Exercicis d'òptica — Física 2n Batxillerat

L'angle de reflexió és igual a l'angle d'incidència, tots dos mesurats respecte de la normal. A més, el raig incident, el reflectit i la normal són en el mateix pla.

No. Els rajos rectes expliquen la reflexió, la refracció i les imatges de lents i miralls, però no que la llum es doblegui vora les vores. La difracció (i la interferència) només s'expliquen amb el caràcter ondulatori de la llum, que és el que estudia l'òptica física.

La difracció és apreciable quan l'obertura té una mida semblant a la longitud d'ona. Les ones de so fan de centímetres a metres, com una porta. La llum visible fa uns 500 nm, milions de vegades menys, i per això la porta no la difracta de manera visible.

L'índex de refracció és el quocient entre la velocitat de la llum al buit i en el medi: n = c/v → v = c/n = 3·10⁸/1,5 = 2·10⁸ m/s.
La freqüència no canvia en passar d'un medi a un altre (la fixa la font): f = c/λ₀ = 3·10⁸/(600·10^-9) = 5·10¹⁴ Hz.
Com que v = λ·f, la longitud d'ona dins del vidre es redueix: λ = v/f = 2·10⁸/(5·10¹⁴) = 4·10^-7 m = 400 nm (equivalentment, λ = λ₀/n = 600/1,5 = 400 nm).
Error típic: pensar que el color canvia dins del vidre. El color que percebem depèn de la freqüència, que es manté.

L'angle límit és l'angle d'incidència per al qual l'angle de refracció val 90°. Per la llei de Snell: n₁·sin θ_L = n₂·sin 90° → sin θ_L = n₂/n₁ = 1/1,33 = 0,752.
θ_L = arcsin 0,752 = 48,8°. Per a incidències superiors a 48,8° des de dins de l'aigua, tota la llum es reflecteix.
De l'aire a l'aigua no hi pot haver reflexió total: la llum passa a un medi amb més índex de refracció, el raig s'acosta a la normal i sempre existeix raig refractat. La reflexió total només és possible quan la llum va d'un medi de més índex a un de menys índex.

La potència d'una lent és la inversa de la distància focal imatge expressada en metres: P = 1/f' → f' = 1/P = 1/(−2) = −0,5 m = −50 cm.
El signe negatiu indica que la lent és divergent (focus imatge virtual: els raigs paral·lels se separen després de travessar-la).
Les lents divergents corregeixen la miopia: l'ull miop forma la imatge dels objectes llunyans davant de la retina, i la lent divergent fa que els raigs arribin menys convergents perquè la imatge es formi just a la retina.
Recorda: f' en metres per obtenir diòptries; si l'escrius en cm t'equivocaràs d'un factor 100.

En un mirall pla la imatge es forma a la mateixa distància del mirall que l'objecte, però darrere seu: la imatge és a 1,5 m darrere del mirall, és a dir, a 1,5 + 1,5 = 3 m de la persona.
La imatge és virtual (es forma per les prolongacions dels raigs reflectits i no es pot recollir en una pantalla), dreta, de la mateixa mida que l'objecte i amb inversió lateral (esquerra-dreta).
Si la persona s'acosta 0,5 m, queda a 1,0 m del mirall i la imatge a 1,0 m darrere: la distància persona-imatge passa de 3 m a 2 m. La imatge s'acosta 1 m a la persona (el doble del que ella s'ha mogut).

Totes es propaguen al buit a c = 3·$10^{8}$ m/s, de manera que a més longitud d'ona, menys freqüència (c = λ·f).
De més a menys longitud d'ona: ones de ràdio FM (metres) > microones (centímetres a mil·límetres) > infraroig (micròmetres) > llum verda (uns 530 nm) > ultraviolat (desenes a centenars de nanòmetres) > raigs X (nanòmetres a picòmetres).
L'energia d'un fotó és E = h·f, proporcional a la freqüència: els fotons més energètics són els dels raigs X, que tenen la longitud d'ona més petita i la freqüència més gran. Per això són ionitzants i cal protegir-se'n.

a) Falsa. L'índex de refracció del vidre és més gran per a la llum blava (freqüència més alta) que per a la vermella; per això la blava es desvia més i es produeix la dispersió de la llum blanca.
b) Certa. n = $\tfrac{c}{v}$ i la llum no pot anar més de pressa en un medi material que al buit: v < c, així que n > 1 (a l'aire, n ≈ 1,0003).
c) Certa. La freqüència la determina la font; en canviar de medi varien la velocitat i la longitud d'ona, però no la freqüència.
d) Certa. Per a angles d'incidència superiors a l'angle límit, la llei de Snell exigiria sin $θ_{2}$ > 1, cosa impossible: tota l'energia es reflecteix i no hi ha raig refractat.

Apliquem la llei de Snell: n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ → 1·sin 45° = n₂·sin 30°.
n₂ = sin 45°/sin 30° = 0,707/0,5 = 1,41 (exactament √2).
Velocitat en el líquid: v = c/n = 3·10⁸/1,41 = 2,12·10⁸ m/s.
Comprovació: el raig s'ha acostat a la normal (de 45° a 30°), com ha de passar en entrar en un medi amb més índex de refracció.

Apliquem n = $\tfrac{c}{v}$.
n = 3·$\tfrac{10^{8}}{(2{,}25\cdot 10^{8})} = 1{,}33$.
És, de fet, l'índex de l'aigua.

Perquè un mirall convex és divergent: dona sempre una imatge virtual, dreta i més petita que l'objecte. A canvi de fer-la més petita, abasta molt més camp de visió (es veu més tros de carretera), que és el que interessa en un retrovisor. El preu és que els objectes semblen més lluny del que són (per això alguns porten l'avís 'els objectes són més a prop del que semblen').

La difracció: la llum es desvia vora les vores de l'escletxa i s'escampa cap a la zona que, segons els rajos rectes, seria d'ombra. És un comportament d'ona.

Que la llum és una ona. En passar per dues escletxes properes, els dos feixos interfereixen i formen una sèrie de franges brillants i fosques alternades a la pantalla, cosa que només té sentit si la llum és una ona capaç d'interferir amb ella mateixa.

a) Llei de Snell a la cara d'entrada: 1·sin 30° = 1,5·sin θ₂ → sin θ₂ = 0,5/1,5 = 0,333 → θ₂ = 19,5°.
b) La paret lateral és perpendicular a la cara d'entrada, de manera que l'angle d'incidència sobre la paret (mesurat des de la seva normal) és θ₃ = 90° − 19,5° = 70,5°.
Angle límit vidre-aire: sin θ_L = 1/1,5 = 0,667 → θ_L = 41,8°.
Com que 70,5° > 41,8°, el raig pateix reflexió total a la paret: no surt de la fibra i va avançant per reflexions successives. Aquest és el principi de funcionament de les fibres òptiques de les telecomunicacions.

Distància focal: f = R/2 = −40/2 = −20 cm (criteri de signes DIN: l'objecte i el centre de curvatura d'un mirall còncau són davant del mirall, distàncies negatives; s = −30 cm).
Equació dels miralls: 1/s' + 1/s = 1/f → 1/s' = 1/(−20) − 1/(−30) = −3/60 + 2/60 = −1/60 → s' = −60 cm.
Augment: M = −s'/s = −(−60)/(−30) = −2.
La imatge és a 60 cm davant del mirall (mateix costat que l'objecte): és real (es pot recollir en una pantalla), invertida (M < 0) i el doble de gran que l'objecte (|M| = 2).
Comprovació: l'objecte és entre el focus (20 cm) i el centre de curvatura (40 cm); en aquest cas la imatge és real, invertida, més gran i més enllà del centre, com hem obtingut.

Mirall convex: el centre de curvatura és darrere del mirall, així que R = +100 cm i f = R/2 = +50 cm. Objecte: s = −200 cm.
1/s' = 1/f − 1/s = 1/50 + 1/200 = 5/200 = 1/40 → s' = +40 cm.
Augment: M = −s'/s = −40/(−200) = +0,2.
La imatge es forma 40 cm darrere del mirall: és virtual, dreta (M > 0) i cinc vegades més petita que la bicicleta.
Com que la imatge és molt reduïda, el cervell interpreta que l'objecte és més lluny del que realment és; per això s'avisa el conductor. A canvi, el mirall convex ofereix un camp de visió molt més ampli que un de pla.

Imatge real, invertida i doble: augment M = s'/s = −2 → s' = −2s.
Equació de les lents primes: 1/s' − 1/s = 1/f' → 1/(−2s) − 1/s = 1/10 → −3/(2s) = 1/10 → s = −15 cm.
Posició de la imatge: s' = −2·(−15) = +30 cm.
L'objecte s'ha de posar a 15 cm de la lent (entre f' i 2f') i la pantalla a 30 cm, a l'altre costat de la lent.
Comprovació: 1/30 − 1/(−15) = 1/30 + 2/30 = 3/30 = 1/10 = 1/f'.

a) Primera cara: 1·sin 45° = 1,5·sin θ₂ → sin θ₂ = 0,707/1,5 = 0,471 → θ₂ = 28,1°.
b) Com que les cares són paral·leles, el raig arriba a la segona cara amb el mateix angle θ₂ = 28,1°. Snell: 1,5·sin 28,1° = 1·sin θ₃ → sin θ₃ = 1,5·0,471 = 0,707 → θ₃ = 45°. El raig surt amb el mateix angle amb què ha entrat: és paral·lel a l'incident, només queda desplaçat lateralment.
c) Recorregut dins del vidre: L = e/cos θ₂ = 6/cos 28,1° = 6/0,882 = 6,80 cm = 0,068 m. Velocitat al vidre: v = c/n = 2·10⁸ m/s.
t = L/v = 0,068/(2·10⁸) = 3,4·10^-10 s.

La lent ha de formar, de l'objecte situat a 25 cm, una imatge virtual al punt pròxim (100 cm), que és on l'ull sí que pot enfocar: s = −25 cm i s' = −100 cm (imatge virtual, al mateix costat que l'objecte).
Equació de les lents: 1/f' = 1/s' − 1/s = −1/100 + 1/25 = −1/100 + 4/100 = 3/100 → f' = 33,3 cm = 0,333 m.
Potència: P = 1/f' = 1/0,333 = +3 D.
Són lents convergents (f' > 0): la hipermetropia es corregeix amb lents convergents, que ajuden l'ull a fer convergir sobre la retina els raigs dels objectes pròxims.

Llei de Snell per a cada color (sin 50° = 0,766):
Vermell: sin θ_v = 0,766/1,51 = 0,507 → θ_v = 30,5°.
Blau: sin θ_b = 0,766/1,53 = 0,501 → θ_b = 30,1°.
Angle entre els dos raigs refractats: 30,49° − 30,05° = 0,44°. El blau es desvia més (s'acosta més a la normal) perquè té l'índex de refracció més gran.
El fenomen és la dispersió: l'índex de refracció depèn de la freqüència, de manera que la llum blanca se separa en colors; és el que passa en un prisma o a les gotes d'aigua que formen l'arc de Sant Martí.

Apliquem Snell: n₁·sin(θ₁) = n₂·sin(θ₂).
sin(θ₂) = n₁·sin(θ₁)/n₂ = 1·sin(45°)/1,5 = 0,707/1,5 = 0,471.
θ₂ = 28° (aprox.). En entrar al vidre (medi més dens), el raig s'ha acostat a la normal (de 45° a 28°).

Criteri DIN: s = -10 cm, f' = +20 cm.
1/s' = 1/f' + 1/s = 1/20 + 1/(-10) = 1/20 - 2/20 = -1/20, d'on s' = -20 cm.
Augment: β = s'/s = (-20)/(-10) = +2.
La imatge és virtual (s' < 0, al mateix costat que l'objecte), dreta (β > 0) i el doble de gran (|β| = 2). És exactament el que fa una lupa.

Criteri DIN: s = -60 cm, f' = +20 cm.
1/s' = 1/f' + 1/s = 1/20 + 1/(-60) = 3/60 - 1/60 = 2/60 = 1/30, d'on s' = 30 cm.
Augment: β = s'/s = 30/(-60) = -0,5.
La imatge és real (s' > 0), a 30 cm a la dreta, invertida (β < 0) i més petita (|β| = 0,5, la meitat). És el cas típic d'una càmera de fotos: objecte lluny, imatge real, invertida i reduïda.

a) f' = 1/P = 1/(−5) = −0,2 m = −20 cm. Lent divergent (f' < 0).
b) s = −20 cm. 1/s' = 1/f' + 1/s = −1/20 − 1/20 = −1/10 → s' = −10 cm. Augment: M = s'/s = (−10)/(−20) = +0,5 → y' = 0,5·2 = 1 cm.
La imatge és a 10 cm de la lent, al mateix costat que l'objecte: virtual, dreta i la meitat de gran (1 cm).
c) No: una imatge virtual es forma per les prolongacions dels raigs, no hi arriben els raigs reals i, per tant, no es pot recollir en una pantalla; només es veu mirant a través de la lent.
d) No. Per a un objecte real (s < 0) i una lent divergent (f' < 0), 1/s' = 1/f' + 1/s és la suma de dos nombres negatius, així que s' < 0 sempre: la imatge és sempre virtual, dreta i més petita, sigui on sigui l'objecte.

a) Aire-oli: 1·sin 40° = 1,45·sin θ_o → sin θ_o = 0,643/1,45 = 0,443 → θ_o = 26,3°.
b) Oli-aigua (les dues superfícies són paral·leles, així que el raig arriba a l'aigua amb 26,3°): 1,45·sin 26,3° = 1,33·sin θ_a → sin θ_a = 0,643/1,33 = 0,483 → θ_a = 28,9°.
c) Encadenant les dues lleis de Snell: n_aire·sin 40° = n_oli·sin θ_o = n_aigua·sin θ_a. El terme de l'oli desapareix: sin θ_a = sin 40°/1,33, independent de n_oli; la capa d'oli només desplaça lateralment el raig.
d) De l'aigua (n = 1,33) a l'oli (n = 1,45) la llum passa a un medi amb més índex: el raig s'acosta a la normal i sempre hi ha refracció; no hi pot haver reflexió total. En sentit contrari (oli → aigua) sí que n'hi pot haver: sin θ_L = 1,33/1,45 = 0,917 → θ_L = 66,5°.

a) Imatge virtual a s' = −25 cm. Equació de les lents: 1/s = 1/s' − 1/f' = −1/25 − 1/5 = −1/25 − 5/25 = −6/25 → s = −25/6 = −4,17 cm. El segell ha de ser a 4,17 cm de la lent, dins de la distància focal.
b) M = s'/s = (−25)/(−4,17) = +6: la imatge és dreta i sis vegades més gran.
c) Perquè els raigs surtin paral·lels (imatge a l'infinit) l'objecte s'ha de posar al focus objecte: s = −f' = −5 cm.
d) Amb l'objecte dins de la distància focal, la lupa dona una imatge virtual: els raigs que surten de la lent divergeixen i només semblen venir de la imatge. No hi ha cap punt on es concentrin, i per això no es pot recollir en una pantalla; només la veu un ull que miri a través de la lent.

a) Entre la franja 1 i l'11 hi ha 10 interfranges: Δy = 3,0 cm/10 = 0,30 cm = 3,0·10^-3 m.
Per a angles petits, la separació entre màxims consecutius és Δy = λ·L/d → λ = Δy·d/L = (3,0·10^-3·0,2·10^-3)/1,0 = 6,0·10^-7 m = 600 nm, llum taronja-vermellosa del visible.
b) Dins de l'aigua la freqüència no canvia, però la longitud d'ona es redueix: λ' = λ/n = 600/1,33 = 451 nm.
Nova interfranja: Δy' = λ'·L/d = Δy/n = 3,0/1,33 = 2,26 mm. Les franges queden més juntes: la interferència depèn de la longitud d'ona en el medi on es produeix.
Error típic: oblidar que entre n franges hi ha n − 1 interfranges.

a) Lent 1: s₁ = −30 cm, f'₁ = 20 cm. 1/s'₁ = 1/20 − 1/30 = 1/60 → s'₁ = +60 cm. M₁ = 60/(−30) = −2: imatge real, invertida i doble, 60 cm a la dreta de la lent 1.
b) Aquesta imatge seria 60 − 40 = 20 cm a la dreta de la lent 2, és a dir, els raigs arriben a la lent 2 convergint cap a un punt situat darrere seu: és un objecte virtual per a la lent 2, amb s₂ = +20 cm.
Lent 2: 1/s'₂ = 1/f'₂ + 1/s₂ = −1/30 + 1/20 = −2/60 + 3/60 = 1/60 → s'₂ = +60 cm (60 cm a la dreta de la lent divergent, a 100 cm de la primera). M₂ = s'₂/s₂ = 60/20 = +3.
Augment total: M = M₁·M₂ = (−2)·3 = −6.
c) La imatge final és real (s'₂ > 0, es pot recollir en una pantalla), invertida respecte de l'objecte i sis vegades més gran. Fixa't que la lent divergent, amb un objecte virtual, sí que ha pogut donar una imatge real.

f = R/2 = −30 cm (mirall còncau, criteri DIN). Augment d'un mirall: M = −s'/s.
a) Imatge dreta i triple: M = +3 → s' = −3s. Equació del mirall: 1/s' + 1/s = 1/f → −1/(3s) + 1/s = 2/(3s) = −1/30 → s = −20 cm. Llavors s' = +60 cm: la imatge es forma 60 cm darrere del mirall, és virtual i dreta. L'objecte és entre el mirall i el focus (20 cm < 30 cm).
b) Imatge invertida i triple: M = −3 → s' = 3s. 1/(3s) + 1/s = 4/(3s) = −1/30 → s = −40 cm i s' = −120 cm: imatge real, invertida, 120 cm davant del mirall. L'objecte és entre el focus (30 cm) i el centre de curvatura (60 cm).
c) El mirall d'afaitar correspon al cas a): la cara es posa més a prop del mirall que el focus i es veu una imatge virtual, dreta i ampliada. Si ens allunyem més enllà del focus, la imatge es torna invertida (cas b) i deixa de ser útil.
Comprovació del cas a): 1/60 + 1/(−20) = 1/60 − 3/60 = −2/60 = −1/30 = 1/f.

a) sin θ_L = n₂/n₁ = 1,46/1,48 = 0,9865 → θ_L = 80,6°.
La reflexió total només es dona quan la llum passa a un medi d'índex menor (on aniria més de pressa i s'allunyaria de la normal). Si el revestiment tingués un índex més gran, la llum hi passaria per refracció i es perdria.

b) El raig límit incideix a la interfície amb 80,6° respecte a la normal, és a dir, forma 90° - 80,6° = 9,4° amb l'eix. A l'entrada: 1,00·sin θ_a = 1,48·sin 9,4° = √(n₁² - n₂²) = √(1,48² - 1,46²) = 0,242 → θ_a = 14,0°. La llum que entra amb més de 14,0° respecte a l'eix no queda atrapada.

c) Velocitat al nucli: v = c/n₁ = 2,03·10⁸ m/s. Raig axial: t₁ = L·n₁/c = 1,00·10⁴·1,48/3,00·10⁸ = 4,933·10^-5 s = 49,33 µs.
El raig més inclinat recorre en zig-zag un camí L/sin θ_L (cada tram forma 9,4° amb l'eix): t₂ = t₁/sin θ_L = t₁·n₁/n₂ = 50,01 µs.

d) Δt = t₂ - t₁ = 0,68 µs. Un pols curt que entra a la fibra surt eixamplat uns 0,7 µs, perquè la llum que el forma ha seguit camins de longitud diferent. Si dos polsos estan separats menys d'aquest temps, se superposen i el receptor no els distingeix: com a màxim 1/Δt ≈ 1,5·10⁶ polsos per segon (uns 1,5 Mbit/s en 10 km).
Com que Δt és proporcional a la longitud, en distàncies llargues el problema s'agreuja. En una fibra monomode el nucli és tan estret que només es propaga un mode (pràcticament el raig axial) i aquest eixamplament desapareix.

Errors típics

• Calcular l'angle d'acceptació aplicant Snell amb l'angle límit directament, sense passar al complementari.
• Pensar que la reflexió total depèn de l'índex del nucli respecte a l'aire i no respecte al revestiment.
• Fer servir la velocitat de la llum al buit per calcular els temps dins la fibra.

Conceptes treballats: llei de Snell, angle límit i reflexió total, angle d'acceptació d'una fibra, velocitat de la llum en un medi, transmissió d'informació per fibra òptica.

a) Un raig que surt del focus amb un angle θ₁ petit arriba a la superfície a una distància x = h·tg θ₁ de la vertical. Surt amb un angle θ₂ i l'ull el veu venir d'un punt a profunditat h' amb x = h'·tg θ₂. Per tant h' = h·tg θ₁/tg θ₂ ≈ h·sin θ₁/sin θ₂ = h·n_aire/n_aigua.
h' = 2,00/1,33 = 1,50 m: el focus sembla 50 cm més amunt del que és (per això les piscines semblen menys fondes).

b) Els raigs que arriben a la superfície amb un angle més gran que l'angle límit es reflecteixen totalment cap a l'aigua. sin θ_L = 1,00/1,33 → θ_L = 48,8°. Només surt la llum que arriba dins d'un con de semiangle θ_L: R = h·tg θ_L = 2,00·tg 48,8° = 2,28 m.

c) No canvia. A cada superfície de separació es conserva n·sin θ: n_aigua·sin θ_aigua = n_oli·sin θ_oli = n_aire·sin θ_aire. La condició per sortir a l'aire (sin θ_aire ≤ 1) continua essent n_aigua·sin θ_aigua ≤ 1, la mateixa que sense oli. L'oli, a més, té índex més gran que l'aigua, de manera que a la interfície aigua-oli no hi ha reflexió total. (La capa és fina: el desplaçament horitzontal dins l'oli és negligible.)

d) Vermell: θ_L = arcsin(1/1,331) = 48,70° → R = 2,00·tg 48,70° = 2,277 m. Violeta: θ_L = arcsin(1/1,343) = 48,12° → R = 2,231 m.
El cercle del violeta és uns 5 cm més petit: a la franja exterior només hi arriba la llum de longitud d'ona més llarga, i la vora del cercle es veu vermellosa. És un efecte de la dispersió (l'índex depèn de la longitud d'ona).

Errors típics

• Calcular la profunditat aparent multiplicant per n en lloc de dividir-hi.
• Calcular el radi amb sin θ_L o amb el cosinus en lloc de la tangent.
• Pensar que una capa intermèdia de més índex permet que surti més llum: la condició de sortida només depèn dels medis inicial i final.

Conceptes treballats: llei de Snell, profunditat aparent, angle límit i reflexió total, capes paral·leles, dispersió de la llum.

a) En entrar perpendicularment no hi ha refracció. La hipotenusa forma 45° amb el catet, de manera que la llum hi arriba amb un angle d'incidència de 45° respecte a la normal.
Angle límit vidre-aire: sin θ_L = 1,00/1,52 = 0,658 → θ_L = 41,1°. Com que 45° > 41,1°, hi ha reflexió total. El feix reflectit surt perpendicular a l'altre catet: s'ha desviat 90°.

b) Cal θ_L ≤ 45°: sin θ_L = 1/n ≤ sin 45° → n ≥ 1/sin 45° = √2 = 1,41. Qualsevol vidre òptic habitual (n ≈ 1,5) ho compleix.

c) Angle límit vidre-aigua: sin θ_L = 1,33/1,52 = 0,875 → θ_L = 61,0°. Ara 45° < 61,0°: no hi ha reflexió total i la major part de la llum surt per la hipotenusa.
1,52·sin 45° = 1,33·sin θ → sin θ = 0,808 → θ = 53,9° respecte a la normal de la hipotenusa. El prisma ja no fa de mirall: caldria metal·litzar-ne la hipotenusa.

d) La reflexió total reflecteix pràcticament el 100 % de la llum, mentre que un mirall metàl·lic n'absorbeix un percentatge apreciable (i més a cada reflexió, en un sistema amb diverses). A més, la superfície que reflecteix és dins del vidre i no s'oxida ni es ratlla.

Errors típics

• Prendre l'angle entre el raig i la superfície (45°) com si fos l'angle amb la normal sense comprovar-ho (aquí coincideixen, però no en general).
• Calcular l'angle límit sota l'aigua amb 1/n_vidre, com a l'aire.
• Dir que la llum es refracta en entrar al prisma tot i que incideix perpendicularment.

Conceptes treballats: llei de Snell, angle límit, reflexió total, prismes de reflexió total, instruments òptics.

a) L'ull miop convergeix massa i forma la imatge dels objectes llunyans davant de la retina: cal una lent divergent. La lent ha de donar d'un objecte a l'infinit (s → -∞) una imatge virtual al punt remot: s' = -0,40 m → 1/f' = 1/s' = -2,5 m^-1 → P = -2,5 D.

b) Ara el punt remot és a 40 - 2,0 = 38 cm de la lent: f' = -0,38 m → P = -2,6 D. La lent és més lluny de l'ull i ha de tenir una focal més curta (més potència en valor absolut) per formar la imatge al mateix punt. Per això les graduacions de les ulleres i de les lents de contacte no són idèntiques en miopies importants.

c) La imatge ha de quedar al punt pròxim: s' = -0,15 m; f' = -0,40 m. 1/s = 1/s' - 1/f' = -6,67 + 2,50 = -4,17 m^-1 → s = -0,24 m. El punt pròxim s'allunya de 15 cm a 24 cm: per llegir de prop ha d'allunyar el llibre una mica (molts miops es treuen les ulleres per llegir).
Amb -3,0 D (f' = -0,33 m), un objecte llunyà donaria la imatge a 33 cm, més a prop que el punt remot: el veuria nítid però l'ull hauria d'acomodar contínuament, cosa que cansa (sobrecorrecció).

d) Per a un objecte real (s < 0) i una lent divergent (f' < 0): 1/s' = 1/f' + 1/s és la suma de dos nombres negatius, de manera que s' < 0 sempre (imatge virtual), i l'augment β = s'/s > 0 (dreta). Per tant, a qualsevol distància la imatge és virtual, dreta i més petita: no hi ha cap distància límit.

Errors típics

• Fer servir una lent convergent per corregir la miopia.
• Posar s' = +0,40 m (imatge real) en lloc de -0,40 m: la imatge que forma la lent divergent és virtual, al mateix costat que l'objecte.
• Oblidar restar la distància lent-ull quan les ulleres no estan enganxades a l'ull.

Conceptes treballats: lents primes divergents, equació de les lents, potència en diòptries, punt remot i punt pròxim, correcció de la miopia, criteri de signes DIN.

a) s' = +4,00 m, f' = 0,120 m: 1/s = 1/s' - 1/f' = 0,250 - 8,333 = -8,083 m^-1 → s = -0,1237 m: la pantalla LCD és a 12,37 cm de la lent, just una mica més enllà del focus.
β = s'/s = 4,00/(-0,1237) = -32,3. Amplada de la imatge: 32,3·2,40 = 77,6 cm.

b) β < 0: la imatge és invertida, tant verticalment com horitzontalment (és un gir de 180°). Per tant, la imatge s'ha de posar a la pantalla LCD girada 180° (cap per avall i amb l'esquerra i la dreta intercanviades) perquè a la paret quedi ben orientada.

c) s' = 6,00 m: 1/s = 0,1667 - 8,333 = -8,167 m^-1 → s = -0,1224 m = 12,24 cm. La lent s'ha d'acostar a la pantalla LCD 12,37 - 12,24 = 0,13 cm ≈ 1,3 mm (per això l'anell d'enfocament es mou tan poc).
β = 6,00/(-0,1224) = -49,0 → amplada 49,0·2,40 = 118 cm. En allunyar el projector la imatge es fa més gran.

d) Si l'objecte és entre el focus i la lent (|s| < f'), 1/s' = 1/f' + 1/s < 0: la imatge és virtual (com en una lupa) i no es pot projectar sobre cap paret. Una imatge real només existeix si |s| > f', i com més a prop sigui |s| de f', més lluny i més gran és la imatge.

Errors típics

• Prendre s positiva (objecte real) amb el criteri DIN, que obliga a fer-la negativa.
• Arrodonir s massa aviat: la diferència entre 12,37 cm i 12,24 cm desapareix si es treballa amb només dues xifres.
• Dir que la imatge està només capgirada verticalment: una lent inverteix en les dues direccions.

Conceptes treballats: lents primes convergents, equació de les lents, augment lateral, imatges reals i virtuals, projector, enfocament.

a) La imatge dels peus és a la mateixa distància darrere del mirall que els peus davant. El raig que arriba als ulls des dels peus es reflecteix en un punt del mirall a mig camí en altura entre els peus (0) i els ulls (1,68 m): a 0,84 m del terra. El raig del cap (1,80 m) es reflecteix a mig camí entre 1,80 m i 1,68 m: a 1,74 m.
Alçada mínima: 1,74 - 0,84 = 0,90 m = 1,80/2. Tots els punts de reflexió són a la meitat de la distància vertical, sigui quina sigui la distància horitzontal (els triangles semblants tenen raó 1/2), i per això el resultat no depèn de la distància al mirall.

b) La imatge és sempre a la mateixa distància del mirall que la persona: si la persona s'hi acosta a 1,2 m/s, la imatge també s'acosta al mirall a 1,2 m/s des de l'altra banda (respecte al terra, en sentit contrari). Respecte a la persona, la distància persona-imatge (2d) disminueix a 2·1,2 = 2,4 m/s.

c) Si el mirall gira α, la normal gira α. L'angle d'incidència passa de θ a θ + α i, per la llei de la reflexió, l'angle de reflexió també: l'angle entre el raig incident (fix) i el reflectit passa de 2θ a 2θ + 2α. El raig reflectit gira 2α.
Amb α = 5,0°, el raig gira 10,0° i el punt de llum es desplaça x = 3,00·tg 10,0° = 0,53 m. Aquesta duplicació, juntament amb el «braç» llarg de 3 m, fa que girs molt petits del mirall siguin fàcils de mesurar.

Errors típics

• Pensar que, si t'allunyes del mirall, et pots veure sencer en un mirall més petit.
• Dir que la imatge s'acosta a la persona a 1,2 m/s, oblidant que les dues distàncies al mirall canvien alhora.
• Dir que el raig reflectit gira el mateix angle que el mirall.

Conceptes treballats: mirall pla, llei de la reflexió, formació d'imatges, diagrames de raigs, moviment relatiu, amplificació òptica d'angles.

a) Vermell (n = 1,513): sin r₁ = sin 45,0°/1,513 = 0,4673 → r₁ = 27,86°; r₂ = 60,0 - 27,86 = 32,14°; sin e = 1,513·sin 32,14° = 0,8048 → e = 53,59°.
Violeta (n = 1,532): sin r₁ = 0,4616 → r₁ = 27,49°; r₂ = 32,51°; sin e = 1,532·sin 32,51° = 0,8234 → e = 55,43°.
(Cap dels dos pateix reflexió total a la segona cara: els angles límit són 41,4° i 40,7°, més grans que r₂.)

b) δ_vermell = 45,0 + 53,59 - 60,0 = 38,6°; δ_violeta = 45,0 + 55,43 - 60,0 = 40,4°. Separació angular: 40,43 - 38,59 = 1,8°.
El violeta es desvia més perquè té un índex més gran: dins del vidre va més a poc a poc (v = c/n) que el vermell, i en cada refracció es desvia més. Aquesta dependència de n amb la longitud d'ona (dispersió) és la que separa els colors.

c) v = c/n = 3,00·10⁸/1,513 = 1,98·10⁸ m/s; λ_vidre = λ₀/n = 700/1,513 = 463 nm.
El color no canvia: la freqüència f = c/λ₀ = 4,29·10¹⁴ Hz es manté en canviar de medi, i és la freqüència (l'energia de cada fotó) el que determina el color que detecta la retina. Que la longitud d'ona dins el vidre sigui 463 nm no el fa «blau».

d) En un arc de Sant Martí, cada gota d'aigua fa de prisma: la llum del Sol es refracta en entrar a la gota, es reflecteix a la part del darrere i es torna a refractar en sortir. Com que l'índex de l'aigua també depèn del color, cada color surt amb un angle diferent respecte a la direcció de la llum solar (uns 42° el vermell i uns 40° el violeta), i l'observador veu cada color des de gotes situades a alçades diferents: el vermell a fora de l'arc i el violeta a dins.

Errors típics

• Arrodonir els angles a graus enters: la separació entre colors (menys de 2°) desapareix.
• Pensar que el vermell es desvia més perquè té una longitud d'ona més llarga.
• Dir que el color de la llum canvia dins del vidre perquè canvia la longitud d'ona.

Conceptes treballats: llei de Snell, prisma, desviació, dispersió de la llum, índex de refracció i velocitat, conservació de la freqüència, arc de Sant Martí.

a) E = h·c/λ = 6,63·10^-34·3,00·10⁸/532·10^-9 = 3,74·10^-19 J = 2,34 eV.
Fotons per segon: N = P/E = 5,0·10^-3/3,74·10^-19 = 1,3·10¹⁶ fotons/s.

b) Àrea del feix: π·(0,75·10^-3)² = 1,77·10^-6 m². I = 5,0·10^-3/1,77·10^-6 = 2,8·10³ W/m², gairebé el triple que la llum solar directa.
A més, el feix d'un làser és pràcticament paral·lel i el cristal·lí el focalitza en un punt de la retina d'unes poques micres: la intensitat sobre la retina pot ser milers de vegades més gran i cremar-la en una fracció de segon, abans que el reflex de parpelleig actuï.

c) v = c/n = 3,00·10⁸/1,33 = 2,26·10⁸ m/s; λ = 532/1,33 = 400 nm; f = c/λ₀ = 5,64·10¹⁴ Hz (la mateixa que a l'aire).
L'energia de cada fotó és E = h·f i no canvia, perquè la freqüència no canvia: un detector submergit continuaria rebent fotons de 2,34 eV (llum verda), tot i que la longitud d'ona a l'aigua sigui de 400 nm.

d) Un fotó vermell (λ més llarga, f més petita) té menys energia que un de verd. Amb la mateixa potència, el làser vermell ha d'emetre més fotons per segon (per exemple, a 650 nm, 650/532 ≈ 1,2 vegades més).

Errors típics

• Calcular l'energia del fotó amb la longitud d'ona dins de l'aigua (h·c/400 nm), com si el color canviés.
• Confondre la potència (W) amb l'energia (J) en calcular el nombre de fotons.
• Fer servir el diàmetre com a radi en calcular l'àrea del feix.

Conceptes treballats: energia del fotó, espectre electromagnètic, potència i nombre de fotons, intensitat, refracció i conservació de la freqüència, seguretat amb làsers.

a) Per a s → -∞, s' = f' = 4,00 mm: el sensor ha d'estar al pla focal.
Per a s = -2,00 m: 1/s' = 1/f' + 1/s = 250 - 0,500 = 249,5 m^-1 → s' = 4,008 mm. La lent s'ha d'allunyar del sensor 0,008 mm = 8 µm.

b) β = s'/s = 4,008·10^-3/(-2,00) = -2,00·10^-3. Imatge: 1,70·2,00·10^-3 = 3,4·10^-3 m = 3,4 mm (invertida). Com que el sensor fa 4,8 mm, hi cap sencera.

c) s = -0,100 m: 1/s' = 250 - 10,0 = 240 m^-1 → s' = 4,167 mm. Desplaçament: 0,167 mm, unes 20 vegades més que per a la persona a 2 m.
Com que 1/s' = 1/f' + 1/s i 1/s és molt petit quan l'objecte és lluny, s' gairebé no canvia per a objectes llunyans (pocs µm); quan |s| s'acosta a f', el terme 1/s pesa molt i la imatge s'allunya ràpidament. Per això els mòbils necessiten un mode macro i tenen una distància mínima d'enfocament.

d) Si |s| = 3 mm < f' = 4 mm, l'objecte és dins de la distància focal i 1/s' = 250 - 333 < 0: la imatge és virtual (al mateix costat que l'objecte) i no es pot recollir en cap sensor.

Errors típics

• Pensar que per enfocar objectes més propers cal acostar la lent al sensor: cal allunyar-la.
• Barrejar mil·límetres i metres a l'equació de les lents.
• Dir que la imatge al sensor és dreta: és real i, per tant, invertida (el programari del mòbil la gira).

Conceptes treballats: lents primes convergents, equació de les lents, augment lateral, enfocament, imatges reals i virtuals, càmera fotogràfica.

a) Si amb l'objecte a una distància a i la imatge a b la imatge és nítida, invertint el sentit dels raigs l'objecte a b dona la imatge a a. Per tant, si una posició de la lent compleix a + b = D, la posició amb les distàncies intercanviades també: són les dues posicions, simètriques respecte del punt mitjà.

b) Les dues posicions estan separades d = a - b, i a + b = D → a = (D + d)/2, b = (D - d)/2. Amb s = -a i s' = b: 1/f' = 1/b + 1/a = (a + b)/(a·b) = D/[(D² - d²)/4] → f' = (D² - d²)/(4D).
f' = (1,00² - 0,40²)/(4·1,00) = 0,84/4 = 0,21 m = 21 cm.

c) a = 0,70 m, b = 0,30 m. Primera posició (lent a 0,70 m de l'objecte): β₁ = s'/s = 0,30/(-0,70) = -0,43 (imatge invertida i reduïda). Segona (lent a 0,30 m): β₂ = 0,70/(-0,30) = -2,3 (invertida i ampliada). β₁·β₂ = (b/a)·(a/b) = 1.

d) Amb |s| = x i s' = D - x: 1/(D - x) + 1/x = 1/f' → x² - D·x + D·f' = 0. Només hi ha solucions reals si el discriminant és positiu o nul: D² - 4D·f' ≥ 0 → D ≥ 4f'. La distància mínima entre un objecte i la seva imatge real és 4f' (quan a = b = 2f', d = 0). Si la pantalla és més a prop, cap posició de la lent hi forma la imatge.

e) No cal saber on és exactament el centre òptic de la lent (en una lent gruixuda o muntada en un suport no se sap bé): només es mesuren D, que es pot fixar amb precisió, i el desplaçament d de la lent, que no depèn de l'origen que es triï al suport.

Errors típics

• Fer servir s positiva per a l'objecte i obtenir 1/f' = 1/b - 1/a.
• Confondre d (desplaçament entre les dues posicions de la lent) amb la distància de la lent a l'objecte.
• Pensar que sempre es pot trobar una imatge nítida, sigui quina sigui la distància entre l'objecte i la pantalla.

Conceptes treballats: lents primes convergents, equació de les lents, reversibilitat dels camins òptics, augment lateral, mètode experimental de mesura de la distància focal, discriminant d'una equació de segon grau.