Exercicis de funcions — Matemàtiques 1r Batxillerat

És una funció polinòmica: no té cap denominador amb x, cap arrel ni cap logaritme, per tant no hi ha res que pugui prohibir cap valor. El domini és tot R.

El denominador s'anul·la a x = -3, per tant el domini és R - {-3} i l'asímptota vertical és la recta x = -3. L'horitzontal és y = 0.

Pel punt (0, 1), perquè $a^{0}$ = 1.

El domini és el conjunt de valors de x per als quals es pot calcular la funció.
a) No es pot dividir per zero: $x^{2}$ - 9 ≠ 0, és a dir, x ≠ 3 i x ≠ -3. Dom f = R - {-3, 3}.
b) L'arrel quadrada només existeix si el radicand no és negatiu: 2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Dom g = [3, +∞).
c) El logaritme només existeix si l'argument és positiu: x + 1 > 0 → x > -1. Dom h = (-1, +∞).
Comprovació: g(3) = $\sqrt{0}$ = 0 existeix, però g(2) = $\sqrt{-2}$ no; h(0) = log 1 = 0 existeix, però h(-1) = log 0 no.

Primer calculem els valors que necessitarem: f(2) = 3, g(2) = 7, f(3) = 5 i g(3) = 12.
(f + g)(3) = f(3) + g(3) = 5 + 12 = 17.
(f·g)(2) = f(2)·g(2) = 3·7 = 21.
(f∘g)(2) = f(g(2)) = f(7) = 2·7 - 1 = 13 (primer s'aplica g i després f).
(g∘f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 3² + 3 = 12 (primer s'aplica f i després g).
No coincideixen: la composició no és commutativa. En general, (f∘g)(x) = 2(x² + 3) - 1 = 2x² + 5 i (g∘f)(x) = (2x - 1)² + 3 = 4x² - 4x + 4.
Comprovació amb x = 2: 2·4 + 5 = 13 i 4·4 - 8 + 4 = 12.

Una funció és parella si f(-x) = f(x) (gràfica simètrica respecte de l'eix OY) i és senar si f(-x) = -f(x) (gràfica simètrica respecte de l'origen).
f(-x) = (-x$)^{4}$ - 3(-x$)^{2}$ + 5 = $x^{4}$ - 3x² + 5 = f(x): és parella.
g(-x) = (-x$)^{3}$ - 2(-x) = -$x^{3}$ + 2x = -($x^{3}$ - 2x) = -g(x): és senar.
h(-x) = (-x$)^{2}$ + (-x) = $x^{2}$ - x, que no és h(x) ni -h(x): no és ni parella ni senar. Un contraexemple: h(1) = 2, però h(-1) = 0 (ni 2 ni -2).
Regla ràpida per als polinomis: si només hi ha potències parelles ($x^{4}$, $x^{2}$ i el terme independent), és parella; si només hi ha potències senars, és senar; si hi ha de les dues classes, no és cap de les dues.

El cost té una part fixa (3 €) i una part proporcional als quilòmetres (1,50 € per km): C(x) = 3 + 1,5x. És una funció afí: la seva gràfica és una recta de pendent 1,5 i ordenada a l'origen 3.
Per a 10 km: C(10) = 3 + 1,5·10 = 18 €.
Amb 36 €: 3 + 1,5x = 36 → 1,5x = 33 → x = 22 km.
Comprovació: C(22) = 3 + 1,5·22 = 3 + 33 = 36 €.

Desplaçar la gràfica de f(x) cap a la dreta c unitats és substituir x per x - c, i desplaçar-la cap avall d unitats és restar d al resultat.
Aquí c = 3 i d = 2: g(x) = (x - 3$)^{2}$ - 2.
El vèrtex de y = $x^{2}$ era (0, 0); després del desplaçament és (0 + 3, 0 - 2) = (3, -2).
Com que la paràbola s'obre cap amunt, el seu valor mínim és -2: el recorregut és [-2, +∞).
Comprovació: g(3) = $0^{2}$ - 2 = -2, el vèrtex; i el punt (2, 4) de y = $x^{2}$ passa a ser (5, 2), que compleix g(5) = $2^{2}$ - 2 = 2.

Que tingui període 4 vol dir que f(x + 4) = f(x): el valor es repeteix cada 4 unitats. Per tant podem sumar o restar múltiples de 4 al nombre fins que caigui entre 0 i 3.
f(13): 13 = 3·4 + 1, així que f(13) = f(1) = 5.
f(-1): -1 + 4 = 3, així que f(-1) = f(3) = 0.
f(22): 22 = 5·4 + 2, així que f(22) = f(2) = -1.
f(100): 100 = 25·4 + 0, així que f(100) = f(0) = 2.
Comprovació: la diferència entre 13 i 1 és 12 = 3·4, entre -1 i 3 és 4, entre 22 i 2 és 20 = 5·4 i entre 100 i 0 és 100 = 25·4: tots són múltiples de 4.

log₂ x és l'exponent al qual cal elevar 2 per obtenir x.
f(8) = log₂ 8 = 3, perquè 2³ = 8. f(1/4) = log₂ (1/4) = -2, perquè 2^-2 = 1/4.
Domini: només es poden fer logaritmes de nombres positius, així que Dom f = (0, +∞); la recta x = 0 és una asímptota vertical.
Tall amb l'eix OX: f(x) = 0 → x = 2⁰ = 1, és a dir, el punt (1, 0).
Com que la base 2 és més gran que 1, la funció és creixent: a mesura que x augmenta, log₂ x també (per exemple, f(2) = 1, f(4) = 2, f(8) = 3).
Error típic: pensar que es pot calcular f(-4) o f(0); no existeixen.

La inversa és la funció que, donat el resultat, recupera l'entrada original. Per calcular-la:

1. Escric y = 2x + 6.
2. Aïllo la x: y - 6 = 2x, per tant x = (y - 6) / 2.
3. Intercanvio els noms de les variables (la x passa a ser l'entrada de la inversa): f⁻¹(x) = (x - 6) / 2.

Comprovació: agafo x = 1. La funció dona f(1) = 2·1 + 6 = 8. Ara la inversa sobre 8 ha de tornar l'1: f⁻¹(8) = (8 - 6) / 2 = 2 / 2 = 1. Recuperem l'entrada, així que la inversa és correcta.
Parany: per trobar la inversa cal aïllar x i DESPRÉS intercanviar les variables; la inversa desfà pas a pas el que fa la funció (aquí: primer resta el 6, després divideix per 2, en ordre invers al de f).

És una paràbola cap amunt amb el vèrtex a x = 4/2 = 2, on val f(2) = 4 - 8 = -4.
Decreix a (-∞, 2), creix a (2, +∞), i té el mínim al punt (2, -4).

a) Per a cada x tanco primer quin tram li toca:
f(-3): com que -3 < 0, uso el primer tram: f(-3) = -3 + 1 = -2.
f(0): com que 0 ≤ 0 ≤ 2, uso el segon tram: f(0) = $0^{2}$ = 0.
f(1): com que 0 ≤ 1 ≤ 2, uso el segon tram: f(1) = $1^{2}$ = 1.
f(5): com que 5 > 2, uso el tercer tram: f(5) = 4.
b) Domini: els tres trams cobreixen tots els reals sense deixar cap buit (x < 0, 0 ≤ x ≤ 2 i x > 2 enganxen). Domini = tots els reals.
Recorregut: al primer tram (x < 0) la recta x + 1 pren valors per sota d'1, és a dir (-∞, 1); al segon (0 ≤ x ≤ 2) la paràbola $x^{2}$ va de 0 a 4, és a dir [0, 4]; al tercer val sempre 4. La unió de tot és (-∞, 4].
c) Gràfica: per a x < 0, una recta de pendent 1 que ve de baix i s'acosta a l'alçada 1 quan x s'apropa a 0 (amb un punt obert a (0, 1)). A x = 0 hi ha un SALT, perquè f(0) = 0: la funció no és contínua allà. Per a 0 ≤ x ≤ 2, un tros de paràbola que arrenca a (0, 0) i puja fins a (2, 4). Per a x > 2, una recta horitzontal a l'alçada 4; a x = 2 enganxa sense salt (la paràbola també hi val 4).
Parany: el domini es mira comprovant que els trams no deixin forats; el recorregut s'obté ajuntant els valors de y de cada tram, no d'un sol.

Perquè una fracció val zero només si el numerador val zero, i aquí el numerador és 1 i no canvia mai. Per molt gran que sigui x, el quocient s'acosta a 0 però no hi arriba: per això y = 0 és una asímptota horitzontal i el recorregut és R - {0}.

f(x): hi ha dues condicions. L'arrel exigeix x - 2 ≥ 0, és a dir, x ≥ 2; i el denominador no pot ser zero: x - 5 ≠ 0, és a dir, x ≠ 5. Cal complir-les alhora: Dom f = [2, 5) ∪ (5, +∞).
g(x): l'argument del logaritme ha de ser positiu: 4 - x² > 0 → x² < 4 → -2 < x < 2. Dom g = (-2, 2).
Comprovació: f(2) = 0/(-3) = 0 existeix i f(5) no; g(0) = ln 4 existeix, però g(2) = ln 0 i g(3) = ln(-5) no.

Domini de f: x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1, és a dir, [1, +∞). Com que $\sqrt{x - 1}$ ≥ 0, f(x) ≥ 2: el recorregut és [2, +∞).
Inversa: escrivim y = $\sqrt{x - 1}$ + 2, intercanviem x i y i aïllem y. Intercanviant: x = $\sqrt{y - 1}$ + 2 → x - 2 = $\sqrt{y - 1}$ → (x - 2$)^{2}$ = y - 1 → y = (x - 2$)^{2}$ + 1.
Per tant $f^{-1}$(x) = (x - 2$)^{2}$ + 1. El seu domini és el recorregut de f, [2, +∞), i no tots els reals; en cas contrari seria una paràbola sencera i no la inversa de f. El seu recorregut és [1, +∞).
Comprovació: f(5) = $\sqrt{4}$ + 2 = 4 i $f^{-1}$(4) = (4 - 2$)^{2}$ + 1 = 5.

Tall amb l'eix OY: x = 0 → f(0) = 0, el punt (0, 0).
Talls amb l'eix OX: f(x) = 0 → x² - 2x = 0 → x(x - 2) = 0 → x = 0 o x = 2: els punts (0, 0) i (2, 0).
Talls entre les dues gràfiques: f(x) = g(x) → x² - 2x = x + 4 → x² - 3x - 4 = 0 → x = (3 ± √(9 + 16))/2 = (3 ± 5)/2, d'on x = 4 o x = -1.
Les ordenades: g(4) = 8 i g(-1) = 3. Els punts de tall són (4, 8) i (-1, 3).
Comprovació amb f: f(4) = 16 - 8 = 8 i f(-1) = 1 + 2 = 3.

Altura inicial: h(0) = 15 m.
La gràfica és una paràbola que s'obre cap avall, així que el màxim és al vèrtex: t = -$\tfrac{b}{(2a)}$ = -10/(2·(-5)) = 1 s. L'altura màxima és h(1) = -5 + 10 + 15 = 20 m.
Arriba a terra quan h(t) = 0: -5t² + 10t + 15 = 0 → $t^{2}$ - 2t - 3 = 0 → t = $\tfrac{(2 \pm \sqrt{4 + 12})}{2}$ = $\tfrac{(2 \pm 4)}{2}$, d'on t = 3 o t = -1. El temps negatiu no té sentit en aquest context: arriba a terra als 3 s.
Comprovació: h(3) = -45 + 30 + 15 = 0.

Per definició, |x - 3| = x - 3 si x - 3 ≥ 0 (és a dir, x ≥ 3) i |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x si x < 3. Sumant 1: f(x) = 4 - x si x < 3; f(x) = x - 2 si x ≥ 3.
f(-2) = 4 - (-2) = 6 (perquè -2 < 3); f(3) = 3 - 2 = 1; f(7) = 7 - 2 = 5.
|x - 3| val com a mínim 0 (quan x = 3), així que f(x) ≥ 1, i la funció pren tots els valors a partir d'1: el recorregut és [1, +∞) i el mínim és el punt (3, 1).
Comprovació: f(-2) = |-2 - 3| + 1 = 5 + 1 = 6 i f(7) = |7 - 3| + 1 = 5.

Al cap de 15 dies: m(15) = 80·(1/2)^15/5 = 80·(1/2)³ = 80/8 = 10 g.
Perquè en quedin 5 g: 80·(1/2)^t/5 = 5 → (1/2)^t/5 = 5/80 = 1/16 = (1/2)⁴. Igualant exponents (la base és la mateixa): t/5 = 4, d'on t = 20 dies.
La massa no arriba mai a ser zero: una potència de base positiva, com (1/2)^t/5, és sempre positiva. La massa decreix cada cop més a poc a poc i s'acosta a 0 sense arribar-hi (l'eix OX, y = 0, és una asímptota horitzontal).
Comprovació: m(5) = 40, m(10) = 20, m(15) = 10 i m(20) = 5: cada 5 dies la massa es redueix a la meitat.

Domini: el denominador no pot ser zero, x - 3 ≠ 0, així que Dom f = R - {3}.
Tall amb l'eix OY: f(0) = 1/(-3) = -1/3, el punt (0, -1/3).
Tall amb l'eix OX: f(x) = 0 → 2x + 1 = 0 → x = -1/2, el punt (-1/2, 0).
Asímptota vertical: x = 3, on s'anul·la el denominador però no el numerador (2·3 + 1 = 7 ≠ 0).
Asímptota horitzontal: f(x) = 2 + 7/(x - 3); quan |x| és molt gran, 7/(x - 3) s'acosta a 0 i f(x) s'acosta a 2. L'asímptota horitzontal és y = 2.
Comprovació de la pista: 2 + 7/(x - 3) = (2(x - 3) + 7)/(x - 3) = (2x + 1)/(x - 3).

La composició (f∘g)(x) vol dir aplicar primer g i després f al resultat.
(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x - 4) = $\sqrt{x - 4}$.
Domini: com que és una arrel, el que hi ha a dins no pot ser negatiu: x - 4 ≥ 0, per tant x ≥ 4. Domini = [4, +∞).
Ara la de l'altre ordre, (g∘f)(x), aplica primer f i després g:
(g∘f)(x) = g(f(x)) = g($\sqrt{x}$) = $\sqrt{x}$ - 4.
Domini d'aquesta: cal que existeixi $\sqrt{x}$, o sigui x ≥ 0; domini = [0, +∞).
Comparant $\sqrt{x - 4}$ amb $\sqrt{x}$ - 4: són funcions diferents i tenen dominis diferents. Per tant f∘g NO és igual a g∘f.
Parany: la composició no és commutativa (l'ordre importa) i el domini de la composició el marca la funció que fa d'interior; aquí és l'arrel la que restringeix els valors de x permesos.

Primer decideixo el tram de cada base:
x = 12: entra al primer tram (0 ≤ x ≤ 12, el 12 hi és pel ≤): T(12) = 0,1·12 = 1,2, és a dir 1.200 €.
x = 18: compleix 12 < x ≤ 20, segon tram: T(18) = 1,2 + 0,15·(18 - 12) = 1,2 + 0,15·6 = 1,2 + 0,9 = 2,1, és a dir 2.100 €.
x = 30: compleix x > 20, tercer tram: T(30) = 2,4 + 0,3·(30 - 20) = 2,4 + 0,3·10 = 2,4 + 3 = 5,4, és a dir 5.400 €.
Continuïtat als punts de canvi:
A x = 12: pel primer tram T(12) = 0,1·12 = 1,2; el segon tram, quan x s'acosta a 12, dona 1,2 + 0,15·(12 - 12) = 1,2. Coincideixen: no hi ha salt.
A x = 20: pel segon tram 1,2 + 0,15·(20 - 12) = 1,2 + 1,2 = 2,4; el tercer, quan x s'acosta a 20, dona 2,4 + 0,3·(20 - 20) = 2,4. Coincideixen: no hi ha salt.
Parany: a diferència d'una funció a trossos qualsevol, aquesta està PENSADA perquè els trams enganxin (contínua), com passa amb els impostos reals; per això cada tram comença amb la quota acumulada del tram anterior.

P(x) = 5 si 0 < x ≤ 2; P(x) = 5 + 1,5·(x - 2) si 2 < x ≤ 10; P(x) = 20 si x > 10.
A x = 2: tots dos trossos donen 5. És contínua.
A x = 10: el segon tros dona 5 + 1,5 · 8 = 17, i el tercer, 20. Hi ha un salt de 3 €: discontinuïtat de salt.

a) Si un costat fa x, l'altre fa $\tfrac{(20 - 2x)}{2} = 10$ - x (la suma de dos costats consecutius és la meitat del perímetre). L'àrea és A(x) = x(10 - x) = -$x^{2}$ + 10x. Els costats han de ser positius: x > 0 i 10 - x > 0, per tant Dom A = (0, 10).
b) A(x) és una paràbola que s'obre cap avall; el màxim és al vèrtex: x = -10/(2·(-1)) = 5. Llavors l'altre costat és 10 - 5 = 5: el rectangle d'àrea màxima és un quadrat de 5 m de costat, i A(5) = 25 $m^{2}$.
c) -$x^{2}$ + 10x = 21 → $x^{2}$ - 10x + 21 = 0 → x = $\tfrac{(10 \pm \sqrt{100 - 84})}{2}$ = $\tfrac{(10 \pm 4)}{2}$, d'on x = 7 o x = 3. Totes dues pertanyen al domini i corresponen al mateix rectangle de 3 m × 7 m (girat).
Comprovació: A(3) = 3·7 = 21 i A(7) = 7·3 = 21.

a) Domini: x - 2 ≠ 0, així que Dom f = R - {2}. Per al recorregut, f(x) = (x - 2 + 3)/(x - 2) = 1 + 3/(x - 2); com que 3/(x - 2) mai no val 0, f(x) mai no val 1. El recorregut és R - {1}.
b) Escrivim y = (x + 1)/(x - 2) i intercanviem x i y: x = (y + 1)/(y - 2). Aïllem y: x(y - 2) = y + 1 → xy - 2x = y + 1 → xy - y = 2x + 1 → y(x - 1) = 2x + 1 → y = (2x + 1)/(x - 1). Per tant f^-1(x) = (2x + 1)/(x - 1), amb domini R - {1} (el recorregut de f) i recorregut R - {2}.
c) f(f^-1(x)) = ((2x + 1)/(x - 1) + 1)/((2x + 1)/(x - 1) - 2) = ((2x + 1 + x - 1)/(x - 1))/((2x + 1 - 2x + 2)/(x - 1)) = (3x)/3 = x.
Comprovació amb un valor: f(3) = 4/1 = 4 i f^-1(4) = 9/3 = 3.

Dominis de partida: Dom f = R - {1} i Dom g = [0, +∞).
Producte: (f·g)(x) = x·√x/(x - 1). Cal que existeixin f i g alhora: x ≥ 0 i x ≠ 1. Dom(f·g) = [0, 1) ∪ (1, +∞).
Quocient: (f/g)(x) = [x/(x - 1)]/√x = x/((x - 1)√x) = √x/(x - 1) (per a x > 0). A les condicions anteriors cal afegir que el divisor no sigui zero: g(x) = √x ≠ 0, és a dir, x ≠ 0. Dom(f/g) = (0, 1) ∪ (1, +∞).
Observa que l'expressió simplificada √x/(x - 1) semblaria permetre x = 0, però la funció quocient f/g no hi està definida perquè g(0) = 0: el domini es determina abans de simplificar.
Comprovació: (f·g)(4) = 4·2/3 = 8/3 i (f/g)(4) = (4/3)/2 = 2/3, que coincideix amb √4/(4 - 1) = 2/3.

La condició diu que f(g(x)) = f(x + 2) = x² + 4x + 7. Hem d'escriure el membre dret en funció de x + 2: x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3, perquè (x + 2)² = x² + 4x + 4.
Així f(x + 2) = (x + 2)² + 3: la funció f eleva al quadrat el que rep i hi suma 3. Per tant f(x) = x² + 3.
(g∘f)(1) = g(f(1)) = g(1² + 3) = g(4) = 4 + 2 = 6.
Comprovació: (f∘g)(1) = f(3) = 9 + 3 = 12, i la fórmula de l'enunciat dona 1 + 4 + 7 = 12.

a) Una funció parella compleix f(-x) = f(x). Aquí f(-x) = ax² - (b - 3)x + 1, i per ser igual a f(x) = ax² + (b - 3)x + 1 cal que el terme en x s'anul·li: b - 3 = 0, d'on b = 3. Així f(x) = ax² + 1. Si passa per (2, 9): f(2) = 4a + 1 = 9, d'on a = 2. Per tant f(x) = 2x² + 1.
b) Una funció senar compleix g(-x) = -g(x). Aquí g(-x) = -$x^{3}$ + (m - 2)$x^{2}$ + 5x, i -g(x) = -$x^{3}$ - (m - 2)$x^{2}$ + 5x. Per ser iguals cal (m - 2)$x^{2}$ = -(m - 2)$x^{2}$, és a dir, m - 2 = 0, d'on m = 2. Així g(x) = $x^{3}$ - 5x.
Comprovació: f(-2) = 2·4 + 1 = 9 = f(2); g(-1) = -1 + 5 = 4 i g(1) = 1 - 5 = -4, oposats.

A) Les diferències entre valors consecutius són -2, -2, -2: constants, per tant és afí: y = mx + n amb n = f(0) = 5 i m = -2. Fórmula: y = -2x + 5.
B) Les diferències (3, 6, 12) no són constants, però els quocients entre valors consecutius són 6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2: constants, per tant és exponencial: y = k·a^x amb k = f(0) = 3 i a = 2. Fórmula: y = 3·2^x.
C) Ni les diferències (2, 4, 6) ni els quocients (3, 7/3, 13/7) són constants. Provem una quadràtica y = ax² + bx + c: f(0) = 1 dona c = 1; f(1) = 3 dona a + b = 2; f(2) = 7 dona 4a + 2b = 6, és a dir, 2a + b = 3. Restant, a = 1 i llavors b = 1. Fórmula: y = x² + x + 1.
Comprovació: la fórmula de C dona f(3) = 9 + 3 + 1 = 13, que coincideix amb la taula (aquest valor no s'havia fet servir per trobar-la); a B, f(3) = 3·8 = 24; a A, f(3) = -6 + 5 = -1.