Exercicis d'inducció electromagnètica — Física 2n Batxillerat

Segons Φ = B·S·cos(θ): (1) canviant el camp B (per exemple acostant o allunyant un imant), (2) canviant l'àrea S (deformant l'espira o fent-la entrar/sortir d'una zona de camp), i (3) canviant l'angle θ (fent girar l'espira). Qualsevol de les tres indueix corrent.

El corrent induït té el sentit que fa que el seu propi camp magnètic s'oposi a la variació de flux que l'ha produït.

La mateixa que la d'entrada, perquè V₂/V₁ = N₂/N₁ = 1. No canvia la tensió, però aïlla elèctricament els dos circuits, i per això es fa servir com a transformador d'aïllament.

a) En acostar el pol nord, el flux magnètic a través de l'espira augmenta (les línies de camp surten del nord i cada vegada n'hi ha més que travessen l'espira). Segons Lenz, el corrent induït crea un camp que s'oposa a aquest augment: el seu camp ha d'apuntar cap a l'imant, és a dir, l'espira es comporta com un imant amb el pol nord encarat a l'imant. Vist des de l'imant, un camp que apunta cap a l'observador correspon a un corrent antihorari.
b) En allunyar l'imant, el flux disminueix; el corrent induït ara reforça el camp (apunta de l'espira cap enllà de l'imant): l'espira presenta un pol sud a l'imant i el corrent, vist des de l'imant, és horari.
c) Quan s'acosta, dos pols nord s'enfronten i l'espira és repel·lida; quan s'allunya, el sud induït atrau el nord de l'imant: l'espira és atreta. En els dos casos l'efecte s'oposa al moviment de l'imant; per això cal fer força (treball) per moure'l, i aquest treball és l'origen de l'energia elèctrica induïda.

a) Certa. Segons la llei de Faraday, ε = -N·ΔΦ/Δt: la mateixa variació de flux en la meitat de temps dona una fem doble. La fem depèn de la rapidesa amb què varia el flux, no del valor del flux.
b) Certa. Cada espira nota la mateixa variació de flux i les fems de les espires se sumen en sèrie: ε és proporcional a N.
c) Falsa. Amb l'imant quiet el flux pot ser molt gran, però és constant: ΔΦ/Δt = 0 i la fem és nul·la. Només hi ha inducció mentre el flux varia.
Error típic: confondre «molt flux» amb «molta fem».

a) En un transformador ideal, V₂/V₁ = N₂/N₁: V₂ = 230·60/1200 = 11,5 V. És un transformador reductor (relació 20:1).
b) Com que no hi ha pèrdues, P₁ = P₂: V₁·I₁ = V₂·I₂ → I₁ = 11,5·4/230 = 0,2 A. Els corrents van al revés que les tensions: I₁/I₂ = N₂/N₁.
c) P₁ = 230·0,2 = 46 W i P₂ = 11,5·4 = 46 W.
Recorda: el transformador no «crea» energia; redueix la tensió a canvi d'augmentar el corrent.

Primer cas: no. El flux magnètic Φ = B·S·cos θ no canvia, perquè B és uniforme (val el mateix a tot arreu), la superfície de l'espira és la mateixa i l'orientació no varia. Com que ΔΦ/Δt = 0, la fem induïda és nul·la: moure's dins d'un camp no indueix res si el flux no varia.
(Sobre les càrregues de cada costat de l'espira sí que actua una força magnètica, però les fems dels costats oposats es compensen i no circula cap corrent net.)
Segon cas: sí. Encara que l'espira estigui quieta, el flux augmenta perquè B creix: ε = -S·ΔB/Δt ≠ 0, i circula un corrent induït que, per Lenz, crea un camp oposat al creixement de B.
Idea clau: el que importa és la variació del flux, tant si la causa és el moviment com si és el canvi del camp.

Quan la placa entra o surt de la regió del camp, el flux magnètic a través seu varia i s'hi indueixen corrents que circulen en remolins dins del metall: els corrents de Foucault (o corrents paràsits).
Segons la llei de Lenz, aquests corrents s'oposen a la causa que els produeix, el moviment de la placa: la força magnètica sobre ells frena el pèndol. L'energia mecànica es dissipa en forma de calor per efecte Joule dins del coure, i per això s'atura ràpidament.
Si la placa tingués talls (com una pinta), els corrents no es podrien tancar i el frenat seria molt més feble.
Aplicacions: frens magnètics de trens, camions i muntanyes russes (frenen sense fregament ni desgast); cuines d'inducció (els corrents induïts escalfen directament el fons de l'olla); detectors de metalls. I, al revés, els nuclis dels transformadors es fan amb làmines aïllades entre si per reduir aquestes pèrdues.

a) El coeficient d'autoinducció relaciona el flux total amb el corrent que el crea: N·Φ = L·I → L = N·$\tfrac{\Phi}{I} = 500$·4·$\tfrac{10^{-4}}{0{,}8} = 0{,}25$ H.
b) Fem d'autoinducció: ε = -L·ΔI/Δt; en valor absolut, |ε| = 0,25·20 = 5 V. El signe negatiu indica que s'oposa a la variació del corrent (si el corrent augmenta, la fem el frena; si disminueix, el manté).
L només depèn de la geometria de la bobina i del material del nucli, no del corrent: si el corrent es dobla, el flux també, i el quocient no canvia.

Flux inicial: $Φ_{1}$ = B·S = 0,4·0,$10^{2}$ = 4·$10^{-3}$ Wb (θ = 0°, cos 0° = 1). Flux final, fora del camp: $Φ_{2}$ = 0.
Llei de Faraday: |ε| = |ΔΦ|/Δt = 4·$\tfrac{10^{-3}}{0{,}05} = 0{,}08$ V.
Sentit: el flux cap a l'observador disminueix; per Lenz, el corrent induït crea un camp que apunta cap a l'observador per compensar la pèrdua, i això correspon a un corrent antihorari (vist per l'observador).
Recorda que la fem apareix només mentre l'espira està sortint (el flux varia); un cop a fora, deixa d'haver-hi corrent.

Si el pla de l'espira és paral·lel al camp, la normal a la superfície és perpendicular al camp: θ = 90° i cos(90°) = 0.
Φ = B·S·cos(90°) = 0.
Té sentit: cap línia de camp travessa l'espira, totes hi passen de costat.

En moure's, la barra escombra àrea i el flux a través del circuit canvia: apareix una fem de moviment.

Fem: ε = B·L·v = 0,5·0,2·3 = 0,3 V.
(Ve de ΔΦ/Δt: en un temps Δt la barra avança v·Δt i afegeix àrea L·v·Δt; el flux canvia B·L·v·Δt, i dividint per Δt queda B·L·v.)

Corrent: per la llei d'Ohm, I = ε/R = 0,3/0,6 = 0,5 A.

Sentit (Lenz): com que el flux augmenta en escombrar més àrea, el corrent induït circula de manera que crea un camp que s'oposa a aquest augment, per frenar el canvi.

a) L'autoinducció és el mateix fenomen de Faraday, però la bobina s'indueix fem a ella mateixa: si el seu propi corrent canvia, canvia el flux que ella crea, i apareix una fem que s'oposa al canvi.
ε = -L·(ΔI/Δt) = -0,5·$\tfrac{2}{0{,}1}$ = -10 V.
El signe menys (Lenz) indica que aquesta fem s'oposa a l'augment del corrent: la bobina 'frena' el creixement del corrent. El mòdul és 10 V.

b) Energia magnètica emmagatzemada amb el corrent final de 2 A:
E = ($\tfrac{1}{2}$)·L·$I^{2}$ = 0,5·0,5·$2^{2}$ = 0,5·0,5·4 = 1 J.
Aquesta és l'energia que la bobina ha 'guardat' en el seu camp magnètic mentre el corrent pujava, i que retornaria al circuit si el corrent tornés a baixar.

Aquesta és la situació del generador: com que l'espira gira, l'angle entre el camp i la normal canvia contínuament, el flux puja i baixa com un cosinus i la fem induïda surt sinusoïdal.

Fem màxima (l'amplitud, el factor que multiplica el sin):
ε_max = N·B·S·ω = 100·0,2·0,05·120 = 120 V.

Freqüència: la velocitat angular es relaciona amb la freqüència per ω = 2π·f, d'on f = ω/(2π).
f = 120/(2·3,1416) = 19,1 Hz.

Valor en l'instant ω·t = 30°: substituïm a ε = ε_max·sin(ω·t).
ε = 120·sin(30°) = 120·0,5 = 60 V.
És la meitat de la màxima, com toca perquè sin(30°) = 0,5.

a) Flux total: Φ = N·B·S = 200·(0,2 + 0,5·t)·20·10^-4 = 0,08 + 0,2·t (en Wb).
Llei de Faraday: ε = -dΦ/dt = -0,2 V. En valor absolut, 0,2 V; el signe indica que el corrent induït s'oposa a l'augment del flux.
b) I = |ε|/R = 0,2/4 = 0,05 A = 50 mA.
c) Sí: el camp creix linealment, la derivada del flux és constant i, per tant, la fem i el corrent són constants mentre duri aquest creixement. El valor inicial del camp (0,2 T) no influeix en la fem; només compta el ritme de variació, 0,5 T/s.

a) Llei de Faraday: ε = -dΦ/dt = -(6·t - 2)·10^-3 = (2 - 6·t)·10^-3 V.
b) t = 0: ε = 2·10^-3 V = 2 mV. t = 2 s: ε = (2 - 12)·10^-3 = -10 mV. El canvi de signe indica que el corrent induït ha invertit el sentit.
c) ε = 0 quan 2 - 6·t = 0, és a dir, a t = 1/3 s ≈ 0,33 s. En aquest instant el flux passa per un mínim (deixa de disminuir i comença a augmentar): la seva derivada és zero i, momentàniament, no hi ha fem.
Fixa't que a t = 0,33 s el flux no és nul (Φ = -0,33·10^-3 Wb): el que és nul és el ritme de variació, i és això el que determina la fem.

a) Si la bobina gira amb velocitat angular ω, el flux és Φ = N·B·S·cos(ω·t) i la fem, ε = -dΦ/dt = N·B·S·ω·sin(ω·t). El valor màxim és ε_max = N·B·S·ω.
ω = ε_max/(N·B·S) = 12/(50·0,1·80·10^-4) = 12/0,04 = 300 rad/s.
b) f = ω/(2π) = 300/(2π) = 47,7 Hz; en rpm: 47,7·60 = 2865 rpm (unes 2900 voltes per minut).
c) ε(t) = 12·sin(300·t) V, amb t en segons (prenent el flux màxim a t = 0).
Per obtenir més fem sense girar més ràpid caldria augmentar N, B o S.

El corrent que circula per la línia és I = P/V, i les pèrdues per efecte Joule són P_perduda = I²·R.
a) A 400 V: I = 50000/400 = 125 A; P_perduda = 125²·2 = 31250 W, un 62,5 % de la potència: inacceptable.
b) A 20 kV: I = 50000/20000 = 2,5 A; P_perduda = 2,5²·2 = 12,5 W, només un 0,025 %.
c) En multiplicar la tensió per 50, el corrent es divideix per 50 i les pèrdues (proporcionals a I²) es divideixen per 2500. Per això, a la sortida de la central un transformador elevador puja la tensió a desenes o centenars de kV per al transport, i prop dels consumidors una cadena de transformadors reductors la torna a baixar fins als 230 V. Com que els transformadors només funcionen amb corrent altern, aquesta és la raó principal per la qual la xarxa elèctrica és de corrent altern.

a) Les ales són un conductor que es mou perpendicularment a la component vertical del camp: fem de moviment ε = B·L·v = 4·$10^{-5}$·40·250 = 0,4 V.
(Les càrregues lliures de l'ala noten la força magnètica q·v × B al llarg de l'ala i s'acumulen en un extrem fins que el camp elèctric que creen equilibra la força magnètica.)
b) No. Un cable que uneixi els dos extrems es mou amb la mateixa velocitat dins del mateix camp i s'hi indueix exactament la mateixa fem, en el mateix sentit al llarg de l'ala. En el circuit tancat ala + cable les dues fems es compensen i el flux total a través del circuit no varia: no circula corrent.
Només es podria obtenir corrent si una part del circuit estigués en repòs respecte del camp (com en el cas d'una barra que llisca sobre uns rails fixos).

a) Flux inicial (θ = 0°): $Φ_{1}$ = B·S·cos 0° = 0,5·25·$10^{-4}$ = 1,25·$10^{-3}$ Wb. Flux final (θ = 180°): $Φ_{2}$ = B·S·cos 180° = -1,25·$10^{-3}$ Wb.
b) Variació de flux per espira: ΔΦ = $Φ_{2}$ - $Φ_{1}$ = -2,5·$10^{-3}$ Wb (el doble del flux inicial, en valor absolut). Fem mitjana: |ε| = N·|ΔΦ|/Δt = 300·2,5·$\tfrac{10^{-3}}{0{,}1} = 7{,}5$ V.
c) El flux és una magnitud amb signe: en girar 180° les línies de camp travessen l'espira pel costat contrari i el flux passa de +1,25·$10^{-3}$ a -1,25·$10^{-3}$ Wb. La variació no és zero sinó 2·B·S. Si només hagués girat 90°, la variació seria B·S i la fem mitjana, 3,75 V.
Error típic: oblidar el signe del flux en girar l'espira.

Mentre entra: el flux cap a l'observador augmenta. Hi ha corrent induït i, per Lenz, crea un camp que s'hi oposa (cap endins): corrent horari. La força magnètica neta sobre l'espira (sobre el costat que ja és dins del camp) s'oposa al moviment: frena l'espira.
Mentre és completament a dins: el flux és constant (B uniforme, mateixa superfície), no hi ha fem ni corrent, i la força neta és zero (les forces sobre costats oposats es cancel·len).
Mentre surt: el flux disminueix; el corrent induït reforça el camp (cap a l'observador): corrent antihorari. La força neta torna a oposar-se al moviment i frena l'espira.
Idea general: la inducció sempre s'oposa a la variació del flux i, per tant, al moviment que la causa; per mantenir la velocitat constant cal fer una força externa que compensi aquesta frenada, i el seu treball és l'energia que es dissipa per efecte Joule a l'espira.

Ara θ = 30° i cos(30°) = 0,87.
Φ = B·S·cos(θ) = 0,5·0,04·0,87 = 0,0174 Wb, uns 0,017 Wb.
És una mica menor que el màxim (0,02 Wb), com toca en no estar del tot de cara al camp.

a) Fem de moviment: ε = B·L·v = 0,6·0,4·5 = 1,2 V.
Corrent: I = ε/R = 1,2/2 = 0,6 A.

b) La barra porta corrent i és dins d'un camp, així que el camp li fa una força F = B·I·L = 0,6·0,6·0,4 = 0,144 N.
Per la llei de Lenz, aquesta força s'OPOSA al moviment (el frena): és la 'reacció' que evita el moviment perpetu. Per això, si es vol mantenir la velocitat constant, un motor exterior ha de fer una força igual i contrària; sense ell, la barra es frenaria fins a parar-se.

c) Potència dissipada per efecte Joule al circuit: P = ε·I = 1,2·0,6 = 0,72 W.
Potència mecànica del motor: P = F·v = 0,144·5 = 0,72 W.
Coincideixen: l'energia mecànica que aporta el motor es converteix íntegrament en calor a la resistència. És la conservació de l'energia, la mateixa idea que hi ha darrere del signe de Lenz.

a) Primer passem les revolucions per minut a velocitat angular. En un minut fa 1500 voltes, o sigui f = 1500/60 = 25 voltes per segon (Hz).
La velocitat angular: ω = 2π·f = 2π·25 = 157,08 rad/s.
La freqüència de la fem coincideix amb la de gir: f = 25 Hz.

b) L'àrea de l'espira: S = 0,1·0,1 = 0,01 m².
Fem màxima: ε_max = N·B·S·ω = 200·0,5·0,01·157,08 = 157,08 V, uns 157 V.

c) Valor instantani. Cal l'angle girat: ω·t = 157,08·0,005 = 0,785 rad, que són 45°.
ε = ε_max·sin(ω·t) = 157·sin(45°) = 157·0,707 = 111 V.
Parany habitual: la calculadora ha d'estar en radians (o convertir a graus com hem fet); i el factor que multiplica el sinus és ε_max, no cap altre.

a) En caure, la barra talla les línies de camp i s'hi indueix una fem ε = B·L·v, que fa circular un corrent I = B·L·v/R pel circuit. Sobre la barra amb corrent apareix una força magnètica F = B·I·L = B²·L²·v/R que, per la llei de Lenz, s'oposa al moviment (cap amunt). Aquesta força creix amb la velocitat fins a igualar el pes; aleshores la força neta és zero i la barra continua baixant amb velocitat constant.
b) Condició: m·g = B²·L²·v_lim/R → v_lim = m·g·R/(B²·L²) = 0,1·9,8·0,5/(0,8²·0,3²) = 0,49/0,0576 = 8,5 m/s.
c) Fem: ε = B·L·v = 0,8·0,3·8,5 = 2,04 V; corrent: I = 2,04/0,5 = 4,1 A. Comprovació de la força: F = B·I·L = 0,8·4,1·0,3 = 0,98 N = m·g.
Potència dissipada: P = I²·R = 4,1²·0,5 = 8,3 W. Potència del pes: P = m·g·v = 0,98·8,5 = 8,3 W. Coincideixen: l'energia potencial que perd la barra es converteix íntegrament en calor a la resistència (no en energia cinètica, perquè v ja no augmenta).

a) Camp d'un solenoide: B = $µ_{0}$·n·I. $B_{max}$ = 4π·$10^{-7}$·1000·2 = 2,51·$10^{-3}$ T. El camp varia com el corrent: B(t) = 2,51·$10^{-3}$·sin(100π·t) T.
b) El camp és paral·lel a l'eix i perpendicular a les espires de la bobina: Φ(t) = N·B(t)·S = 50·2,51·$10^{-3}$·4·$10^{-4}$·sin(100π·t) = 5,03·$10^{-5}$·sin(100π·t) Wb.
c) Llei de Faraday: ε = -dΦ/dt = -5,03·$10^{-5}$·100π·cos(100π·t) = -1,58·$10^{-2}$·cos(100π·t) V.
Valor màxim: $ε_{max}$ = $Φ_{max}$·ω = 5,03·$10^{-5}$·314 = 1,6·$10^{-2}$ V = 16 mV.
Freqüència: ω = 100π rad/s → f = $\tfrac{\omega}{(2\pi )} = 50$ Hz, la mateixa que el corrent del solenoide (és la base del transformador: un corrent altern en una bobina indueix una fem alterna de la mateixa freqüència en una altra).

a) N₁/N₂ = V₁/V₂ = 230/12 = 19,2: calen unes 19 espires al primari per cada espira del secundari.
b) Secundari: I₂ = P₂/V₂ = 60/12 = 5 A. Primari: la potència absorbida és P₁ = P₂/η = 60/0,9 = 66,7 W, de manera que I₁ = 66,7/230 = 0,29 A (si fos ideal serien 0,26 A; la diferència cobreix les pèrdues per efecte Joule als bobinats i per corrents de Foucault al nucli).
c) El transformador es basa en la inducció: el corrent del primari crea un flux al nucli que, en variar, indueix una fem al secundari. Amb corrent continu el flux és constant, no hi ha variació i la fem al secundari és zero (només hi hauria un impuls breu en connectar i en desconnectar). A més, el primari, amb una resistència molt petita, deixaria passar un corrent enorme i es cremaria.
d) Un transformador elevador augmenta la tensió però redueix el corrent en la mateixa proporció: la potència de sortida és, com a màxim, igual a la d'entrada (i en un transformador real, sempre una mica més petita). Es transforma la tensió, no es crea energia.

a) En engegar, la barra està quieta i només hi ha la fem de la pila: I₀ = V/R = 12/3 = 4 A. Força magnètica (barra perpendicular al camp): F = B·I·L = 0,6·4·0,5 = 1,2 N. Acceleració inicial: a = F/m = 1,2/0,2 = 6 m/s².
b) Quan la barra es mou, talla les línies de camp i s'hi indueix una fem de moviment ε = B·L·v que, per Lenz, s'oposa a la de la pila (fem contraelectromotriu). El corrent passa a ser I = (V - B·L·v)/R, cada cop més petit, i amb ell la força i l'acceleració.
c) La velocitat màxima s'assoleix quan la fem induïda iguala la de la pila: el corrent és zero, no hi ha força i la barra ja no s'accelera. B·L·v_max = 12 → v_max = 12/(0,6·0,5) = 40 m/s.
A la pràctica el fregament limita la velocitat a un valor més baix, en què la força magnètica (amb un corrent petit però no nul) compensa el fregament. Aquest és el principi del motor lineal.

a) Tram 1 (0–2 s): ΔΦ/Δt = 6·10^-3/2 = 3·10^-3 Wb/s; |ε₁| = N·ΔΦ/Δt = 20·3·10^-3 = 0,06 V; I₁ = 0,06/10 = 6·10^-3 A = 6 mA.
Tram 2 (2–5 s): el flux és constant, ε₂ = 0 i I₂ = 0, encara que el flux sigui màxim.
Tram 3 (5–6 s): ΔΦ/Δt = -6·10^-3/1 = -6·10^-3 Wb/s; |ε₃| = 20·6·10^-3 = 0,12 V; I₃ = 12 mA. La fem és el doble que al primer tram perquè la mateixa variació de flux passa en la meitat de temps.
b) Al primer tram el flux augmenta i al tercer disminueix: per la llei de Lenz, els corrents induïts tenen sentits contraris (el primer crea un camp que s'oposa al flux; el tercer, un que el reforça).
c) Q = I₁·Δt = 6·10^-3·2 = 1,2·10^-2 C. També: Q = N·ΔΦ/R = 20·6·10^-3/10 = 1,2·10^-2 C, que no depèn del temps que trigui la variació; al tercer tram circula la mateixa càrrega en sentit contrari.

a) Superfície: S = π·r² = π·0,04² = 5,03·10^-3 m². Flux inicial: Φ₁ = B·S = 0,6·5,03·10^-3 = 3,02·10^-3 Wb; flux final: 0.
Com que la variació és uniforme, la fem és constant: |ε| = |ΔΦ|/Δt = 3,02·10^-3/0,3 = 1,0·10^-2 V = 10 mV. Corrent: I = ε/R = 0,0101/0,2 = 5,0·10^-2 A = 50 mA, en un sentit que crea un camp del mateix sentit que el camp que desapareix (Lenz).
b) Q = I·Δt = 0,050·0,3 = 1,5·10^-2 C. En general, Q = I·Δt = (ε/R)·Δt = (ΔΦ/(R·Δt))·Δt = ΔΦ/R = 3,02·10^-3/0,2 = 1,5·10^-2 C: el temps es cancel·la. Si el camp s'anul·lés en 3 s, la fem i el corrent serien 10 vegades més petits, però durarien 10 vegades més i la càrrega seria la mateixa.
c) Energia dissipada per efecte Joule: E = ε·I·Δt = I²·R·Δt = 0,050²·0,2·0,3 = 1,5·10^-4 J. Prové de l'agent que fa variar el camp magnètic (per exemple, el circuit que alimenta l'electroimant), que ha de fer treball contra l'efecte del corrent induït. A diferència de la càrrega, l'energia sí que depèn de la durada: com més ràpid canvia el flux, més energia es dissipa.

a) ε = B·L·v = 0,80·0,50·25 = 10 V. I = ε/R = 10/5,0·10^-4 = 2,0·10⁴ A (els corrents de Foucault en un bloc de coure poden ser enormes perquè la resistència és molt petita). F = I·L·B = 2,0·10⁴·0,50·0,80 = 8,0·10³ N.
Per la llei de Lenz, el corrent induït s'oposa a la causa que el produeix, el moviment relatiu de les aletes respecte dels imants: la força és cap amunt, oposada a la velocitat.

b) Força neta cap amunt: 8,0·10³ - 500·9,8 = 3,1·10³ N. a = 3,1·10³/500 = 6,2 m/s² cap amunt: la cabina frena, amb una desacceleració suportable (menys que g).

c) F = I·L·B = (B·L·v/R)·L·B = B²·L²·v/R: proporcional a v. La cabina deixa de frenar quan F = m·g:
v_lím = m·g·R/(B²·L²) = 500·9,8·5,0·10^-4/(0,80²·0,50²) = 15 m/s.
A mesura que la cabina s'alenteix la força disminueix, i per sota de 15 m/s ja no pot vèncer el pes: la cabina tendeix a baixar a velocitat constant, però no s'atura. Al final de la caiguda calen frens de fricció o un tram horitzontal.

d) Energia mecànica perduda = ½·m·(v₀² - v_f²) + m·g·h = ½·500·(25² - 20,8²) + 500·9,8·20 = 4,8·10⁴ + 9,8·10⁴ = 1,5·10⁵ J. Es converteix en calor a les aletes per efecte Joule (els corrents induïts les escalfen).
Potència en entrar: P = F·v = 8,0·10³·25 = 2,0·10⁵ W, que coincideix amb I²·R = (2,0·10⁴)²·5,0·10^-4: tota la potència mecànica que es perd es dissipa al circuit.

e) Els imants són permanents i el corrent el genera el mateix moviment: el fre no necessita cap font d'energia externa ni cap mecanisme que s'hagi d'activar. Si falla el subministrament elèctric, el fre continua funcionant igual, i com més ràpid va la cabina, més fort frena.

Errors típics

• Oblidar el pes en calcular l'acceleració dins de la zona de frenada.
• Creure que la força magnètica és constant: és proporcional a la velocitat i disminueix a mesura que la cabina frena.
• Comptar només la variació d'energia cinètica i oblidar l'energia potencial perduda en els 20 m de baixada.

Conceptes treballats: fem de moviment, llei de Lenz, força sobre un conductor, velocitat límit, corrents de Foucault, conservació de l'energia i efecte Joule.

a) La roda rodola sobre el terra sense lliscar, i la seva perifèria es mou a la velocitat de la bicicleta respecte de l'eix; el corró toca el pneumàtic sense lliscar, i per tant la perifèria del corró es mou també a v = 18 km/h = 5,0 m/s. ω = v/r = 5,0/0,010 = 5,0·10² rad/s (unes 4800 rpm).

b) ε = -N·dΦ/dt = N·B·S·ω·sin(ω·t). ε₀ = 500·0,20·1,7·10^-4·500 = 8,5 V. ε_ef = 8,5/√2 = 6,0 V, justament la tensió nominal de la bombeta. f = ω/(2π) = 500/(2π) = 80 Hz. ε(t) = 8,5·sin(500·t) (SI).

c) Resistència de la bombeta: R = V²/P = 6,0²/3,0 = 12 Ω. A 9 km/h, ω és la meitat i la fem també: ε_ef = 3,0 V. P = ε_ef²/R = 3,0²/12 = 0,75 W, la quarta part. Com que la fem és proporcional a la velocitat i la potència al quadrat de la fem, la llum és molt més feble quan es va a poc a poc.

d) A 3,6 km/h = 1,0 m/s, ω = 100 rad/s i f = 16 Hz. La intensitat del corrent passa per zero dues vegades per període, i la bombeta s'apaga i s'encén unes 32 vegades per segon; a més, la potència és baixa i el filament no té temps de mantenir-se calent. L'ull percep aquestes variacions lentes com un parpelleig.

e) Quan el circuit és tancat, el corrent induït crea un camp que, segons la llei de Lenz, s'oposa a la variació de flux, és a dir, a la rotació de l'imant: apareix un moment de força resistent sobre el corró. El ciclista ha de fer un treball addicional, que és precisament l'energia elèctrica que arriba a la bombeta. Amb el llum apagat (circuit obert) no hi ha corrent ni frenada magnètica.

Errors típics

• Calcular ω amb el radi de la roda en lloc del radi del corró.
• Pensar que la potència és proporcional a la velocitat: és proporcional al quadrat de la fem i, per tant, de la velocitat.
• Creure que la dinamo dona energia «gratis»: l'energia elèctrica surt del treball del ciclista.

Conceptes treballats: llei de Faraday, alternador, valors eficaços, potència elèctrica, llei de Lenz i conservació de l'energia, cinemàtica de rotació.

a) R = ρ·$\tfrac{ℓ}{S} = 2{,}8$·$10^{-8}$·8,0·$\tfrac{10^{4}}{3{,}00}$·$10^{-4}$ = 7,5 Ω.

b) A 25 kV: I = 20·$\tfrac{10^{6}}{25}$·$10^{3}$ = 800 A; $P_{perd}$ = $800^{2}$·7,47 = 4,8·$10^{6}$ W = 4,8 MW, el 24 % de la potència generada!
A 220 kV: I = 20·$\tfrac{10^{6}}{220}$·$10^{3}$ = 91 A; $P_{perd}$ = 90,$9^{2}$·7,47 = 6,2·$10^{4}$ W = 62 kW, només el 0,31 %.

c) $P_{perd}$ = $I^{2}$·R = (P/V$)^{2}$·R = $P^{2}$·$\text{R/V}^{2}$. Si la tensió es multiplica per $\tfrac{220}{25} = 8{,}8$, les pèrdues es divideixen per 8,$8^{2}$ = 77: 4,78 MW/77 = 62 kW, d'acord amb l'apartat b).

d) $N_{2}$ = $N_{1}$·$\tfrac{V_{2}}{V_{1}} = 400$·$\tfrac{220}{25} = 3{,}5$·$10^{3}$ espires (3520). Al primari circulen 800 A i al secundari 91 A: el transformador eleva la tensió i redueix el corrent en la mateixa proporció, de manera que la potència es conserva.

e) El transformador funciona per inducció: el corrent del primari ha de crear un flux variable al nucli perquè, per la llei de Faraday, s'indueixi una fem al secundari. Amb corrent continu el flux és constant i al secundari no s'indueix res. Pel que fa a tensions més altes: les pèrdues baixarien encara més, però caldrien aïlladors enormes, distàncies de seguretat i torres molt més grans, i apareixerien descàrregues a l'aire al voltant dels conductors (efecte corona). La tensió de transport és un compromís entre pèrdues per efecte Joule i cost i seguretat de la instal·lació.

Errors típics

• Fer servir 40 km en lloc de 80 km de cable (el corrent ha d'anar i tornar).
• Calcular el corrent de la línia amb I = $\tfrac{V}{R}$ fent servir la tensió de transport: la tensió de transport no és la que cau a la línia; el corrent el fixa la potència transportada.
• Pensar que el transformador elevador «crea» potència: si eleva la tensió, redueix el corrent.

Conceptes treballats: resistència elèctrica, efecte Joule, transformador i llei de Faraday, transport d'energia en alta tensió, energies renovables.

a) El camp variable crea un flux variable a través del fons metàl·lic de l'olla i, per la llei de Faraday, s'hi indueix una fem. Com que el fons és conductor, hi circulen corrents induïts (corrents de Foucault) que l'escalfen per efecte Joule. El vidre ceràmic de la placa també és travessat pel camp, però és aïllant: s'hi indueix fem però no hi circula corrent i no s'escalfa (només rep calor de l'olla). Una olla de vidre tampoc no conduiria i no s'escalfaria.

b) Φ(t) = S·B₀·sin(ω·t) → ε = -dΦ/dt = -S·B₀·ω·cos(ω·t).
S = π·0,10² = 3,14·10^-2 m²; ω = 2π·25·10³ = 1,57·10⁵ rad/s.
ε₀ = 3,14·10^-2·5,0·10^-3·1,57·10⁵ = 25 V; ε_ef = 24,7/√2 = 17 V.

c) P = ε_ef²/R = 17,4²/0,15 = 2,0·10³ W = 2,0 kW, la potència típica d'un fogó.

d) Q = m·c·ΔT = 1,5·4180·85 = 5,3·10⁵ J. t = Q/P = 5,33·10⁵/2,03·10³ = 2,6·10² s ≈ 4,4 min. A la pràctica tarda una mica més per les pèrdues de calor.

e) La fem és proporcional a ω: a 50 Hz seria 500 vegades més petita, ε₀ = 24,7·50/25000 = 4,9·10^-2 V, i la potència (∝ ε²) 250 000 vegades més petita: l'olla no s'escalfaria. Per això les plaques treballen a desenes de kHz. A més, per sobre de 20 kHz les vibracions que el camp provoca a l'olla no són audibles.

Errors típics

• Fer servir el diàmetre en lloc del radi per calcular l'àrea.
• Calcular la potència amb la fem màxima en lloc de l'eficaç (dona el doble).
• Dir que la placa escalfa l'olla per conducció des del vidre calent.

Conceptes treballats: llei de Faraday amb camp variable, corrents de Foucault, valors eficaços, efecte Joule, calor específica, aplicacions domèstiques.

a) La fem al raspall només apareix si el flux a través de la seva bobina varia (llei de Faraday). Amb corrent continu, el camp de la base seria constant i no s'induiria res. El plàstic és transparent al camp magnètic (no l'apantalla), i per això el camp travessa les dues carcasses.

b) B₀ = μ₀·N₁·I₀/L → I₀ = B₀·L/(μ₀·N₁) = 2,0·10^-3·0,040/(4π·10^-7·400) = 0,16 A.

c) S₂ = π·(6,0·10^-3)² = 1,13·10^-4 m²; ω = 2π·5,0·10⁴ = 3,14·10⁵ rad/s.
ε₀ = N₂·B₀·S₂·ω = 150·2,0·10^-3·1,13·10^-4·3,14·10⁵ = 11 V; ε_ef = 10,7/√2 = 7,5 V. És suficient per carregar una bateria d'uns pocs volts. Fixa't que l'alta freqüència permet obtenir una fem raonable amb un camp i una bobina petits.

d) El flux es redueix en el factor cos 30°: ε₀' = 10,7·cos 30° = 9,2 V. Si el raspall s'inclinés 90°, el flux seria nul i no es carregaria.

e) La fem induïda és alterna, i la bateria necessita corrent en un sol sentit: cal un rectificador (díodes) que converteixi el corrent altern en continu. Avantatge: no hi ha contactes metàl·lics exposats, el mànec pot ser completament estanc i no hi ha risc que l'aigua provoqui curtcircuits o corrosió. És el mateix principi que la càrrega sense fils dels mòbils.

Errors típics

• Pensar que el camp magnètic no travessa el plàstic.
• Oblidar el nombre d'espires de la bobina del raspall o fer servir el del solenoide.
• Fer servir el sinus de l'angle d'inclinació en lloc del cosinus per al flux.

Conceptes treballats: camp d'un solenoide, llei de Faraday, inducció mútua, valors eficaços, flux i orientació, rectificació, càrrega sense fils.

a) La fem només apareix si el flux a través de la bobina varia. Una corda d'acer imantada que s'acosta i s'allunya de la pastilla modifica el camp a l'interior de la bobina; una corda de niló no és magnètica, no altera el camp i, per molt que vibri, no indueix cap fem.

b) Mode fonamental: λ = 2L = 1,296 m. v = λ·f = 1,296·110 = 1,4·10² m/s.

c) ε = -N·dΦ/dt = -N·Φ₁·2π·f·cos(2π·f·t). ε₀ = 7000·5,0·10^-8·2π·110 = 0,24 V. El terme Φ₀ és constant (el flux de l'imant amb la corda en repòs) i la seva derivada és zero: només la part del flux que varia genera senyal.

d) La velocitat de l'ona no canvia (mateixa corda i mateixa tensió), i amb la meitat de longitud λ es redueix a la meitat: f = v/(2L') = 142,6/(2·0,324) = 220 Hz, una octava més aguda. Com que la fem és proporcional a la freqüència, ε₀' = 2·0,24 = 0,48 V. (A la pràctica Φ₁ també canvia, perquè depèn de l'amplitud de vibració sobre la pastilla.)

e) En el segon harmònic, el punt mitjà de la corda és un node: no es mou i no fa variar el flux. Una pastilla situada just sota aquest punt no captaria aquest harmònic. Cada posició capta amb intensitat diferent cada harmònic (segons si hi ha un node o un ventre a sobre), i per això el timbre canvia: la pastilla propera al pont sona més brillant i la del mànec, més suau.

Errors típics

• Pensar que el flux constant Φ₀ també genera fem.
• Fer servir λ = L en lloc de λ = 2L per al mode fonamental d'una corda fixa pels dos extrems.
• Creure que la velocitat de l'ona canvia en prémer un traste: el que canvia és la longitud vibrant.

Conceptes treballats: llei de Faraday amb flux variable, ones estacionàries en cordes, harmònics, nodes i ventres, aplicacions musicals.

a) Mentre l'imant entra, el flux augmenta i s'indueix una fem d'un signe; quan és al centre, el flux és màxim i la seva derivada és nul·la (ε = 0); quan surt, el flux disminueix i la fem té el signe oposat. El gràfic té dos polsos de signes contraris separats per un pas per zero.

b) v = $\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}20}$ = 1,98 m/s. Δt ≈ $\tfrac{0{,}020}{1{,}98} = 1{,}0$·$10^{-2}$ s.
$ε_{mitjana}$ = N·ΔΦ/Δt = 200·3,0·$\tfrac{10^{-5}}{1{,}01}$·$10^{-2}$ = 0,59 V.

c) Àrea = ∫ε·dt = ∫N·(dΦ/dt)·dt = N·ΔΦ = N·($Φ_{màx}$ - 0) = 200·3,0·$10^{-5}$ = 6,0·$10^{-3}$ V·s (= 6,0·$10^{-3}$ Wb). No depèn de com de ràpid canvia el flux, sinó només de quant canvia. El segon pols té la mateixa àrea i signe contrari: en total, el flux torna a ser zero.

d) L'imant continua accelerant per la gravetat mentre travessa la bobina: surt més ràpid que entra. El flux varia més de pressa, la fem és més gran i el pols dura menys temps. Com que l'àrea ha de ser la mateixa (6,0·$10^{-3}$ V·s), si és més alt ha de ser més estret.

e) Des de 80 cm (4 vegades l'altura), v = $\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ es dobla: 3,96 m/s. Els polsos duren la meitat i són el doble d'alts (ε ≈ 1,2 V), però l'àrea continua sent 6,0·$10^{-3}$ V·s.

f) Quan el pol nord s'acosta per dalt, el flux cap avall augmenta. Pel principi de Lenz, el corrent induït crea un camp que s'oposa a aquest augment, és a dir, cap amunt dins de la bobina: la cara superior de la bobina es comporta com un pol nord que repel·leix l'imant. Mirant des de dalt, el corrent circula en sentit antihorari.

Errors típics

• Pensar que la fem és màxima quan l'imant és al centre de la bobina: és on el flux és màxim, però la seva variació és nul·la.
• Creure que un imant més ràpid fa polsos amb més àrea: l'àrea només depèn de la variació total del flux.
• Aplicar la regla de Lenz com si el corrent s'oposés al camp de l'imant en lloc d'oposar-se a la variació del flux.

Conceptes treballats: llei de Faraday, llei de Lenz, interpretació de gràfics ε(t), caiguda lliure, conservació del flux total, treball experimental.

a) En un temps dt, la barra gira dθ = ω·dt i escombra un sector circular d'àrea dA = ½·R²·dθ. El flux que travessa aquesta àrea és dΦ = B·dA = ½·B·R²·ω·dt. Per la llei de Faraday, ε = dΦ/dt = ½·B·ω·R². (Equivalentment, cada tros de barra a una distància r té una velocitat ω·r i la velocitat mitjana de la barra és ω·R/2: ε = B·R·(ω·R/2).)

b) ω = 400·2π/60 = 41,9 rad/s. ε = ½·4,0·10^-5·41,9·5,0² = 2,1·10^-2 V ≈ 21 mV. És molt petita, però a més no es pot aprofitar: per fer circular corrent caldria tancar el circuit amb un cable que tornés del centre a la punta girant amb la pala, i en aquest cable s'induiria exactament la mateixa fem en sentit contrari. La fem neta en el circuit seria zero.

c) ω = 3000·2π/60 = 314 rad/s. ε = ½·0,80·314·0,15² = 2,8 V. I = ε/R = 2,83/0,010 = 2,8·10² A. És un generador de baixa tensió però de corrent molt intens i continu (no altern, perquè la fem no canvia de signe). És útil en aplicacions que necessiten molt de corrent continu a poca tensió, com l'electròlisi industrial o alguns tipus de soldadura.

d) Quan circula corrent pel disc, el camp fa una força sobre els portadors (F = I·L×B) que, segons la llei de Lenz, s'oposa al gir. Per mantenir la velocitat, el motor o la persona que fa girar el disc ha de fer un treball que es converteix en energia elèctrica (i en calor per efecte Joule). Amb el circuit obert no hi ha corrent i no hi ha aquesta frenada.

Errors típics

• Fer servir l'àrea completa del cercle en lloc de l'àrea escombrada per unitat de temps.
• Fer servir la velocitat de la punta (ω·R) en lloc de la velocitat mitjana (ω·R/2) a ε = B·L·v.
• Pensar que es pot obtenir corrent d'una pala que gira simplement connectant-hi un cable: els cables que giren amb ella tenen la mateixa fem.

Conceptes treballats: llei de Faraday, fem de moviment, flux escombrat, generadors homopolars, llei de Lenz, camp magnètic terrestre.

a) Cada electró del fil es mou amb la bobina amb velocitat v (vertical), perpendicular al camp radial. La força de Lorentz q·v×B és tangent al fil en cada punt i empeny els electrons al llarg de l'espira. El treball per unitat de càrrega en tota l'espira és la fem: ε = v·B·ℓ, amb ℓ = 2π·r. (És el mateix resultat que dona la llei de Faraday considerant el flux que «talla» el fil en moure's.)

b) ω = 2π/T = 2π/8,0 = 0,785 rad/s. v_màx = A·ω = 1,0·0,785 = 0,79 m/s.
ℓ = 2π·0,20 = 1,26 m. ε₀ = N·B·ℓ·v_màx = 500·0,60·1,26·0,785 = 3,0·10² V. ε_ef = 296/√2 = 2,1·10² V.
Si a t = 0 la boia és a l'equilibri pujant, x(t) = A·sin(ω·t) i v(t) = A·ω·cos(ω·t): ε(t) = 296·cos(0,785·t) (SI).

c) P = ε_ef²/R = 209²/20 = 2,2·10³ W ≈ 2,2 kW.

d) f = 1/T = 0,125 Hz: la fem canvia de sentit cada 4 s, i la seva amplitud varia amb l'alçada de cada onada. No té ni la freqüència ni la tensió constant de la xarxa: cal rectificar-la, emmagatzemar l'energia i tornar-la a convertir en alterna de 50 Hz amb electrònica de potència (un inversor).

e) Amb el circuit tancat circula corrent per la bobina i el camp fa sobre ella una força que, per la llei de Lenz, s'oposa al seu moviment: actua com un amortiment que redueix l'amplitud de l'oscil·lació de la boia. L'energia elèctrica surt de l'energia mecànica de les onades, que fan treball contra aquesta força. Amb el circuit obert, la boia oscil·laria sense aquesta frenada.

Errors típics

• Fer servir el radi en lloc del perímetre per a la longitud de cada espira.
• Confondre l'amplitud del MHS amb la velocitat màxima: v_màx = A·ω.
• Pensar que l'energia elèctrica no afecta el moviment de la boia: per la llei de Lenz, la generació l'amorteix.

Conceptes treballats: moviment harmònic simple, fem de moviment i força de Lorentz, valors eficaços, llei de Lenz i amortiment, energies renovables marines.

a) La fem induïda és proporcional a la rapidesa amb què varia el flux, que en una bobina és proporcional al corrent (Φ_total = L·I). Amb el corrent constant, el flux no varia i no hi ha cap fem induïda. Si el corrent passa de 5,0 A a zero en un temps molt curt, la variació de flux és molt ràpida i la fem és molt gran. Per la llei de Lenz, aquesta fem s'oposa a la disminució del corrent: «intenta» mantenir-lo.

b) ε₁ = L·ΔI/Δt = 8,0·10^-3·5,0/1,0·10^-4 = 4,0·10² V, molt més que els 12 V de la bateria del cotxe.

c) Si cada espira de les dues bobines és travessada pel mateix flux Φ, ε₁ = N₁·dΦ/dt i ε₂ = N₂·dΦ/dt; dividint, ε₂/ε₁ = N₂/N₁. ε₂ = 75·400 = 3,0·10⁴ V = 30 kV.

d) E = ΔV/d = 3,0·10⁴/8,0·10^-4 = 3,8·10⁷ V/m, unes 12 vegades la rigidesa dielèctrica de l'aire a pressió atmosfèrica. Dins del cilindre, la barreja d'aire i gasolina està comprimida: les molècules estan més juntes, els electrons recorren distàncies més curtes entre xocs i guanyen menys energia, de manera que el gas necessita un camp molt més intens per ionitzar-se. El marge garanteix que l'espurna salti sempre.

e) ε₁ = 8,0·10^-3·5,0/1,0·10^-2 = 4,0 V, i al secundari 75·4,0 = 3,0·10² V, molt lluny dels milers de volts necessaris: no saltaria l'espurna. La clau del sistema no és la intensitat del corrent sinó la rapidesa del tall.

Errors típics

• Pensar que el transformador funciona amb el corrent continu de la bateria: el que indueix la fem és el tall (la variació) del corrent.
• Oblidar passar els mil·lisegons a segons.
• Comparar la tensió (V) amb la rigidesa dielèctrica (V/m) sense dividir per la distància entre elèctrodes.

Conceptes treballats: autoinducció, llei de Faraday i de Lenz, inducció mútua i relació d'espires, camp elèctric i diferència de potencial, ruptura dielèctrica, aplicacions a l'automòbil.