Exercicis de derivades — Matemàtiques 1r Batxillerat

L'interior és u = 5x i la fila de la taula diu ($e^{u}$)' = $e^{u}$·u'. Com que u' = 5, la derivada és f'(x) = 5·$e^{5x}$.

Derivo terme a terme amb les derivades de referència. La derivada de cos x és -sin x (compte amb el signe: la del cosinus porta el menys, la del sinus no). La derivada de ln x és $\tfrac{1}{x}$. Per tant f'(x) = -sin x + $\tfrac{1}{x}$.

La de fora és la potència i la de dins, u = 2x - 5 amb u' = 2. Surt f'(x) = 4·(2x - 5$)^{3}$·2 = 8·(2x - 5$)^{3}$.

La definició és f'(2) = lim_h→0 [f(2 + h) - f(2)]/h.
f(2) = 4 - 6 = -2 i f(2 + h) = (2 + h)² - 3(2 + h) = 4 + 4h + h² - 6 - 3h = -2 + h + h².
Quocient incremental: [f(2 + h) - f(2)]/h = (h + h²)/h = 1 + h per a h ≠ 0.
f'(2) = lim_h→0 (1 + h) = 1.
Significat: el pendent de la recta tangent a la gràfica de f al punt (2, -2) és 1.
Comprovació amb les regles de derivació: f'(x) = 2x - 3, de manera que f'(2) = 4 - 3 = 1.

a) Certa: f(a + h) - f(a) = h·[f(a + h) - f(a)]/h tendeix a 0·f'(a) = 0 quan h → 0, és a dir, f(a + h) tendeix a f(a).
b) Falsa: f(x) = |x| és contínua a x = 0, però hi té derivades laterals -1 i 1, diferents, i per tant no hi és derivable (hi té un punt angulós).
c) Falsa: per a f(x) = $x^{3}$ tenim f'(0) = 0, però f és estrictament creixent i a x = 0 no hi ha ni màxim ni mínim. Cal que f' canviï de signe.
d) Falsa: (f·g)' = f'·g + f·g'. Per exemple, (x·x)' = ($x^{2}$)' = 2x, mentre que x'·x' = 1·1 = 1.

Reescrivim l'arrel i el denominador com a potències: f(x) = 5x⁴ - 3x² + 2x^{$\tfrac{1}{2}$} - 8x^-1.
Apliquem ($x^{n}$)' = n·$x^{n-1}$ terme a terme: f'(x) = 20x³ - 6x + 2·($\tfrac{1}{2}$)·x^{-$\tfrac{1}{2}$} - 8·(-1)·$x^{-2}$ = 20x³ - 6x + x^{-$\tfrac{1}{2}$} + 8x^-2.
Sense exponents negatius ni fraccionaris: f'(x) = 20x³ - 6x + $\tfrac{1}{\sqrt{x}}$ + $\tfrac{8}{x^{2}}$.
Error típic: derivar numerador i denominador per separat en $\tfrac{8}{x}$; per això convé passar-lo a 8x^-1 abans de derivar. Fixa't que -$\tfrac{8}{x}$ té derivada +$\tfrac{8}{x^{2}}$.

L'error és derivar un producte factor a factor: (u·v)' no és u'·v'. La regla correcta és (u·v)' = u'·v + u·v'.
Amb u = $x^{2}$ i v = $e^{x}$: u' = 2x i v' = $e^{x}$.
f'(x) = 2x·$e^{x}$ + $x^{2}$·$e^{x}$ = $e^{x}$(2x + $x^{2}$) = x(x + 2)·$e^{x}$.
Comprovació a x = 1: la derivada correcta val 3e ≈ 8,15 i la fórmula errònia donaria 2e ≈ 5,44. El quocient incremental amb h = 0,001, $\tfrac{[f(1{,}001) - f(1)]}{0{,}001} \approx 8{,}16$, dona la raó a la correcta.

Fem servir la taula de derivades, terme a terme.
(a^x)' = a^x·ln a, per tant (5^x)' = 5^x·ln 5.
(log_a x)' = 1/(x·ln a), per tant (log₃ x)' = 1/(x·ln 3).
(tan x)' = 1/cos²x = 1 + tan²x.
f'(x) = 5^x·ln 5 + 1/(x·ln 3) + 1/cos²x.
Error típic: escriure (5^x)' = x·5^x-1. Aquesta és la regla de la potència i només val quan la base és la variable i l'exponent és constant.

Cal un punt i un pendent. Punt: f(3) = 9 - 12 + 3 = 0, és a dir (3, 0).
Pendent: f'(x) = 2x - 4, així que m = f'(3) = 2.
Equació punt-pendent: y - 0 = 2(x - 3), és a dir y = 2x - 6.
Comprovació: igualant paràbola i tangent, $x^{2}$ - 4x + 3 = 2x - 6 → $x^{2}$ - 6x + 9 = (x - 3$)^{2}$ = 0. L'arrel doble x = 3 indica que la recta toca la paràbola només en aquest punt.

f' s'anul·la quan x = 2 o x = -3. Aquests dos valors divideixen la recta en tres intervals; provem un valor de cada un.
x = -4: f' = (-6)(-1) = 6 > 0. x = 0: f' = (-2)(3) = -6 < 0. x = 3: f' = (1)(6) = 6 > 0.
f creix a (-∞, -3) ∪ (2, +∞) i decreix a (-3, 2).
A x = -3, f passa de créixer a decréixer: màxim relatiu. A x = 2, passa de decréixer a créixer: mínim relatiu.
Nota: sense l'expressió de f no podem donar el valor dels extrems, només en quins punts hi són.

La velocitat és el ritme de canvi de la posició, o sigui la seva derivada: v(t) = s'(t) = 3t² - 12t + 9.
A t = 2: v(2) = 3·4 - 12·2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 m/s. És negativa: en aquest instant el mòbil retrocedeix.
L'acceleració és el ritme de canvi de la velocitat, la derivada de v: a(t) = v'(t) = 6t - 12.
A t = 2: a(2) = 6·2 - 12 = 0 $\text{m/s}^{2}$. El PARANY és confondre posició, velocitat i acceleració: cada magnitud és la derivada de l'anterior, no el seu valor directe.

L'interior és u = 2x + 7, amb u' = 2. Apliques (√u)' = u'/(2·√u) i queda f'(x) = 2/(2·√(2x + 7)) = 1/√(2x + 7).

La de fora és el cosinus i la de dins, u = 5x + 1 amb u' = 5. Surt f'(x) = -sin(5x + 1)·5 = -5·sin(5x + 1).

f'(x) = 2x - 6 = 0 a x = 3. Passa de decreixent a creixent: és un mínim, a x = 3.

Regla de la cadena amb el logaritme: (ln u)' = u'/u, amb u = $x^{2}$ + 4x + 5 i u' = 2x + 4.
f'(x) = $\tfrac{(2x + 4)}{(x^{2} + 4x + 5)}$. Com que $x^{2}$ + 4x + 5 = (x + 2$)^{2}$ + 1 > 0, el denominador no s'anul·la mai.
Tangent horitzontal: f'(x) = 0 → 2x + 4 = 0 → x = -2.
f(-2) = ln(4 - 8 + 5) = ln 1 = 0. El punt és (-2, 0).
Comprovació: (x + 2$)^{2}$ + 1 ≥ 1, així que f(x) ≥ ln 1 = 0 i (-2, 0) és el mínim de la funció, on la tangent ha de ser horitzontal.

El domini és ℝ - {-1}. Regla del quocient: (u/v)' = (u'v - uv')/v², amb u = e^x i v = x + 1.
f'(x) = [e^x(x + 1) - e^x·1]/(x + 1)² = x·e^x/(x + 1)².
Signe: e^x > 0 i (x + 1)² > 0 sempre, així que el signe de f' és el de x, i f' = 0 només a x = 0.
f decreix a (-∞, -1) i a (-1, 0), i creix a (0, +∞). Hi ha un mínim relatiu a (0, f(0)) = (0, 1).
Atenció: no es pot dir que decreix a (-∞, 0) d'una tirada, perquè x = -1 no és del domini (hi ha una asímptota vertical).

És un producte, (u·v)' = u'v + uv', amb u = x i v = √(x² + 1). Per a v cal la regla de la cadena: v' = 2x/(2√(x² + 1)) = x/√(x² + 1).
f'(x) = 1·√(x² + 1) + x·x/√(x² + 1) = √(x² + 1) + x²/√(x² + 1).
Denominador comú: f'(x) = [(x² + 1) + x²]/√(x² + 1) = (2x² + 1)/√(x² + 1).
Comprovació: f'(0) = 1/1 = 1. De fet, prop de x = 0 la funció es comporta com x·1 = x, que té pendent 1.

Dues rectes són paral·leles quan tenen el mateix pendent, aquí 9. Cal resoldre f'(x) = 9.
f'(x) = 3x² - 6x = 9 → $x^{2}$ - 2x - 3 = 0 → x = 3 o x = -1.
Punts: f(3) = 27 - 27 + 2 = 2, és a dir (3, 2); f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2, és a dir (-1, -2).
Tangents: y - 2 = 9(x - 3) → y = 9x - 25; y + 2 = 9(x + 1) → y = 9x + 7.
Comprovació: totes dues tenen pendent 9 i cap no coincideix amb y = 9x + 1 (les ordenades a l'origen són -25, 7 i 1), així que són paral·leles i diferents.

Punt: f(4) = √(16 + 9) = 5, és a dir (4, 5).
Pendent de la tangent: f'(x) = 2x/(2√(x² + 9)) = x/√(x² + 9), per tant f'(4) = 4/5.
La normal és perpendicular a la tangent: el seu pendent és l'invers canviat de signe, m_n = -1/f'(4) = -5/4.
Equació: y - 5 = -(5/4)(x - 4) → y = -(5/4)x + 5 + 5 = -(5/4)x + 10.
Comprovació: m_t·m_n = (4/5)·(-5/4) = -1, i la recta passa per (4, 5): -(5/4)·4 + 10 = 5.

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3($x^{2}$ - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3), que s'anul·la a x = 1 i x = 3.
Signe de f': a x = 0, f' = 9 > 0; a x = 2, f' = 3·1·(-1) = -3 < 0; a x = 4, f' = 3·3·1 = 9 > 0.
f creix a (-∞, 1) ∪ (3, +∞) i decreix a (1, 3).
A x = 1 hi ha un màxim relatiu: f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5, punt (1, 5). A x = 3 hi ha un mínim relatiu: f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1, punt (3, 1).
Comprovació amb la segona derivada: f''(x) = 6x - 12, f''(1) = -6 < 0 (màxim) i f''(3) = 6 > 0 (mínim).

Sigui x la longitud de cada costat perpendicular al riu i y la del costat paral·lel al riu. La reixa és 2x + y = 120, d'on y = 120 - 2x.
Àrea: A(x) = x·(120 - 2x) = 120x - 2x², amb 0 < x < 60.
A'(x) = 120 - 4x = 0 → x = 30. Com que A''(x) = -4 < 0, és un màxim.
Dimensions: x = 30 m i y = 120 - 60 = 60 m. Àrea màxima: 30·60 = 1800 $m^{2}$.
Comprovació: amb x = 29 m l'àrea és 29·62 = 1798 $m^{2}$ i amb x = 31 m és 31·58 = 1798 $m^{2}$, tots dos menors que 1800 $m^{2}$.

TVM: $\tfrac{(9 - 1)}{(3 - 1)} = 4$. Derivada: f'(x) = 2x, i f'(2) = 4.
Coincideixen: en una paràbola, la taxa mitjana en un interval és igual a la derivada al punt mitjà de l'interval. Geomètricament, la recta secant és paral·lela a la tangent en aquell punt.

Regla del QUOCIENT: si f = u/v, aleshores f' = (u'·v - u·v')/v² (derivada de dalt pel de baix, MENYS dalt per la derivada de baix, tot dividit pel de baix al quadrat).
Prenc u = x (amb u' = 1) i v = x² + 1 (amb v' = 2x).
Numerador: 1·(x² + 1) - x·2x = x² + 1 - 2x² = 1 - x².
El PARANY és el signe i l'ordre del numerador: va una RESTA i primer la derivada de dalt. Denominador: (x² + 1)².
f'(x) = (1 - x²)/(x² + 1)².

Necessito el pendent f'(1) i el punt (1, f(1)).
Derivo amb la regla de la CADENA: la de fora és ln (la seva derivada és 1 dividit per la de dins) i la de dins és x² + 1 (derivada 2x). Multiplicant les dues: f'(x) = (1/(x² + 1))·2x = (2x)/(x² + 1). El PARANY és oblidar el 2x de la derivada de dins.
Pendent: f'(1) = 2/(1 + 1) = 1.
Punt: f(1) = ln(1 + 1) = ln 2.
Recta punt-pendent: y - ln 2 = 1·(x - 1), és a dir y = x - 1 + ln 2.

Perquè sigui derivable a x = 2 ha de ser contínua i les derivades laterals han de coincidir.
Continuïtat: pel tram esquerre f(2) = 4 + 2a + b, i pel dret lim_x→2+ f(x) = 3·2 - 2 = 4. Condició: 4 + 2a + b = 4 → 2a + b = 0.
Derivades laterals: pel tram esquerre f'(x) = 2x + a, que a x = 2 val 4 + a; pel dret f'(x) = 3. Condició: 4 + a = 3 → a = -1.
Llavors b = -2a = 2.
Resultat: a = -1 i b = 2, i f'(x) = 2x - 1 si x ≤ 2, f'(x) = 3 si x > 2 (a x = 2 totes dues expressions valen 3).
Error típic: imposar només la igualtat de derivades i oblidar la continuïtat, o a l'inrevés; calen les dues condicions.

El punt P no és de la paràbola, així que no podem derivar «al punt P»: cal trobar els punts de tangència (t, $t^{2}$).
La tangent en aquest punt té pendent 2t: y - $t^{2}$ = 2t(x - t), és a dir y = 2t·x - $t^{2}$.
Perquè passi per P(1, -3): -3 = 2t - $t^{2}$ → $t^{2}$ - 2t - 3 = 0 → t = 3 o t = -1.
Per a t = 3: y = 6x - 9. Per a t = -1: y = -2x - 1.
Comprovació: 6·1 - 9 = -3 i -2·1 - 1 = -3, així que totes dues passen per P. (P queda per sota de la paràbola, per això n'hi ha dues.)

Sigui (x, 12 - $x^{2}$) el vèrtex superior de la dreta, amb 0 < x < $\sqrt{12}$. Llavors la base del rectangle és 2x i l'alçada 12 - $x^{2}$.
Àrea: A(x) = 2x(12 - $x^{2}$) = 24x - 2x³.
A'(x) = 24 - 6x² = 0 → $x^{2}$ = 4 → x = 2 (només val la positiva). A''(x) = -12x, que a x = 2 val -24 < 0: màxim.
Dimensions: base 2x = 4 i alçada 12 - 4 = 8. Àrea màxima: 4·8 = 32 unitats quadrades.
Comprovació: x = 1,9 dona una àrea de 31,88 i x = 2,1 dona 31,88; totes dues són menors que 32.

Primera derivada (producte i cadena): f'(x) = $e^{-x}$ + x·(-$e^{-x}$) = $e^{-x}$(1 - x). Com que $e^{-x}$ > 0, el signe és el de 1 - x: f creix a (-∞, 1) i decreix a (1, +∞). Màxim relatiu a (1, $\tfrac{1}{e}$) ≈ (1; 0,37).
Segona derivada: f''(x) = -$e^{-x}$(1 - x) + $e^{-x}$·(-1) = $e^{-x}$(x - 2).
Signe: f'' < 0 si x < 2 (còncava, forma ∩) i f'' > 0 si x > 2 (convexa, forma ∪).
Com que f'' canvia de signe a x = 2, hi ha un punt d'inflexió a (2, $\tfrac{2}{e^{2}}$) ≈ (2; 0,27).
Comprovació: f''(1) = $e^{-1}$(1 - 2) = -$\tfrac{1}{e}$ < 0 confirma que x = 1 és un màxim.

a) La tangent passa per (2, f(2)) = (2, 3) i té pendent f'(2) = -1: y - 3 = -(x - 2) → y = -x + 5.
b) Regla del producte: g'(x) = 2x·f(x) + $x^{2}$·f'(x). Per a x = 2: g'(2) = 4·3 + 4·(-1) = 12 - 4 = 8.
c) Regla de la cadena: h'(x) = f'($x^{2}$ - 2)·2x. Per a x = 2 l'interior val $2^{2}$ - 2 = 2, així que h'(2) = f'(2)·4 = (-1)·4 = -4.
Error típic a c): oblidar el factor 2x, la derivada de l'interior $x^{2}$ - 2; sense ell obtindríem -1 en comptes de -4.

$x^{2}$ - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) és positiu fora de [1, 3] i negatiu a l'interior (1, 3). Així, f(x) = $x^{2}$ - 4x + 3 si x ≤ 1 o x ≥ 3, i f(x) = -$x^{2}$ + 4x - 3 si 1 < x < 3.
Fora de x = 1 i x = 3, f és polinòmica a trossos i derivable: f'(x) = 2x - 4 si x < 1 o x > 3, i f'(x) = -2x + 4 si 1 < x < 3.
A x = 1 (f hi és contínua i val 0): f'($1^{-}$) = 2 - 4 = -2 i f'($1^{+}$) = -2 + 4 = 2. Són diferents → no és derivable.
A x = 3: f'($3^{-}$) = -6 + 4 = -2 i f'($3^{+}$) = 6 - 4 = 2. Diferents → no és derivable.
Conclusió: f és derivable a ℝ - {1, 3}; als punts (1, 0) i (3, 0) la gràfica té punts angulosos.