Exercicis de mètode científic en física — Física 2n Batxillerat

És una hipòtesi: una resposta provisional a una pregunta, plantejada abans d'experimentar. Ha de ser comprovable: s'ha de poder posar a prova amb mesures i, per tant, confirmar o descartar segons els resultats. Aquesta ho és, perquè es pot comprovar mesurant el període per a diferents longituds.

Variable independent: la longitud del pèndol, perquè és la que es canvia a propòsit. Variable dependent: el període, perquè és el que es mesura i que depèn de la longitud. Truc: la independent és la 'causa' que manipules; la dependent és l''efecte' que observes.

Les dues coses van juntes (correlació): el rail s'allarga i l'aire s'escalfa alhora. Però el rail no escalfa l'aire; és al revés i per una tercera causa: la calor del dia fa pujar la temperatura, i aquesta temperatura fa dilatar el metall del rail. La longitud del rail és un efecte de la temperatura, no la seva causa. Per això correlació no és causa: que dues magnituds canviïn juntes no vol dir que una causi l'altra; cal buscar la variable que les explica.

a) Observació: és una dada obtinguda directament amb una mesura, sense interpretar-la.
b) Llei: regularitat comprovada experimentalment moltes vegades, que descriu què passa (sovint amb una fórmula) però no explica per què.
c) Hipòtesi: suposició provisional, formulada abans de l'experiment, que fa una predicció concreta i es pot posar a prova mesurant.
d) Teoria: marc explicatiu general (la relativitat general) que explica per què es compleixen les lleis i permet fer prediccions noves.
Error típic: pensar que una teoria és «menys segura» que una llei. En ciència, una teoria és l'explicació més ben contrastada de què disposem, no una simple opinió.

a) La sensibilitat és la variació més petita que l'aparell pot apreciar: l'última xifra que mostra, 0,01 s.
b) Si només fem una mesura, prenem com a incertesa absoluta la sensibilitat: t = (2,37 ± 0,01) s.
c) Error relatiu: ε = Δt/t = 0,01/2,37 = 0,0042, és a dir, un 0,42 %.
Comentari: a la pràctica, el temps de reacció de qui prem el botó (uns 0,2 s) és molt més gran que la sensibilitat del cronòmetre; per això convé repetir la mesura i fer la mitjana, o mesurar intervals llargs (per exemple, 10 oscil·lacions en lloc d'una).

0,0520 m: 3 xifres. Els zeros de l'esquerra només situen la coma decimal; el zero final sí que compta, perquè indica que s'ha mesurat fins a la dècima de mil·límetre.
3,00·$10^{8}$ m/s: 3 xifres. En notació científica, totes les xifres del coeficient són significatives.
1200 kg: és ambigu, en pot tenir 2, 3 o 4, perquè no sabem si els zeros són xifres mesurades o només indiquen l'ordre de magnitud.
9,81 $\text{m/s}^{2}$: 3 xifres.
Amb dues xifres significatives: 1,2·$10^{3}$ kg. La notació científica elimina l'ambigüitat: 1,20·$10^{3}$ kg en tindria tres i 1,200·$10^{3}$ kg, quatre.

Precisió: les mesures repetides s'assemblen entre elles (dispersió petita). Exactitud: la mitjana s'acosta al valor acceptat.
Grup A: mitjana 9,22 i dispersió de només 0,02. És precís però no exacte (queda un 6 % per sota): hi domina un error sistemàtic (instrument mal calibrat, longitud mal mesurada, etc.).
Grup B: mitjana 9,8 però dispersió enorme (de 9,1 a 10,4). No és precís; que la mitjana s'acosti a 9,81 és casualitat. Hi dominen els errors aleatoris.
Grup C: mitjana 9,81 i dispersió 0,03. És precís i exacte.
Idea clau: fer la mitjana de moltes mesures redueix els errors aleatoris, però no els sistemàtics. Per això el grup A no milloraria el resultat repetint més vegades la mesura.

a) [g·h] = (L·$T^{-2}$)·L = $L^{2}$·$T^{-2}$; en fer l'arrel queda L·$T^{-1}$, que són les dimensions d'una velocitat. L'expressió és dimensionalment correcta (el 2 no té dimensions).
b) [m/g] = $\tfrac{M}{(L\cdot T^{-2})} = M$·$L^{-1}$·$T^{2}$; l'arrel dona M^{$\tfrac{1}{2}$}·L^{-$\tfrac{1}{2}$}·T, que no és un temps. L'expressió és incorrecta.
Hi hauria d'aparèixer la constant elàstica k, de dimensions [k] = $\tfrac{[F]}{[x]} = M$·$T^{-2}$: [m/k] = $T^{2}$, i T = 2π·$\sqrt{\tfrac{m}{k}}$ sí que té dimensions de temps.
Recorda: l'anàlisi dimensional serveix per descartar fórmules incorrectes, però una fórmula dimensionalment correcta no és necessàriament certa (no detecta factors numèrics com el 2 o el 2π).

Cert. Una hipòtesi científica ha de fer prediccions concretes que es puguin comparar amb mesures; si cap resultat imaginable la pot contradir, no afirma res comprovable i no es pot sotmetre al mètode científic (criteri de falsabilitat).
Exemple no refutable: «Els cossos cauen quan la natura vol que caiguin». Qualsevol resultat hi encaixa, així que no diu res.
Exemple refutable: «En el buit, una ploma i una bola d'acer deixades anar alhora arriben a terra al mateix temps». Si en un tub de buit arribessin en instants diferents, la hipòtesi quedaria refutada.
Matís important: que un experiment confirmi la predicció no «demostra» la hipòtesi per sempre; només la fa més sòlida. En canvi, un sol resultat contrari ben comprovat la refuta.

Regla: la incertesa absoluta s'escriu amb una sola xifra significativa (se n'admeten dues si la primera és un 1) i el valor s'arrodoneix fins a la mateixa posició decimal que la incertesa.
(12,345 ± 0,1) cm → (12,3 ± 0,1) cm: no té sentit donar mil·lèsimes si ja dubtem de les dècimes.
(0,52 ± 0,015) kg → (0,52 ± 0,02) kg: la incertesa s'arrodoneix a una xifra i el valor ja té centèsimes.
(9,8 ± 0,25) $\text{m/s}^{2}$ → (9,8 ± 0,3) $\text{m/s}^{2}$.
(1500 ± 100) m és correcte tal com està; en notació científica s'escriuria (1,5 ± 0,1)·$10^{3}$ m.
Error típic: arrodonir el valor però deixar la incertesa amb dues o tres xifres (0,25; 0,015), que suggereixen una precisió que no tenim.

Variable independent: la longitud L del fil, que és el que es canvia a propòsit a cada mesura. Variable dependent: el període T, que és el que es mesura per veure com respon. Es mantenen constants (variables controlades) la massa que penja, l'angle inicial (sempre petit) i el lloc (la gravetat g). Així el canvi del període es pot atribuir només a la longitud.

El segon és millor perquè reparteix l'error de reflexos i de cronòmetre entre 10 oscil·lacions: en dividir $\tfrac{19{,}6}{10} = 1{,}96$ s, l'error de posar en marxa i aturar el cronòmetre pesa deu vegades menys. Amb una sola oscil·lació, un petit retard a prémer el botó falseja molt el resultat. A més, convé repetir la mesura diverses vegades (rèpliques) i fer-ne la mitjana, perquè una mesura puntual pot sortir rara per casualitat.

Variable independent: la longitud L (el que es canvia). Variable dependent: el període T (el que es mesura). Mirant la taula, quan la longitud augmenta, el període també augmenta: de L = 0,25 m a L = 1,00 m (quatre vegades més llarg) el període passa de 1,00 s a 2,01 s (aproximadament el doble). La conclusió que sostenen les dades és que el període creix quan creix la longitud. De fet, com que la longitud es multiplica per 4 i el període per 2, s'intueix que T depèn de l'arrel quadrada de L, d'acord amb T = 2·π·$\sqrt{\tfrac{L}{g}}$.

Mirant la taula, cada cop que la massa augmenta 50 g, l'allargament augmenta 2,0 cm; i quan la massa es duplica (de 50 g a 100 g, o de 100 g a 200 g), l'allargament també es duplica (de 2,0 a 4,0 cm, o de 4,0 a 8,0 cm). Per tant l'allargament és proporcional a la massa penjada: la conclusió és que la molla segueix la llei de Hooke (allargament proporcional a la força que estira). Les dades sostenen aquesta proporcionalitat, però no diuen res de què passaria amb masses molt grans, on la molla es podria deformar.

a) Mitjana: t = (0,64 + 0,62 + 0,65 + 0,63 + 0,66)/5 = 3,20/5 = 0,640 s.
Desviacions respecte de la mitjana: 0,00; 0,02; 0,01; 0,01; 0,02 s. La màxima és 0,02 s, més gran que la sensibilitat (0,01 s), així que t = (0,64 ± 0,02) s.
b) Aïllem g: g = 2h/t² = 2·2,00/0,64² = 4,00/0,4096 = 9,77 m/s².
Error relatiu: |9,81 - 9,77|/9,81 = 0,0045, un 0,5 %.
Comentari: la incertesa relativa de g és aproximadament 2·Δt/t + Δh/h = 2·0,02/0,64 + 0,01/2,00 = 0,068 (un 7 %), molt més gran que la discrepància del 0,5 %: el valor acceptat queda dins del marge experimental, g = (9,8 ± 0,7) m/s².

a) Com que h = (1/2)·g·t², la gràfica de h en funció de t² ha de ser una recta que passa per l'origen amb pendent g/2. Calculem t²: 0,1024; 0,2025; 0,3025; 0,4096 s².
b) Pendent entre els punts extrems: m = (2,00 - 0,50)/(0,4096 - 0,1024) = 1,50/0,3072 = 4,88 m/s².
Com que el pendent és g/2: g = 2·4,88 = 9,77 m/s² (un ajust per mínims quadrats amb els quatre punts dona pendent 4,89 i g = 9,79 m/s²).
Comprovació: l'ordenada a l'origen surt pràcticament zero (0,006 m), tal com prediu el model, i els quocients h/t² valen 4,88; 4,94; 4,96 i 4,88, tots molt semblants.
Error típic: calcular el pendent sobre la gràfica h–t (que és una paràbola) o oblidar el factor 2 en passar del pendent a g.

a) Independent: la tensió V, que fixa qui experimenta amb la font d'alimentació. Dependent: el corrent I, que es mesura amb l'amperímetre per a cada tensió.
b) Els quocients V/I valen 20; 19; 20; 15 i 20 Ω: el punt (8,0 V; 0,52 A) es desvia molt de la tendència dels altres (hi hauria de correspondre un corrent d'uns 0,40 A). És una dada anòmala, segurament un error de lectura o de transcripció. En un informe no s'esborra sense més: s'indica, es repeteix la mesura i, si es confirma l'error, s'exclou de l'ajust.
c) Amb els quatre punts restants, V = R·I és una recta per l'origen. Pendent entre extrems: R = (10,0 - 2,0)/(0,50 - 0,10) = 8,0/0,40 = 20 Ω (l'ajust per mínims quadrats dona 20,2 Ω).
Resultat: R ≈ 20 Ω. Si el punt anòmal s'hagués inclòs a l'ajust, el valor de R hauria sortit clarament més baix.

a) ρ = m/V = 120,0/44,5 = 2,697 g/cm³.
Incertesa relativa: Δρ/ρ = Δm/m + ΔV/V = 0,1/120,0 + 0,5/44,5 = 0,0008 + 0,0112 = 0,0120 (un 1,2 %).
Incertesa absoluta: Δρ = 0,0120·2,697 = 0,03 g/cm³. Resultat: ρ = (2,70 ± 0,03) g/cm³.
b) És alumini: 2,70 g/cm³ queda dins de l'interval [2,67; 2,73], i els altres dos metalls en són molt lluny.
La mesura del volum aporta gairebé tota la incertesa (1,1 % davant del 0,08 % de la massa): és la que convindria millorar, amb una proveta més estreta o calculant el volum a partir del diàmetre i l'altura mesurats amb un peu de rei.

a) Independent: l'angle d'incidència i, que tries tu girant el bloc. Dependent: l'angle de refracció r, que mesures amb el transportador. Es mantenen constants el bloc, el làser i el punt d'incidència.
b) Segons la llei de Snell, n_aire·sin i = n·sin r i, amb n_aire = 1, sin i = n·sin r. Representant sin i en funció de sin r s'obté una recta que passa per l'origen amb pendent n.
c) sin i: 0,500; 0,707; 0,866. sin r: 0,334; 0,471; 0,578. Els quocients sin i/sin r valen 1,50; 1,50 i 1,50.
Pendent entre extrems: (0,866 - 0,500)/(0,578 - 0,334) = 0,366/0,244 = 1,50. Per tant, n = 1,50.
Error típic: representar i en funció de r directament; la relació entre els angles no és lineal, només ho és entre els seus sinus.

a) Sistemàtica (error de zero): afegeix sempre 0,2 g. Es corregeix tarant la balança o restant 0,2 g a totes les lectures.
b) Aleatòria: unes vegades t'avances i d'altres t'endarrereixes. Es redueix repetint la mesura i fent la mitjana, mesurant intervals llargs (10 oscil·lacions en lloc d'una) o usant fotoportes.
c) Sistemàtica: l'error va sempre en el mateix sentit. Es corregeix posant l'ull a l'altura del menisc.
d) Aleatòria: la lectura fluctua al voltant del valor real. Es redueix tancant portes i finestres, protegint la balança i fent la mitjana de diverses lectures.
e) Sistemàtica: totes les longituds surten més curtes del compte. Es corregeix amb un instrument calibrat o aplicant un factor de correcció.
Idea clau: la mitjana de moltes mesures redueix els errors aleatoris, però no els sistemàtics; aquests només es detecten comparant amb un patró o amb un altre mètode.

a) La tensió fa de força centrípeta: F = m·v²/r = (m/r)·v². La gràfica F–v² és una recta per l'origen de pendent m/r, el quocient entre la massa i el radi (en kg/m).
b) Valor teòric: m/r = 0,200/0,50 = 0,40 kg/m. Error relatiu: |0,42 - 0,40|/0,40 = 0,05, un 5 %.
c) Perquè F és proporcional a v², no a v: la gràfica F–v seria una paràbola, de la qual és difícil extreure res amb precisió. Linealitzar permet comprovar el model (els punts s'alineen i la recta passa per l'origen) i obtenir la constant física a partir del pendent.
Comprovació d'unitats: (kg/m)·(m/s)² = kg·m/s² = N, les unitats d'una força.

(a) Massa: canviar la massa penjada (per exemple, 50, 100 i 200 g), amb la mateixa longitud i la mateixa amplitud petita. Longitud: canviar la llargada del fil (0,25, 0,50, 0,75 i 1,00 m), amb la mateixa massa i amplitud. Amplitud: deixar anar el pèndol des d'angles diferents però petits (5°, 10° i 15°), amb la mateixa massa i longitud. En tots els casos es mesura el període cronometrant 10 oscil·lacions, i es repeteix cada mesura.
(b) En canviar la massa o l'amplitud (sempre petita), el període no ha de variar més enllà de l'error de mesura. En canviar la longitud, el període ha d'augmentar: si es quadruplica la longitud, el període es duplica.

Primer, fa servir un sol valor de la variable independent: amb una sola longitud no pot veure com varia el període amb L, que és justament el que vol comprovar. Segon, fa una sola mesura sense repetir: un error de cronòmetre la pot falsejar. Tercer, no controla ni indica la resta (amplitud petita, mateix lloc). Millores: mesurar el període per a diverses longituds diferents, repetir cada mesura unes quantes vegades i fer-ne la mitjana, i mantenir constants l'amplitud i les altres condicions.

Canviaria només la massa que penjo (variable independent) i mesuraria el període (variable dependent) per a cada massa. Com a referència, partiria d'una massa i n'aniria provant d'altres, comparant sempre amb la mateixa longitud de fil i la mateixa amplitud petita, al mateix lloc: aquestes són les variables que s'han de mantenir constants. Si el període surt igual per a totes les masses, la conclusió és que la massa no afecta el període (com diu la teoria: T = 2·π·$\sqrt{\tfrac{L}{g}}$ no conté la massa).

a) Elevant al quadrat: T² = (4π²/k)·m + 4π²·m₀/k. Si representem T² en funció de m obtenim una recta de pendent 4π²/k i ordenada a l'origen 4π²·m₀/k.
b) T²: 0,1183; 0,2172; 0,3158; 0,4147; 0,5127 s². Pendent: (0,5127 - 0,1183)/(0,250 - 0,050) = 0,3944/0,200 = 1,972 s²/kg → k = 4π²/1,972 = 39,48/1,972 = 20,0 N/m.
Ordenada a l'origen: b = 0,1183 - 1,972·0,050 = 0,0197 s² → m₀ = b·k/(4π²) = b/pendent = 0,0197/1,972 = 0,0100 kg = 10 g.
c) Perquè la molla té massa pròpia i també oscil·la: la recta no passa per l'origen (b ≠ 0). Si forcem el pas per l'origen, el pendent surt més gran i k, més petita del que és. Una ordenada diferent de zero no és un «error», sinó informació física: aquí, uns 10 g de massa efectiva.
Comprovació: amb k = 20 N/m i m + m₀ = 0,110 kg, T = 2π·√(0,110/20) = 0,466 s, que coincideix amb la mesura.

a) V = (π/6)·2,000³ = 4,189 cm³ (treballem en cm: D = 2,000 cm). Incertesa relativa: ΔV/V = 3·ΔD/D = 3·0,05/20,00 = 0,0075 (un 0,75 %). Incertesa absoluta: ΔV = 0,0075·4,189 = 0,03 cm³. Resultat: V = (4,19 ± 0,03) cm³.
b) Mètode B: incertesa relativa 0,1/4,2 = 0,024 (un 2,4 %). Els intervals [4,16; 4,22] i [4,1; 4,3] se solapen: els resultats són compatibles. El mètode A és unes 3 vegades més precís (2,4/0,75 ≈ 3,2).
c) ρ = m/V = 32,9/4,189 = 7,85 g/cm³. Incertesa relativa: 0,1/32,9 + 0,0075 = 0,0030 + 0,0075 = 0,0105 → Δρ = 0,0105·7,85 = 0,08 g/cm³. Resultat: ρ = (7,85 ± 0,08) g/cm³, coherent amb l'acer.
Observació: encara que el peu de rei sembli molt precís, el fet d'elevar al cub triplica la incertesa relativa; tot i així continua sent millor que la proveta.

a) Prenem logaritmes neperians: ln A = ln A₀ - λ·t. Representant ln A en funció de t s'obté una recta de pendent -λ i ordenada a l'origen ln A₀.
b) ln A: 6,685; 6,339; 5,991; 5,645; 5,298. Pendent entre extrems: (5,298 - 6,685)/(8 - 0) = -1,387/8 = -0,173 dies^-1, així que λ = 0,173 dies^-1. Ordenada: 6,685 → A₀ = e^6,685 = 800 Bq, coherent amb la primera dada.
Període de semidesintegració: T_1/2 = ln 2/λ = 0,693/0,173 = 4,0 dies.
c) A la taula, l'activitat passa de 800 a 400 Bq en 4 dies, i de 400 a 200 Bq en 4 dies més: cada 4 dies es redueix a la meitat, tal com hem obtingut.
Error típic: intentar ajustar una recta a la gràfica A–t, que és una exponencial, o fer servir logaritmes decimals i oblidar el factor ln 10 = 2,303 en passar del pendent a λ.

a) Es pesa el bloc, s'hi col·loquen masses conegudes i s'arrossega horitzontalment amb el dinamòmetre a velocitat constant, anotant la força F. Variable independent: la normal N = (m_bloc + m)·g, que canviem afegint masses; dependent: F. Es mantenen constants la superfície (mateixa zona de la taula, neta i seca), la cara del bloc en contacte, l'horitzontalitat del dinamòmetre i la velocitat (lenta i uniforme); cada mesura es repeteix tres vegades i se'n fa la mitjana. Com que F_f = μ·N, la gràfica F–N ha de ser una recta per l'origen de pendent μ.
b) Quocients F/N: 0,305; 0,297; 0,305; 0,298: els punts s'alineen. Pendent entre extrems: (1,49 - 0,61)/(5,0 - 2,0) = 0,88/3,0 = 0,29; l'ajust per mínims quadrats dona pendent 0,30 i ordenada 0,01 N (pràcticament zero, com prediu el model). Resultat: μ ≈ 0,30 (sense unitats).
c) Per la segona llei de Newton, només si l'acceleració és zero la força del dinamòmetre és igual a la força de fregament. Si el bloc accelerés, F = F_f + m·a i el pendent sortiria massa gran; si el bloc estigués aturat, mesuraríem el fregament estàtic, no el dinàmic.

a) Dos valors són compatibles si els seus intervals d'incertesa se solapen. Grup A: [9,3; 9,9] conté 9,81 → compatible amb el valor acceptat. Grup B: [10,2; 10,6] no conté 9,81 → incompatible. Entre ells: [9,3; 9,9] i [10,2; 10,6] no se solapen → els dos resultats són incompatibles.
b) El grup B: el seu resultat és precís (incertesa petita, un 2 %) però inexacte; una desviació del 6 % respecte del valor acceptat, tres vegades més gran que la seva incertesa, indica un error sistemàtic (per exemple, una longitud mal mesurada o un cronòmetre descalibrat). Repetir mesures redueix la dispersió (errors aleatoris), però un error sistemàtic desplaça totes les mesures en el mateix sentit i la mitjana no el corregeix.
c) Model de conclusió: «Hem obtingut g = (9,6 ± 0,3) $\text{m/s}^{2}$, amb una incertesa relativa del 3 %. El valor acceptat, 9,81 $\text{m/s}^{2}$, queda dins del nostre interval, de manera que el resultat és compatible amb la teoria. La principal font d'incertesa ha estat la mesura del temps; per reduir-la caldria mesurar intervals més llargs o utilitzar una fotoporta. No hem detectat cap error sistemàtic apreciable.»

a) Dimensions: [v] = L·T^-1; [F] = M·L·T^-2 (és una força); [μ] = M·L^-1. Igualem: L·T^-1 = (M·L·T^-2)^a·(M·L^-1)^b = M^a+b·L^a-b·T^-2a.
Per a M: a + b = 0; per a L: a - b = 1; per a T: -2a = -1. Solució: a = 1/2 i b = -1/2. Per tant, v = C·√(F/μ).
b) v = √(50/0,0050) = √10000 = 100 m/s.
c) Mantindria la mateixa corda (μ fixa) i canviaria la tensió penjant masses diferents d'un extrem (F = m·g), mesurant v per a cada tensió (per exemple, a partir de la freqüència i la longitud d'ona d'una ona estacionària, v = λ·f). Representant v² en funció de F hauria de sortir una recta per l'origen; si l'exponent no fos 1/2, els punts no s'alinearien.
Observació: l'anàlisi dimensional no pot determinar C, però l'experiment sí: el pendent de la recta val C²/μ.

a) Un fotó d'energia h·f arrenca un electró i li deixa com a màxim E_c,màx = h·f − W₀. El potencial de frenada és el que atura justament aquests electrons: e·V₀ = E_c,màx. Per tant:
V₀ = (h/e)·f − W₀/e
Si representem V₀ (eix y) en funció de f (eix x) hem d'obtenir una recta de pendent h/e i ordenada a l'origen −W₀/e. La recta talla l'eix x a la freqüència llindar f₀ = W₀/h.

b) La regressió lineal de les cinc parelles dona un pendent m = 4,09·10^-15 V·s i una ordenada b = −2,10 V (coeficient de correlació r = 0,99999, la recta és excel·lent). Amb els dos punts extrems s'obté pràcticament el mateix pendent: (1,82 − 0,14)/((9,60 − 5,49)·10¹⁴) = 4,09·10^-15 V·s.
h = e·m = 1,602·10^-19·4,09·10^-15 = 6,55·10^-34 J·s
W₀ = −e·b → en eV, W₀ = 2,10 eV
f₀ = −b/m = 2,10/4,09·10^-15 = 5,15·10¹⁴ Hz, és a dir, λ₀ = c/f₀ = 3,00·10⁸/5,15·10¹⁴ = 5,83·10^-7 m = 583 nm (llum groga-taronja: amb llum vermella no hi hauria efecte fotoelèctric).

c) Error relatiu: |6,55 − 6,626|/6,626 = 0,011, és a dir, un 1,1 %, molt bo per a una pràctica escolar. El treball d'extracció obtingut, 2,10 eV, és el més proper al del cesi (2,14 eV); el potassi i el sodi queden més lluny i el calci (2,87 eV) queda descartat. Els fotocàtodes de cesi (o d'aliatges de cesi) són justament els que s'utilitzen perquè responen a la llum visible.

d) No té sentit. Segons l'equació d'Einstein, V₀ depèn només de la freqüència de la llum i del metall, no de la intensitat. Una làmpada més intensa envia més fotons per segon i, per tant, augmenta el corrent fotoelèctric (que pot ajudar a detectar millor el punt on s'anul·la), però no canvia el potencial de frenada. Per reduir l'error caldria, per exemple, mesurar més freqüències ben repartides o millorar la determinació del punt on el corrent s'anul·la.

Errors típics

• Prendre el pendent de la recta directament com a h, sense multiplicar per e (s'obtindria un valor 10¹⁹ vegades massa petit).
• Barrejar unitats: comparar W₀ en joules amb una taula en electronvolts.
• Pensar que la intensitat de la llum augmenta l'energia cinètica màxima dels electrons (és la idea clàssica que l'efecte fotoelèctric va refutar).
• Donar h amb més xifres significatives de les que permeten les dades (tres xifres és el màxim raonable).

Conceptes treballats: efecte fotoelèctric i equació d'Einstein, potencial de frenada, freqüència i longitud d'ona llindar, linealització i regressió lineal, error relatiu.

a) L'activitat segueix A = A₀·e^−λt i el recompte net és proporcional a l'activitat (el comptador detecta sempre la mateixa fracció de les desintegracions). Prenent logaritmes: ln R_net = ln R₀ − λ·t, una recta de pendent −λ. El període de semidesintegració s'obté amb T_1/2 = ln 2/λ.

b) Amb les dades sense corregir, la regressió de ln R vs t dona un pendent de −6,06·10^-3 min^-1, és a dir, T_1/2 = ln 2/6,06·10^-3 = 114 min.

c) Restant 40 cpm a cada mesura (2400, 1992, 1640, 1358, 1130, 768 i 532 cpm), el pendent passa a ser −6,29·10^-3 min^-1 i T_1/2 = ln 2/6,29·10^-3 = 110 min. El correcte és aquest: la llei exponencial només la compleix la part del recompte que prové de la mostra. El fons és una quantitat constant que, a les mesures inicials, és insignificant (40 de 2440, un 1,6 %) però a les finals ja és el 7 % (40 de 572). Això fa que les últimes mesures semblin més altes del que haurien de ser, la mostra sembla decaure més lentament i el període surt sistemàticament més gran. És un error sistemàtic: repetir les mesures no l'elimina, cal corregir-lo. A més, sense corregir, ln R no és exactament una recta (es corba cap amunt a temps llargs).

d) El valor de 110 min coincideix amb el fluor-18 (109,8 min), l'isòtop de la fluorodesoxiglucosa que s'utilitza en la majoria d'exploracions PET.
Al cap d'1 h (60 min): A = 370·e^{−6,29·10-3·60} = 370·0,686 = 254 MBq.
Per quedar l'1 %: e^−λt = 0,01 → t = ln 100/λ = 4,605/6,29·10^-3 = 732 min ≈ 12,2 h. És a dir, unes 6,7 vegades el període de semidesintegració: l'endemà al matí l'activitat residual del pacient és pràcticament nul·la, una de les raons per les quals aquests isòtops de vida curta són adequats per al diagnòstic.

Errors típics

• No restar el fons de radiació, que introdueix un error sistemàtic que creix a mesura que la mostra decau.
• Restar el fons després de prendre logaritmes (ln R − ln 40), que no té cap sentit físic.
• Confondre λ amb T_1/2 o oblidar el factor ln 2.
• Fer servir només dos punts quan es tenen set mesures: la regressió aprofita totes les dades i redueix l'efecte dels errors aleatoris.

Conceptes treballats: llei de desintegració radioactiva, constant de desintegració i període de semidesintegració, linealització logarítmica, errors sistemàtics (fons de radiació), aplicacions mèdiques (PET).

a) Igualant la força gravitatòria a la força centrípeta: G·M·$\text{m/r}^{2}$ = m·$\tfrac{v^{2}}{r}$, amb v = 2π·r/T. Simplificant: $T^{2}$ = (4π²/(G·M))·$r^{3}$. La massa m de la lluna apareix als dos costats (com a massa gravitatòria a la força de Newton i com a massa inercial a la segona llei) i es cancel·la: totes les llunes, grans o petites, obeeixen la mateixa relació, que només depèn de la massa del planeta central.

b) Si T ∝ r^{$\tfrac{3}{2}$}, la gràfica de log T vs log r ha de ser una recta de pendent 1,5. Amb les quatre llunes (log r = 8,470; 8,576; 8,722; 9,087 i log T en segons = 5,212; 5,374; 5,592; 6,139) la regressió dona un pendent d'1,501, amb un coeficient de correlació de 0,999999. Les dades confirmen la tercera llei de Kepler.

c) Passem a segons i calculem $T^{2}$ i $r^{3}$: per exemple, per a Tità T = 15,95·86 400 = 1,378·$10^{6}$ s, $T^{2}$ = 1,899·$10^{12}$ $s^{2}$ i $r^{3}$ = 1,825·$10^{27}$ $m^{3}$. La regressió de $T^{2}$ vs $r^{3}$ dona un pendent k = 1,041·$10^{-15}$ $\tfrac{s^{2}}{m^{3}}$ (amb ordenada pràcticament nul·la, com s'espera).
M = 4π²/(G·k) = 4π²/(6,67·$10^{-11}$·1,041·$10^{-15}$) = 5,69·$10^{26}$ kg, unes 95 vegades la massa de la Terra.

d) T = $\sqrt{k\cdot r^{3}}$ = $\sqrt{1{,}041\cdot 10^{-15}\cdot (1{,}48\cdot 10^{9})^{3}}$ = 1,84·$10^{6}$ s = 21,3 dies. (El període real d'Hiperió és de 21,3 dies: el model funciona.)

e) La relació T–r no és lineal: una gràfica de T vs r és una corba i no se'n pot treure directament cap paràmetre. Linealitzar ($T^{2}$ vs $r^{3}$, o log–log) converteix la llei en una recta, permet comprovar visualment si les dades la compleixen (alineació, ordenada nul·la) i el pendent dona directament la magnitud física buscada aprofitant totes les mesures alhora.

Errors típics

• Treballar amb els períodes en dies i el radi en metres: el pendent surt en unitats barrejades i la massa és errònia per un factor 86 $400^{2}$.
• Fer servir el radi del planeta, o l'altura sobre la superfície, en lloc del radi de l'òrbita mesurat des del centre de Saturn.
• Pensar que les llunes més massives haurien de tenir períodes diferents a la mateixa distància.
• Confondre el pendent de la gràfica logarítmica (adimensional, 1,5) amb el de $T^{2}$ vs $r^{3}$.

Conceptes treballats: llei de gravitació universal, satèl·lits en òrbita circular, tercera llei de Kepler, linealització ($T^{2}$–$r^{3}$ i log–log), determinació de masses planetàries.

a) L'agulla s'orienta segons el camp total horitzontal, B_h + B_fil. Com que els dos vectors són perpendiculars, formen un triangle rectangle: el costat adjacent a l'angle θ (mesurat des del nord) és B_h i l'oposat és B_fil, de manera que tg θ = B_fil/B_h, amb B_fil = μ₀·$\tfrac{I}{(2\pi \cdot d)}$. Si el camp del fil no fos perpendicular al nord–sud, una part se sumaria o restaria a B_h i la relació deixaria de ser tan simple (fins i tot podria no desviar-se l'agulla si el camp del fil fos paral·lel a B_h).

b) Té raó, però no és cap problema de les dades: θ no és proporcional a I, sinó que ho és tg θ. Per corrents petits tg θ ≈ θ i sembla lineal, però a 5 A ja es nota (θ/I passa de 12 °/A a 9,4 °/A). La gràfica correcta és tg θ en funció de I, que ha de ser una recta per l'origen de pendent μ₀/(2π·d·B_h).

c) tg θ = 0,105; 0,213; 0,424; 0,649; 0,839; 1,072. La regressió lineal dona un pendent m = 0,2136 $A^{-1}$ (incertesa del pendent 0,0023 $A^{-1}$) i una ordenada −0,001, compatible amb zero, com s'espera.
B_h = μ₀/(2π·d·m) = 4π·$\tfrac{10^{-7}}{(2\pi \cdot 0{,}040\cdot 0{,}2136)} = 2{,}34$·$10^{-5}$ T.
La incertesa relativa del pendent ($\tfrac{0{,}0023}{0{,}2136} = 1{,}1$ %) es transmet a B_h: ΔB_h = 0,03·$10^{-5}$ T. Resultat: B_h = (2,34 ± 0,03)·$10^{-5}$ T.

d) La component horitzontal és B·cos 55°, de manera que B = B_h/cos 55° = 2,34·$\tfrac{10^{-5}}{0{,}574} = 4{,}08$·$10^{-5}$ T. Una brúixola només pot girar en un pla horitzontal (el seu eix és vertical): el parell que la fa girar el produeix només la component del camp en aquest pla. La component vertical tendeix a inclinar l'agulla, cosa que el suport impedeix.

e) Per exemple: (1) els cables que porten el corrent fins al fil, si passen a prop de la brúixola, hi creen un camp addicional (cal allunyar-los i fer-los anar junts, perquè els seus camps s'anul·lin); (2) objectes de ferro, imants, mòbils o altres corrents a prop alteren el camp local (cal treballar lluny de taules metàl·liques i aparells); (3) un error en la distància d o en el zero de l'escala angular (es pot invertir el sentit del corrent i fer la mitjana de les dues desviacions).

Errors típics

• Representar θ en comptes de tg θ i obtenir un pendent que depèn del rang de corrents utilitzat.
• Fer servir el diàmetre de la brúixola o una distància en cm sense passar-la a metres a B = μ₀$\tfrac{I}{(2\pi d)}$.
• Calcular B_h amb la calculadora en radians quan els angles són en graus.
• Confondre la component horitzontal amb el camp total: la brúixola només en mesura la component horitzontal.

Conceptes treballats: camp magnètic creat per un fil rectilini, superposició vectorial de camps, camp magnètic terrestre i inclinació, linealització (tg θ vs I), incertesa del pendent, errors sistemàtics.

a) Els quatre punts estan molt ben alineats. La regressió dona k = 1,604·10^-3 per cada 1 % i n₀ = 1,3324. L'ordenada n₀ és l'índex de l'aigua pura (concentració zero), i coincideix pràcticament amb el valor mesurat, 1,3330. (Si s'hi afegís un punt del 40 % es veuria que la relació real es corba lleugerament; per això el calibratge s'ha de fer al rang de concentracions que interessa.)

b) Snell: 1·sin 50,0° = n·sin 34,1° → n = 0,7660/0,5606 = 1,366.
Concentració: c = (n − n₀)/k = (1,3664 − 1,3324)/1,604·10^-3 = 21 %, un valor típic d'un most madur.

c) Derivant n = sin i/sin r respecte de r: |dn/dr| = sin i·cos r/sin² r = n/tg r. Amb Δr = 0,5° = 8,73·10^-3 rad:
Δn = 1,366·8,73·10^-3/tg 34,1° = 1,366·8,73·10^-3/0,677 = 0,018.
Δc = Δn/k = 0,018/1,604·10^-3 ≈ 11 %. El resultat seria c = (21 ± 11) %: la incertesa és de l'ordre de la mateixa mesura. Per al celler no serveix, perquè el que vol és distingir diferències d'un o dos punts de sucre. El problema és que l'índex només canvia 0,0016 per cada 1 % de sucre, mentre que un error d'un transportador de mig grau ja produeix un canvi d'n deu vegades més gran.

d) Angle límit (llum que va del prisma cap al most): sin θ_L = 1,366/1,720 = 0,7944 → θ_L = 52,6°.
Com que n = 1,720·sin θ_L, Δn = 1,720·cos θ_L·Δθ_L = 1,720·0,607·1,75·10^-3 = 1,8·10^-3, i Δc = 1,8·10^-3/1,604·10^-3 ≈ 1 %.
La precisió millora unes deu vegades: l'angle límit es detecta com una frontera neta entre zona clara i fosca (que es pot mesurar amb molta precisió) i, a més, el factor cos θ_L és petit. Per això tots els refractòmetres de laboratori i de vinya funcionen per reflexió total.

Errors típics

• Expressar la incertesa de l'angle en graus en lloc de radians en propagar-la amb la derivada.
• Donar n amb cinc decimals sense adonar-se que la incertesa ja afecta el segon.
• Aplicar la condició d'angle límit en el sentit equivocat: només hi ha reflexió total quan la llum va del medi de més índex (el prisma) al de menys (el most).
• Extrapolar la recta de calibratge fora del rang mesurat.

Conceptes treballats: refracció i llei de Snell, reflexió total i angle límit, recta de calibratge, propagació d'incerteses amb derivades, criteri d'idoneïtat d'un mètode de mesura.

a) A la superfície de l'aigua l'aire no es pot desplaçar: hi ha un node de desplaçament. A l'extrem obert l'aire vibra lliurement: hi ha un ventre. El cas més senzill (primera ressonància) és el d'un sol node i un sol ventre, separats $\tfrac{\lambda}{4}$, per tant λ = 4L. Com que el ventre es forma una distància e fora del tub, la longitud efectiva és L + e: L + e = $\tfrac{\lambda}{4} = v$/(4f).

b) v = 4fL: 334 · 330 · 327 · 323 · 322 m/s. Els valors disminueixen de manera clara i regular quan augmenta la freqüència: no és una dispersió a l'atzar sinó una tendència, signe d'un error sistemàtic. Es deu a ignorar e: com que L = $\tfrac{v}{(4f)}$ − e, la correcció és la mateixa en tots els casos però pesa més en relatiu com més curt és el tub (freqüències altes), i 4fL surt més petit que v.

c) Representem L en funció de $\tfrac{1}{f}$: L = ($\tfrac{v}{4}$)·($\tfrac{1}{f}$) − e. La regressió dona un pendent de 86,55 m·$s^{-1}$ i una ordenada de −0,0123 m:
v = 4·86,55 = 346 m/s; e = 1,2 cm.
Valor teòric: e ≈ 0,6·2,0 cm = 1,2 cm. Coincideixen, cosa que confirma que la tendència de l'apartat b) era deguda a la correcció d'extrem.

d) T = 273,15·($\tfrac{v}{331{,}3}$$)^{2}$ = 273,15·($\tfrac{346}{331{,}3}$$)^{2}$ ≈ 298 K, és a dir, uns 25 °C, una temperatura raonable per a un laboratori a l'estiu o amb calefacció.

e) La segona ressonància d'un tub tancat correspon a $L_{2}$ + e = 3λ/4: $L_{2}$ = 3·$\tfrac{346}{(4\cdot 512)}$ − 0,012 = 0,507 − 0,012 = 0,495 m ≈ 49,5 cm. La diferència entre les dues ressonàncies, $L_{2}$ − $L_{1}$ = $\tfrac{\lambda}{2}$, no depèn de e: és una altra manera d'eliminar l'error sistemàtic.

Errors típics

• Suposar que en un tub tancat per un extrem la primera ressonància és a L = $\tfrac{\lambda}{2}$ (seria un tub obert pels dos extrems).
• Fer la mitjana dels valors de 4fL: quan l'error és sistemàtic, fer la mitjana no el corregeix.
• Representar L en funció de f (una hipèrbola) i intentar treure'n un pendent.
• Oblidar el canvi de signe: l'ordenada a l'origen és −e, i la correcció d'extrem ha de sortir positiva.

Conceptes treballats: ones estacionàries en tubs, nodes i ventres, velocitat del so i temperatura, linealització (L vs $\tfrac{1}{f}$), detecció i correcció d'errors sistemàtics.

a) Acceleració: e·V = ½·m·v² → v = √(2·(e/m)·V). Al camp magnètic, la força de Lorentz (perpendicular a la velocitat) fa de força centrípeta: e·v·B = m·v²/r → r = v/((e/m)·B). Elevant al quadrat i substituint v²: r² = 2·(e/m)·V/((e/m)²·B²) = (2/((e/m)·B²))·V.

b) Representem r² (en m²) en funció de V: r² = 2,704·10^-3; 3,660·10^-3; 4,502·10^-3; 5,446·10^-3; 6,336·10^-3 m². La regressió dona un pendent de 1,810·10^-5 m²/V, amb una ordenada molt petita (5·10^-6 m²), compatible amb zero.
e/m = 2/(1,810·10^-5·(8,0·10^-4)²) = 1,73·10¹¹ C/kg.

c) Error relatiu: ε(e/m) = ε(pendent) + 2·ε(B) = 0,01 + 2·(0,2/8,0) = 0,01 + 0,05 = 0,06. Δ(e/m) = 0,06·1,73·10¹¹ ≈ 0,10·10¹¹ C/kg. Resultat: e/m = (1,73 ± 0,10)·10¹¹ C/kg. Domina clarament la incertesa del camp magnètic, perquè hi apareix al quadrat. L'interval [1,63; 1,83]·10¹¹ C/kg conté el valor acceptat (1,759·10¹¹): el resultat és compatible. Per millorar l'experiment caldria, sobretot, mesurar B amb més precisió.

d) v = √(2·1,759·10¹¹·250) = 9,4·10⁶ m/s, un 3 % de la velocitat de la llum. Els efectes relativistes són de l'ordre de v²/c² ≈ 0,1 %, molt per sota de la incertesa experimental, de manera que la mecànica clàssica és adequada.

e) Si s'inverteix el corrent de les bobines s'inverteix B i, amb ell, el sentit de la força de Lorentz: el feix descriu un cercle del mateix radi però girant en sentit contrari (cap a l'altre costat del tub). Si la velocitat no fos perpendicular al camp, la component paral·lela a B no es veuria afectada i la trajectòria seria una hèlice; el radi mesurat correspondria només a la component perpendicular de la velocitat i el valor de e/m sortiria erroni.

Errors típics

• Mesurar el diàmetre del cercle i fer servir aquest valor com a radi.
• Representar r en funció de V (no és lineal) o r en funció de √V sense comprovar que l'ordenada sigui nul·la.
• Oblidar que, com que B surt al quadrat, el seu error relatiu es duplica en el resultat.
• Fer servir la massa del protó o la càrrega amb el signe i obtenir radis o sentits de gir incorrectes.

Conceptes treballats: moviment de càrregues en camps elèctrics i magnètics, força de Lorentz, conservació de l'energia, linealització, propagació d'errors relatius, límit clàssic de la relativitat.

a) Per a una font puntual I = $\tfrac{P}{(4\pi \cdot d^{2})}$: si d es duplica, I es divideix per 4 i el nivell baixa 10·log 4 = 6,0 dB. A les dades, les baixades successives són 4,5; 5,0; 5,7 i 5,8 dB: s'acosten a 6 dB a distàncies grans però són clarament més petites a prop de l'altaveu. Les dades no compleixen exactament la llei si mesurem d des de la reixeta; com que la discrepància és sistemàtica (sempre del mateix signe i més gran a prop), no és un error aleatori del sonòmetre.

b) Si la distància real a la font és d + $d_{0}$: I = P/(4π·(d + $d_{0}$$)^{2}$) → (d + $d_{0}$$)^{2}$ = $\tfrac{P}{(4\pi \cdot I)}$ → $\tfrac{1}{\sqrt{I}}$ = $\sqrt{\tfrac{4\pi}{P}}$·(d + $d_{0}$), una recta en funció de d.
Intensitats: I = 4,47·$10^{-3}$; 1,58·$10^{-3}$; 5,01·$10^{-4}$; 1,35·$10^{-4}$; 3,55·$10^{-5}$ $\text{W/m}^{2}$, i $\tfrac{1}{\sqrt{I}} = 15{,}0$; 25,1; 44,7; 86,1; 167,9 ($\text{W/m}^{2}$)^{-$\tfrac{1}{2}$}.
Regressió: pendent m = 51,0 ($\text{W/m}^{2}$)^{-$\tfrac{1}{2}$}·$m^{-1}$, ordenada b = 4,47 ($\text{W/m}^{2}$)^{-$\tfrac{1}{2}$}, amb r = 0,99998.
$d_{0}$ = $\tfrac{b}{m} = 0{,}088$ m ≈ 9 cm (la membrana de l'altaveu és uns centímetres per darrere de la reixeta, cosa raonable).
P = 4π/$m^{2}$ = 4π/51,$0^{2}$ = 4,8·$10^{-3}$ W. Un altaveu petit converteix en so només uns mil·liwatts.

c) L'error relatiu de distància és $\tfrac{d_{0}}{d}$: a 0,20 m, 9 cm és gairebé un 45 % de la distància, mentre que a 3,20 m és menys del 3 %. Com que la intensitat depèn del quadrat de la distància, a prop l'efecte és enorme i lluny és gairebé inapreciable. Per això, si es mesura des de la reixeta, el nivell baixa menys del previst a curta distància.

d) I(60 dB) = $10^{-12}$·$10^{6}$ = 1,0·$10^{-6}$ $\text{W/m}^{2}$. d = $\sqrt{\tfrac{P}{(4\pi \cdot I)}}$ = $\sqrt{4{,}\tfrac{8\cdot 10^{-3}}{(4\pi \cdot 1}{,}0\cdot 10^{-6})}$ ≈ 20 m. Hipòtesis: propagació en camp lliure, sense absorció de l'aire ni reflexions, i emissió isòtropa (en realitat, un altaveu és direccional i hi ha soroll de fons, de manera que la distància real seria diferent).

Errors típics

• Pensar que el nivell en dB és inversament proporcional a $d^{2}$: el que ho és és la intensitat; el nivell baixa 6 dB per cada duplicació.
• Sumar o fer mitjanes de decibels directament com si fossin intensitats.
• Atribuir la desviació a errors aleatoris del sonòmetre quan és sistemàtica.
• Oblidar passar les intensitats de dB a $\text{W/m}^{2}$ abans de linealitzar.

Conceptes treballats: intensitat i nivell d'intensitat sonora, llei de l'invers del quadrat, linealització amb canvi de variable, error sistemàtic en l'origen de mesura, potència d'una font.

a) Per la llei de Faraday, ε = −N·dΦ/dt. El flux a través de la bobina depèn de la posició x de l'imant, Φ(x), de manera que dΦ/dt = (dΦ/dx)·v. En una posició determinada (la del pic), dΦ/dx és sempre el mateix (mateix imant, mateixa orientació, mateixa bobina) i, per tant, $ε_{màx}$ és proporcional a v. Com que en caiguda lliure v = $\sqrt{2gh}$, s'espera $ε_{màx}$ ∝ h^{$\tfrac{1}{2}$}.

b) log h = −1,301; −1,000; −0,699; −0,398; −0,097 i log ε = −0,678; −0,538; −0,377; −0,229; −0,076. La regressió dona un pendent de 0,50, amb r = 0,9998: exactament l'exponent $\tfrac{1}{2}$ previst. La hipòtesi es confirma.

c) v = $\sqrt{2gh}$ = 0,99; 1,40; 1,98; 2,80; 3,96 m/s. La recta ε–v passa per l'origen i el pendent (ajust per l'origen) és k = 0,21 V·s/m. Per a h = 1,25 m: v = $\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 1{,}25}$ = 4,95 m/s i $ε_{màx}$ = 0,21·4,95 ≈ 1,05 V.

d) Signe: quan l'imant entra, el flux a través de la bobina augmenta; quan surt, disminueix. dΦ/dt canvia de signe i, segons la llei de Lenz, el corrent induït circula en sentit contrari: el pic té signe oposat. Valor: mentre travessa la bobina, l'imant continua accelerant per la gravetat, de manera que surt més de pressa que no ha entrat; amb el mateix dΦ/dx i més velocitat, la f.e.m. és més gran.

e) Sí. Amb el circuit obert no circula corrent i no hi ha cap força sobre l'imant. Si es tanca amb una resistència petita, circula un corrent induït apreciable que, segons la llei de Lenz, crea un camp que s'oposa al moviment de l'imant (el frena en entrar i l'estira cap amunt en sortir). Energèticament: una part de l'energia potencial gravitatòria es transforma en energia elèctrica, que es dissipa per efecte Joule a la bobina, de manera que l'energia cinètica de l'imant és menor que en caiguda lliure. És el principi dels frens electromagnètics de trens i atraccions.

Errors típics

• Pensar que la f.e.m. depèn de la posició de l'imant i no de la rapidesa amb què varia el flux.
• Suposar que $ε_{màx}$ ∝ h (lineal) sense fer la gràfica logarítmica.
• Atribuir el signe contrari del segon pic a un error del sensor en lloc de la llei de Lenz.
• Creure que l'energia elèctrica induïda «surt del no-res»: prové de l'energia mecànica de l'imant, que és frenat.

Conceptes treballats: llei de Faraday i llei de Lenz, flux magnètic, caiguda lliure i conservació de l'energia, linealització log–log, formulació i contrast d'hipòtesis, frenada electromagnètica.

a) Dimensions: [T] = s; [G] = m³·kg^-1·s^-2; [M] = kg; [r] = m. Igualant exponents:
s: 1 = −2a → a = −1/2
m: 0 = 3a + c → c = 3/2
kg: 0 = −a + b → b = −1/2
Per tant, T = C·r^3/2/√(G·M): l'anàlisi dimensional ja reprodueix la tercera llei de Kepler (T² ∝ r³), però no pot donar el valor de C.

b) Amb la massa del satèl·lit, l'equació dels quilograms passa a ser 0 = −a + b + d, mentre que les dels segons i els metres no canvien. Queden a = −1/2 i c = 3/2, però només b + d = −1/2: qualsevol repartiment entre M i m és dimensionalment correcte (per exemple, b = −1/2 i d = 0, o b = 0 i d = −1/2). L'anàlisi dimensional no hi pot dir res perquè M i m tenen les mateixes dimensions. L'argument físic és el principi d'equivalència (igualtat de la massa inercial i la gravitatòria): l'acceleració d'un cos en un camp gravitatori no depèn de la seva massa, de manera que tots els satèl·lits a la mateixa distància tenen el mateix període i d = 0.

c) T = 92,8·60 = 5568 s. C = T·√(G·M/r³) = 5568·√(3,986·10¹⁴/(6,79·10⁶)³) = 6,28.
Error relatiu: ε(C) = ε(T) + (3/2)·ε(r) = 0,1/92,8 + 1,5·0,005/6,79 = 0,0011 + 0,0011 = 0,0022 → ΔC = 0,01. Resultat: C = 6,28 ± 0,01.
Segons Newton (força gravitatòria = força centrípeta), T = 2π·√(r³/(G·M)), és a dir, C = 2π = 6,283. El valor experimental és perfectament compatible.

d) r = (T·√(G·M)/C)^2/3 = (86 164·√(3,986·10¹⁴)/6,28)^2/3 = 4,22·10⁷ m. Altura: h = r − R_T = 4,22·10⁷ − 6,37·10⁶ = 3,58·10⁷ m ≈ 35 800 km. Cal fer servir el dia sideri (el temps que tarda la Terra a girar 360° respecte de les estrelles), no les 24 h del dia solar.

Errors típics

• Oblidar la dimensió de temps a G (s^-2) i obtenir un sistema incompatible.
• Concloure de l'anàlisi dimensional que «T no depèn de m»: l'anàlisi no ho pot decidir; ho decideix la física.
• Fer servir l'altura de l'ISS (uns 420 km) en lloc del radi de l'òrbita mesurat des del centre de la Terra.
• Propagar l'error de r amb coeficient 1 en lloc de 3/2.

Conceptes treballats: anàlisi dimensional, tercera llei de Kepler, principi d'equivalència, satèl·lits i òrbita geostacionària, propagació d'errors relatius, compatibilitat amb un valor teòric.