 3r i el cosinus hi és negatiu. El de 350 cau al 4t i el cosinus hi és positiu. El de 45 cau al 1r i el cosinus hi és positiu.

30 graus: 150 = 180 - 30, i els angles suplementaris tenen el mateix sinus.

Dues (una al primer quadrant i una al segon, on el sinus també és positiu).

La clau és que 180° = π rad. Per passar de graus a radiants multipliquem per $\tfrac{\pi}{180}$; per passar de radiants a graus, per $\tfrac{180}{\pi}$.
45° = 45·$\tfrac{\pi}{180}$ = $\tfrac{\pi}{4}$ rad; 120° = 120π/180 = 2π/3 rad; 300° = 300π/180 = 5π/3 rad.
$\tfrac{\pi}{6}$ rad = ($\tfrac{\pi}{6}$)·($\tfrac{180}{\pi}$) = 30°; 3π/4 rad = 3·180°/4 = 135°; 7π/6 rad = 7·180°/6 = 210°.
Comprovació: 7π/6 = π + $\tfrac{\pi}{6}$, és a dir, 180° + 30° = 210°.

Hipotenusa, pel teorema de Pitàgores: h = √(5² + 12²) = √169 = 13 cm.
Raons de l'angle A: sin A = catet oposat / hipotenusa = 5/13 ≈ 0,3846; cos A = catet contigu / hipotenusa = 12/13 ≈ 0,9231; tan A = catet oposat / catet contigu = 5/12 ≈ 0,4167.
L'angle A s'obté amb la funció inversa: A = arctan(5/12) ≈ 22,6°.
Comprovació: sin²A + cos²A = 25/169 + 144/169 = 1, i sin A / cos A = 5/12 = tan A.

Recordem els valors exactes: sin 30° = 1/2, tan 60° = √3 i cos 45° = sin 45° = √2/2.
Primer producte: tan 60°·sin 30° = √3·(1/2) = √3/2.
Segon producte: cos 45°·sin 45° = (√2/2)·(√2/2) = 2/4 = 1/2.
E = √3/2 + 1/2 = (√3 + 1)/2.
Comprovació amb calculadora: (1,732 + 1)/2 = 1,366, i 1,732·0,5 + 0,707·0,707 = 0,866 + 0,5 = 1,366.

Busquem l'angle del primer quadrant que té les mateixes raons en valor absolut i triem el signe segons el quadrant.
sin 120°: és del 2n quadrant, on el sinus és positiu; 180° - 120° = 60°, per tant sin 120° = sin 60° = $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
cos 210°: és del 3r quadrant, on el cosinus és negatiu; 210° - 180° = 30°, per tant cos 210° = -cos 30° = -$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
tan 300°: és del 4t quadrant, on la tangent és negativa; 360° - 300° = 60°, per tant tan 300° = -tan 60° = -$\sqrt{3}$.
sin 315°: és del 4t quadrant, on el sinus és negatiu; 360° - 315° = 45°, per tant sin 315° = -sin 45° = -$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Comprovació amb calculadora: sin 315° = -0,7071 i -$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ = -0,7071.

Quan l'angle θ està en radiants, la longitud de l'arc és L = r·θ i l'àrea del sector és A = ($\tfrac{1}{2}$)·$r^{2}$·θ.
L = 8·(3π/4) = 6π ≈ 18,85 cm.
A = ($\tfrac{1}{2}$)·$8^{2}$·(3π/4) = 32·(3π/4) = 24π ≈ 75,40 cm².
Comprovació: 3π/4 rad són 135°, és a dir, $\tfrac{3}{8}$ de volta. El perímetre de la circumferència és 2π·8 = 16π i $\tfrac{3}{8}$ de 16π és 6π; l'àrea del cercle és π·$8^{2}$ = 64π i $\tfrac{3}{8}$ de 64π és 24π.

Sabem que cos 45° = $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$. Com que ara el cosinus és negatiu, l'angle és del 2n o del 3r quadrant, amb angle de referència 45° = $\tfrac{\pi}{4}$.
2n quadrant: x = π - $\tfrac{\pi}{4} = 3$π/4 (135°).
3r quadrant: x = π + $\tfrac{\pi}{4} = 5$π/4 (225°).
Comprovació: cos 135° = -cos 45° = -$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ i cos 225° = -cos 45° = -$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Dins de [0, 2π) no n'hi ha cap més, perquè en una volta completa el cosinus pren cada valor com a màxim dues vegades.

L'àrea d'un triangle amb dos costats a i b que formen un angle C és A = (1/2)·a·b·sin C (surt de prendre un dels costats com a base i b·sin C com a altura).
A = (1/2)·8·11·sin 30° = 44·(1/2) = 22 cm².
Amb 150° obtindríem A = 44·sin 150°, i com que 150° = 180° - 30°, sin 150° = sin 30° = 1/2. L'àrea també seria 22 cm²: dos angles suplementaris tenen el mateix sinus.
Comprovació: l'altura sobre el costat de 11 cm és 8·sin 30° = 4 cm, i (1/2)·11·4 = 22.

cos(a) = √(1 - 0,28²) = √0,9216 = 0,96 (positiu, primer quadrant).
tan(a) = 0,28/0,96 ≈ 0,2917.

L'angle de referència és 45 graus i la tangent és positiva al 1r i al 3r quadrant, per tant entre 0 i 360 graus les solucions són x = 45 i x = 225. La forma general és x = 45 + k·180 graus perquè el període de la tangent és mitja volta: entre les dues solucions hi ha exactament 180 graus.

Dibuixo el triangle: refugi, font i mirador. Conec dos costats (4 km i 3 km) i l'angle que formen entre ells (120 graus), però NO conec cap costat amb el seu angle oposat. Per tant, el parany és voler fer servir el teorema del sinus: aquí no es pot, cal el teorema del cosinus.
Anomeno d la distància refugi-mirador (el costat oposat a l'angle de 120 graus): d² = 4² + 3² - 2·4·3·cos(120).
Com que l'angle és obtús, cos(120) = -1/2, i el terme negatiu es torna positiu: d² = 16 + 9 - 24·(-0,5) = 25 + 12 = 37.
d = √37 ≈ 6,08 km. Té sentit: com que l'angle és obert (més gran que un recte), la distància directa és més gran que qualsevol dels dos trams.

El far i els dos vaixells formen un triangle. Conec el costat AB = 5 km i els dos angles adjacents (cas ALA): és el cas natural del teorema del sinus, però abans em falta l'angle oposat al costat que busco.
L'angle del triangle situat al far és el tercer: 180 - 70 - 60 = 50 graus.
La distància far-A és el costat oposat a l'angle de B (60 graus), i AB = 5 és oposat a l'angle del far (50 graus). Pel teorema del sinus: (far-A)/sin(60) = 5/sin(50).
far-A = 5·sin(60)/sin(50) = 5·0,866/0,766 ≈ 5,65 km.

Fórmules: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b i cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b.
sin 75° = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
cos 15° = cos 45°·cos 30° + sin 45°·sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
Coincideixen perquè 75° i 15° són complementaris (sumen 90°) i el sinus d'un angle és el cosinus del seu complementari: sin 75° = cos(90° - 75°) = cos 15°.
Comprovació amb calculadora: (2,4495 + 1,4142)/4 = 3,8637/4 = 0,9659, que és el valor de sin 75° i també de cos 15°.

Primer necessitem cos a. Per la identitat fonamental, cos²a = 1 - sin²a = 1 - 9/25 = 16/25, i com que a és del primer quadrant, cos a = 4/5.
Fórmules de l'angle doble: sin 2a = 2 sin a cos a = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25 i cos 2a = cos²a - sin²a = 16/25 - 9/25 = 7/25.
tan 2a = sin 2a / cos 2a = (24/25)/(7/25) = 24/7.
Comprovació: sin²2a + cos²2a = 576/625 + 49/625 = 625/625 = 1.
Error típic: creure que sin 2a = 2 sin a; doblar l'angle no dobla el sinus.

Ho escrivim tot en funció del sinus amb cos²x = 1 - sin²x: 2(1 - sin²x) + 3 sin x = 3 → -2 sin²x + 3 sin x - 1 = 0 → 2 sin²x - 3 sin x + 1 = 0.
Fem s = sin x: 2s² - 3s + 1 = 0 → s = (3 ± √(9 - 8))/4 = (3 ± 1)/4, és a dir, s = 1 o s = 1/2.
sin x = 1 dona x = 90°. sin x = 1/2 dona x = 30° (1r quadrant) i x = 150° (2n quadrant).
Comprovació: x = 30° dona 2·(√3/2)² + 3·(1/2) = 3/2 + 3/2 = 3; x = 90° dona 0 + 3 = 3.
Solucions: x = 30°, 90° i 150°.

El teorema del cosinus diu a² = b² + c² - 2bc·cos A, d'on cos A = (b² + c² - a²)/(2bc).
cos A = (64 + 81 - 49)/(2·8·9) = 96/144 = 2/3, per tant A ≈ 48,19°.
cos B = (a² + c² - b²)/(2ac) = (49 + 81 - 64)/(2·7·9) = 66/126 = 11/21 ≈ 0,5238, per tant B ≈ 58,41°.
L'angle que falta: C = 180° - 48,19° - 58,41° = 73,40°.
Comprovació: cos C = (a² + b² - c²)/(2ab) = (49 + 64 - 81)/(2·7·8) = 32/112 = 2/7 ≈ 0,2857, i arccos(0,2857) ≈ 73,40°.
L'angle més gran és el que s'oposa al costat més llarg (C, oposat a c = 9 cm).

Dividim el pentàgon en 5 triangles isòsceles iguals amb vèrtex al centre. L'angle central de cada un és 360°/5 = 72°, i l'apotema és l'altura d'aquest triangle, que el divideix en dos triangles rectangles amb un angle de 36° al centre i el catet oposat de 5 cm (la meitat del costat).
tan 36° = 5/apotema → apotema = 5/tan 36° = 5/0,7265 ≈ 6,88 cm.
Perímetre: 5·10 = 50 cm. Àrea = perímetre·apotema/2 = 50·6,88/2 ≈ 172 cm².
Comprovació: l'àrea de cada triangle central és (1/2)·10·6,88 = 34,4 cm² i 5·34,4 = 172 cm².

Desenvolupem el quadrat del membre esquerre: (sin x + cos x)² = sin²x + 2 sin x cos x + cos²x.
Agrupem sin²x + cos²x = 1 i 2 sin x cos x = sin 2x, així que (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x, que és el membre dret.
Si sin x + cos x = 4/3, llavors (4/3)² = 1 + sin 2x, és a dir, 16/9 = 1 + sin 2x, i sin 2x = 16/9 - 1 = 7/9.
Comprovació: 7/9 ≈ 0,78 està entre -1 i 1, com ha de ser; i 4/3 ≈ 1,33 no supera el màxim possible de sin x + cos x, que és √2 ≈ 1,41, així que aquesta dada és possible.

a) Falsa. Amb x = 30°: sin 60° = √3/2 ≈ 0,866, però 2 sin 30° = 2·(1/2) = 1. (Només coincideixen en alguns valors, com x = 0°.) La fórmula correcta és sin 2x = 2 sin x cos x.
b) Certa: és la identitat fonamental de la trigonometria i es compleix per a qualsevol angle.
c) Falsa. Amb a = b = 60°: cos 120° = -1/2, però cos 60° + cos 60° = 1/2 + 1/2 = 1. La fórmula correcta és cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b.
d) Falsa: x = 30° és una solució, però també ho és x = 150°, perquè sin 150° = sin(180° - 30°) = 1/2. En general, sin x = 1/2 té com a solucions x = 30° + 360°·k i x = 150° + 360°·k, amb k enter.

La part de l'edifici per sobre dels ulls és el catet oposat: 50·tan(32) ≈ 50 · 0,6249 ≈ 31,2 m.
Altura total: 31,2 + 1,6 ≈ 32,8 m.

Es divideix la relació fonamental sin²(a) + cos²(a) = 1 entre cos²(a): tan²(a) + 1 = 1/cos²(a).
Amb tan(a) = 3/4: 1/cos²(a) = 1 + 9/16 = 25/16, cos(a) = 4/5 = 0,8.
sin(a) = tan(a)·cos(a) = 3/4 · 4/5 = 3/5 = 0,6.

Es fa servir cos(2x) = 2·cos²(x) - 1, perquè tot quedi en cosinus: 2·cos²(x) - cos(x) - 1 = 0.
És una equació de segon grau en c = cos(x): c = 1 o c = -$\tfrac{1}{2}$.
cos(x) = 1: x = 0 graus. cos(x) = -$\tfrac{1}{2}$: x = 120 i x = 240 graus.
Solucions: 0, 120 i 240 graus.

Sigui h l'alçada de la torre i x la distància horitzontal des del segon punt (el més proper) fins a la base.
Des del segon punt: tan 45° = h/x, i com que tan 45° = 1, x = h.
Des del primer punt, que és 40 m més lluny: tan 30° = h/(x + 40) = h/(h + 40), i tan 30° = 1/√3.
Aïllem h: √3·h = h + 40 → h(√3 - 1) = 40 → h = 40/(√3 - 1) = 40(√3 + 1)/2 = 20(√3 + 1) ≈ 54,6 m.
Comprovació: el primer punt és a h + 40 ≈ 94,6 m de la base, i 54,6/94,6 ≈ 0,577 = tan 30°.

Teorema del sinus: a/sin A = b/sin B → sin B = b·sin A/a = 10·(1/2)/7 = 5/7 ≈ 0,7143.
Un angle amb sinus 0,7143 pot ser B₁ ≈ 45,58° (agut) o B₂ = 180° - 45,58° = 134,42° (obtús). Tots dos són possibles perquè A + B₂ = 30° + 134,42° = 164,42° < 180°. Per tant hi ha dos triangles.
Triangle 1: C₁ = 180° - 30° - 45,58° = 104,42°, i c₁ = a·sin C₁/sin A = 7·0,9684/0,5 ≈ 13,56 cm.
Triangle 2: C₂ = 180° - 30° - 134,42° = 15,58°, i c₂ = 7·sin 15,58°/0,5 = 7·0,2687/0,5 ≈ 3,76 cm.
Això passa perquè b·sin A = 5 cm < a = 7 cm < b = 10 cm: el costat a és prou llarg per arribar a la recta, però més curt que b, de manera que la talla en dos punts.
Comprovació: a/sin A = 7/0,5 = 14 i b/sin B = 10/(5/7) = 14, tant per a B₁ com per a B₂ (tenen el mateix sinus).

Anomenem u = 3x. Si x és a [0°, 360°), llavors u és a [0°, 1080°), és a dir, u recorre tres voltes completes.
sin u = 1/2 té com a solucions bàsiques u = 30° i u = 150°, que es repeteixen cada 360°: u = 30°, 150°, 390°, 510°, 750° i 870° (els següents, 1110° i 1230°, ja superen els 1080°).
Desfem el canvi x = u/3: x = 10°, 50°, 130°, 170°, 250° i 290°.
Comprovació: x = 130° dona sin 390° = sin 30° = 1/2; x = 290° dona sin 870° = sin(870° - 720°) = sin 150° = 1/2.
Hi ha 6 solucions, el triple de les que té sin u = 1/2 en una sola volta, perquè 3x recorre tres voltes.

Fórmules de l'angle meitat: cos(a/2) = √((1 + cos a)/2) i tan(a/2) = sin a/(1 + cos a). Amb a = 45°, l'angle a/2 = 22,5° és del primer quadrant, i per això triem el signe positiu.
cos 22,5° = √((1 + √2/2)/2) = √((2 + √2)/4) = √(2 + √2)/2.
tan 22,5° = sin 45°/(1 + cos 45°) = (√2/2)/(1 + √2/2) = √2/(2 + √2). Racionalitzem multiplicant per 2 - √2: √2(2 - √2)/((2 + √2)(2 - √2)) = (2√2 - 2)/2 = √2 - 1.
Comprovació amb calculadora: √(2 + 1,4142)/2 = √3,4142/2 = 1,8478/2 = 0,9239, igual que cos 22,5°; i √2 - 1 = 0,4142, igual que tan 22,5°.

Partim del membre esquerre i ho escrivim tot amb sinus i cosinus: tan x + 1/tan x = sin x/cos x + cos x/sin x.
Reduïm a comú denominador: (sin²x + cos²x)/(sin x cos x) = 1/(sin x cos x).
Multipliquem numerador i denominador per 2: 1/(sin x cos x) = 2/(2 sin x cos x) = 2/sin 2x, que és el membre dret.
Les expressions tenen sentit quan sin x ≠ 0 i cos x ≠ 0, és a dir, quan x no és múltiple de 90°.
Comprovació amb x = 30°: tan 30° + 1/tan 30° = 0,5774 + 1,7321 = 2,3095, i 2/sin 60° = 2/0,8660 = 2,3095.

a) El període de sin(kt) és 2π/k. Aquí k = π/6, així que el període és 2π/(π/6) = 12 h: el cicle es repeteix cada 12 hores.
b) El sinus oscil·la entre -1 i 1. Màxim: 2 + 1,5·1 = 3,5 m. Mínim: 2 + 1,5·(-1) = 0,5 m.
c) Cal 2 + 1,5·sin(πt/6) = 2,75, és a dir, sin(πt/6) = 0,75/1,5 = 0,5. Quan t va de 0 a 12, l'angle πt/6 va de 0 a 2π, i en aquesta volta sin = 0,5 té dues solucions: πt/6 = π/6 i πt/6 = 5π/6.
πt/6 = π/6 dona t = 1 h; πt/6 = 5π/6 dona t = 5 h.
Comprovació: h(1) = 2 + 1,5·sin(π/6) = 2 + 1,5·0,5 = 2,75 m i h(5) = 2 + 1,5·sin(5π/6) = 2,75 m.