Exercicis de camp magnètic — Física 2n Batxillerat

La regla de la mà dreta, que relaciona la velocitat de la càrrega, el camp magnètic i la força, que és perpendicular a totes dues. Per a una càrrega negativa, la força té el sentit contrari.

Són circumferències concèntriques centrades en el fil, en plans perpendiculars a ell. El sentit el dona la regla de la mà dreta: amb el polze en el sentit del corrent, els dits indiquen el sentit del camp.

De repulsió. Els fils paral·lels s'atrauen quan els corrents van en el mateix sentit i es repel·leixen quan van en sentits contraris.

La força magnètica és F = q·v × B, i el producte vectorial és sempre perpendicular als dos vectors: la força és perpendicular a la velocitat en tot instant.
Una força perpendicular al desplaçament no fa treball (W = F·d·cos 90° = 0). Pel teorema de l'energia cinètica, si el treball és zero l'energia cinètica no varia i, per tant, el mòdul de la velocitat es manté constant.
Sí que pot canviar la direcció: actua com a força centrípeta i corba la trajectòria (moviment circular si v és perpendicular a B).
Contrast amb el camp elèctric: F = q·E pot tenir la direcció del moviment, fa treball i sí que accelera o frena les càrregues. Per això, en un ciclotró, qui accelera les partícules és el camp elèctric; el magnètic només les fa girar.

De F = q·v·B·sin θ aïllem B = F/(q·v). Unitats: 1 T = 1 $\tfrac{N}{(C\cdot m/s)} = 1$ N·s/(C·m).
Com que 1 C = 1 A·s: 1 T = 1 N/(A·m).
I com que 1 N = 1 kg·$\text{m/s}^{2}$: 1 T = 1 kg·$\tfrac{m}{(s^{2}\cdot A\cdot m)} = 1$ kg/(A·$s^{2}$) = 1 kg·$A^{-1}$·$s^{-2}$.
Camp terrestre: 5·$10^{-5}$ T·$10^{4}$ $\tfrac{G}{T} = 0{,}5$ G. El tesla és una unitat molt gran: un imant de nevera crea uns $10^{-2}$ T i els aparells de ressonància magnètica, de l'ordre d'1 a 3 T.

a) F = q·v × B. Amb v cap a +X i B cap a +Y, el producte vectorial X × Y dona +Z (regla de la mà dreta: índex segons v, dit del mig segons B, el polze dona v × B). Per al protó, q > 0, la força apunta en el sentit +Z, perpendicular alhora a la velocitat i al camp.
b) L'electró té càrrega negativa: la força té el mateix mòdul i la mateixa direcció però sentit contrari, -Z.
c) Si invertim la velocitat (sentit -X), el producte vectorial canvia de signe: la força sobre el protó apunta en el sentit -Z.
Recorda que la força magnètica sempre és perpendicular tant a la velocitat com al camp: mai no té la direcció de B, a diferència de la força elèctrica, que té la direcció de E.

Camp al centre d'una bobina plana de N espires: B = $µ_{0}$·N·$\tfrac{I}{(2R)}$.
Aïllem N: N = 2·R·$\tfrac{B}{(µ_{0}\cdot I)} = 2$·0,02·1,0·$\tfrac{10^{-3}}{(4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 0{,}5)} = 4{,}0$·$\tfrac{10^{-5}}{6{,}28}$·$10^{-7}$ = 63,7.
Calen 64 espires (el nombre d'espires ha de ser enter; amb 64 el camp és 1,005·$10^{-3}$ T).
Fixa't que, a diferència del fil recte, al centre de l'espira el camp és proporcional a $\tfrac{1}{R}$, no a $\tfrac{1}{r}$: les espires més petites concentren més el camp.

Cada fil crea al punt mitjà (a d = 5 cm) un camp de mòdul B = $µ_{0}$·$\tfrac{I}{(2\pi \cdot d)} = 2$·$10^{-7}$·$\tfrac{5}{0{,}05} = 2$·$10^{-5}$ T, perpendicular al pla que conté els dos fils.
Corrents en el mateix sentit: per la regla de la mà dreta, al punt mitjà els dos camps tenen sentits contraris (un fil hi crea el camp «cap amunt» i l'altre «cap avall») i es cancel·len: $B_{total}$ = 0.
Corrents en sentits contraris: els dos camps tenen el mateix sentit al punt mitjà i se sumen: $B_{total}$ = 4·$10^{-5}$ T.
Error típic: sumar sempre els mòduls. El camp magnètic és un vector i cal mirar el sentit de cada contribució.

La força magnètica fa de força centrípeta: q·v·B = m·$\tfrac{v^{2}}{r}$, d'on r = m·v/(q·B) i v = q·B·r/m.
v = 1,6·$10^{-19}$·1,0·$10^{-3}$·$\tfrac{0{,}02}{9{,}11}$·$10^{-31}$ = 3,5·$10^{6}$ m/s (un 1 % de c; la mecànica clàssica és vàlida).
Període: T = 2π·$\tfrac{r}{v} = 2$π·$\tfrac{0{,}02}{3{,}5}$·$10^{6}$ = 3,6·$10^{-8}$ s. També es pot calcular amb T = 2π·m/(q·B), que no depèn ni de la velocitat ni del radi.
El mòdul de la velocitat es manté constant durant tot el moviment: el camp magnètic no fa treball.

1) Les línies del camp elèctric d'una càrrega són obertes: neixen a les càrregues positives i moren a les negatives (o a l'infinit). Les línies de camp magnètic són sempre tancades: a l'exterior de l'imant van del pol nord al pol sud, però continuen per l'interior del sud al nord i es tanquen sobre si mateixes.
2) Es pot aïllar una càrrega elèctrica (un electró, un protó), però no un pol magnètic: si tallem un imant per la meitat obtenim dos imants complets, cadascun amb nord i sud. No existeixen monopols magnètics.
Conseqüència: el flux magnètic a través de qualsevol superfície tancada és sempre zero (tantes línies hi entren com en surten), mentre que el flux elèctric a través d'una superfície tancada pot ser diferent de zero si tanca càrrega (teorema de Gauss).
A més, la força elèctrica té la direcció de la línia de camp, però la força magnètica sobre una càrrega és perpendicular a la línia de camp.

La velocitat és perpendicular al camp, així que F = q·v·B.
F = 1,6·10⁻¹⁹·3·$10^{6}$·0,2 = 9,6·10⁻¹⁴ N.

Apliquem F = B·I·L.
F = 0,5·3·0,2 = 0,3 N.
Aquesta és la força que aprofiten els motors elèctrics per girar.

Cap. La força magnètica només actua sobre la component de la velocitat perpendicular al camp; si la velocitat és paral·lela al camp, aquesta component és zero i la força és nul·la. La càrrega segueix recta, sense desviar-se.

Passem la distància: d = 10 cm = 0,1 m.
B = 2·10⁻⁷·$\tfrac{I}{d} = 2$·10⁻⁷·$\tfrac{20}{0{,}1} = 4$·10⁻⁶/0,1 = 4·10⁻⁵ T.

La força magnètica (perpendicular a v) fa de força centrípeta i la trajectòria és una circumferència: q·v·B = m·$\tfrac{v^{2}}{r}$.
Radi: r = m·$\tfrac{v}{(q\cdot B)} = 1{,}67$·$10^{-27}$·2,0·$\tfrac{10^{6}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}25)} = 3{,}34$·$\tfrac{10^{-21}}{4{,}0}$·$10^{-20}$ = 8,4·$10^{-2}$ m = 8,4 cm.
Període: T = 2π·$\tfrac{r}{v} = 2$π·$\tfrac{m}{(q\cdot B)} = 2$π·1,67·$\tfrac{10^{-27}}{4{,}0}$·$10^{-20}$ = 2,6·$10^{-7}$ s (freqüència de 3,8·$10^{6}$ Hz).
Un protó dues vegades més ràpid descriuria una circumferència de radi doble (16,8 cm), però trigaria el mateix a fer la volta: el període només depèn de m, q i B, no de la velocitat. Aquesta propietat és la base del funcionament del ciclotró.

a) Perquè no es desviïn, la força elèctrica i la magnètica han de ser iguals i de sentits contraris: q·E = q·v·B → v = $\tfrac{E}{B} = 3{,}0$·$\tfrac{10^{4}}{0{,}10} = 3{,}0$·$10^{5}$ m/s.
b) Fals: la càrrega apareix als dos costats de la igualtat i se simplifica, i la massa no hi intervé. Passen totes les partícules amb v = $\tfrac{E}{B}$, siguin protons, electrons o ions (amb càrrega negativa, les dues forces s'inverteixen alhora i continuen compensant-se).
c) Per a una partícula més lenta la força magnètica (q·v·B) és més petita que l'elèctrica (q·E): la partícula es desvia cap al costat de la força elèctrica i no surt pel forat. Les més ràpides es desvien cap al costat contrari. Així el selector només deixa passar una velocitat concreta.

Radi de la trajectòria: r = m·v/(q·B); la massa és l'única dada que canvia d'un ió a l'altre.
Neó-20: $r_{20}$ = 20·1,66·$10^{-27}$·2,0·$\tfrac{10^{5}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}50)} = 6{,}64$·$\tfrac{10^{-21}}{8{,}0}$·$10^{-20}$ = 0,083 m = 8,3 cm.
Neó-22: $r_{22}$ = ($\tfrac{22}{20}$)·$r_{20}$ = 0,0913 m = 9,1 cm.
Cada ió impacta a una distància 2r del punt d'entrada (diàmetre de la semicircumferència): la separació entre impactes és 2·($r_{22}$ - $r_{20}$) = 2·(9,13 - 8,30) = 1,7 cm.
Així se separen els isòtops: a igual velocitat i càrrega, l'ió més massiu descriu la circumferència més gran. Una separació d'1,7 cm és fàcil de mesurar.

a) La barra és perpendicular al camp (barra horitzontal, camp vertical), així que la força magnètica val F = B·I·L i és horitzontal, perpendicular a la barra.
Comença a moure's quan la força magnètica iguala el fregament estàtic màxim: B·I·L = µ·m·g → I = µ·m·g/(B·L) = 0,2·0,05·9,8/(0,8·0,25) = 0,098/0,2 = 0,49 A.
b) La força és perpendicular alhora al corrent (que va al llarg de la barra) i al camp (vertical): la barra llisca al llarg dels rails, en el sentit que dona la regla de la mà dreta per a I × B.
Si invertim el sentit del corrent, la força canvia de sentit i la barra llisca cap a l'altra banda. Aquest és el principi del motor lineal: un corrent dins d'un camp magnètic produeix una força mecànica.

Camp d'un fil llarg: B = µ₀·I/(2π·d) = 2·10^-7·I/d.
a) A x = 0,3 m, el fil de 3 A és a 0,3 m i el de 6 A a 0,1 m: B₁ = 2·10^-7·3/0,3 = 2·10^-6 T; B₂ = 2·10^-7·6/0,1 = 1,2·10^-5 T. El punt queda al mateix costat dels dos fils i els corrents tenen el mateix sentit, així que els dos camps tenen el mateix sentit i se sumen: B = 1,4·10^-5 T.
b) El camp només es pot anul·lar entre els fils, on les dues contribucions tenen sentits contraris (a fora tenen el mateix sentit). Si x és la distància al fil de 3 A: 3/x = 6/(0,2 - x) → 3·(0,2 - x) = 6x → x = 0,6/9 = 0,067 m.
El punt nul és a 6,7 cm del fil de 3 A (13,3 cm del de 6 A): més a prop del corrent més feble. Comprovació: 2·10^-7·3/0,067 = 9·10^-6 T i 2·10^-7·6/0,133 = 9·10^-6 T.

a) Llei d'Ampère: la circulació del camp magnètic al llarg d'una línia tancada és µ₀ vegades el corrent net que travessa la superfície limitada per la línia, comptant cada corrent amb el signe que li correspon segons el sentit de recorregut.
Corrent net: I = 2 + 3 - 4 = 1 A. Circulació = µ₀·I = 4π·10^-7·1 = 1,26·10^-6 T·m.
b) No canviaria: la circulació només depèn del corrent net envoltat, no de la forma ni de la mida de la línia (lluny dels fils el camp és més feble, però la línia és més llarga, i els dos efectes es compensen exactament).
Si la línia no envolta cap corrent, la circulació és zero, encara que el camp als punts de la línia no sigui nul.
Nota: la llei d'Ampère és per al magnetisme l'anàleg del teorema de Gauss per a l'electricitat; aplicada a una circumferència centrada en un fil llarg dona B·2π·r = µ₀·I, és a dir, B = µ₀·I/(2π·r).

Dins del camp, la força magnètica és perpendicular a la velocitat i constant en mòdul: el protó descriu un arc de circumferència de radi r = m·$\tfrac{v}{(q\cdot B)} = 1{,}67$·$10^{-27}$·4,0·$\tfrac{10^{6}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}20)} = 0{,}21$ m.
Com que entra perpendicularment a la frontera, descriu exactament mitja circumferència i torna a sortir per la mateixa frontera, perpendicularment i amb la velocitat invertida.
Distància entre el punt d'entrada i el de sortida: el diàmetre, 2r = 0,42 m.
Temps dins del camp: la meitat del període, t = $\tfrac{T}{2} = \pi$·$\tfrac{m}{(q\cdot B)} = \pi$·1,67·$\tfrac{10^{-27}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}20)} = 1{,}6$·$10^{-7}$ s.
Comprovació: t = $\tfrac{(longitud de l'arc)}{v} = \pi$·$\tfrac{0{,}21}{4{,}0}$·$10^{6}$ = 1,6·$10^{-7}$ s.

(a) Per al fil rectilini indefinit, B = $μ_{0}$·$\tfrac{I}{(2\cdot \pi \cdot d)}$. Substituint: B = (4·π·10⁻⁷·4,0)/(2·π·0,050) = 1,6·10⁻⁵ T. (b) Al centre d'una espira circular, B = $μ_{0}$·$\tfrac{I}{(2\cdot R)}$. Substituint: B = (4·π·10⁻⁷·4,0)/(2·0,050) = 5,0·10⁻⁵ T. (c) A l'interior d'un solenoide llarg el camp és uniforme i val B = $μ_{0}$·n·I. Substituint: B = 4·π·10⁻⁷·2000·4,0 = 1,0·10⁻² T. La comparació és el que importa: amb el mateix corrent, l'espira dona un camp unes 3 vegades més gran que el fil a la mateixa distància, i el solenoide, uns 200 cops més que l'espira (i uns 600 més que el fil). El motiu és que al solenoide se sumen les contribucions de moltes espires molt juntes, i per això és la manera pràctica de fabricar un camp magnètic intens i uniforme. Fixa't també que al solenoide el camp NO depèn del radi, només del nombre d'espires per metre.

Passem la distància: d = 0,2 m. El producte dels corrents és $I_{1}$·$I_{2}$ = 10·10 = $10^{2}$.
$\tfrac{F}{L} = 2$·10⁻⁷·$I_{1}$·$\tfrac{I_{2}}{d} = 2$·10⁻⁷·$\tfrac{10^{2}}{0{,}2} = 2$·10⁻⁵/0,2 = 10⁻⁴ N/m.
Com que els corrents van en el mateix sentit, els fils s'atrauen.

(a) El fil de sota ha de ser atret cap amunt, i dos corrents s'atrauen quan van en el mateix sentit.
(b) La força magnètica ha d'igualar el pes: $μ_{0}$·$I_{1}$·$I_{2}$·$\tfrac{L}{(2\cdot \pi \cdot d)} = m$·g.
d = $μ_{0}$·$I_{1}$·$I_{2}$·$\tfrac{L}{(2\cdot \pi \cdot m\cdot g)} = 2$·10⁻⁷ · 50 · 25 · $\tfrac{0{,}50}{(0{,}0020 \cdot 9{,}8)} \approx 6{,}4$·10⁻³ m, uns 6,4 mm.

a) v_∥ = v·cos 30° = 5,0·$10^{6}$·0,866 = 4,3·$10^{6}$ m/s; v_⊥ = v·sin 30° = 2,5·$10^{6}$ m/s.
La força magnètica només depèn de la component perpendicular (F = q·v_⊥·B): la component paral·lela no nota cap força i es manté constant (moviment uniforme al llarg del camp), mentre que la perpendicular produeix un moviment circular uniforme. La composició dels dos és una hèlix d'eix paral·lel a B.
b) r = m·v_⊥/(q·B) = 1,67·$10^{-27}$·2,5·$\tfrac{10^{6}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}20)} = 0{,}13$ m. T = 2π·$\tfrac{m}{(q\cdot B)} = 2$π·1,67·$\tfrac{10^{-27}}{3{,}2}$·$10^{-20}$ = 3,3·$10^{-7}$ s (independent de la velocitat).
c) Pas de l'hèlix: distància recorreguda al llarg del camp en un període: p = v_∥·T = 4,3·$10^{6}$·3,3·$10^{-7}$ = 1,4 m.
Error típic: fer servir la velocitat total en lloc de la component perpendicular per calcular el radi.

a) B = $µ_{0}$·$\tfrac{I_{1}}{(2\pi \cdot d)} = 2$·$10^{-7}$·$\tfrac{20}{d}$. A 2 cm: $B_{1}$ = 4·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}02} = 2{,}0$·$10^{-4}$ T; a 7 cm: $B_{2}$ = 4·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}07} = 5{,}7$·$10^{-5}$ T. El camp és perpendicular al pla de l'espira.
b) Sobre un costat paral·lel al fil (perpendicular a B): F = B·$I_{2}$·L. Costat proper: $F_{1}$ = 2,0·$10^{-4}$·5·0,10 = 1,0·$10^{-4}$ N, atractiva (corrents paral·lels en el mateix sentit s'atrauen). Costat llunyà: $F_{2}$ = 5,7·$10^{-5}$·5·0,10 = 2,9·$10^{-5}$ N, repulsiva (allà el corrent va en sentit contrari al del fil).
Sobre els dos costats perpendiculars al fil, el camp varia al llarg del costat, però de la mateixa manera en tots dos; com que els corrents hi tenen sentits oposats, les forces són iguals i de sentit contrari i es cancel·len.
c) Força neta: F = $F_{1}$ - $F_{2}$ = 1,0·$10^{-4}$ - 2,9·$10^{-5}$ = 7,1·$10^{-5}$ N, dirigida cap al fil: l'espira és atreta, perquè el costat més proper (on la força és més gran) és el que s'atrau.

a) Els protons giren dins de dues «D» semicirculars sota l'acció del camp magnètic; cada vegada que passen per l'espai entre les D, un camp elèctric altern els accelera. El camp magnètic només els corba; qui els dona energia és l'elèctric. Com que el període de gir T = 2π·m/(q·B) no depèn de la velocitat ni del radi, a cada mitja volta els protons arriben a l'espai entre les D al mateix ritme encara que vagin cada cop més ràpid i descriguin circumferències més grans; per això la freqüència del camp altern pot ser fixa (mentre la velocitat no sigui relativista).
b) f = 1/T = q·B/(2π·m) = 1,6·10^-19·1,2/(2π·1,67·10^-27) = 1,8·10⁷ Hz = 18 MHz.
c) El radi màxim és el del ciclotró: de r = m·v/(q·B), v_max = q·B·R/m = 1,6·10^-19·1,2·0,50/1,67·10^-27 = 5,7·10⁷ m/s.
E_c,max = ½·m·v_max² = ½·1,67·10^-27·(5,7·10⁷)² = 2,8·10^-12 J; en MeV (1 MeV = 1,6·10^-13 J): 17 MeV.
Fixa't que l'energia màxima creix amb B² i R²: per obtenir més energia calen imants més grans o més intensos.

a) F = q·v × B, amb q = -e. Producte vectorial: v × B = (0·0,2 - 0·0,1; 0·0 - 2·$10^{6}$·0,2; 2·$10^{6}$·0,1 - 0·0) = (0; -4·$10^{5}$; 2·$10^{5}$) (en m·T/s).
F = -1,6·$10^{-19}$·(0; -4·$10^{5}$; 2·$10^{5}$) = (0; 6,4·$10^{-14}$; -3,2·$10^{-14}$) N.
Mòdul: |F| = $\sqrt{(6{,}4\cdot 10^{-14})^{2} + (3{,}2\cdot 10^{-14})^{2}}$ = 7,2·$10^{-14}$ N.
b) La trajectòria és circular si v és perpendicular a B. Producte escalar: v·B = 2·$10^{6}$·0 + 0·0,1 + 0·0,2 = 0: sí que són perpendiculars, i el moviment és circular uniforme en el pla perpendicular a B.
Radi: r = m·v/(|q|·|B|), amb |B| = $\sqrt{0{,}1^{2} + 0{,}2^{2}}$ = 0,224 T: r = 9,11·$10^{-31}$·2·$\tfrac{10^{6}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}224)} = 5{,}1$·$10^{-5}$ m.
Comprovació: |F| = |q|·v·|B| = 1,6·$10^{-19}$·2·$10^{6}$·0,224 = 7,2·$10^{-14}$ N, i F·v = 0 (la força és perpendicular a la velocitat, com ha de ser).

a) El treball del camp elèctric es converteix en energia cinètica: q·V = ½·m·$v^{2}$ → v = $\sqrt{\tfrac{2\cdot q\cdot V}{m}}$ = $\sqrt{2\cdot 1{,}\tfrac{6\cdot 10^{-19}\cdot 2000}{1}{,}67\cdot 10^{-27}}$ = $\sqrt{3{,}83\cdot 10^{11}}$ = 6,2·$10^{5}$ m/s.
b) r = m·$\tfrac{v}{(q\cdot B)} = 1{,}67$·$10^{-27}$·6,2·$\tfrac{10^{5}}{(1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}50)} = 1{,}3$·$10^{-2}$ m = 1,3 cm.
c) Combinant les dues expressions: r = ($\tfrac{1}{B}$)·$\sqrt{\tfrac{2\cdot m\cdot V}{q}}$, és a dir, r és proporcional a $\sqrt{\tfrac{m}{q}}$. La partícula alfa té 4 vegades la massa del protó i el doble de càrrega: m/q és el doble i el radi és $\sqrt{2}$ ≈ 1,41 vegades més gran.
Càlcul directe: $v_{α}$ = $\sqrt{2\cdot 3{,}\tfrac{2\cdot 10^{-19}\cdot 2000}{6}{,}64\cdot 10^{-27}}$ = 4,4·$10^{5}$ m/s (més lenta que el protó) i $r_{α}$ = 6,64·$10^{-27}$·4,4·$\tfrac{10^{5}}{(3{,}2\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}50)} = 1{,}8$·$10^{-2}$ m = 1,8 cm.
Fixa't que la partícula alfa va més lenta però descriu una circumferència més gran, perquè té molta més inèrcia per unitat de càrrega.

a) P és a d = $\sqrt{4^{2} + 3^{2}}$ = 5 cm de cada fil. Mòdul: B = $µ_{0}$·$\tfrac{I}{(2\pi \cdot d)} = 2$·$10^{-7}$·$\tfrac{10}{0{,}05} = 4{,}0$·$10^{-5}$ T per a cada fil. Cada camp és perpendicular a la recta que uneix el fil amb P (tangent a la circumferència centrada en el fil que passa per P), dins del pla XY.
b) Regla de la mà dreta: el fil A (corrent +Z) crea a P un camp perpendicular al vector AP = (4; 3), en sentit antihorari vist des de +Z: $B_{A}$ = 4,0·$10^{-5}$·(-0,6; 0,8) T. El fil C (corrent -Z), en sentit horari al voltant de C, perpendicular a CP = (-4; 3): $B_{C}$ = 4,0·$10^{-5}$·(0,6; 0,8) T.
Les components X es cancel·len i les Y se sumen: B = (0; 6,4·$10^{-5}$; 0) T. El camp total a P val 6,4·$10^{-5}$ T i apunta en el sentit +Y, al llarg de la mediatriu del segment AC (amb corrents antiparal·lels, a la mediatriu el camp és perpendicular al segment que uneix els fils).
c) F = q·v × B = 1,6·$10^{-19}$·(0; 0; 1,0·$10^{5}$) × (0; 6,4·$10^{-5}$; 0) = 1,6·$10^{-19}$·(-6,4; 0; 0) = (-1,0·$10^{-18}$; 0; 0) N.
Mòdul 1,0·$10^{-18}$ N, dirigida en el sentit -X: perpendicular alhora a la velocitat (eix Z) i al camp (eix Y).

a) A la cambra el radi és r = m·v/(q·B): depèn de la massa i també de la velocitat. Si els ions entressin amb velocitats diferents, un ió de ¹²C ràpid i un de ¹⁴C lent podrien tenir el mateix radi i arribar al mateix lloc, i no es podrien distingir. El selector garanteix que tots tinguin la mateixa velocitat, de manera que el radi només depengui de la massa (per a una mateixa càrrega).

b) Al selector, la força elèctrica q·E i la magnètica q·v·B tenen sentits oposats; passen sense desviar-se els ions per als quals s'igualen: q·E = q·v·B → v = $\tfrac{E}{B} = 2{,}0$·$\tfrac{10^{5}}{0{,}40} = 5{,}0$·$10^{5}$ m/s. No depèn ni de la massa ni de la càrrega.

c) A la cambra, q·v·B = m·$\tfrac{v^{2}}{r}$ → r = m·v/(q·B).
r(¹²C) = 12,0·1,66·$10^{-27}$·5,0·$\tfrac{10^{5}}{(1{,}60\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}50)} = 0{,}125$ m.
r(¹⁴C) = 14,0·1,66·$10^{-27}$·5,0·$\tfrac{10^{5}}{(1{,}60\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}50)} = 0{,}145$ m.
Cada ió impacta a un diàmetre (2r) del punt d'entrada, per tant la separació és Δx = 2·($r_{14}$ - $r_{12}$) = 2·(0,1453 - 0,1245) = 4,2·$10^{-2}$ m ≈ 4,2 cm. És una distància fàcil de resoldre amb dos detectors separats.

d) Amb càrrega 2e, tots dos radis es redueixen a la meitat (r ∝ $\tfrac{1}{q}$), i també la seva diferència: Δx' = Δx/2 ≈ 2,1 cm. La separació és més petita i l'aparell discrimina pitjor les masses: per això interessa treballar amb una càrrega coneguda i fixa, i com més gran és la relació m/q, més separats queden els impactes.

Errors típics

• Pensar que el selector deixa passar ions d'una massa determinada: en realitat selecciona només la velocitat (v = $\tfrac{E}{B}$), independentment de m i q.
• Prendre com a separació la diferència de radis en lloc de la diferència de diàmetres.
• Oblidar convertir les masses atòmiques de u a kg.

Conceptes treballats: força de Lorentz, selector de velocitats, moviment circular en un camp magnètic, espectròmetre de masses, isòtops i datació.

a) q·v·B = m·v²/r → r = m·v/(q·B). El període és T = 2π·r/v = 2π·m/(q·B): la v se simplifica. Quan el protó va més ràpid, descriu una circumferència més gran en proporció, i triga el mateix a fer mitja volta. Per això una tensió alterna de freqüència fixa el pot accelerar sempre en el moment just:
f = q·B/(2π·m) = 1,60·10^-19·1,5/(2π·1,67·10^-27) = 2,3·10⁷ Hz ≈ 23 MHz (radiofreqüència).

b) Al radi màxim: v_màx = q·B·R/m = 1,60·10^-19·1,5·0,40/1,67·10^-27 = 5,7·10⁷ m/s.
E_c = ½·m·v² = ½·1,67·10^-27·(5,75·10⁷)² = 2,8·10^-12 J = 2,76·10^-12/1,60·10^-13 ≈ 17 MeV. És l'ordre de magnitud dels ciclotrons hospitalaris. Fixa't que l'energia final la fixen B i R, no la tensió.

c) A cada pas entre les des el protó guanya q·ΔV = 40 keV, i en cada volta n'hi ha dos: 80 keV per volta. Nombre de voltes ≈ 17,2 MeV/0,080 MeV ≈ 2,2·10² voltes. La tensió només determina quantes voltes calen, no l'energia final.

d) v/c = 5,75·10⁷/3,0·10⁸ = 0,19. El factor relativista és γ = 1/√(1 - 0,19²) ≈ 1,02: la massa relativista és només un 2 % més gran que la de repòs, i el desfasament encara es pot tolerar. Però, com que T = 2π·m/(q·B), si la massa relativista creix el període s'allarga: els protons arriben cada cop més tard a l'espai entre les des, i quan v s'acosta a c el desfasament acumulat fa que deixin de trobar la tensió en el sentit correcte i ja no s'acceleren. Per anar més enllà calen sincrociclotrons (freqüència variable) o sincrotrons.

Errors típics

• Creure que l'energia final depèn de la tensió entre les des: la limita el radi (E_c = q²·B²·R²/(2m)).
• Comptar un sol pas per l'espai entre les des per volta en lloc de dos.
• Confondre la freqüència f amb la velocitat angular ω = q·B/m (diferència d'un factor 2π).

Conceptes treballats: força de Lorentz, moviment circular, període independent de la velocitat, energia cinètica i treball elèctric, massa relativista, aplicacions mèdiques (PET).

a) La força F = q·v×B només depèn de la component de la velocitat perpendicular al camp, v_⊥ = v·sin 60°, i és perpendicular a ella: aquesta component fa un moviment circular uniforme en el pla perpendicular a B. La component paral·lela, v_∥ = v·cos 60°, no fa cap força i es manté constant: el protó avança uniformement al llarg de la línia de camp. La combinació d'un gir i un avanç és una hèlix enrotllada al voltant de la línia de camp.

b) r = m·v_⊥/(q·B) = 1,67·$10^{-27}$·4,0·$10^{5}$·sin 60°/(1,60·$10^{-19}$·5,0·$10^{-5}$) = 72 m.
T = 2π·$\tfrac{m}{(q\cdot B)} = 2$π·1,67·$\tfrac{10^{-27}}{(1{,}60\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-5})} = 1{,}3$·$10^{-3}$ s.
Pas: p = v_∥·T = 4,0·$10^{5}$·cos 60°·1,31·$10^{-3}$ = 2,6·$10^{2}$ m.

c) Es manté. La força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat, no fa treball i, pel teorema de l'energia cinètica, el mòdul de la velocitat no canvia. Només en canvia la direcció.

d) $r_{e}$ = $m_{e}$·v_⊥/(e·B) = 9,11·$10^{-31}$·3,46·$\tfrac{10^{5}}{(1{,}60\cdot 10^{-19}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-5})} = 3{,}9$·$10^{-2}$ m ≈ 4 cm, unes 1830 vegades menys que el del protó (la relació de masses). Com que la càrrega és de signe oposat, la força té sentit contrari i gira en sentit oposat.

e) Els radis (de centímetres a desenes de metres) són minúsculs comparats amb les dimensions de la magnetosfera: les partícules carregades queden «enfilades» a les línies de camp i les segueixen. A prop dels pols, les línies de camp terrestre entren gairebé verticalment a l'atmosfera, de manera que les partícules poden arribar a l'atmosfera alta i excitar-ne els àtoms d'oxigen i nitrogen, que emeten llum. A prop de l'equador, en canvi, les línies són paral·leles a la superfície i les partícules hi passen per sobre sense baixar.

Errors típics

• Fer servir la velocitat total (i no la component perpendicular) per calcular el radi.
• Pensar que el camp magnètic accelera o frena el protó: la força magnètica no fa treball.
• Calcular el pas amb la component perpendicular de la velocitat.

Conceptes treballats: força de Lorentz, descomposició vectorial de la velocitat, moviment helicoidal, treball de la força magnètica, camp magnètic terrestre i aurores.

a) v = I/(n·e·w·d) = 5,0/(8,5·10²⁸·1,60·10^-19·1,0·10^-2·1,0·10^-4) = 3,7·10^-4 m/s (menys d'un mil·límetre per segon!).
Equilibri: e·E_H = e·v·B → E_H = v·B = 3,68·10^-4·1,2 = 4,4·10^-4 V/m.
V_H = E_H·w = 4,41·10^-4·1,0·10^-2 = 4,4·10^-6 V ≈ 4,4 µV.

b) V_H = v·B·w = [I/(n·e·w·d)]·B·w = I·B/(n·e·d): l'amplada se simplifica. Com que V_H és inversament proporcional a n, en un metall (n enorme) la tensió és tan petita que costa de mesurar. Amb pocs portadors, per tenir el mateix corrent han d'anar molt més ràpid, la força magnètica sobre cadascun és més gran i la tensió Hall també.

c) V_H = 1,0·10^-3·1,2/(1,0·10²²·1,60·10^-19·1,0·10^-4) = 7,5·10^-3 V = 7,5 mV. Amb un corrent 5000 vegades més petit s'obté una tensió més de 1000 vegades més gran que amb el coure: per això els sensors Hall són de semiconductor. A més, V_H és proporcional a B: un cop calibrat, el sensor dona el camp directament.

d) Per a un corrent en un sentit donat, els portadors positius es mouen en el sentit del corrent i els negatius en sentit contrari; però la força q·v×B té el mateix sentit en tots dos casos (canvien de signe q i v alhora). Per tant, tots dos tipus de portadors s'acumulen a la mateixa vora, i aquesta vora queda positiva o negativa segons el signe del portador. El signe de V_H revela el signe dels portadors (així es va descobrir que en alguns semiconductors condueixen «forats» positius).

Errors típics

• Fer servir el gruix d en lloc de l'amplada w per passar del camp elèctric a la tensió: la tensió Hall és entre les vores separades per w, V_H = E·w.
• Pensar que portadors negatius s'acumulen a la vora oposada a la dels positius per al mateix corrent.
• Confondre la velocitat d'arrossegament (molt petita) amb la velocitat del senyal elèctric.

Conceptes treballats: força de Lorentz sobre portadors de càrrega, camp elèctric uniforme i diferència de potencial, corrent elèctric i velocitat d'arrossegament, sensors magnètics.

a) B = $μ_{0}$·N·I/L → N = B·$\tfrac{L}{(\mu_{0}\cdot I)} = 1{,}5$·$\tfrac{1{,}6}{(4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 400)} = 4{,}8$·$10^{3}$ espires.
Longitud de fil: ℓ = N·π·D = 4775·π·1,0 = 1,5·$10^{4}$ m = 15 km.

b) R = ρ·$\tfrac{ℓ}{S} = 1{,}7$·$10^{-8}$·1,5·$\tfrac{10^{4}}{2{,}0}$·$10^{-6}$ = 1,3·$10^{2}$ Ω. P = $I^{2}$·R = $400^{2}$·128 ≈ 2·$10^{7}$ W = 20 MW, la potència d'una petita central elèctrica, tota convertida en calor dins del bobinat (que es fondria). A més, mantenir 400 A amb 128 Ω exigiria una tensió de 51 kV. Un superconductor té resistència nul·la: un cop establert, el corrent circula indefinidament sense dissipar energia, i només cal mantenir-lo fred.

c) Sobre cada ió, F = q·v×B. Com que ions positius i negatius tenen càrregues de signe oposat i es mouen amb la mateixa velocitat, les forces són oposades: els positius s'acumulen a una paret i els negatius a l'oposada. Aquesta separació crea un camp elèctric transversal que creix fins que equilibra la força magnètica: q·E = q·v·B → E = v·B = 0,30·1,5 = 0,45 V/m.
ΔV = E·d = 0,45·0,025 ≈ 1,1·$10^{-2}$ V ≈ 11 mV.

d) Sí. Uns 11 mV és unes deu vegades el senyal d'un electrocardiograma, i a més varia amb cada batec (perquè la velocitat de la sang varia). Per això, dins de l'escàner l'electrocardiograma surt distorsionat i s'ha de filtrar o interpretar amb compte. És el mateix principi dels cabalímetres electromagnètics, que mesuren la velocitat d'un líquid conductor a partir d'aquesta tensió.

Errors típics

• Fer servir el diàmetre en lloc del perímetre per calcular la longitud de cada espira.
• Oblidar que, en l'equilibri, la força elèctrica compensa exactament la magnètica, i intentar calcular una acceleració indefinida dels ions.
• No convertir mm² a $m^{2}$ (1 mm² = $10^{-6}$ $m^{2}$).

Conceptes treballats: camp magnètic d'un solenoide, resistència i efecte Joule, força de Lorentz sobre ions, equilibri entre força elèctrica i magnètica, aplicacions mèdiques.

a) El camp de l'imant fa sobre el fil una força F = I·L×B. Per la tercera llei de Newton, el fil (a través del camp que crea el seu corrent) fa sobre l'imant una força igual i oposada. Com que la lectura disminueix, la força sobre l'imant és cap amunt, i per tant la força sobre el fil és cap avall, i el suport l'aguanta. La balança «llegeix» la força entre el fil i l'imant.

b) Regressió lineal de m (g) davant I (A): pendent = -0,457 g/A, ordenada a l'origen = 152,30 g (el coeficient de correlació és pràcticament -1).
Força per ampere: $\tfrac{F}{I} = 0{,}457$·$10^{-3}$ kg/A·9,81 $\text{m/s}^{2}$ = 4,48·$10^{-3}$ N/A.
F = I·L·B → $\tfrac{F}{I} = L$·B → B = 4,48·$\tfrac{10^{-3}}{0{,}050} = 9{,}0$·$10^{-2}$ T.

c) El pendent fa servir totes les mesures alhora: els errors aleatoris de cada lectura es compensen en part. A més, elimina errors sistemàtics constants, com una tara mal feta o la massa del suport, que només afecten l'ordenada a l'origen. La linealitat dels punts confirma que F ∝ I, tal com prediu la llei.

d) F = I·L·B·sin θ: amb 30°, la força és la meitat. Δm = -0,457·3,0·sin 30° = -0,69 g, i la lectura seria 152,30 - 0,69 = 151,61 g.

Errors típics

• Interpretar la disminució de la lectura com una pèrdua de massa de l'imant en lloc d'una força magnètica.
• Oblidar el factor g en passar de grams llegits a newtons, o no passar els grams a kg.
• Calcular B amb una sola mesura en lloc de fer servir el pendent.

Conceptes treballats: força sobre un conductor amb corrent, tercera llei de Newton, regressió lineal i tractament de dades experimentals, dependència angular del producte vectorial.

a) F = N·I·L·B = 100·0,50·0,040·0,20 = 0,40 N. En els dos costats de 4,0 cm el corrent circula en sentits oposats, i per tant les forces són iguals i oposades: la resultant és nul·la i el centre de la bobina no es desplaça. Però no tenen la mateixa línia d'acció (estan separades 3,0 cm, a 1,5 cm de l'eix cadascuna): formen un parell de forces i fan girar la bobina.

b) Moment magnètic: m = N·I·S = 100·0,50·(0,040·0,030) = 6,0·$10^{-2}$ A·$m^{2}$.
Moment de força: M = m·B·sin θ. És màxim quan la normal és perpendicular al camp (pla de la bobina paral·lel a B): $M_{màx}$ = 6,0·$10^{-2}$·0,20 = 1,2·$10^{-2}$ N·m (coincideix amb F·0,030 m = 0,40·0,030).
Amb θ = 30°: M = 1,2·$10^{-2}$·0,5 = 6,0·$10^{-3}$ N·m. Amb la normal paral·lela al camp, sin θ = 0 i M = 0: és la posició d'equilibri.

c) El moment sempre tendeix a alinear el moment magnètic de la bobina amb el camp. Quan la bobina supera la posició d'equilibri per inèrcia, el moment canvia de sentit i la frena: sense res més, oscil·laria al voltant d'aquesta posició fins aturar-s'hi. El commutador inverteix el sentit del corrent cada mitja volta, just en passar per l'equilibri, de manera que el moment torna a tenir el sentit del gir i la bobina continua girant sempre en el mateix sentit.

d) $M_{mitjà}$ = ($\tfrac{2}{\pi}$)·1,2·$10^{-2}$ = 7,6·$10^{-3}$ N·m. ω = 3000·2π/60 = 314 rad/s. P = M·ω = 7,64·$10^{-3}$·314 = 2,4 W, un valor raonable per a un ventilador petit.

Errors típics

• Pensar que la força resultant fa moure la bobina: la resultant és nul·la; el que actua és un parell.
• Fer servir l'angle entre el pla de la bobina i el camp en lloc de l'angle amb la normal.
• Oblidar passar les rpm a rad/s.

Conceptes treballats: força sobre un conductor, parell de forces, moment magnètic d'una espira, motor de corrent continu, potència en rotació.

a) F/L = μ₀·I₁·I₂/(2π·d) = 4π·10^-7·1·1/(2π·1) = 2·10^-7 N/m. Coincideix: la definició antiga de l'ampere equivalia a fixar μ₀ = 4π·10^-7 T·m/A exactament.

b) B = μ₀·I/(2π·d) = 4π·10^-7·2,0·10⁴/(2π·0,50) = 8,0·10^-3 T (unes 160 vegades el camp terrestre).
F/L = I·B = μ₀·I²/(2π·d) = 2,0·10⁴·8,0·10^-3 = 1,6·10² N/m.
Amb corrents de sentits oposats, la regla de la mà dreta dona una força que separa les barres: es repel·leixen.

c) F = 160·2,0 = 3,2·10² N per tram, comparable al pes d'una massa d'uns 33 kg però empenyent lateralment.

d) La força és proporcional al producte dels corrents, que són iguals: F ∝ I². Si I es multiplica per 10, la força es multiplica per 100: 3,2·10⁴ N per tram (com el pes de més de 3 tones). Encara que duri poc, aquesta força brusca pot doblegar les barres o trencar els aïlladors; per això les instal·lacions s'han de dissenyar per resistir els esforços del curtcircuit.

Errors típics

• Dir que corrents oposats s'atrauen: corrents paral·lels del mateix sentit s'atrauen i els de sentits oposats es repel·leixen.
• Pensar que la força es multiplica per 10 quan el corrent es multiplica per 10: com que les dues barres porten aquest corrent, la força és proporcional a I².
• Confondre la força per unitat de longitud (N/m) amb la força total sobre el tram.

Conceptes treballats: camp creat per un fil rectilini, força entre corrents paral·lels, definició de l'ampere, aplicacions industrials i seguretat elèctrica.

a) El camp de la bobina al seu centre és perpendicular al pla de la bobina; si el pla és nord-sud, el camp de la bobina és est-oest, perpendicular a $B_{h}$. L'agulla s'alinea amb el camp total $B_{h}$ + $B_{bobina}$; com que són perpendiculars, l'angle respecte del nord compleix tg θ = $\tfrac{B_{bobina}}{B_{h}}$. Si la bobina no estigués ben orientada, una part del seu camp se sumaria a la component nord-sud i la relació ja no seria vàlida.

b) $B_{bobina}$ = $μ_{0}$·N·$\tfrac{I}{(2R)} = 4$π·$10^{-7}$·20·$\tfrac{0{,}25}{(2\cdot 0{,}10)} = 3{,}1$·$10^{-5}$ T.
$B_{h}$ = $B_{bobina}$/tg 53° = 3,14·$\tfrac{10^{-5}}{1{,}327} = 2{,}4$·$10^{-5}$ T, un valor coherent amb el de Catalunya.

c) Per a 45°, tg θ = 1: $B_{bobina}$ = $B_{h}$ → I = 2R·$\tfrac{B_{h}}{(\mu_{0}\cdot N)} = 0{,}20$·2,37·$\tfrac{10^{-5}}{(4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 20)} = 0{,}19$ A. Si s'inverteix el corrent, el camp de la bobina canvia de sentit (passa d'apuntar a l'est a apuntar a l'oest o a l'inrevés) i l'agulla es desvia el mateix angle cap a l'altre costat. Fer la mesura en els dos sentits i fer-ne la mitjana compensa una orientació imperfecta de la bobina.

d) B = $μ_{0}$·$\tfrac{I}{(2\pi \cdot d)} = 4$π·$10^{-7}$·$\tfrac{10}{(2\pi \cdot 0{,}30)} = 6{,}7$·$10^{-6}$ T, un 28 % de $B_{h}$. No és gens negligible: segons com estigui orientat el cable, desviaria l'agulla diversos graus i falsejaria la mesura. Per això cal allunyar de la brúixola els cables amb corrent (i els objectes de ferro).

Errors típics

• Fer servir $μ_{0}$·$\tfrac{I}{(2\pi \cdot R)}$ (fil rectilini) en lloc de $μ_{0}$·N·$\tfrac{I}{(2R)}$ (centre d'una espira).
• Sumar els mòduls dels dos camps en lloc de sumar-los vectorialment.
• Oblidar el nombre d'espires.

Conceptes treballats: camp al centre d'una espira circular, camp d'un fil rectilini, superposició vectorial de camps, camp magnètic terrestre, mesura experimental.

a) El fil de cada espira és tangent a la circumferència i el camp és radial: en tots els punts són perpendiculars entre si, de manera que dl × B és paral·lel a l'eix. Per simetria, el sentit és el mateix en tots els punts: les forces de tots els segments se sumen sense cancel·lar-se. En un camp uniforme, en canvi, la força neta sobre un circuit tancat és F = I·(∮dl) × B = 0, perquè la suma vectorial dels dl d'una espira és zero (cada element s'anul·la amb el diametralment oposat); només hi podria haver un parell de forces. Per això l'altaveu necessita un camp radial.
Direcció: en un punt de l'espira on el camp apunta cap enfora (eix x positiu), el corrent antihorari va cap a +y; dl × B = (+y) × (+x) = −z. La força va cap avall (el con es mou cap avall); si s'inverteix el corrent, la força s'inverteix.

b) L = N·2π·r = 60·2π·0,015 = 5,65 m. B·L = 1,1·5,65 = 6,22 N/A. Amb 0,80 A: F = B·I·L = 6,22·0,80 = 4,98 N ≈ 5,0 N.

c) a_màx = F_màx/m = 4,98/0,010 = 498 m/s² ≈ 51·g. Com que no hi ha suspensió, no hi ha força recuperadora i x(t) = −(a_màx/ω²)·sin(ω·t), amb ω = 2π·200 = 1257 rad/s: x_màx = 498/1257² = 3,2·10^-4 m = 0,32 mm.
A 100 Hz, ω es divideix per 2 i x_màx es multiplica per 4: 1,26 mm. Per a una mateixa força, l'excursió del con creix quan baixa la freqüència (per això els altaveus de greus són grans i es mouen molt).

d) B·I·L = m·g → I = 0,010·9,81/6,22 = 1,58·10^-2 A = 15,8 mA (en sentit horari vist des de dalt, perquè la força vagi cap amunt). És només un 2 % del corrent màxim: el pes del conjunt mòbil és negligible davant de les forces magnètiques en joc, i per això l'altaveu funciona igual en qualsevol orientació.

e) Amb 120 espires: L = 11,3 m i B·L = 12,4 N/A, el doble per ampere. Però amb el mateix fil la resistència també es duplica (R és proporcional a la longitud): R = 12 Ω. Amb la mateixa tensió, el corrent màxim cau a I = 4,8/12 = 0,40 A, i F_màx = 12,4·0,40 = 4,98 N: exactament la mateixa força. En general F = B·(N·2π·r)·V/R i el quocient N/R no canvia. A més, la massa augmenta: a_màx = 4,98/0,014 = 355 m/s², un 29 % menys que abans. La proposta empitjora la resposta de l'altaveu; per guanyar força caldria un camp B més gran o un fil més gruixut (menys resistència) sense afegir massa.

Errors típics

• Fer servir el diàmetre com si fos el radi, o la longitud d'una sola espira, en lloc de L = N·2π·r.
• Pensar que una espira circular en un camp uniforme rep una força neta: la força neta és nul·la (només hi pot haver un parell).
• Escriure l'amplitud del desplaçament com a_màx/ω en lloc de a_màx/ω².
• Creure que duplicar les espires duplica la força a tensió constant, oblidant que la resistència també es duplica.
• Barrejar el corrent màxim amb el corrent continu d'equilibri, que és molt més petit.

Conceptes treballats: força magnètica sobre un conductor (F = I·L × B), camp radial, força neta sobre un circuit tancat en un camp uniforme, segona llei de Newton, relació entre acceleració i amplitud en un moviment sinusoïdal, llei d'Ohm i resistència d'un fil, optimització d'un dispositiu electromagnètic.