Exercicis de cosmologia i astrofísica — Física 2n Batxillerat

a) d = 4,24 · 9,47·$10^{15}$ m = 4,02·$10^{16}$ m. En ua: 4,02·$\tfrac{10^{16}}{1{,}50}$·$10^{11}$ = 2,68·$10^{5}$ ua, és a dir, unes 270 000 vegades la distància de la Terra al Sol.

b) t = $\tfrac{d}{v} = 4{,}02$·$10^{16}$ $\tfrac{m}{3{,}0}$·$10^{4}$ $\tfrac{m}{s} = 1{,}34$·$10^{12}$ s = 1,34·$\tfrac{10^{12}}{3{,}156}$·$10^{7}$ = 4,24·$10^{4}$ anys, és a dir, uns 42 000 anys: amb la tecnologia actual, els viatges interestel·lars són impracticables.

c) La llum no viatja instantàniament: va a c = 3,00·$10^{8}$ m/s. La llum de Pròxima que ens arriba avui va sortir-ne fa 4,24 anys; veiem l'estrella tal com era llavors. Com més lluny és un objecte, més enrere en el temps el veiem; per això l'astrofísica és, en certa manera, una «màquina del temps».

Ptolemeu → (2); Copèrnic → (4); Galileu → (1); Kepler → (5); Newton → (3).

a) Perquè funcionava: amb epicicles i altres ajustos predeia prou bé les posicions dels planetes, i coincidia amb la intuïció (no notem que la Terra es mogui ni veiem paral·laxi estel·lar a ull nu) i amb la visió del món de l'època.

b) Els satèl·lits de Júpiter, que giren al voltant d'un cos que no és la Terra, i sobretot el conjunt de fases de Venus (de creixent a plena), que només té sentit si Venus gira al voltant del Sol.

c) Newton va unificar la física del cel i la de la Terra: la mateixa força, la gravetat, fa caure una poma i manté la Lluna en òrbita, i d'ella es poden deduir les lleis de Kepler.

a) Els planetes estan més a prop quan són alineats amb el Sol al mateix costat (1,52 − 1,00 = 0,52 ua) i més lluny quan són a costats oposats (1,52 + 1,00 = 2,52 ua). $d_{mín}$ = 0,52 · 1,50·$10^{11}$ = 7,80·$10^{10}$ m; $d_{màx}$ = 2,52 · 1,50·$10^{11}$ = 3,78·$10^{11}$ m.

b) t = $\tfrac{d}{c}$. $t_{mín}$ = 7,80·$\tfrac{10^{10}}{3{,}00}$·$10^{8}$ = 260 s = 4,3 min. $t_{màx}$ = 3,78·$\tfrac{10^{11}}{3{,}00}$·$10^{8}$ = 1260 s = 21,0 min.

c) El senyal ha de fer l'anada i la tornada: el temps és el doble, entre 8,7 min i 42,0 min. Amb retards així, qualsevol maniobra manual arribaria massa tard; per això el vehicle ha de tenir cert grau d'autonomia: rep ordres d'alt nivell i les executa de manera independent.

a) $T^{2}$ = $a^{3}$ ⇒ T = a^{$\tfrac{3}{2}$} = 30,1^{$\tfrac{3}{2}$} = 165 anys. Si el va descobrir el 1846, va completar la primera volta sencera al voltant del Sol l'any 1846 + 165 = 2011.

b) T = 19,2^{$\tfrac{3}{2}$} = 84 anys.

c) a = T^{$\tfrac{2}{3}$} = 8,0^{$\tfrac{2}{3}$} = 4,0 ua, un valor típic del cinturó d'asteroides entre Mart i Júpiter.

g = G·M/R².
Sol: g = 6,67·10^-11 · 1,99·10³⁰ / (6,96·10⁸)² = 274 m/s², unes 28 vegades la de la Terra.
Júpiter: g = 6,67·10^-11 · 1,90·10²⁷ / (7,15·10⁷)² = 24,8 m/s², unes 2,5 vegades la de la Terra.

Pes (P = m·g): Terra, 637 N; Júpiter, 1611 N; Sol, 17 810 N (aproximadament 17,8 kN, el que pesaria una massa de 1817 kg a la Terra).

Cap dels dos astres té superfície sòlida (són gasosos), de manera que és només un exercici per comparar camps gravitatoris. Observa que Júpiter, tot i tenir una massa 318 vegades la de la Terra, només té una gravetat superficial 2,5 vegades més gran perquè també és molt més gran.

a) v = H₀·d = 70 km/s/Mpc · 120 Mpc = 8400 km/s.

b) d = v/H₀ = 3500 / 70 = 50 Mpc.

c) La relació és directament proporcional: una galàxia tres vegades més lluny s'allunya a una velocitat tres vegades més gran. La velocitat de l'apartat a) és 280 vegades la de la Terra al voltant del Sol, i correspon a un 2,8 % de la velocitat de la llum (3,00·10⁵ km/s).

a) Falsa. No va ser una explosió en un punt de l'espai: el que s'expandeix és l'espai mateix. No hi ha cap «centre» des d'on s'allunyi tot.

b) Certa. És la llei de Hubble, v = $H_{0}$·d: com més lluny, més de pressa s'allunya.

c) Certa. Aquesta radiació és la llum que es va alliberar quan l'univers jove es va refredar i es va fer transparent, i l'expansió l'ha refredada fins a uns 2,7 K. Un univers jove calent i dens l'explica de manera natural.

d) Falsa. Els objectes lligats per la gravetat (sistemes planetaris, estrelles, galàxies) no s'expandeixen: només augmenta la distància entre galàxies que no estan lligades entre elles.

e) Falsa. En els primers minuts només es van formar hidrogen, heli i petites quantitats de liti; la resta d'elements es fabriquen dins de les estrelles i en els seus esdeveniments finals.

f) Certa. Les mesures actuals donen una edat d'uns 13,8 mil milions d'anys.

a) I = $\tfrac{L}{(4\pi \cdot r^{2})} = 3{,}83$·$10^{26}$ / (4π · (1,50·$10^{11}$$)^{2}$) = 1355 $\text{W/m}^{2}$.

b) A Mart, r = 1,52 · 1,50·$10^{11}$ = 2,28·$10^{11}$ m i I = 586 $\text{W/m}^{2}$. El quocient és $\tfrac{1}{1{,}52^{2}} = 0{,}43$: Mart rep un 43 % de la intensitat que rep la Terra (la intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància).

c) P = rendiment · I · S. A la Terra: 0,20 · 1355 · 8,0 = 2167 W. A Mart: 0,20 · 586 · 8,0 = 938 W. Els dispositius solars a Mart han de ser més grans per obtenir la mateixa potència.

ρ = M / (($\tfrac{4}{3}$)·π·$R^{3}$).
Sol: ρ = 1409 $\text{kg/m}^{3}$.
Júpiter: ρ = 1241 $\text{kg/m}^{3}$.
Terra: ρ = 5514 $\text{kg/m}^{3}$.

El Sol i Júpiter tenen una densitat només lleugerament superior a la de l'aigua (1,4 i 1,2 vegades), molt inferior a la de la Terra (5,5 vegades l'aigua). No poden ser sòlids rocosos: són esferes de gas (sobretot hidrogen i heli) comprimides per la seva pròpia gravetat. La Terra, en canvi, és rocosa, amb un nucli metàl·lic.

a) Núvol de gas i pols (nebulosa) → protoestrella → seqüència principal → gegant vermella → nebulosa planetària → nan blanc.

b) S'equilibren la gravetat, que tendeix a comprimir l'estrella, i la pressió del gas calent, que tendeix a expandir-la. La pressió es manté perquè al nucli hi ha reaccions de fusió nuclear (hidrogen en heli) que alliberen energia i mantenen la temperatura molt alta.

c) Sense combustible, el nucli deixa de produir prou energia i es contrau per la gravetat; es calenta i la fusió de l'hidrogen continua en una capa al voltant del nucli, mentre les capes externes s'expandeixen i es refreden: l'estrella es converteix en una gegant vermella.

d) Perquè la massa del Sol és massa petita. Només les estrelles molt més massives que el Sol (més de 8 vegades aproximadament) acaben amb un nucli que col·lapsa en una estrella de neutrons o un forat negre. El Sol expulsarà les capes externes i quedarà com a nan blanc.

a) Per a una galàxia a distància d i velocitat v = H₀·d: t = d / v = d / (H₀·d) = 1/H₀. La d s'anul·la, de manera que totes les galàxies coincidirien en el mateix instant.

b) H₀ = 70 · 10³ m/s / 3,09·10²² m = 2,27·10^-18 s^-1. t = 1/H₀ = 4,41·10¹⁷ s = 1,40·10¹⁰ anys, és a dir, uns 14,0 mil milions d'anys.

c) Amb 67 km/s/Mpc, t = 14,6·10⁹ anys; amb 74 km/s/Mpc, t = 13,2·10⁹ anys. Una diferència petita en H₀ es tradueix en uns 1,4·10⁹ anys d'incertesa en l'edat estimada.

d) El valor de b) és molt proper als 13,8·10⁹ anys, però només és una estimació: l'expansió no ha anat a velocitat constant. La gravetat de la matèria la va frenar durant molt de temps i, més recentment, sembla que s'ha accelerat per l'anomenada energia fosca. Que ambdós efectes gairebé es compensin fa que 1/H₀ sigui avui una bona aproximació de l'edat real.

a) z = (664,9 − 656,3) / 656,3 = 0,0131.

b) v ≈ c·z = 3,00·10⁵ km/s · 0,0131 = 3931 km/s. Com que λ_obs és més gran, la galàxia s'allunya.

c) d = v/H₀ = 3931 / 70 = 56 Mpc, que són 56 · 3,26 = 183 milions d'anys llum.

d) La llum viatja a c, de manera que triga 183 milions d'anys a arribar. Veiem la galàxia com era fa 183 milions d'anys, quan a la Terra hi havia dinosaures.

Nota: la fórmula v ≈ c·z només val si z és petit (z << 1); per a galàxies molt més llunyanes no es pot fer servir.

a) Cada estrella descriu un cercle al voltant del centre de masses amb el mateix període T. La força gravitatòria entre elles val G·m_A·m_B/a² amb a = r_A + r_B = 3,0 ua; aplicant la segona llei de Newton a cada una i sumant, s'obté la tercera llei de Kepler generalitzada: G·(m_A + m_B) = 4π²·a³/T².
M = 4π²·(4,5·10¹¹)³ / (6,67·10^-11 · (1,262·10⁸)²) = 3,38·10³⁰ kg = 1,70 M_Sol. (Amb unitats solars: M = a³/T² = 27/16 = 1,69 M_Sol, d'acord.)

b) El centre de masses compleix m_A·r_A = m_B·r_B, de manera que m_A/m_B = r_B/r_A = 2. Amb m_A + m_B = 1,69 M_Sol: m_A = 1,12 M_Sol i m_B = 0,56 M_Sol. L'estrella més massiva és la A, i el centre de masses és més a prop d'ella.

c) v = 2π·r/T. v_A = 2π · 1,50·10¹¹ / 1,262·10⁸ = 7,5 km/s; v_B = 14,9 km/s, el doble, perquè fa un cercle del doble de radi en el mateix temps.

a) La intensitat és I = L/(4π·d²). Igualant-la a la de la Terra: L/d² = L_Sol/(1 ua)² ⇒ d = (1 ua)·√(L/L_Sol) = 1 · √0,25 = 0,50 ua.

b) Amb T en anys, a en ua i M en masses solars: T² = a³/M ⇒ T = √(0,50³/0,75) = √0,1667 = 0,408 anys = 149 dies.

c) v = 2π·a/T = 2π · 0,50 · 1,50·10¹¹ / (0,408 · 3,156·10⁷) = 36,6 km/s, més gran que la de la Terra. Com que v = √(G·M/a), v/v_Terra = √(M/a) = √(0,75/0,50) = 1,22 (M en M_Sol i a en ua): el planeta és més a prop de l'estrella, i això compensa que l'estrella sigui menys massiva.

d) A 1,00 ua la intensitat seria I = (0,25·L_Sol)/(4π·(1 ua)²): la quarta part de la que rep la Terra (ara la distància és el doble de la «distància habitable», 1/2² = 1/4). Un planeta així tindria uns 340 W/m² en lloc dels 1355 W/m² de la Terra: probablement seria massa fred per a aigua líquida, tret que tingués una atmosfera amb molt efecte hivernacle.

a) Δm = E/c²: cada segon, Δm = 3,83·10²⁶ / (3,00·10⁸)² = 4,26·10⁹ kg/s (uns 4 milions de tones per segon). En un any: 1,34·10¹⁷ kg. En 10¹⁰ anys: 1,34·10²⁷ kg, és a dir, 6,75·10^-4 vegades la massa del Sol: només un 0,07 %.

b) Energia per reacció: 26,7·10⁶ · 1,60·10^-19 = 4,27·10^-12 J. Reaccions per segon: N = 3,83·10²⁶ / 4,27·10^-12 = 8,97·10³⁷ s^-1.

c) Cada reacció consumeix 4 protons: 3,59·10³⁸ protons/s, o sigui 3,59·10³⁸ · 1,67·10^-27 = 5,99·10¹¹ kg/s d'hidrogen (uns 600 milions de tones per segon). Comprovació: la massa perduda és 0,71 % de l'hidrogen consumit, la qual cosa correspon al fet que la massa de l'heli sigui un 0,7 % inferior a la dels quatre protons.

d) Hidrogen disponible: 0,10 · 0,71 · 1,99·10³⁰ = 1,41·10²⁹ kg. t = 1,41·10²⁹ / 5,99·10¹¹ = 2,36·10¹⁷ s = 7,48·10⁹ anys, uns 7,5 mil milions d'anys, de l'ordre dels 10 mil milions d'anys que es calcula per a la fase estable del Sol (el Sol té ara uns 4,6 mil milions d'anys).

a) p = 0,768″ = 0,768 · 4,848·10^-6 = 3,72·10^-6 rad. d = 1,50·10¹¹ / 3,72·10^-6 = 4,03·10¹⁶ m = 4,03·10¹⁶ / 9,47·10¹⁵ = 4,25 anys llum.

b) Per a p = 1″ = 4,848·10^-6 rad: d = 1,50·10¹¹ / 4,848·10^-6 = 3,09·10¹⁶ m, que són 3,27 anys llum. Si p s'expressa en segons d'arc, p″ = p/1″ i d = 1 pc / p″, o sigui d(pc) = 1/p″. Pròxima: 1/0,768 = 1,30 pc. Sírius: d = 1/0,379 = 2,64 pc = 2,64 · 3,09·10¹⁶ / 9,47·10¹⁵ = 8,6 anys llum.

c) d_màx = 1/0,001 = 1000 pc = 1 kpc. És només un 7 % del radi de la Via Làctia (15 000 pc), de manera que la paral·laxi només serveix per a estrelles properes. Per mesurar distàncies més grans cal fer servir altres mètodes, com les «espelmes estàndard» (cefeides, supernoves) o la llei de Hubble.

a) ρ = M/((4/3)·π·R³) = 1,99·10³⁰ / ((4/3)·π·(5,8·10⁶)³) = 2,43·10⁹ kg/m³, unes 4,4·10⁵ vegades la densitat de la Terra.

b) g = G·M/R² = 6,67·10^-11 · 1,99·10³⁰ / (5,8·10⁶)² = 3,95·10⁶ m/s², unes 4,0·10⁵ vegades la gravetat de la Terra.

c) v_e = √(2·G·M/R) = √(2 · 1,33·10²⁰ / 5,8·10⁶) = 6,77·10⁶ m/s, un 2,3 % de c. Encara és prou petita perquè el càlcul newtonià sigui una bona aproximació.

d) m = ρ·V = 2,43·10⁹ · 5·10^-6 = 1,22·10⁴ kg, unes 12 tones.

a) $v_{A}$ = 70 · 100 = 7000 km/s; $v_{B}$ = 70 · 250 = 17 500 km/s; $v_{C}$ = 70 · 80 = 5600 km/s (en sentit contrari).

b) A i B estan en la mateixa direcció, de manera que la velocitat relativa és la diferència: 17 500 − 7000 = 10 500 km/s. La distància entre A i B és 250 − 100 = 150 Mpc i la llei de Hubble dona 70 · 150 = 10 500 km/s: coincideix.

c) C és en la direcció oposada, de manera que les velocitats se sumen: 7000 + 5600 = 12 600 km/s. La distància entre A i C és 100 + 80 = 180 Mpc i la llei dona 70 · 180 = 12 600 km/s: també coincideix.

d) Des de qualsevol galàxia es veu la mateixa llei: tot s'allunya de tot, i com més lluny, més de pressa. Per tant, la Terra no ocupa una posició especial i no hi ha cap centre de l'expansió; és l'espai entre les galàxies el que s'estén (com els punts dibuixats en un globus que s'infla: cada punt veu els altres allunyar-se).

a) d = $\sqrt{\tfrac{L}{(4\pi \cdot I)}}$ = $\sqrt{1{,}\tfrac{30\cdot 10^{30}}{(4\pi \cdot 1}{,}20\cdot 10^{-9})}$ = 9,28·$10^{18}$ m = 300 pc = 980 anys llum.

b) Com que I ∝ $\tfrac{1}{d^{2}}$, si una cefeida es veu amb una intensitat 4 vegades menor, és $\sqrt{4}$ = 2 vegades més lluny.

c) d = $\sqrt{1{,}\tfrac{30\cdot 10^{30}}{(4\pi \cdot 3}{,}2\cdot 10^{-16})}$ = 1,80·$10^{22}$ m = 5,82·$10^{5}$ pc = 0,58 Mpc. La llei de Hubble dona v = 70 · 0,58 ≈ 41 km/s.

Aquesta tècnica de «cadena de distàncies» (paral·laxi → cefeides → altres indicadors → Hubble) és el que permet mesurar la constant $H_{0}$. Atenció: a menys d'1 Mpc el moviment propi de la galàxia (centenars de km/s) pot superar de lluny els 40 km/s del flux de Hubble, de manera que la llei de Hubble no és fiable en aquest cas; les cefeides serveixen per calibrar les distàncies i arribar a galàxies més llunyanes, on sí que es pot determinar $H_{0}$.

a) a = 0,02925 · 1,50·$10^{11}$ = 4,39·$10^{9}$ m; T = 6,10 · 86400 = 5,27·$10^{5}$ s. La gravetat de l'estrella és la força centrípeta del planeta: G·M·$\text{m/a}^{2}$ = m·4π²·$\text{a/T}^{2}$ ⇒ M = 4π²·$\tfrac{a^{3}}{(G\cdot T^{2})} = 1{,}80$·$10^{29}$ kg = 0,090 $M_{Sol}$, uns 9 % de la massa del Sol.

b) v = 2π·$\tfrac{a}{T} = 2$π · 4,39·$\tfrac{10^{9}}{5{,}27}$·$10^{5}$ = 52,3 km/s, que és 1,76 vegades la velocitat de la Terra.

c) Com que v = $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{a}}$, la velocitat orbital augmenta quan l'òrbita és més petita i disminueix amb una massa central més petita. Aquí, el radi és 34 vegades més petit que el de la Terra (factor $\sqrt{34}$ ≈ 5,8 de més) i la massa és 11 vegades més petita (factor $\sqrt{11}$ ≈ 3,3 de menys): el primer efecte guanya, i v és 1,8 vegades la de la Terra. El període és molt curt (6 dies) perquè l'òrbita és diminuta.

a) L'energia mecànica de la galàxia (massa m) és E = ½·m·$v^{2}$ − G·M·m/d. Amb v = $H_{0}$·d i M = ($\tfrac{4}{3}$)·π·$d^{3}$·ρ:
E = ½·m·$H_{0}$²·$d^{2}$ − ($\tfrac{4}{3}$)·π·G·ρ·m·$d^{2}$ = m·$d^{2}$·(½·$H_{0}$² − ($\tfrac{4}{3}$)·π·G·ρ).
La galàxia s'allunya per sempre si E ≥ 0: ½·$H_{0}$² ≥ ($\tfrac{4}{3}$)·π·G·ρ ⇒ ρ ≤ 3·$H_{0}$²/(8π·G) = $ρ_{c}$. Si la densitat és menor o igual que la crítica, l'expansió continua indefinidament; si és més gran, l'atracció guanya. Com que d s'anul·la, la conclusió val per a totes les galàxies.

b) $H_{0}$ = 70·$\tfrac{10^{3}}{3{,}09}$·$10^{22}$ = 2,27·$10^{-18}$ $s^{-1}$. $ρ_{c}$ = 3 · (2,27·$10^{-18}$$)^{2}$ / (8π · 6,67·$10^{-11}$) = 9,18·$10^{-27}$ $\text{kg/m}^{3}$. En protons: 9,18·$\tfrac{10^{-27}}{1{,}67}$·$10^{-27}$ = 5,5 protons per $m^{3}$: l'univers és gairebé buit.

c) $ρ_{m}$ = 0,31 · 9,18·$10^{-27}$ = 2,85·$10^{-27}$ $\text{kg/m}^{3}$, per sota de la crítica; en aquest model l'expansió continuaria per sempre, frenant-se cada cop més però sense aturar-se. (La realitat és més complicada: l'energia fosca, que aquest model ignora, fa que l'expansió s'acceleri.)

d) Amb ρ = 2·$ρ_{c}$, l'energia mecànica seria negativa: l'expansió s'aturaria algun dia i es convertiria en una contracció (Big Crunch), de manera anàloga a un projectil llançat amb menys que la velocitat d'escapament.

a) El centre de masses compleix $M_{Sol}$·$r_{S}$ = $M_{J}$·$r_{J}$ amb $r_{S}$ + $r_{J}$ = a. Per tant, $r_{S}$ = a·$\tfrac{M_{J}}{(M_{Sol} + M_{J})} = 7{,}78$·$10^{11}$ · 1,90·$\tfrac{10^{27}}{(1{,}99\cdot 10^{30} + 1{,}90\cdot 10^{27})} = 7{,}42$·$10^{8}$ m, que és 1,07 vegades el radi del Sol. El centre de masses és, doncs, una mica fora de la superfície solar.

b) Totes dues giren amb el mateix període T = 11,86 anys = 3,74·$10^{8}$ s. $v_{Sol}$ = 2π·$\tfrac{r_{S}}{T} = 2$π · 7,42·$\tfrac{10^{8}}{3{,}74}$·$10^{8}$ = 12,5 m/s. Per a Júpiter, $r_{J}$ = a − $r_{S}$ = 7,77·$10^{11}$ m i $v_{J}$ = 13,0 km/s.

c) Com que $M_{estrella}$·$v_{estrella}$ = $m_{planeta}$·$v_{planeta}$ (conservació del moment lineal en el sistema del centre de masses), la velocitat de l'estrella és $v_{estrella}$ = (m/M)·$v_{planeta}$. Un planeta més massiu (m gran) fa que l'estrella es mogui més de pressa. I un planeta més proper té més velocitat orbital (v ∝ $\tfrac{1}{\sqrt{a}}$), de manera que també és més fàcil de detectar. Per això els primers exoplanetes descoberts d'aquesta manera eren «Júpiters calents», gegants gasosos molt propers a la seva estrella. El Sol només es mou uns 12,5 m/s per culpa de Júpiter (una mica més que la velocitat d'un esprínter), un senyal molt difícil de mesurar des d'una altra estrella.

a) g = G·M/R² = 6,67·10^-11 · 1,4 · 1,99·10³⁰ / (1,2·10⁴)² = 1,29·10¹² m/s², uns 1,32·10¹¹ vegades la gravetat terrestre. Densitat: ρ = M/((4/3)·π·R³) = 3,85·10¹⁷ kg/m³, unes 1,7 vegades la d'un nucli atòmic: l'estrella és com un únic nucli atòmic gegant.

b) v_e = √(2·G·M/R) = 1,76·10⁸ m/s = 0,59·c. És una fracció molt gran de c, de manera que aquí la relativitat general és essencial i el càlcul newtonià és només una estimació de l'ordre de magnitud.

c) En el límit, la gravetat serveix de força centrípeta d'una partícula a l'equador: G·M·m/R² = m·(2π/T)²·R ⇒ T = 2π·√(R³/(G·M)) = 2π · √((1,2·10⁴)³ / 1,86·10²⁰) = 6,06·10^-4 s = 0,61 ms, o sigui, f = 1650 voltes per segon.

d) Sí: 700 voltes per segon és menys de la meitat de les 1650 del límit, així que la gravetat encara pot retenir la matèria de l'equador. Aquestes estrelles giren molt de pressa, però sense arribar a desintegrar-se.

a) t = 2a/c = 2 · 3,84·$\tfrac{10^{8}}{3{,}00}$·$10^{8}$ = 2,56 s. Per a Δa = 0,038 m: Δt = 2·Δa/c = 2,53·$10^{-10}$ s, o sigui, 0,25 ns: cal un rellotge molt precís (i molts polsos) per detectar-ho.

b) T = 2π·$\sqrt{\tfrac{a^{3}}{(G\cdot M_{T})}}$ = 2,37·$10^{6}$ s = 27,4 dies. Com que T ∝ a^{$\tfrac{3}{2}$}, ΔT/T = ($\tfrac{3}{2}$)·Δa/a, i ΔT = 1,5 · 2,37·$10^{6}$ · $\tfrac{0{,}038}{3{,}84}$·$10^{8}$ = 3,52·$10^{-4}$ s = 0,35 ms cada any. El mes es fa una mica més llarg.

c) ΔE = G·$M_{T}$·m·Δa/(2a²) (derivant E respecte d'a). ΔE = 2,93·$10^{37}$ · 0,038 / (2 · (3,84·$10^{8}$$)^{2}$) = 3,77·$10^{18}$ J cada any, de manera que la potència mitjana és P = ΔE / (3,156·$10^{7}$ s) = 1,19·$10^{11}$ W.

d) L'energia ha de venir de la Terra. La Lluna provoca marees: les masses d'aigua, en fregar amb el fons marí i entre elles, dissipen energia. A més, com que la Terra gira més de pressa que la Lluna orbita, el bony de marea queda lleugerament desplaçat endavant de la línia Terra–Lluna; la seva atracció gravitatòria empeny la Lluna en el sentit del moviment i li dona energia. La Terra, en canvi, perd energia de rotació (el dia s'allarga uns 2 ms per segle).

a) λ_obs = (1 + 3,0) · 121,6 nm = 486,4 nm, que és llum visible (blau-verd). Una línia ultraviolada de l'univers jove es pot observar amb telescopis òptics.

b) E = h·c/λ. Emesa: E = 6,63·10^-34 · 3,00·10⁸ / (121,6·10^-9) = 1,64·10^-18 J = 10,2 eV. Observada: E = 4,09·10^-19 J = 2,56 eV, és a dir, 4 vegades menys; l'expansió no destrueix els fotons, però en redueix l'energia.

c) La mida de l'univers era 1/(1 + z) = 1/4 de l'actual. El volum era 4³ = 64 vegades més petit, de manera que el nombre de partícules per unitat de volum era 64 vegades més gran.

d) T_avui = 3000 K / 1101 = 2,72 K, que coincideix amb la temperatura observada de la radiació còsmica de fons (uns 2,7 K). Aquesta coincidència és una de les proves més fortes del Big Bang.

a) Velocitat orbital: G·M·m/r² = m·v²/r ⇒ v = √(G·M_Sol/r) = √(1,33·10²⁰ / 1,50·10¹¹) = 29,7 km/s. Velocitat d'escapament del Sol: v_e = √(2·G·M_Sol/r) = √2 · v = 42,1 km/s.

b) En el sentit del moviment de la Terra, la sonda ja té 29,7 km/s respecte del Sol, de manera que només li cal Δv = 42,1 − 29,7 = 12,3 km/s més respecte de la Terra. En sentit contrari, la sonda parteix amb 29,7 km/s en el sentit de la Terra i, per escapar, ha de tenir 42,1 km/s respecte del Sol en sentit oposat: caldria Δv = 42,1 + 29,7 = 71,8 km/s, gairebé sis vegades més.

c) A la superfície: ½·v₀² − G·M_T/R_T = ½·Δv² (energia cinètica que ha de tenir lluny de la Terra). Per tant v₀² = Δv² + 2·G·M_T/R_T = Δv² + v_e,T². Amb v_e,T = √(2 · 6,67·10^-11 · 5,97·10²⁴ / 6,37·10⁶) = 11,2 km/s: v₀ = √(12,3² + 11,2²) = 16,6 km/s.

d) Perquè la sonda ja es mou amb la velocitat de la Terra respecte del Sol: llançar-la en el mateix sentit estalvia una gran quantitat d'energia al coet.

a) El camp s'anul·la quan G·M_S/(D − r)² = G·M_T/r² ⇒ (D − r)/r = √(M_S/M_T) = 577 ⇒ r = D/(1 + 577) = 2,59·10⁸ m. Però la sonda no hi pot estar en repòs respecte de la Terra: la Terra gira al voltant del Sol amb període d'un any i la sonda ha de fer el mateix per mantenir-s'hi alineada, i això exigeix una força neta cap al Sol; en aquest punt la força neta és nul·la.

b) Per quedar alineada, la sonda ha de descriure una circumferència de radi (D − r) al voltant del Sol amb velocitat angular ω. La força neta cap al Sol és l'atracció del Sol menys l'atracció de la Terra (que la fa tirar cap enfora): G·M_S·m/(D − r)² − G·M_T·m/r² = m·ω²·(D − r). Per a la Terra, G·M_S/D² = ω²·D (negligint la massa de la Terra), d'on ω² = G·M_S/D³.

c) Substituint: G·M_S/D²·(1 + 2r/D) − G·M_T/r² = G·M_S·(D − r)/D³ = (G·M_S/D²)·(1 − r/D). Simplificant, (G·M_S/D²)·(3r/D) = G·M_T/r² ⇒ r³ = D³·M_T/(3·M_S). Numèricament, r = 1,50·10¹¹ · (5,97·10²⁴ / (3 · 1,99·10³⁰))^1/3 = 1,50·10¹¹ · (1,00·10^-6)^1/3 = 1,50·10⁹ m, uns 1,5 milions de km (resolent numèricament l'equació completa de b) s'obté 1,49·10⁹ m). És unes 3,9 vegades la distància a la Lluna, i la llum hi triga 5 s a arribar a la Terra.

a) t = (reserva de combustible)/(potència) ∝ M/L ∝ M/M^3,5 = M^-2,5. Per tant t/$t_{Sol}$ = (M/$M_{Sol}$)^-2,5: com més massiva és una estrella, més breu és la seva vida, perquè consumeix el combustible molt més de pressa del que en té de més.

b) L = 20^3,5 = 35 777 $L_{Sol}$ (quasi 36 000 sols). t = 1,0·$10^{10}$ · 20^-2,5 = 5,59·$10^{6}$ anys, uns 5,6 milions d'anys.

c) t = 1,0·$10^{10}$ · 0,12^-2,5 = 2,00·$10^{12}$ anys, és a dir, 145 vegades l'edat actual de l'univers. Per tant cap nana vermella d'aquesta massa s'ha esgotat encara: totes les que s'han format des del Big Bang continuen brillant.

d) No. Al voltant de l'estrella de 20 masses solars només hi hauria uns 6 milions d'anys abans que exploti com a supernova, molt menys que els 4·$10^{9}$ anys que va necessitar la vida terrestre; a més, la radiació tan intensa i el vent estel·lar farien l'ambient hostil.

a) d = 2,5·$10^{6}$ · 9,47·$10^{15}$ = 2,37·$10^{22}$ m = 0,77 Mpc. La llei de Hubble dona v = 70 · 0,77 = 54 km/s d'allunyament. Però Andròmeda s'acosta: a distàncies tan petites, la gravetat entre les galàxies és més important que l'expansió de l'univers, i el seu efecte supera de lluny el flux de Hubble. El Grup Local és un sistema lligat que no s'expandeix.

b) t = $\tfrac{d}{v} = 2{,}37$·$\tfrac{10^{22}}{1{,}10}$·$10^{5}$ = 2,15·$10^{17}$ s = 6,82·$10^{9}$ anys, uns 6,8 mil milions d'anys.

c) M = 3,0·$10^{12}$ · 1,99·$10^{30}$ = 5,97·$10^{42}$ kg. La velocitat relativa màxima per a un estat lligat és $\sqrt{\tfrac{2\cdot G\cdot M}{d}}$ = $\sqrt{2 \cdot 6{,}67\cdot 10^{-11} \cdot 5{,}\tfrac{97\cdot 10^{42}}{2}{,}37\cdot 10^{22}}$ = 183 km/s. Com que 110 km/s < 183 km/s, l'energia mecànica és negativa: el sistema és lligat, de manera que les dues galàxies acabaran fusionant-se.

d) Per excés: l'atracció gravitatòria augmenta la velocitat d'aproximació a mesura que es van acostant, de manera que triguen menys del que prediu b) (les simulacions donen uns 4–5 mil milions d'anys).

a) v/d (en km/s/Mpc): 71,7, 72,6, 69,2, 71,3, 71,1, 70,6. La mitjana és 71,1 km/s/Mpc. Representa la constant de Hubble H₀: el ritme d'expansió actual.

b) Σ(d·v) = 8 066 120 i Σ(d²) = 113 938, de manera que m = 70,8 km/s/Mpc. Els dos valors són pràcticament iguals: les dades són coherents amb una relació lineal.

c) Una galàxia a distància zero no s'allunya de nosaltres; si v = H₀·d, la gràfica v–d és una recta que passa per l'origen. A més, el model físic prediu aquesta forma exacta.

d) H₀ = 70,8 km/s/Mpc = 2,29·10^-18 s^-1. t = 1/H₀ = 4,36·10¹⁷ s = 13,8·10⁹ anys.

e) A 3 Mpc, el flux de Hubble és 70 · 3 = 210 km/s, comparable a la velocitat pròpia (300 km/s). L'error en v val 300 km/s, de manera que l'error en H₀ = v/d és 300/3 = 100 km/s/Mpc: un 140 % de l'estimació. Per això H₀ es determina amb galàxies a desenes o centenars de Mpc, on la velocitat pròpia és negligible davant del flux de Hubble.

a) El nombre d'estrelles equivalents a la capa és proporcional al seu volum 4π·r²·dr; la potència emesa a la capa és dP = j·4π·r²·dr. Aquesta potència, repartida sobre una esfera de radi r, dona una intensitat dF = dP/(4π·r²) = j·dr. El nombre de fonts creix com r² i la intensitat de cada una disminueix com 1/r²: les dues dependències es compensen.

b) F = ∫₀^R j·dr = j·R, proporcional a R. Si R → ∞, F → ∞: en un univers estàtic, infinit i etern, el cel de nit hauria de ser infinitament brillant (en realitat, tan brillant com la superfície d'una estrella, perquè les fonts més properes taparien les llunyanes). Aquesta és la paradoxa d'Olbers.

c) j = 1,5·10⁸·3,83·10²⁶/(3,09·10²²)³ = 1,95·10⁻³³ W/m³. R = c·t₀ = 3,00·10⁸·13,8·10⁹·3,156·10⁷ = 1,31·10²⁶ m (uns 13,8 mil milions d'anys llum). F = j·R = 2,54·10⁻⁷ W/m², és a dir, només 1,87·10⁻¹⁰ vegades la intensitat solar (una part entre 5,35·10⁹): una il·luminació completament negligible.

d) R_nec = F_Sol/j = 1,36·10³/1,95·10⁻³³ = 6,98·10³⁵ m = 5,35·10⁹ cops R. Tindria d'haver estat existint 7,38·10¹⁹ anys, és a dir, uns 5,35·10⁹ cops l'edat real de l'univers: l'univers hauria de ser unes cinc mil milions de vegades més vell (i les estrelles haurien d'haver brillat durant tot aquest temps).

e) (1) L'edat finita de l'univers: la llum que veiem només ha pogut viatjar durant un temps t₀, de manera que només hi arriba la llum de les fonts a menys de R = c·t₀; a més, les estrelles tenen una vida finita. Aquest és el factor principal: redueix la intensitat en un factor de 10¹⁰ o més. (2) L'expansió de l'univers: la llum de les galàxies llunyanes es desplaça cap al roig, de manera que cada fotó arriba amb menys energia i amb menys freqüència d'arribada; això només disminueix el flux en un factor d'ordre unitat per a les fonts més llunyanes, de manera que és una correcció, no pas l'explicació principal. Per això el cel és fosc sobretot perquè l'univers té una edat finita.

Errors típics

• Pensar que les estrelles llunyanes arriben menys perquè «s'esvaeixen»: la intensitat de cada una disminueix com 1/r², però n'hi ha més, i els dos efectes es compensen.
• Oblidar passar els Mpc a metres o la lluminositat solar a watts.
• Atribuir la foscor del cel a l'absorció per la pols: en un univers etern, la pols s'escalfaria fins a brillar.
• Creure que l'expansió és la causa principal de la foscor del cel: l'edat finita redueix molt més el flux.

Conceptes treballats: llei de l'invers del quadrat, densitat de lluminositat i integració per capes, paradoxa d'Olbers, edat finita de l'univers, desplaçament cap al roig, ordres de magnitud.

a) De √(2GM/R) = c s'obté r_s = 2GM/c²:
la Terra: r_s = 0,00885 m (unes 7,2·10⁸ vegades menor que el radi de la Terra)
el Sol: r_s = 2950 m (uns 2,4·10⁵ cops menor que el radi del Sol)
un forat negre estel·lar de 10 M_Sol: r_s = 2,95·10⁴ m
un forat negre de 4,3·10⁶ M_Sol: r_s = 1,27·10¹⁰ m = 0,0846 ua
un forat negre d'1,0·10⁸ M_Sol: r_s = 2,95·10¹¹ m = 1,97 ua
La Terra s'hauria de comprimir fins a la mida d'una boleta de vidre de les de jugar (menys d'1 cm de radi) i el Sol, fins a uns 3 km de radi. El forat de 4,3·10⁶ M_Sol té r_s més petit que l'òrbita de Mercuri (0,39 ua), i el d'1,0·10⁸ M_Sol la supera.

b) ρ = M/(4/3·π·r_s³), i com que r_s ∝ M, ρ ∝ M/M³ = 1/M²; explícitament, ρ = 3c⁶/(32π·G³·M²). Resultats:
la Terra: ρ = 2,06·10³⁰ kg/m³
el Sol: ρ = 1,85·10¹⁹ kg/m³
un forat negre estel·lar de 10 M_Sol: ρ = 1,85·10¹⁷ kg/m³
un forat negre de 4,3·10⁶ M_Sol: ρ = 1,00·10⁶ kg/m³
un forat negre d'1,0·10⁸ M_Sol: ρ = 1851 kg/m³
Per ρ = 1000 kg/m³: M = √(3c⁶/(32π·G³·ρ)) = 2,71·10³⁸ kg = 1,36·10⁸ M_Sol, amb r_s = 4,01·10¹¹ m = 2,68 ua. Un forat negre de més massa tindria una densitat mitjana inferior a la de l'aigua.

c) Per al forat de 10 M_Sol: Δg = 2·6,67·10^-11·1,99·10³¹·2,0/(2,95·10⁴)³ = 2,07·10⁸ m/s² (uns 2,11·10⁷ cops g: el cos seria esquinçat). Per al d'1,0·10⁸ M_Sol: Δg = 2,07·10⁻⁶ m/s², molt inferior a g a la Terra (9,8 m/s²).

d) Δg ∝ M/r_s³ ∝ 1/M²: com més massa té el forat negre, més gran és l'horitzó i menys intensa la força de marea que hi actua. En un forat supermassiu l'astronauta travessa l'horitzó sense notar-ne cap efecte local (la densitat mitjana dins de l'horitzó és del mateix ordre que la de l'aigua, i per sobre d'1,36·10⁸ M_Sol encara és més petita); la marea només es farà sentir més endins. En un forat estel·lar, la marea l'estiraria («espaguetització») molt abans d'arribar a r_s.

Errors típics

• Utilitzar r_s = GM/c² (oblidar el factor 2) o confondre r_s amb el radi real de l'astre.
• Pensar que un forat negre sempre és «extremadament dens»: la densitat mitjana dins de l'horitzó disminueix amb el quadrat de la massa.
• Avaluar Δg amb el valor de g a la superfície de la Terra en lloc d'avaluar el camp a la distància r_s.
• No passar les ua o els quilòmetres a metres abans de comparar els radis.

Conceptes treballats: velocitat d'escapament, radi de Schwarzschild, densitat mitjana i lleis d'escala (ρ ∝ M⁻²), força de marea, anàlisi crítica d'un model heurístic.

a) F = L/(4π·d²) ⇒ d = √(L/(4π·F)) = √(1,8·10³⁶/(4π·1,40·10^-15)) = 1,01·10²⁵ m = 327 Mpc (1 Mpc = 3,09·10²² m).

b) v = c·z = 3,00·10⁵ km/s · 0,075 = 22500 km/s. H₀ = v/d = 22500/327 = 69 km/s/Mpc, valor compatible amb els que s'obtenen en cosmologia (entre uns 67 i 74 km/s/Mpc).

c) (i) Si la llum rebuda és només el 80 % de la que s'hauria rebut sense absorció, la supernova sembla més feble i la creiem més lluny: d_calc = d/√0,8 = 1,118·d, un 12 % més gran. Com que H₀ = v/d, el valor de b) (69 km/s/Mpc) és un 11 % més petit que el real: la distància real seria 327·√0,8 = 293 Mpc, i H₀ real, 77 km/s/Mpc. Per tant, H₀ queda subestimada. (ii) Si L fos realment un 20 % més gran, la distància real seria d·√1,2 = 1,095·d, més gran que la calculada, i H₀ valdria 63 km/s/Mpc: amb el valor de L suposat, H₀ es sobreestima un 10 %. Una incertesa d'un 20 % en L es tradueix en una d'un 10 % en la distància (d ∝ √L), per això cal calibrar molt bé la candela estàndard.

d) A igual z, una supernova més feble vol dir que és més lluny (F ∝ 1/d²) del que es preveia. Perquè sigui més lluny, l'univers ha d'haver-se expandit més del previst durant el temps que ha trigat la llum: l'expansió no s'ha alentit tant com es pensava, sinó que en el passat recent ha anat accelerant. S'atribueix a una component anomenada energia fosca.

Errors típics

• Calcular la distància amb F = L/(2π·d²) o sense el factor 4π, o oblidar l'arrel quadrada.
• Deixar d en metres i v en km/s i donar H₀ sense passar a km/s/Mpc.
• Pensar que si la llum està absorbida la supernova sembla més a prop: l'absorció la fa semblar més feble i, per tant, més llunyana.
• Aplicar v = c·z amb z gran (z ≈ 1 o més): aleshores el desplaçament cap al roig és sobretot expansió de l'espai, no efecte Doppler.

Conceptes treballats: intensitat i llei de l'invers del quadrat, candeles estàndard, llei de Hubble, propagació d'errors, absorció, expansió accelerada.

a) Energia cinètica tèrmica total: K = N·($\tfrac{3}{2}$)·$k_{B}$·T, amb N = M/(μ·$m_{p}$). Virial: K = ($\tfrac{1}{2}$)·($\tfrac{3}{5}$)·G·$\tfrac{M^{2}}{R}$. Per tant ($\tfrac{3}{2}$)·$k_{B}$·T·M/(μ·$m_{p}$) = ($\tfrac{3}{10}$)·G·$\tfrac{M^{2}}{R}$ ⇒ T = G·M·μ·$\tfrac{m_{p}}{(5\cdot k_{B}\cdot R)}$ = 6,67·$10^{-11}$·1,99·$10^{30}$·0,60·1,67·$\tfrac{10^{-27}}{(5\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}\cdot 6{,}96\cdot 10^{8})}$ = 2,77·$10^{6}$ K (de l'ordre de milions de kelvin; la temperatura del centre, més alta, és d'uns 1,5·$10^{7}$ K).

b) $E_{C}$ = k·$\tfrac{e^{2}}{r} = 8{,}99$·$10^{9}$·(1,60·$10^{-19}$$)^{2}$/1,0·$10^{-15}$ = 2,30·10⁻¹³ J = 1,44 MeV. $T_{C}$ = $\tfrac{E_{C}}{k_{B}}$ = 1,67·$10^{10}$ K, uns 6000 cops la temperatura mitjana del Sol: l'agitació tèrmica d'un protó mitjà és ben insuficient per vèncer la repulsió.

c) $k_{B}$·T = 1,38·$10^{-23}$·1,5·$10^{7}$ = 2,07·10⁻¹⁶ J = 1,29 keV. x = $\tfrac{E_{C}}{(k_{B}\cdot T)} = 1112$. e^−x = 10^{−x/ln 10} = 10⁻⁴⁸³.

d) Una probabilitat de l'ordre de 10⁻⁴⁸³ és, a la pràctica, zero: a tot l'univers observable hi ha uns $10^{80}$ protons. Per tant, segons la física clàssica el Sol no podria fusionar hidrogen. El fenomen que ho permet és l'efecte túnel: un protó amb menys energia que la barrera té una probabilitat petita, però no nul·la, de travessar-la. A més, perquè dos protons formin finalment deuteri, un d'ells s'ha de convertir en neutró per una interacció feble, un procés molt improbable: el ritme de reaccions és tan lent que el combustible dura uns $10^{10}$ anys, i per això el Sol és estable. La potència per unitat de massa és minúscula ($\tfrac{L}{M} \approx 0{,}2$ mW/kg), molt menor que la d'un cos humà, que és d'uns 1–2 W/kg.

Errors típics

• Fer servir $m_{p}$ com a massa per partícula (μ = 1) sense comptar els electrons: la temperatura quedaria uns dos terços més alta.
• Posar T = $\tfrac{E_{C}}{k_{B}}$ com a temperatura «necessària» per a la fusió: l'efecte túnel permet la fusió amb temperatures molt inferiors.
• Escriure el resultat de e^−x sense passar-lo a potència de 10: no s'aprecia l'ordre de magnitud.
• Barrejar J i eV: cal passar l'energia a joules per comparar-la amb $k_{B}$·T.

Conceptes treballats: teorema del virial, energia cinètica tèrmica, energia potencial elèctrica, barrera de Coulomb, distribució de Boltzmann, efecte túnel, fusió nuclear a les estrelles.

a) La intensitat de la llum a distància r és I = L/(4π·r²) i la pressió de radiació I/c; la força sobre un electró és la pressió per la secció eficaç: F_rad = σ_T·L/(4π·r²·c). La gravetat sobre el parell és F_g = G·M·(m_p + m_e)/r² ≈ G·M·m_p/r². Totes dues són proporcionals a 1/r², de manera que F_rad/F_g = σ_T·L/(4π·G·M·m_p·c) no depèn de r: o la radiació guanya a tota l'atmosfera o perd a tota l'atmosfera.

b) Si F_rad = F_g: L_Edd = 4π·G·M·m_p·c/σ_T. Per al Sol: L_Edd = 4π·6,67·10^-11·1,99·10³⁰·1,67·10^-27·3,00·10⁸/6,65·10^-29 = 1,26·10³¹ W = 3,28·10⁴ L_Sol. El límit és proporcional a la massa (≈ 3,28·10⁴ L_Sol per cada M_Sol). El Sol, amb 1 L_Sol, és uns 3,3·10⁴ cops per sota del límit.

c) (M/M_Sol)^3,5 = 3,28·10⁴·(M/M_Sol) ⇒ (M/M_Sol)^2,5 = 3,28·10⁴ ⇒ M ≈ 64 M_Sol. Si la llum superés el límit, la radiació expulsaria les capes exteriors: l'estrella perdria massa amb vents molt intensos fins a recuperar l'equilibri. A les estrelles molt massives, la relació L ∝ M^3,5 deixa de ser vàlida: la lluminositat s'acosta a L_Edd (que és proporcional a M) i la corba s'aplana. Això explica que no s'observin estrelles de més d'uns quants centenars de masses solars.

d) M_min = L/(L_Edd per M_Sol) = 1,0·10⁴⁰/1,26·10³¹ = 7,96·10⁸ M_Sol. En l'heli totalment ionitzat hi ha dos electrons per cada nucli de massa 4 m_p, és a dir, 2 m_p per electró: la gravetat que cal vèncer per cada electró és el doble, de manera que el límit és el doble (≈ 2,51·10³¹ W per a una massa solar).

Errors típics

• Oblidar el 4π de la intensitat, o fer servir I en lloc d'I/c com a pressió de radiació.
• Pensar que el límit d'Eddington depèn de la distància a l'estrella: tant la gravetat com la radiació van amb 1/r².
• Comparar potències en W amb potències en L_Sol sense passar-les al mateix sistema d'unitats.
• Deduir que una estrella que supera el límit «explota» al moment: el que fa és perdre massa per vents que la frenen.

Conceptes treballats: pressió de radiació i quantitat de moviment del fotó, intensitat d'una font puntual, gravitació, equilibri de forces, límit d'Eddington, relació massa–lluminositat, forats negres actius.

a) Δλ = λ·$\tfrac{K}{c} = 656{,}3$·$10^{-9}$·$\tfrac{55{,}0}{3{,}00}$·$10^{8}$ = 1,20·10⁻¹³ m = 1,20·10⁻⁴ nm; Δλ/λ = $\tfrac{K}{c} = 1{,}83$·10⁻⁷, unes dues parts per cada deu milions: per això calen espectrògrafs molt estables.

b) De G·$\text{M/a}^{2}$ = (2π/P$)^{2}$·a: a = (G·M·$P^{2}$/(4π²))^{$\tfrac{1}{3}$} = 7,91·$10^{9}$ m = 0,0527 ua (molt a prop de l'estrella). $v_{p}$ = 2π·a/P = 136 km/s.

c) m·$v_{p}$ = M·K ⇒ m = M·$\tfrac{K}{v_{p}} = 2{,}19$·$10^{30}$·$\tfrac{55{,}0}{1{,}36}$·$10^{5}$ = 8,86·$10^{26}$ kg = 0,47 $M_{Júpiter}$: un planeta gegant gasós proper a l'estrella («Júpiter calent»). Radi de l'òrbita de l'estrella: r_* = K·$\tfrac{P}{(2\pi )} = 3{,}20$·$10^{6}$ m = 0,0046 $R_{Sol}$, és a dir, l'estrella es desplaça només una minúscula fracció del seu radi.

d) m·sin i = 0,47 $M_{Júpiter}$ és el que mesura el mètode, de manera que m = (m·sin i)/sin i: per a i = 30°, m = 0,93 $M_{Júpiter}$ (el doble); per a i = 10°, m = 2,69 $M_{Júpiter}$ (uns sis cops més). La massa obtinguda amb aquest mètode és, doncs, un límit inferior; per saber la massa real cal conèixer la inclinació (per exemple, si el planeta també es detecta en trànsit, i ≈ 90° i el límit és el valor real). Si hi hagués una inclinació molt petita, el «planeta» podria arribar a ser una nana marró (massa superior a unes 13 $M_{Júpiter}$), i per això un únic conjunt de velocitats radials no ho descarta del tot.

Errors típics

• Fer servir Δλ/λ = $\tfrac{v}{c}$ amb λ en nm i Δλ en m sense unificar unitats.
• Prendre la velocitat orbital de l'estrella com la velocitat orbital del planeta: són molt diferents (el quocient és m/M).
• Oblidar que l'espectrògraf només mesura la component de la velocitat al llarg de la visual (el resultat és m·sin i).
• Pensar que un planeta de poca massa o llunyà és més fàcil de detectar: l'amplitud K decreix si m disminueix o si el planeta és més lluny.

Conceptes treballats: efecte Doppler, tercera llei de Kepler, conservació de la quantitat de moviment, centre de masses, mètode de les velocitats radials, indeterminació per inclinació.

a) ΔE = ($\tfrac{3}{5}$)·G·$M^{2}$·($\tfrac{1}{R_{f}}$ − $\tfrac{1}{R_{i}}$) = 0,6·6,67·$10^{-11}$·(2,79·$10^{30}$$)^{2}$·($\tfrac{1}{1{,}2}$·$10^{4}$ − $\tfrac{1}{6{,}0}$·$10^{6}$) = 2,58·$10^{46}$ J. El terme $\tfrac{1}{R_{i}}$ és només el 0,2 % del de $\tfrac{1}{R_{f}}$: gairebé tota l'energia surt de l'últim tram del col·lapse (l'energia de lligam final de l'estrella de neutrons és ($\tfrac{3}{5}$)·G·$\tfrac{M^{2}}{R_{f}} = 2{,}59$·$10^{46}$ J, pràcticament el mateix valor).

b) $E_{Sol}$ = 3,83·$10^{26}$·1,0·$10^{10}$·3,156·$10^{7}$ = 1,21·$10^{44}$ J. El col·lapse allibera 214 cops tota l'energia que el Sol emetrà en tota la seva vida, i ho fa en uns segons. Massa equivalent: m = $\text{E/c}^{2}$ = 2,87·$10^{29}$ kg = 0,14 $M_{Sol}$, uns 10 % de la massa del nucli.

c) N = 0,99·$\tfrac{E}{(12 MeV)} = 0{,}99$·2,58·$\tfrac{10^{46}}{(12\cdot 1{,}60\cdot 10^{-13})}$ = 1,33·$10^{58}$ neutrins. Distància: d = 1,68·$10^{5}$·9,46·$10^{15}$ = 1,59·$10^{21}$ m. Cada $m^{2}$ rep $\tfrac{N}{(4\pi \cdot d^{2})}$ = 4,20·$10^{14}$ neutrins/$m^{2}$ (uns 4,20·$10^{10}$ per cm²): centenars de bilions de neutrins creuen cada metre quadrat, però gairebé tots passen sense interaccionar; en l'esdeveniment real de 1987 es van detectar només unes vint-i-cinc interaccions en tots els detectors de la Terra.

d) Energia cinètica: 0,39 % de ΔE; llum: 0,004 % de ΔE. El 99 % que se'n va en neutrins és uns 2,6·$10^{4}$ cops més que la llum. La supernova «brilla» perquè la llum és visible, però energèticament és un fenomen de neutrins: el que veiem és la part més petita.

Errors típics

• Calcular ΔE amb només $U_{f}$, o amb la diferència de radis en lloc de la diferència de $\tfrac{1}{R}$.
• Barrejar MeV i J: l'energia d'un neutrí s'ha de passar a joules abans de dividir.
• Utilitzar la distància en anys llum directament a la fórmula de l'àrea de l'esfera.
• Pensar que la llum de la supernova porta la major part de l'energia alliberada.

Conceptes treballats: energia potencial gravitatòria, conservació de l'energia, equivalència massa–energia, ordres de magnitud, intensitat d'un emissor isòtrop, astrofísica de supernoves i estrelles de neutrons.