Exercicis de geometria analítica i còniques — Matemàtiques 1r Batxillerat

(1 + 4, 2 + 3) = (5, 5).

$\sqrt{36 + 64}$ = $\sqrt{100}$ = 10.

A l'altura 5 (l'ordenada a l'origen).

El punt mitjà té per coordenades la mitjana de les coordenades dels extrems: M = ($\tfrac{(-2 + 6)}{2}$, $\tfrac{(5 + 1)}{2}$) = (2, 3).
El simètric A' de A respecte de B és el punt tal que B és el punt mitjà del segment AA'. Si A' = (x, y), cal $\tfrac{(-2 + x)}{2} = 6$ i $\tfrac{(5 + y)}{2} = 1$, d'on x = 14 i y = -3. Per tant A' = (14, -3). (Equivalentment, A' = 2B - A = (12 + 2, 2 - 5).)
Comprovació: el punt mitjà de A(-2, 5) i A'(14, -3) és ($\tfrac{(-2 + 14)}{2}$, $\tfrac{(5 - 3)}{2}$) = (6, 1) = B.

Producte escalar: u·v = 2·1 + 1·3 = 5.
Mòduls: |u| = √(2² + 1²) = √5 i |v| = √(1² + 3²) = √10.
De u·v = |u|·|v|·cos θ s'obté cos θ = 5/(√5·√10) = 5/√50 = 5/(5√2) = 1/√2 ≈ 0,7071.
L'angle és θ = arccos(0,7071) = 45°.
Comprovació: si u·v fos 0, els vectors serien perpendiculars; com que u·v > 0, l'angle és agut, cosa que concorda amb 45°.

Desenvolupem: y - 3 = -2x - 2, i passant-ho tot a un costat queda 2x + y - 1 = 0 (forma general Ax + By + C = 0).
Pendent: a l'equació punt-pendent y - $y_{0}$ = m(x - $x_{0}$) el pendent és el coeficient, m = -2.
Vector director: un vector que segueix la direcció de la recta, d = (1, m) = (1, -2). (També serveix (-1, 2) o qualsevol múltiple.)
Vector normal: els coeficients (A, B) de la forma general donen un vector perpendicular a la recta, n = (2, 1).
Comprovació: d·n = 1·2 + (-2)·1 = 0, així que són perpendiculars; i el punt (-1, 3) de l'equació original compleix 2·(-1) + 3 - 1 = 0.

Les paramètriques tenen la forma (x, y) = (x₀, y₀) + t·(v₁, v₂): el punt és (2, -1) i el vector director és v = (3, 2).
Pendent: m = v₂/v₁ = 2/3.
Equació contínua (aïllant t a les dues equacions i igualant): (x - 2)/3 = (y + 1)/2.
Equació general: multipliquem en creu, 2(x - 2) = 3(y + 1) → 2x - 4 = 3y + 3 → 2x - 3y - 7 = 0.
Comprovació: per a t = 1 obtenim el punt (5, 1), i 2·5 - 3·1 - 7 = 0.

L'equació d'una circumferència de centre (a, b) i radi r és (x - a$)^{2}$ + (y - b$)^{2}$ = $r^{2}$. Aquí: (x + 1$)^{2}$ + (y - 3$)^{2}$ = 16.
Per a cada punt calculem (x + 1$)^{2}$ + (y - 3$)^{2}$ i el comparem amb 16: si dona 16, el punt és de la circumferència; si dona menys, és a l'interior; si dona més, és a l'exterior.
P(3, 3): $4^{2}$ + $0^{2}$ = 16: P és de la circumferència.
Q(0, 0): $1^{2}$ + (-3$)^{2}$ = 10 < 16: Q és a l'interior (la seva distància al centre és $\sqrt{10}$ ≈ 3,16 < 4).
Comprovació: la distància de P al centre és $\sqrt{4^{2} + 0^{2}}$ = 4 = r.

Completem quadrats. Agrupem les x i les y: ($x^{2}$ - 6x) + ($y^{2}$ + 4y) = 12.
$x^{2}$ - 6x = (x - 3$)^{2}$ - 9 i $y^{2}$ + 4y = (y + 2$)^{2}$ - 4. Substituïm: (x - 3$)^{2}$ - 9 + (y + 2$)^{2}$ - 4 = 12, és a dir, (x - 3$)^{2}$ + (y + 2$)^{2}$ = 25.
El centre és C(3, -2) i el radi és r = $\sqrt{25}$ = 5.
Comprovació amb la fórmula: en $x^{2}$ + $y^{2}$ + Dx + Ey + F = 0 el centre és (-$\tfrac{D}{2}$, -$\tfrac{E}{2}$) = (3, -2) i r = $\sqrt{3^{2} + (-2)^{2} - F}$ = $\sqrt{9 + 4 + 12}$ = 5.
Error típic: oblidar canviar el signe; el centre és (3, -2), no (-3, 2).

El focus és sobre l'eix OY, per sota del vèrtex: la paràbola té l'eix vertical i s'obre cap avall. La distància del vèrtex al focus és p = 3.
Per a una paràbola de vèrtex (0, 0) i eix vertical, l'equació és $x^{2}$ = 4py si s'obre cap amunt i $x^{2}$ = -4py si s'obre cap avall. Aquí: $x^{2}$ = -12y.
La directriu és la recta horitzontal a la mateixa distància p del vèrtex, però de l'altre costat: y = 3.
Comprovació: el punt (6, -3) compleix 36 = -12·(-3); la seva distància al focus és $\sqrt{6^{2} + 0^{2}}$ = 6 i la seva distància a la directriu y = 3 és |-3 - 3| = 6, iguals.

Primer trobo el pendent de r amb els dos punts: m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (5 - 1) / (2 - 0) = 4/2 = 2.
Amb el pendent i un punt (faig servir A(0, 1)), escric la recta en forma punt-pendent: y - 1 = 2·(x - 0), que simplificada és y = 2x + 1.
Per trobar la intersecció amb s, busco el punt (x, y) que compleix les DUES equacions alhora. Igualo les y: 2x + 1 = -x + 4.
Resolc: 2x + x = 4 - 1, és a dir 3x = 3, per tant x = 1.
Substitueixo a qualsevol de les dues rectes: y = 2·1 + 1 = 3.
El punt de tall és (1, 3).

Faig servir la fórmula de la distància d'un punt a una recta: si la recta és ax + by + c = 0 i el punt és (x₀, y₀), aleshores
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²).
Identifico els coeficients de la recta: a = 3, b = -4, c = -2; i el punt: x₀ = 1, y₀ = 1.
Calculo el numerador (SENSE valor absolut de moment): a·x₀ + b·y₀ + c = 3·1 - 4·1 - 2 = 3 - 4 - 2 = -3.
PARANY: aquí el valor de dins surt negatiu (-3), però la distància és una longitud i sempre és positiva. Per això la fórmula porta valor absolut: |-3| = 3.
Calculo el denominador: √(a² + b²) = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Per tant d = 3/5 = 0,6 unitats.

L'equació té la forma reduïda de l'el·lipse centrada a l'origen: x²/a² + y²/b² = 1. Comparant, a² = 25 i b² = 9.
PARANY dels paràmetres: a l'el·lipse, a és sempre el semieix MÉS GRAN. Com que 25 > 9, l'eix major és horitzontal (sobre l'eix X).
a = √25 = 5 (semieix major) i b = √9 = 3 (semieix menor).
Vèrtexs: als extrems dels eixos. Sobre l'eix X: (5, 0) i (-5, 0); sobre l'eix Y: (0, 3) i (0, -3).
Focus: la distància focal c es treu de c² = a² - b² (a l'el·lipse és una RESTA). c² = 25 - 9 = 16, per tant c = 4. Els focus són sobre l'eix major: (4, 0) i (-4, 0).
Excentricitat: e = c/a = 4/5 = 0,8. En una el·lipse sempre queda entre 0 i 1 (com més a prop de 1, més aixafada).

L'equació té la forma reduïda de la paràbola amb vèrtex a l'origen i eix horitzontal: y² = 2p·x. Comparant amb y² = 8x: 2p = 8, per tant el paràmetre és p = 4.
Vèrtex: a l'origen, (0, 0).
Orientació: com que és y² = 2p·x amb p > 0, la paràbola s'obre cap a la dreta (cap a les x positives).
Focus: està sobre l'eix, a distància p/2 del vèrtex. PARANY: no s'ha de confondre p (el paràmetre, que val la meitat del coeficient de x) amb p/2 (la distància del vèrtex al focus). p/2 = 4/2 = 2, així que el focus és (2, 0).
Directriu: és la recta perpendicular a l'eix, a la mateixa distància p/2 del vèrtex però a l'altre costat: x = -p/2 = -2.
Comprovació del sentit: qualsevol punt de la paràbola equidista del focus i de la directriu; el vèrtex (0,0) està a distància 2 del focus (2,0) i a distància 2 de la recta x = -2. Correcte.

Comparem els coeficients: 3/6 = (-4)/(-8) = 1/2, però amb els termes independents dona 5/(-10) = -1/2 ≠ 1/2. Els coeficients de x i de y són proporcionals i els termes independents no: les rectes són paral·leles i diferents (no es tallen ni coincideixen).
Per trobar la distància, agafem un punt qualsevol de r: per a x = 1, 3 - 4y + 5 = 0 dona y = 2, així que P(1, 2) és de r.
Distància de P a s: d = |6·1 - 8·2 - 10|/√(6² + (-8)²) = |6 - 16 - 10|/10 = 20/10 = 2.
La distància entre les dues rectes és de 2 unitats.
Comprovació: si dividim s entre 2 queda 3x - 4y - 5 = 0, i la distància entre 3x - 4y + 5 = 0 i 3x - 4y - 5 = 0 és |5 - (-5)|/√(9 + 16) = 10/5 = 2.

Aïllem la y per obtenir els pendents: r: y = x + 2, amb m₁ = 1; s: y = 2x - 1, amb m₂ = 2.
L'angle θ entre dues rectes compleix tan θ = |(m₂ - m₁)/(1 + m₁·m₂)| = |(2 - 1)/(1 + 1·2)| = 1/3.
Per tant θ = arctan(1/3) ≈ 18,4°.
Comprovació amb els vectors directors d₁ = (1, 1) i d₂ = (1, 2): cos θ = |d₁·d₂|/(|d₁|·|d₂|) = 3/(√2·√5) = 3/√10 ≈ 0,9487, i arccos(0,9487) ≈ 18,4°.

Base: AB = (6, 2), per tant |AB| = √(36 + 4) = √40 = 2√10 ≈ 6,32.
Recta AB: té vector director (6, 2), proporcional a (3, 1), així que un vector normal és (1, -3) i la recta és x - 3y + c = 0. Com que passa per A(1, 2): 1 - 6 + c = 0, c = 5. La recta és x - 3y + 5 = 0.
Altura: és la distància de C(3, 8) a la recta AB: h = |3 - 3·8 + 5|/√(1 + 9) = |-16|/√10 = 16/√10 ≈ 5,06.
Àrea = (1/2)·base·altura = (1/2)·2√10·(16/√10) = 16 unitats quadrades.
Comprovació amb el determinant: AB = (6, 2) i AC = (2, 6), i (1/2)·|6·6 - 2·2| = (1/2)·32 = 16.

Escrivim la circumferència com $x^{2}$ + $y^{2}$ + Dx + Ey + F = 0 i obliguem que passi pels tres punts:
A(1, 1): 1 + 1 + D + E + F = 0 → D + E + F = -2.
B(7, 1): 49 + 1 + 7D + E + F = 0 → 7D + E + F = -50.
C(1, 9): 1 + 81 + D + 9E + F = 0 → D + 9E + F = -82.
Restant la primera equació de les altres dues: 6D = -48, d'on D = -8, i 8E = -80, d'on E = -10. Llavors F = -2 - D - E = -2 + 8 + 10 = 16.
L'equació és $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 10y + 16 = 0, és a dir, (x - 4$)^{2}$ + (y - 5$)^{2}$ = 25: centre (4, 5) i radi 5.
Comprovació: la distància del centre a cada punt és 5; per exemple, a A: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5, i a C: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5.

Primera manera. El punt mitjà és M = ($\tfrac{(-1 + 5)}{2}$, $\tfrac{(3 + 1)}{2}$) = (2, 2). El vector AB = (6, -2), proporcional a (3, -1), és perpendicular a la mediatriu, així que és un vector normal: la recta és 3x - y + c = 0. Passa per M: 6 - 2 + c = 0, c = -4. La mediatriu és 3x - y - 4 = 0.
Segona manera. Un punt P(x, y) és de la mediatriu si d(P, A) = d(P, B), és a dir, (x + 1$)^{2}$ + (y - 3$)^{2}$ = (x - 5$)^{2}$ + (y - 1$)^{2}$.
Desenvolupem: $x^{2}$ + 2x + 1 + $y^{2}$ - 6y + 9 = $x^{2}$ - 10x + 25 + $y^{2}$ - 2y + 1 → 12x - 4y - 16 = 0 → 3x - y - 4 = 0.
Les dues maneres donen la mateixa recta.
Comprovació: M(2, 2) compleix 3·2 - 2 - 4 = 0.

La circumferència té centre O(0, 0) i radi 5. La recta és x + y - 1 = 0, i la distància del centre a la recta és d = |0 + 0 - 1|/√2 = 1/√2 ≈ 0,71.
Com que d < 5 = r, la recta és secant: talla la circumferència en dos punts.
Per trobar-los, aïllem y = 1 - x i substituïm: x² + (1 - x)² = 25 → 2x² - 2x - 24 = 0 → x² - x - 12 = 0 → x = (1 ± √(1 + 48))/2 = (1 ± 7)/2, d'on x = 4 o x = -3.
Amb y = 1 - x: els punts de tall són (4, -3) i (-3, 4).
Comprovació: 4² + (-3)² = 25 i 4 + (-3) = 1; (-3)² + 4² = 25 i -3 + 4 = 1.

a) Dos vectors són paral·lels quan les seves coordenades són proporcionals: k/2 = 6/(-3) = -2, d'on k = -4. Llavors u = (-4, 6) = -2·v.
b) Dos vectors són perpendiculars quan el producte escalar és zero: u·v = 2k + 6·(-3) = 2k - 18 = 0, d'on k = 9. Llavors u = (9, 6).
Comprovació: (9, 6)·(2, -3) = 18 - 18 = 0.
Error típic: confondre les dues condicions; per a vectors paral·lels s'iguala la proporció de les coordenades, i per a perpendiculars s'anul·la el producte escalar.

Paral·lela: mateixos coeficients A i B, 3x - y + C = 0. Pel punt: 6 + 1 + C = 0, C = -7: 3x - y - 7 = 0.
Perpendicular: el pendent de la recta és 3, i el de la perpendicular, -$\tfrac{1}{3}$: y + 1 = -$\tfrac{1}{3}$·(x - 2), que en forma general és x + 3y + 1 = 0.
Comprovació: 2 + 3·(-1) + 1 = 0.

IDEA CLAU: si una recta és tangent a una circumferència, la toca en un sol punt, i la distància del centre a la recta és exactament el radi. Així que el radi és la distància de C a r.
Aplico la fórmula de la distància d'un punt a una recta amb a = 4, b = 3, c = -1 i el centre x₀ = 3, y₀ = 2:
d = |4·3 + 3·2 - 1| / √(4² + 3²).
Numerador: 4·3 + 3·2 - 1 = 12 + 6 - 1 = 17; en valor absolut, |17| = 17 (aquí ja era positiu, però sempre s'ha de posar el valor absolut).
Denominador: √(16 + 9) = √25 = 5.
Per tant el radi és r = 17/5 = 3,4 unitats.
Equació de la circumferència amb centre (x₀, y₀) i radi r (compte: el centre NO és a l'origen): (x - 3)² + (y - 2)² = r².
Amb r² = (17/5)² = 289/25: (x - 3)² + (y - 2)² = 289/25.

L'equació té la forma reduïda de la hipèrbola centrada a l'origen: x²/a² - y²/b² = 1 (el signe menys és el que la distingeix de l'el·lipse). Comparant, a² = 16 i b² = 9, per tant a = 4 i b = 3.
Com que el terme POSITIU és el de x, l'eix real (on hi ha els vèrtexs i els focus) és horitzontal.
Vèrtexs: als extrems de l'eix real, a distància a del centre: (4, 0) i (-4, 0).
Focus: PARANY dels paràmetres. A la hipèrbola la distància focal es treu de c² = a² + b² (una SUMA, al contrari de l'el·lipse, que era una resta). c² = 16 + 9 = 25, per tant c = 5. Focus: (5, 0) i (-5, 0).
Excentricitat: e = c/a = 5/4 = 1,25. En una hipèrbola sempre és més gran que 1.
Asímptotes: són les rectes y = (b/a)·x i y = -(b/a)·x. Amb b/a = 3/4: y = (3/4)·x i y = -(3/4)·x.

La condició és d(P, A) = 2·d(P, B). Per treure els radicals elevem al quadrat: d(P, A$)^{2}$ = 4·d(P, B$)^{2}$, és a dir, (x - 2$)^{2}$ + $y^{2}$ = 4[(x + 1$)^{2}$ + $y^{2}$].
Desenvolupem: $x^{2}$ - 4x + 4 + $y^{2}$ = 4x² + 8x + 4 + 4y² → 0 = 3x² + 12x + 3y² → $x^{2}$ + $y^{2}$ + 4x = 0.
Completem quadrats: (x + 2$)^{2}$ - 4 + $y^{2}$ = 0 → (x + 2$)^{2}$ + $y^{2}$ = 4.
És una circumferència de centre (-2, 0) i radi 2.
Comprovació: el punt (0, 0) hi és, perquè d(P, A) = 2 i d(P, B) = 1; el punt (-4, 0) també, perquè d(P, A) = 6 i d(P, B) = 3.

Primer verifiquem que P hi pertany: (4 - 1)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25, així que P és de la circumferència.
El centre és C(1, -2). La tangent en P és perpendicular al radi CP, així que el vector CP = (4 - 1, 2 + 2) = (3, 4) és normal a la tangent.
La recta que passa per P(4, 2) amb vector normal (3, 4) és 3(x - 4) + 4(y - 2) = 0 → 3x + 4y - 20 = 0.
Comprovació: la distància del centre a la tangent ha de ser igual al radi: |3·1 + 4·(-2) - 20|/√(9 + 16) = |-25|/5 = 5 = r.

Com que un focus és sobre l'eix OX, l'eix major és horitzontal i l'equació té la forma x²/a² + y²/b² = 1.
Dades: c = 5 (distància del centre al focus) i l'eix menor 2b = 24, per tant b = 12.
En una el·lipse a² = b² + c² = 144 + 25 = 169, d'on a = 13.
Equació: x²/169 + y²/144 = 1. Vèrtexs: (±13, 0) i (0, ±12). Excentricitat: e = c/a = 5/13 ≈ 0,38.
Comprovació: el vèrtex (0, 12) és de l'el·lipse i la suma de les seves distàncies als focus (5, 0) i (-5, 0) és 13 + 13 = 26 = 2a.

El terme positiu és el de y², així que la hipèrbola és «vertical»: talla l'eix OY i els focus també hi són. Identifiquem a² = 25 (sota y²) i b² = 144, és a dir, a = 5 i b = 12.
En una hipèrbola c² = a² + b² = 25 + 144 = 169, d'on c = 13.
Vèrtexs: (0, ±5). Focus: (0, ±13). Excentricitat: e = c/a = 13/5 = 2,6.
Asímptotes: y = ±(a/b)x = ±(5/12)x.
Comprovació: el vèrtex (0, 5) hi pertany (25/25 = 1) i la diferència de les seves distàncies als focus (0, 13) i (0, -13) és 18 - 8 = 10 = 2a.

a) El baricentre té per coordenades la mitjana de les coordenades dels tres vèrtexs: G = ((-2 + 6 + 2)/3, (1 + 3 + 8)/3) = (2, 4).
b) L'altura des de C és la recta que passa per C i és perpendicular al costat AB. Com que AB = (8, 2), proporcional a (4, 1), aquest vector és normal a l'altura: 4(x - 2) + 1·(y - 8) = 0 → 4x + y - 16 = 0.
c) La recta AB té vector director (4, 1) i passa per A(-2, 1): x - 4y + 6 = 0 (comprovem B: 6 - 12 + 6 = 0). La base és |AB| = √(8² + 2²) = √68 = 2√17, i l'altura és la distància de C a AB: h = |2 - 4·8 + 6|/√(1 + 16) = 24/√17.
Àrea = (1/2)·2√17·(24/√17) = 24 unitats quadrades.
Comprovació amb el determinant: AB = (8, 2) i AC = (4, 7), i (1/2)·|8·7 - 2·4| = (1/2)·48 = 24.

Una circumferència tangent als dos eixos té el centre a distància r de cada eix, així que el centre és (±r, ±r). Com que ha de passar per (2, 1), que és del primer quadrant, i una circumferència tangent als eixos queda dins d'un únic quadrant, el centre és (r, r).
La circumferència és (x - r)² + (y - r)² = r². Imposem que passi per (2, 1): (2 - r)² + (1 - r)² = r² → 4 - 4r + r² + 1 - 2r + r² = r² → r² - 6r + 5 = 0.
r = (6 ± √(36 - 20))/2 = (6 ± 4)/2, d'on r = 5 o r = 1.
Hi ha dues circumferències: (x - 1)² + (y - 1)² = 1 i (x - 5)² + (y - 5)² = 25.
Comprovació: (2 - 1)² + (1 - 1)² = 1 i (2 - 5)² + (1 - 5)² = 9 + 16 = 25.