Exercicis d'ones i MHS — Física 2n Batxillerat

La freqüència és la inversa del període: f = 1/T.
f = 1/0,004 = 250 Hz.

Mecàniques (necessiten medi): el so i les ones d'una corda. Electromagnètiques (no necessiten medi): la llum i les microones.

En una corda fixada pels dos extrems, cada extrem ha de ser un node. En el mode fonamental hi cap només mitja longitud d'ona entre els dos extrems, així que λ₁ = 2·L.
λ₁ = 2·0,65 = 1,3 m.
Apliquem la relació fonamental v = λ·f, aïllant la freqüència: f₁ = v/λ₁.
f₁ = 260/1,3 = 200 Hz.
En general, per a una corda amb els dos extrems fixos, f_n = n·v/(2·L); aquí, amb n = 1, dona 200 Hz.

Per a qualsevol ona, v = λ·f, de manera que λ = v/f.
Ona de ràdio (electromagnètica, viatja a c): λ = 3·10⁸/(100·10⁶) = 3 m.
So del diapasó (ona mecànica, viatja a la velocitat del so): λ = 340/440 = 0,77 m.
Error típic: fer servir c per al so. El so és una ona mecànica i va a la velocitat que li permet el medi (l'aire), no a la de la llum.

Comparem amb y = A·sin(ωt ± kx): ω = 6π rad/s i k = 3π rad/m.
Sentit: com que ωt i kx tenen el mateix signe (+), l'ona es propaga en el sentit negatiu de l'eix x. Primera afirmació errònia.
Velocitat: v = ω/k = 6π/(3π) = 2 m/s. Correcta.
Longitud d'ona: λ = 2π/k = 2π/(3π) = 2/3 m ≈ 0,67 m, no 3 m (el nombre que multiplica x és el nombre d'ona k, no λ). Tercera afirmació errònia.
Comprovació: f = ω/(2π) = 3 Hz i λ·f = 0,67·3 = 2 m/s = v.

a) Certa. La freqüència la fixa la font que genera l'ona; en canviar de medi varien la velocitat i, per tant, la longitud d'ona (λ = $\tfrac{v}{f}$), però no la freqüència.
b) Falsa. La velocitat de propagació depèn només de les propietats del medi (per exemple, de la tensió i la densitat lineal d'una corda); l'amplitud determina l'energia que transporta l'ona, no la seva velocitat.
c) Certa. Les partícules del medi oscil·len al voltant de la posició d'equilibri sense desplaçar-se amb l'ona; el que viatja és la pertorbació i l'energia associada.

El temps d'una oscil·lació completa és el període: T = 0,25 s → f = 1/T = 4 Hz.
La distància mínima entre dos punts que vibren en fase és la longitud d'ona: λ = 0,4 m.
Velocitat de propagació: v = λ·f = 0,4·4 = 1,6 m/s (equivalentment, v = λ/T = 0,4/0,25 = 1,6 m/s).
Recorda la doble periodicitat de l'ona: T és el període en el temps i λ, el període en l'espai.

a) β = 10·log($\tfrac{10^{-6}}{10^{-12}}$) = 10·log($10^{6}$) = 10·6 = 60 dB (el nivell d'una conversa normal).
b) 90 = 10·log($\tfrac{I}{10^{-12}}$) → log($\tfrac{I}{10^{-12}}$) = 9 → I = $10^{9}$·$10^{-12}$ = $10^{-3}$ $\text{W/m}^{2}$.
Fixa't que passar de 60 dB a 90 dB (30 dB més) vol dir multiplicar la intensitat per 1000: l'escala de decibels és logarítmica.

Longitud d'ona: λ = v/f = 340/680 = 0,5 m.
Dos punts vibren en oposició de fase quan la seva diferència de fase és π rad, és a dir, quan estan separats mitja longitud d'ona (o un nombre senar de mitges longituds d'ona).
Distància mínima: d = λ/2 = 0,25 m.
Comprovació: Δφ = k·d = (2π/0,5)·0,25 = π rad.

a) Difracció: les ones sonores, amb una longitud d'ona comparable a la mida de l'obstacle, voregen la cantonada i es propaguen darrere seu.
b) Reflexió: el so rebota a les parets de la vall i torna cap a nosaltres amb retard.
c) Refracció: la llum canvia de direcció en passar de l'aigua a l'aire perquè canvia de velocitat, i veiem la part submergida desplaçada.
d) Polarització: la llum reflectida a la carretera vibra majoritàriament en un pla horitzontal i el filtre polaritzador la bloqueja. Només les ones transversals es poden polaritzar; el so, que és longitudinal, no.

Comparant amb y = A·sin(ω·t - k·x): amplitud A = 0,05 m, freqüència angular ω = 20·π rad/s i nombre d'ona k = 4·π rad/m.
Un punt de la corda descriu un moviment harmònic simple, i per a un MHS la velocitat màxima és $v_{max}$ = A·ω i l'acceleració màxima és $a_{max}$ = A·$ω^{2}$.
Velocitat màxima d'oscil·lació: $v_{max}$ = A·ω = 0,05·20·π = π ≈ 3,14 m·s⁻¹.
Acceleració màxima: $a_{max}$ = A·$ω^{2}$ = 0,05·(20·π$)^{2}$ = 0,05·400·$π^{2}$ = 20·$π^{2}$ ≈ 197 m·s⁻².
Ara la velocitat de PROPAGACIÓ de l'ona (com de ràpid avança la pertorbació al llarg de la corda): v = $\tfrac{\omega}{k} = 20$·$\tfrac{\pi}{(4\cdot \pi )} = 5$ m·s⁻¹.
Parany: no s'han de confondre. La velocitat de propagació (5 m·s⁻¹) és la de l'ona avançant per la corda; la velocitat màxima d'oscil·lació (3,14 m·s⁻¹) és la del tros de corda pujant i baixant. Són dues coses diferents amb valors diferents.

En una ona transversal el medi oscil·la perpendicularment a la direcció en què avança l'ona (una corda amunt i avall mentre l'ona va endavant). En una longitudinal, el medi oscil·la en la mateixa direcció en què avança l'ona (el so: l'aire es comprimeix i es dilata en la direcció de propagació).

La font (el tren) s'allunya de l'observador (l'andana), així que les crestes de l'ona arriben més espaiades: freqüència percebuda més baixa, so més greu. Els passatgers, que van amb la font, no noten cap canvi (per a ells la font és quieta) i el senten al to normal. Per tant els de l'andana el senten més greu.

Energia mecànica: en estirar la molla fins a l'amplitud A tota l'energia és potencial elàstica, $E_{m}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·k·$A^{2}$ = 0,5·200·0,$10^{2}$ = 0,5·200·0,01 = 1,0 J. Com que no hi ha fregament, aquesta energia es conserva.
Pulsació: ω = $\sqrt{\tfrac{k}{m}}$ = $\sqrt{\tfrac{200}{0}{,}50}$ = $\sqrt{400}$ = 20 rad/s.
Velocitat màxima (a l'equilibri, on tota l'energia és cinètica): $v_{max}$ = A·ω = 0,10·20 = 2,0 m·s⁻¹. Comprovació per energia: ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v_{max}$² = 0,5·0,50·2,$0^{2}$ = 1,0 J, igual que $E_{m}$.
Acceleració màxima (als extrems): $a_{max}$ = A·$ω^{2}$ = 0,10·400 = 40 m·s⁻².

a) Paràmetres: ω = 2πf = 10π rad/s; λ = v/f = 20/5 = 4 m; k = 2π/λ = π/2 rad/m. Com que es propaga cap a -x, els termes ωt i kx tenen el mateix signe:
y(x, t) = 0,03·sin(10πt + (π/2)x) (y i x en metres, t en segons).
b) y(1; 0,1) = 0,03·sin(10π·0,1 + π/2) = 0,03·sin(3π/2) = 0,03·(-1) = -0,03 m.
El punt és en l'elongació màxima negativa (-3 cm).
Comprovació: v = ω/k = 10π/(π/2) = 20 m/s, com indica l'enunciat.

De l'equació: ω = 4π rad/s (f = 2 Hz, T = 0,5 s) i k = π rad/m (λ = 2 m).
a) Diferència de fase espacial: Δφ = k·Δx = π·1,5 = 1,5π rad (és a dir, 3π/2 rad, equivalent a -$\tfrac{\pi}{2}$ rad).
b) Diferència de fase temporal: Δφ = ω·Δt = 4π·0,25 = π rad. Ha passat mig període ($\tfrac{T}{2} = 0{,}25$ s): el punt està en oposició de fase respecte de 0,25 s abans, amb la mateixa elongació però de signe contrari.
c) Dos punts vibren en fase si Δφ = 2π rad → Δx = λ = 2 m.

a) En una ona esfèrica la potència es reparteix sobre una esfera de radi r: I = P/(4πr²).
A 2 m: I = 2/(4π·2²) = 2/(16π) = 3,98·10^-2 W/m².
A 8 m: I = 2/(4π·8²) = 2/(256π) = 2,49·10^-3 W/m².
La distància s'ha multiplicat per 4 i la intensitat ha quedat dividida per 16: la intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància.
b) β = 10·log(3,98·10^-2/10^-12) = 10·log(3,98·10¹⁰) = 106 dB.

a) Llei de Snell per a ones: sin θ₁/v₁ = sin θ₂/v₂.
sin θ₂ = sin 30°·(v₂/v₁) = 0,5·(1,2/2) = 0,3 → θ₂ = arcsin 0,3 = 17,5°.
L'ona s'acosta a la normal perquè passa a una zona on va més lenta.
b) La freqüència no canvia: λ₁ = v₁/f = 2/2 = 1 m; λ₂ = v₂/f = 1,2/2 = 0,6 m.
Comprovació: λ₂/λ₁ = v₂/v₁ = 0,6.

a) En un tub tancat per un extrem hi ha un node a l'extrem tancat i un ventre a l'obert: la longitud del tub és un quart de longitud d'ona. λ₁ = 4L = 3,4 m → f₁ = v/λ₁ = 340/3,4 = 100 Hz.
b) En un tub tancat només hi caben els harmònics senars (L = n·λ/4 amb n = 1, 3, 5, …): el següent és el tercer, f₃ = 3·f₁ = 300 Hz.
c) En un tub obert hi ha ventres als dos extrems i L = λ/2: λ₁ = 2L = 1,7 m → f₁ = 340/1,7 = 200 Hz, el doble que en el tub tancat (i en aquest cas hi apareixen tots els harmònics).

Velocitat de la font: $v_{F}$ = 90 km/h = 25 m/s. L'observador està en repòs.
Efecte Doppler amb la font en moviment: f' = f·v/(v ∓ $v_{F}$) (signe - quan s'acosta, signe + quan s'allunya).
S'acosta: f' = 800·$\tfrac{340}{(340 - 25)} = 800$·$\tfrac{340}{315} = 863$ Hz (so més agut).
S'allunya: f' = 800·$\tfrac{340}{(340 + 25)} = 800$·$\tfrac{340}{365} = 745$ Hz (so més greu).
Error típic: oblidar passar els km/h a m/s, o posar la velocitat de la font al numerador (això només es fa amb la velocitat de l'observador).

a) Comparem amb y = 2A·sin(kx)·cos(ωt): k = 2π rad/m → λ = 2π/k = 1 m; ω = 40π rad/s → f = $\tfrac{\omega}{(2\pi )} = 20$ Hz; v = λ·f = 20 m/s.
L'amplitud màxima de l'ona estacionària és 2A = 0,1 m, així que cada ona viatgera té A = 0,05 m.
b) Els nodes són els punts on sin(2πx) = 0 → 2πx = nπ → x = $\tfrac{n}{2}$: x = 0 m, x = 0,5 m i x = 1 m.
Els nodes estan separats $\tfrac{\lambda}{2} = 0{,}5$ m; els ventres (x = 0,25 m i x = 0,75 m) queden a mig camí entre nodes.

Per a una corda amb els dos extrems fixos, les freqüències pròpies són f_n = n·v/(2·L) i les longituds d'ona λ_n = 2·L/n, amb n = 1, 2, 3, ...
Longitud d'ona del tercer harmònic (n = 3): λ₃ = 2·L/3 = 2·1,2/3 = 2,4/3 = 0,8 m.
Freqüència: f₃ = v/λ₃ = 180/0,8 = 225 Hz (o directament f₃ = 3·180/(2·1,2) = 540/2,4 = 225 Hz).
Nombre de ventres i nodes: l'harmònic n té exactament n ventres i n+1 nodes (comptant els dos extrems, que sempre són nodes). Per tant el tercer harmònic té 3 ventres i 4 nodes.
Parany: el nombre de ventres és n (aquí 3), no n+1; els nodes són un més que els ventres perquè els dos extrems fixos també compten.

Diferència de camí: 8 - 5 = 3 m.
En longituds d'ona: 3/λ = 3/1 = 3, un nombre enter.
Les ones arriben en fase: la interferència és constructiva (el so es reforça).

Primer l'altura que puja la massa respecte al punt més baix. Parany clau: NO és L, sinó h = L·(1 - cos θ), perquè el pèndol només s'enfila una miqueta.
h = L·(1 - cos θ) = 1,2·(1 - 0,985) = 1,2·0,015 = 0,018 m.
Energia potencial a l'extrem (tot és potencial, el pèndol està aturat un instant): $E_{p}$ = m·g·h = 0,30·9,8·0,018 ≈ 0,054 J.
Energia mecànica: com que a l'extrem tota l'energia és potencial i $E_{m}$ es conserva, $E_{m}$ = $E_{p}$ ≈ 0,054 J.
A l'equilibri l'altura és zero, així que tota l'energia mecànica és cinètica: ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v_{max}$² = $E_{m}$.
Aïllem: $v_{max}$ = $\sqrt{\tfrac{2\cdot E_{m}}{m}}$ = $\sqrt{2\cdot 0{,}\tfrac{054}{0}{,}30}$ = $\sqrt{0,36}$ ≈ 0,60 m·s⁻¹.
Comprovació: la velocitat màxima surt petita, com esperem d'una oscil·lació d'amplitud petita.

a) A = 0,05 m; ω = 50π rad/s → f = ω/(2π) = 25 Hz i T = 1/f = 0,04 s; k = 0,5π rad/m → λ = 2π/k = 4 m; v = λ·f = 100 m/s (o bé v = ω/k). Com que ωt i kx tenen signes contraris, l'ona es propaga en el sentit positiu de l'eix x.
b) Fase: 50π·0,02 - 0,5π·2 + π/2 = π - π + π/2 = π/2 → y = 0,05·sin(π/2) = 0,05 m. El punt és en l'elongació màxima positiva.
c) En fase: Δx = λ = 4 m. En oposició de fase: Δx = λ/2 = 2 m.
d) y(0, t) = 0,05·sin(50πt + π/2) és màxima quan 50πt + π/2 = π/2 + 2πn → t = 2πn/(50π) = 0,04·n s, amb n = 0, 1, 2, …: t = 0 s, 0,04 s, 0,08 s… (un cop cada període).

$v_{c}$ = 72 km/h = 20 m/s.
a) El mur és un observador en repòs i el cotxe, una font que s'hi acosta: $f_{1}$ = f·$\tfrac{v}{(v - v_{c})} = 500$·$\tfrac{340}{(340 - 20)} = 500$·$\tfrac{340}{320} = 531{,}25$ Hz.
b) El mur reflecteix el so amb la freqüència que rep, 531,25 Hz, i actua com una font en repòs. Ara el conductor és un observador que s'acosta a aquesta font: $f_{2}$ = $f_{1}$·$\tfrac{(v + v_{c})}{v} = 531{,}25$·$\tfrac{360}{340} = 562{,}5$ Hz.
L'eco és més agut que el so emès perquè hi ha un doble efecte Doppler: primer el cotxe s'acosta al mur (font en moviment) i després el conductor s'acosta al so reflectit (observador en moviment).
Comprovació: $f_{2}$ = f·$\tfrac{(v + v_{c})}{(v - v_{c})} = 500$·$\tfrac{360}{320} = 562{,}5$ Hz.

a) 80 = 10·log(I/10^-12) → I/10^-12 = 10⁸ → I = 10^-4 W/m².
b) Per a una ona esfèrica, I ∝ 1/r²: I₂₀ = I₅·(5/20)² = 10^-4/16 = 6,25·10^-6 W/m² → β = 10·log(6,25·10⁶) = 68 dB. (Cada cop que es dobla la distància, el nivell baixa uns 6 dB.)
c) 60 dB correspon a I = 10^-6 W/m², 100 vegades menys que a 5 m. Com que I ∝ 1/r²: r² = 5²·100 → r = 50 m.
d) Les intensitats se sumen (són fonts independents): I = 2·10^-4 W/m² → β = 10·log(2·10⁸) = 80 + 10·log 2 = 83 dB. Doblar la intensitat només afegeix 3 dB: els decibels no se sumen.

a) Diferència de camins: Δr = 5 - 3 = 2 m = 2λ, un nombre enter de longituds d'ona: les ones arriben en fase i la interferència és constructiva. Amplitud resultant: A = 2 + 2 = 4 cm.
b) Sigui x la distància d'un punt del segment a F₁; la seva distància a F₂ és 4 - x i Δr = (4 - x) - x = 4 - 2x.
Interferència destructiva: Δr = (2n + 1)·λ/2, amb λ/2 = 0,5 m → 4 - 2x = ±0,5; ±1,5; ±2,5; ±3,5 → x = 0,25; 0,75; 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25 i 3,75 m.
Hi ha 8 punts en repòs (nodes), separats λ/2 = 0,5 m entre ells, com en una ona estacionària. No n'hi ha més perquè, sobre el segment, |Δr| no pot superar els 4 m de separació entre les fonts.

a) La freqüència es conserva: λ_aire = v/f = 340/1000 = 0,34 m; λ_aigua = 1500/1000 = 1,5 m.
b) Llei de Snell per a ones: sin θ₁/v₁ = sin θ₂/v₂ → sin θ₂ = sin 10°·(1500/340) = 0,1736·4,41 = 0,766 → θ₂ = 50°. El so s'allunya de la normal perquè passa a un medi on va més ràpid.
c) Angle límit: θ₂ = 90° → sin θ_L = v₁/v₂ = 340/1500 = 0,227 → θ_L = 13,1°.
Només el so que arriba a la superfície amb un angle d'incidència inferior a 13° entra a l'aigua; tota la resta es reflecteix totalment. Per això, sota l'aigua, els sons exteriors arriben molt atenuats.
Fixa't que la reflexió total es produeix sempre en passar al medi on l'ona va més de pressa (per a la llum, el medi d'índex de refracció més petit).

a) ω = 2πf = 20π rad/s; λ = v/f = 0,4 m; k = 2π/λ = 5π rad/m. La fase inicial ha de complir y(0, 0) = A → sin φ₀ = 1 → φ₀ = π/2 rad.
y(x, t) = 0,02·sin(20πt - 5πx + π/2) (SI), que també es pot escriure y = 0,02·cos(20πt - 5πx).
b) Primer comprovem que l'ona ja ha arribat a x = 0,15 m: hi triga x/v = 0,15/4 = 0,0375 s < 0,05 s. Fase: 20π·0,05 - 5π·0,15 + π/2 = π - 0,75π + 0,5π = 0,75π → y = 0,02·sin(0,75π) = 0,02·0,707 = 0,014 m (1,4 cm).
c) La pertorbació arriba a x = 1 m en t = x/v = 1/4 = 0,25 s, i en aquest instant la fase val 20π·0,25 - 5π + π/2 = π/2: el punt comença a vibrar justament amb l'elongació màxima positiva, igual que ho va fer l'extrem en t = 0. Per tant, t = 0,25 s.
Comprovació: la condició sin(20πt - 5π + π/2) = 1 dona t = 0,25 + 0,1·n s; abans de 0,25 s el punt encara no s'ha mogut.

a) Densitat lineal: μ = ρ·S = ρ·π·($\tfrac{d}{2}$$)^{2}$ = 7850·π·(1,25·$10^{-4}$$)^{2}$ = 3,85·$10^{-4}$ kg/m.
En el fonamental λ₁ = 2L, de manera que v = λ₁·f₁ = 2·0,648·329,6 = 427 m/s.
Com que v = $\sqrt{\tfrac{T}{\mu}}$, la tensió és T = μ·$v^{2}$ = 3,85·$10^{-4}$·$427^{2}$ = 70,3 N (equivalent a penjar-hi uns 7 kg).

b) Cinc semitons: f' = 329,6·2^{$\tfrac{5}{12}$} = 440 Hz (és el La₄ de referència, el que s'utilitza per afinar).
La tensió la fixa la clavilla i la densitat lineal és la del material, per tant v = $\sqrt{\tfrac{T}{\mu}}$ no canvia: el que canvia és la longitud vibrant. Com que f = $\tfrac{v}{(2L)}$, la freqüència és inversament proporcional a la longitud: L' = L·f/f' = 0,648·2^{-$\tfrac{5}{12}$} = 0,485 m.
El cinquè trast és a 0,648 - 0,485 = 0,163 m de la celleta, és a dir, a 16,3 cm.

c) Amb L i μ constants, f ∝ $\sqrt{T}$: f'' = 329,6·$\sqrt{1,020}$ = 332,9 Hz.
Interval: 1200·log₂($\sqrt{1,020}$) = 600·log₂(1,020) ≈ 17 cents, més de tres vegades el llindar de 5 cents: la guitarra se sent clarament desafinada (gairebé un sisè de semitò). Per això els músics tornen a afinar entre peces quan canvia la temperatura de l'escenari.

Errors típics

• Fer servir el diàmetre en lloc del radi (o oblidar passar els mil·límetres a metres) en calcular la secció: la densitat lineal surt quatre vegades massa gran o $10^{6}$ vegades errònia.
• Pensar que en prémer la corda canvia la velocitat de l'ona: canvia la longitud vibrant i, per tant, λ; v només depèn de T i μ.
• Suposar que la freqüència és proporcional a la tensió: és proporcional a l'arrel quadrada de la tensió.

Conceptes treballats: ones estacionàries en una corda, mode fonamental, velocitat de propagació en funció de la tensió i la densitat lineal, relació entre freqüència i longitud vibrant, escala musical i cents.

a) v = √(T/μ) = √(80/0,050) = 40 m/s. λ = v/f = 40/25 = 1,6 m. k = 2π/λ = 1,25π rad/m ≈ 3,93 rad/m. ω = 2π·f = 50π rad/s ≈ 157 rad/s.

b) A x = 0 i t = 0: y = 0,015·sin φ₀ = 0,0075 → sin φ₀ = 0,5, que té dues solucions entre 0 i 2π: π/6 i 5π/6.
La velocitat transversal és v_y = ∂y/∂t = A·ω·cos(ω·t - k·x + φ₀), que a l'origen i t = 0 val A·ω·cos φ₀. Com que l'extrem baixa, v_y < 0 → cos φ₀ < 0 → φ₀ = 5π/6.
y(x, t) = 0,015·sin(50π·t - 1,25π·x + 5π/6) (SI).

c) v_y,màx = A·ω = 0,015·50π = 2,36 m/s, unes 17 vegades menys que la velocitat de propagació (40 m/s).
Són dues coses diferents: la velocitat de propagació és la rapidesa amb què avança la pertorbació (i l'energia) al llarg de la corda i és constant; la velocitat transversal és la de cada tros de corda que puja i baixa al seu lloc amb un MHS, i depèn de l'amplitud i de la freqüència, no de la tensió.

d) Δφ = k·Δx = 1,25π·0,40 = 0,5π rad = π/2: els punts estan en quadratura. Quan un passa per la posició d'equilibri (amb velocitat màxima), l'altre és en un extrem (y = ±1,5 cm, velocitat nul·la).

Errors típics

• Triar φ₀ = π/6 sense comprovar el sentit del moviment: dues fases amb el mateix sinus donen el mateix desplaçament però velocitats de sentit contrari.
• Confondre la velocitat de propagació de l'ona amb la velocitat de vibració dels punts de la corda.
• Calcular la diferència de fase amb ω·Δx o oblidar que k està en rad/m.

Conceptes treballats: equació d'una ona harmònica, fase inicial, velocitat de propagació en una corda, velocitat transversal, diferència de fase i quadratura.

a) 100 = 10·log($\tfrac{I}{I_{0}}$) → I = $10^{10}$·$10^{-12}$ = 1,0·$10^{-2}$ $\text{W/m}^{2}$.
La potència es reparteix per una esfera de radi 10 m: P = I·4π·$r^{2}$ = 1,0·$10^{-2}$·4π·100 = 13 W. (Una potència acústica modesta: la major part de l'energia elèctrica d'un equip de so es dissipa en calor.)

b) A 85 dB, I' = 10^8,5·$10^{-12}$ = 3,2·$10^{-4}$ $\text{W/m}^{2}$. Com que I ∝ $\tfrac{1}{r^{2}}$: r' = r·$\sqrt{\tfrac{I}{I}'}$ = 10·$\sqrt{1{,}\tfrac{0\cdot 10^{-2}}{3}{,}2\cdot 10^{-4}}$ = 10·10^0,75 = 56 m.
Baixar 15 dB vol dir dividir la intensitat per 10^1,5 ≈ 32, i per això cal multiplicar la distància per $\sqrt{32}$ ≈ 5,6.

c) Intensitat del generador: $I_{g}$ = 10^9,5·$10^{-12}$ = 3,2·$10^{-3}$ $\text{W/m}^{2}$. Les dues fonts són independents (no coherents), així que les intensitats se sumen: $I_{tot}$ = 1,0·$10^{-2}$ + 3,2·$10^{-3}$ = 1,32·$10^{-2}$ $\text{W/m}^{2}$ → β = 10·log(1,32·$10^{10}$) = 101 dB.
L'escala de decibels és logarítmica: sumar dB equivaldria a multiplicar intensitats. El generador només aporta un 32 % més d'intensitat, que són 1,2 dB: el so més fort domina.

d) De 10 m a 300 m la distància es multiplica per 30: β = 100 - 20·log 30 = 100 - 29,5 = 70 dB.
A la realitat se sent menys perquè l'aire absorbeix energia (sobretot dels aguts) i els edificis fan d'obstacle i reflecteixen el so; a més, els altaveus de concert són direccionals i no emeten igual en totes direccions.

Errors típics

• Sumar els decibels de dues fonts (95 + 100) en lloc de sumar les intensitats.
• Fer servir I ∝ $\tfrac{1}{r}$ en lloc de $\tfrac{1}{r^{2}}$ per a una font puntual en tres dimensions.
• Oblidar el factor 4π·$r^{2}$ (àrea de l'esfera) en calcular la potència.

Conceptes treballats: intensitat d'una ona esfèrica, nivell d'intensitat sonora (dB), superposició de fonts incoherents, atenuació amb la distància, limitacions del model de font puntual.

a) λ = v/f = 1540/5,0·10⁶ = 3,1·10^-4 m = 0,31 mm. Un so audible (per exemple 1 kHz) tindria λ ≈ 1,5 m als teixits, molt més gran que els òrgans: no se'n podria veure cap detall. Amb megahertz, λ és de dècimes de mil·límetre i la resolució és bona (a canvi, els ultrasons d'alta freqüència s'atenuen més i penetren menys).

b) El pols que es reflecteix a la paret posterior fa el gruix d dues vegades (anada i tornada) més que el de la paret anterior: 2d = v·Δt → d = 1540·65·10^-6/2 = 5,0·10^-2 m = 5,0 cm. Valor raonable per a un ronyó adult.

c) La freqüència la fixa l'emissor i no canvia en passar d'un medi a un altre: f = 5,0 MHz. La velocitat sí que canvia, i amb ella la longitud d'ona: λ_os = 4080/5,0·10⁶ = 8,2·10^-4 m = 0,82 mm, unes 2,6 vegades més gran que als teixits tous.

d) Temps d'anada i tornada fins a 15 cm: t = 2·0,15/1540 = 1,95·10^-4 s. Nombre màxim de polsos: 1/t ≈ 5,1·10³ polsos per segon. Si s'emetessin més de pressa, un eco profund es confondria amb l'eco proper del pols següent.

e) Entre la sonda i la pell hi quedaria una capa d'aire. La diferència entre l'aire i els teixits és tan gran que gairebé tot l'ultrasò es reflectiria a la superfície i no entraria al cos. El gel té propietats acústiques semblants a les dels teixits i elimina aquesta capa d'aire.

Errors típics

• Oblidar dividir per 2: el temps mesurat correspon a l'anada i la tornada del pols.
• Pensar que, en passar a l'os, canvia la freqüència: canvien la velocitat i la longitud d'ona.
• Confondre microsegons i mil·lisegons en els temps d'eco.

Conceptes treballats: relació v = λ·f, refracció d'ones (la freqüència es conserva), reflexió i temps de vol, resolució i longitud d'ona, aplicacions mèdiques dels ultrasons.

a) Les ones P són longitudinals (compressions) i es propaguen més de pressa que les S en qualsevol sòlid. Per a una distància d: t_S - t_P = d/v_S - d/v_P = 12,0 s → d = 12,0/(1/3,5 - 1/6,0) = 12,0/0,119 = 1,0·10² km (100,8 km).

b) Les P han trigat d/v_P = 100,8/6,0 = 16,8 s. El terratrèmol es va produir a les 03:12:40,0 - 16,8 s = 03:12:23,2 (les S han trigat 28,8 s).

c) Una sola estació només dona la distància: el focus és en algun punt d'una esfera de 101 km de radi centrada al sismògraf (a la superfície, en una circumferència). Amb tres estacions, les tres circumferències es tallen en un sol punt, l'epicentre (triangulació); amb més estacions es pot estimar també la profunditat.

d) Les ones S són transversals: el medi s'ha de deformar per cisallament i recuperar-se, cosa que només passa en sòlids. Els líquids no tenen rigidesa de cisallament i no transmeten ones S. Que les S no travessin el nucli extern indica que aquest és líquid (així es va deduir a principis del segle XX).

e) λ = v_S/f = 3,5·10³/2,0 = 1,8·10³ m (1,75 km).
Si I ∝ 1/r² i I ∝ A², aleshores A ∝ 1/r: al doble de distància l'amplitud es redueix a la meitat (i la intensitat a una quarta part). A la realitat l'absorció del terreny la redueix encara més.

Errors típics

• Calcular la distància com d = v·Δt amb una sola velocitat, o amb la diferència de velocitats (v_P - v_S)·12.
• Restar el temps de les ones S en lloc del de les P per trobar l'hora del terratrèmol, quan l'hora d'arribada coneguda és la de les P.
• Dir que l'amplitud és inversament proporcional a r²: ho és la intensitat; l'amplitud ho és a r.

Conceptes treballats: ones longitudinals i transversals, velocitat de propagació, temps de vol, triangulació, intensitat i amplitud d'una ona esfèrica, estructura interna de la Terra.

a) A 20 °C: v = 331 + 0,60·20 = 343 m/s. Tub obert: L = λ₁/2 → f₁ = v/(2L) = 343/(2·0,600) = 286 Hz. Hi ha tots els harmònics: f_n = n·f₁ = 572 Hz, 858 Hz, 1144 Hz…

b) Tub tancat per un extrem: node a l'extrem tancat i ventre a l'obert, de manera que el fonamental té L = λ/4 → f'₁ = v/(4L) = 343/2,40 = 143 Hz, una octava per sota. Només hi caben configuracions amb un node i un ventre als extrems, L = (2n - 1)·λ/4, i per això només hi ha harmònics senars: 143, 429, 715 Hz… Desapareixen els parells.

c) A 35 °C: v' = 331 + 0,60·35 = 352 m/s → f₁' = 352/1,200 = 293 Hz, un 2,6 % més aguda.
Per recuperar 286 Hz cal L' = v'/(2f₁) = L·v'/v = 0,600·352/343 = 0,616 m: cal allargar el tub uns 1,6 cm (per això les flautes tenen una peça que llisca, el cap, que permet ajustar-ne la llargada per afinar).

d) La flauta sonarà més aguda que el violí (293 Hz davant 286 Hz). Les dues freqüències tan properes produeixen batecs, unes 7 o 8 oscil·lacions d'intensitat per segon: el públic sentirà els instruments desafinats entre ells.

Errors típics

• Aplicar la fórmula del tub tancat (v/4L) a un tub obert pels dos extrems.
• Creure que en escalfar-se la flauta canvia la freqüència perquè el tub es dilata: l'efecte principal és l'augment de la velocitat del so a l'aire.
• Dir que el tub tancat té tots els harmònics: només en té de senars.

Conceptes treballats: ones estacionàries en tubs oberts i tancats, harmònics, dependència de la velocitat del so amb la temperatura, afinació d'instruments, batecs.

a) PB = √(3,00² + 4,00²) = 5,00 m. Diferència de camins: Δr = 5,00 - 4,00 = 1,00 m. La longitud d'ona és λ = 343/343 = 1,00 m, de manera que Δr = λ: les ones arriben en fase i la interferència és constructiva (màxim).

b) Mínim: Δr = (2n + 1)·λ/2 → λ = 2Δr/(2n + 1) = 2,00 m; 0,667 m; 0,400 m…
Les freqüències corresponents són f = v/λ = 171,5 Hz; 514,5 Hz; 857,5 Hz… La més alta per sota de 343 Hz és 172 Hz (n = 0) i la primera per sobre és 515 Hz (n = 1).

c) Amplituds relatives a P: 1/4,00 = 0,250 (de A) i 1/5,00 = 0,200 (de B). Al mínim les amplituds es resten (0,050) i al màxim se sumen (0,450): I_mín/I_màx = (0,050/0,450)² = 1/81 = 0,012, és a dir, 10·log(1/81) = -19 dB.
El mínim és força pronunciat però no és un silenci: la cancel·lació només és completa si les dues amplituds són iguals. A més, a una sala real les reflexions a les parets afegeixen altres ones.

d) Si els altaveus emeten en oposició de fase, s'afegeix un desfasament de π a tota la figura: on abans hi havia màxims hi ha mínims i al revés. A 343 Hz, P passaria a ser un mínim. Per això, en connectar els altaveus d'un equip de música, s'ha de respectar la polaritat (+ i -): si no, els greus es cancel·len en bona part de la sala.

Errors típics

• Calcular la diferència de camins com la separació entre els altaveus (3,00 m) en lloc de PB - PA.
• Fer servir la condició de mínim Δr = n·λ/2 amb qualsevol n, que inclou també els màxims.
• Pensar que en un mínim d'interferència sempre hi ha silenci absolut, encara que les amplituds siguin diferents.

Conceptes treballats: interferència d'ones, diferència de camins, condicions de màxim i de mínim, relació entre intensitat i amplitud, fonts en fase i en oposició de fase.

a) Fonamental: λ₁ = 2L = 0,650 m → v = λ₁·f₁ = 0,650·440 = 286 m/s.

b) Tercer harmònic: f₃ = 3·440 = 1320 Hz, λ₃ = 2L/3 = 0,217 m. k = 2π/λ₃ = 29,0 rad/m; ω = 2π·1320 = 8,29·10³ rad/s.
y(x, t) = 2,0·10^-3·sin(29,0·x)·cos(8,29·10³·t) (SI).
Nodes (sin kx = 0, x = n·λ/2): x = 0; 0,108; 0,217 i 0,325 m. Ventres (x = λ/4 + n·λ/2): x = 0,054; 0,163 i 0,271 m.

c) Tocar a L/3 imposa un node en aquell punt. L'harmònic n té nodes a x = m·L/n (m = 0, 1, …, n), i L/3 és un d'ells només si n és múltiple de 3. Per tant, el fonamental i el segon harmònic s'apaguen i només continuen sonant el 3r, el 6è, el 9è… La nota més greu que se sent és 3·440 = 1320 Hz, amb un timbre més pur i «aflautat».

d) λ_aire = v_aire/f = 343/1320 = 0,260 m, mentre que a la corda és 0,217 m. La freqüència és la mateixa (la corda fa vibrar l'aire al seu ritme), però les velocitats de propagació a la corda i a l'aire són diferents, i per tant també ho són les longituds d'ona.

Errors típics

• Pensar que, en passar al tercer harmònic, la velocitat de l'ona a la corda es triplica: es triplica la freqüència i la longitud d'ona es divideix per tres.
• Confondre l'amplitud de les ones viatgeres amb l'amplitud màxima de l'ona estacionària (al ventre és el doble).
• Creure que tocar lleugerament la corda a L/3 equival a escurçar-la fins a 2L/3 (aleshores sonaria 660 Hz).

Conceptes treballats: ones estacionàries, harmònics, nodes i ventres, equació de l'ona estacionària, conservació de la freqüència en canviar de medi, timbre.

a) Fons: d = v·t/2 = 1500·0,080/2 = 60 m. Segon eco: d' = 1500·0,050/2 = 37,5 m ≈ 38 m. És un objecte situat entre la barca i el fons que reflecteix part del pols: un banc de peixos (la bufeta natatòria, plena de gas, reflecteix molt bé l'ultrasò).

b) λ = 1500/40·10³ = 3,75·10^-2 m ≈ 3,8 cm. Una ona es reflecteix de manera apreciable en objectes de mida comparable o més gran que la seva longitud d'ona; amb objectes molt més petits (1 mm) l'ona els envolta i gairebé no hi ha eco. Per veure detalls petits caldrien freqüències més altes.

c) De l'aire a l'aigua el so va més de pressa (v₂ > v₁), de manera que s'allunya de la normal i hi ha angle límit: sin θ_L = v_aire/v_aigua = 340/1500 = 0,227 → θ_L = 13,1°.
Només el so que arriba gairebé perpendicular a la superfície (cons de 13° al voltant de la vertical) pot entrar a l'aigua; el so de la riba arriba molt rasant i es reflecteix totalment. A més, fins i tot a incidència normal la gran diferència entre els dos medis fa que la major part del so es reflecteixi.

d) El camí d'anada és d/cos 10° = 60/0,985 = 60,9 m. L'eco triga t = 2·60,9/1500 = 0,0812 s ≈ 0,081 s (si el fons és pla, en realitat l'eco especular no torna cap a la sonda; el que es rep és el so retrodispersat pel fons irregular).

Errors típics

• Oblidar dividir per 2 el camí recorregut per l'eco.
• Aplicar l'angle límit en el sentit invers (de l'aigua a l'aire): el so, al contrari que la llum, va més de pressa a l'aigua.
• Escriure la llei de Snell per al so amb índexs de refracció de la llum.

Conceptes treballats: reflexió i temps de vol, longitud d'ona i mida dels objectes detectables, refracció del so, llei de Snell amb velocitats, angle límit.

a) λ = v/f = 0,50/4,0 = 0,125 m = 12,5 cm. Temps fins a 4,0 m: t = 4,0/0,50 = 8,0 s.
La fulla puja i baixa (i oscil·la una mica endavant i enrere) però no és arrossegada: una ona transporta energia, no matèria. Per això la fulla no s'acosta a la vora.

b) Si no hi ha absorció, la potència P que transporta el front es conserva. Repartida en una circumferència: I = P/(2π·r). Com que I ∝ A²: A² ∝ 1/r → A ∝ 1/√r.
A(r)/A(1 m) = √(1,0/r) → 1,0/2,0 = √(1,0/r) → r = 4,0 m. Per reduir l'amplitud a la meitat cal anar 4 vegades més lluny.

c) En una ona esfèrica, I = P/(4π·r²) → A ∝ 1/r: l'amplitud es redueix a la meitat a 2,0 m. Les ones a la superfície s'afebleixen molt més lentament (1/√r en lloc d'1/r) perquè l'energia només s'escampa en dues dimensions; per això les onades d'un vaixell o d'una pedra es veuen lluny del punt on s'han generat.

d) λ' = 0,50/8,0 = 6,3·10^-2 m: la longitud d'ona es redueix a la meitat. Amb la mateixa amplitud, l'energia per unitat de massa d'aigua oscil·lant (∝ A²·ω²) es multiplica per 4, i la potència transportada també: cal llançar les pedretes amb més energia.

Errors típics

• Aplicar A ∝ 1/r (ona esfèrica) a una ona que s'escampa sobre una superfície.
• Pensar que les ones transporten l'aigua (i la fulla) cap a la vora.
• Oblidar que l'energia d'una ona depèn del quadrat de la freqüència a més del quadrat de l'amplitud.

Conceptes treballats: ones circulars i esfèriques, conservació de l'energia en la propagació, relació entre intensitat i amplitud, transport d'energia sense transport de matèria, relació v = λ·f.