Flashcards: Matrius (introducció)

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1.Què és una matriu de dimensió $m \times n$?

   Una taula de nombres ordenats en m files i n columnes. Té $m \cdot n$ elements. Primer es diuen les files i després les columnes.

2. 2.Què indica l'element $a_{ij}$ d'una matriu A?

   L'element que és a la fila i i la columna j. Per exemple, $a_{23}$ és el de la fila 2 i la columna 3.

3. 3.Què és una matriu fila, una matriu columna i una matriu quadrada?

   Fila: té una sola fila ($1 \times n$). Columna: té una sola columna ($m \times 1$). Quadrada: té tantes files com columnes ($n \times n$); n és el seu ordre.

4. 4.Què és la diagonal principal d'una matriu quadrada?

   Els elements $a_{ii}$, els que tenen el mateix número de fila i de columna: van de dalt a l'esquerra fins a baix a la dreta.

5. 5.Què és una matriu diagonal i què és una matriu triangular?

   Diagonal: quadrada amb tots els elements fora de la diagonal principal iguals a 0. Triangular: quadrada amb zeros a tota la part de sota (o de sobre) de la diagonal.

6. 6.Què és la matriu identitat $I_n$?

   La matriu quadrada d'ordre n amb 1 a la diagonal principal i 0 a la resta. Fa el paper de l'1 en el producte: $A \cdot I = I \cdot A = A$, amb la identitat de l'ordre adequat.

7. 7.Què és la matriu nul·la?

   La que té tots els elements iguals a 0. Fa el paper del 0 en la suma: $A + O = A$ i $A - A = O$.

8. 8.Quan són iguals dues matrius?

   Quan tenen la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició són iguals un a un. Cada igualtat d'elements dona una equació.

9. 9.Com se sumen dues matrius i quina condició cal?

   Han de tenir la mateixa dimensió. Se sumen element a element: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.

10. 10.Com es multiplica una matriu per un nombre k?

    Es multiplica cada element de la matriu per k: $(kA)_{ij} = k\,a_{ij}$. La dimensió no canvia.

11. 11.Què és la transposada $A^{\mathrm{t}}$ d'una matriu A de dimensió $m \times n$?

    La matriu que s'obté canviant files per columnes: la fila i de A passa a ser la columna i. És de dimensió $n \times m$.

12. 12.Quan és simètrica una matriu quadrada?

    Quan coincideix amb la seva transposada, $A^{\mathrm{t}} = A$: els elements són simètrics respecte de la diagonal principal, $a_{ij} = a_{ji}$.

13. 13.Quan és antisimètrica una matriu quadrada i què val la seva diagonal?

    Quan $A^{\mathrm{t}} = -A$. La diagonal és tota zero, perquè $a_{ii} = -a_{ii}$ només es compleix si $a_{ii} = 0$.

14. 14.Quina condició cal perquè es pugui fer el producte $A \cdot B$?

    El nombre de columnes de A ha de ser igual al nombre de files de B. Si A és $m \times n$ i B és $n \times p$, el producte és $m \times p$.

15. 15.Com es calcula l'element $(AB)_{ij}$ del producte de dues matrius?

    Fila i de A per columna j de B: multiplica els elements un a un, en ordre, i suma els resultats.

16. 16.El producte de matrius és commutatiu?

    No, en general $AB \neq BA$. Fins i tot pot ser que un dels dos productes no es pugui fer o que tinguin dimensions diferents. L'ordre dels factors importa.

17. 17.Quines propietats sí que compleix el producte de matrius?

    L'associativa, $(AB)C = A(BC)$, i la distributiva respecte de la suma, $A(B + C) = AB + AC$. La identitat n'és l'element neutre.

18. 18.A què és igual la transposada d'un producte, $(AB)^{\mathrm{t}}$?

    $(AB)^{\mathrm{t}} = B^{\mathrm{t}} A^{\mathrm{t}}$: els factors s'intercanvien d'ordre. En canvi, la transposada d'una suma és la suma de transposades.

19. 19.Error típic: escriure $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ amb matrius. Què és el correcte?

    $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$. La identitat notable només val si $AB = BA$.

20. 20.Si $A^2 = O$ o $AB = O$, es pot concloure que $A = O$?

    No. Amb matrius, un producte pot ser la matriu nul·la sense que cap dels factors ho sigui. És una diferència important amb els nombres reals.

21. 21.Com es calcula la potència $A^n$ d'una matriu i quina condició cal?

    Només té sentit si A és quadrada: $A^n = A \cdot A \cdots A$, n vegades. Sovint calcules $A^2$, $A^3$, busques el patró i el demostres per inducció.

22. 22.Com és la potència n-èsima d'una matriu diagonal?

    També és diagonal, i cada element de la diagonal queda elevat a n. No cal fer cap producte de matrius.

23. 23.Primer pas per resoldre una equació matricial com $2X + A = B$?

    Aïlla X com en una equació de nombres, respectant l'ordre de les operacions: $X = \tfrac{1}{2}(B - A)$. Després comprova-ho substituint.

24. 24.Què compta l'element $(M^2)_{ij}$ si M és la matriu d'adjacència d'un graf?

    El nombre de camins de 2 enllaços que van del node i al node j. En general, $M^k$ compta els camins de k enllaços.

Altres flashcards de Matemàtiques 1r Batxillerat

• Nombres reals, polinomis i nombres complexos
• Àlgebra
• Trigonometria
• Geometria analítica al pla
• Successions
• Funcions
• Límits i continuïtat
• Derivades
• Estadística i probabilitat
• Estadística bidimensional: regressió i correlació
• Distribucions de probabilitat: binomial i normal
• Pensament computacional

Següent tema: Pensament computacional →