Exercicis d'electricitat — Física i Química 1r Batxillerat

Per la llei d'Ohm, V = I·R, així que I = $\tfrac{V}{R}$.
I = 10 $\tfrac{V}{20}$ ohms = 0,5 A.
Unitats: V/ohm = A (ampere).

Per la llei d'Ohm, R = $\tfrac{V}{I}$.
R = 12 $\tfrac{V}{2}$ A = 6 ohms.
Unitats: V/A = ohm.

1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3,6·$10^{6}$ J. Per tant, 3 kWh = 1,08·$10^{7}$ J.

Un cos queda carregat negativament quan té un excés d'electrons: la vareta ha guanyat electrons (els ha pres del drap).
La càrrega és sempre un múltiple enter de la càrrega de l'electró: q = n·e → n = |q|/e = $\tfrac{(2{,}0\cdot 10^{-8})}{(1{,}6\cdot 10^{-19})} = 1{,}25$·$10^{11}$ electrons.
El drap, en canvi, ha perdut aquests mateixos electrons i ha quedat carregat positivament (la càrrega total es conserva).

La intensitat de corrent és la càrrega que passa per unitat de temps: I = Q/t = 90/30 = 3 A.
En 2 min = 120 s: Q = I·t = 3·120 = 360 C.
Comprovació: 120 s són 4 vegades 30 s, així que la càrrega ha de ser 4 vegades 90 C = 360 C.

La resistència d'un conductor és R = ρ·L/S, amb la secció en $m^{2}$: 2 mm² = 2·$10^{-6}$ $m^{2}$.
R = 1,7·$10^{-8}$·$\tfrac{100}{(2\cdot 10^{-6})} = 0{,}85$ Ω.
Error típic: convertir mal els mm²: 1 mm² = $10^{-6}$ $m^{2}$ (i no $10^{-3}$).

Potència elèctrica: P = V·I = 230·5 = 1150 W = 1,15 kW.
Temps: 30 min = 0,5 h.
Energia: E = P·t = 1,15 kW·0,5 h = 0,575 kWh.

Camp d'una càrrega puntual: E = k·$\text{Q/r}^{2}$ = 9·$10^{9}$·5·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}5^{2}} = 4{,}5$·$\tfrac{10^{4}}{0{,}25} = 1{,}8$·$10^{5}$ N/C.
Força sobre la càrrega de prova: F = q·E = 2·$10^{-9}$·1,8·$10^{5}$ = 3,6·$10^{-4}$ N.
Comprovació amb la llei de Coulomb: F = k·Q·$\text{q/r}^{2}$ = 9·$10^{9}$·5·$10^{-6}$·2·$\tfrac{10^{-9}}{0{,}25} = 3{,}6$·$10^{-4}$ N.

L'amperímetre es connecta en sèrie amb la resistència, perquè ha de ser travessat pel mateix corrent que volem mesurar. Ha de tenir una resistència interna molt petita per no alterar el corrent del circuit.
El voltímetre es connecta en paral·lel amb la resistència, perquè mesura la diferència de potencial entre els seus dos extrems. Ha de tenir una resistència interna molt gran perquè hi passi un corrent insignificant i no modifiqui el circuit.
Error típic: posar l'amperímetre en paral·lel; com que té una resistència molt petita, produiria un curtcircuit.

a) Falsa. Els electrons tenen càrrega negativa i es mouen del pol negatiu al positiu. El sentit convencional del corrent (el que s'utilitza als circuits) és el contrari: del positiu al negatiu.
b) Certa. Les càrregues del mateix signe es repel·leixen i les de signe contrari s'atrauen.
c) Falsa. Això és el que passa en un conductor; en un aïllant els electrons estan lligats als àtoms i gairebé no hi ha càrregues que es puguin moure.

Aplico la llei de Coulomb: F = (k·|Q₁·Q₂|)/(d²). Abans de substituir, passo la distància a metres (SI).
Distància: d = 10 cm = 0,1 m, per tant d² = 0,01 m².
Substitueixo: F = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 3·10⁻⁶ / 0,01.
Numerador: 9·10⁹ · 6·10⁻¹² = 54·10⁻³ = 0,054.
Força: F = 0,054 / 0,01 = 5,4 N.
Com que totes dues càrregues són positives (mateix signe), la força és de REPULSIÓ.
Parany: passa la distància a metres i eleva-la al quadrat ABANS de dividir; oblidar el quadrat o deixar els centímetres canvia molt el resultat.

En sèrie, el corrent no té camins alternatius: passa el MATEIX per totes les resistències, i les resistències se sumen.
Resistència equivalent: R_eq = 2 + 3 + 5 = 10 ohms.
Intensitat (llei d'Ohm al conjunt): I = V/R_eq = 20/10 = 2 A. Aquesta intensitat és la mateixa a les tres.
Tensió a cada una (Ohm a cada resistència): V₁ = I·R₁ = 2·2 = 4 V; V₂ = I·R₂ = 2·3 = 6 V; V₃ = I·R₃ = 2·5 = 10 V.
Comprovació: 4 + 6 + 10 = 20 V, tota la tensió de la pila es reparteix (cau més tensió on hi ha més resistència).
Parany: en sèrie se SUMEN les resistències (no els inversos); la intensitat és única, el que es reparteix és la tensió.

En paral·lel, les dues resistències tenen els seus extrems units als mateixos dos punts: totes dues suporten la MATEIXA tensió (12 V), i el corrent es reparteix.
Resistència equivalent (se sumen els inversos): 1/R_eq = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2, per tant R_eq = 2 ohms.
Fixa't que l'equivalent (2 ohms) és MÉS PETIT que la resistència més petita (3 ohms): és normal en paral·lel.
Intensitat per cada branca (Ohm a cada una amb els 12 V): I₁ = 12/6 = 2 A; I₂ = 12/3 = 4 A.
Intensitat total: I = I₁ + I₂ = 2 + 4 = 6 A. Comprovació amb l'equivalent: I = V/R_eq = 12/2 = 6 A.
Parany: en paral·lel se sumen els INVERSOS (1/R), no les resistències; el que és igual a totes és la tensió, i el que es reparteix és la intensitat (passa més corrent per la resistència més petita).

L'energia és la potència pel temps: E = P·t. Per obtenir kWh, la potència ha d'anar en kW i el temps en hores.
Potència en kW: P = 1500 W = 1,5 kW.
Temps total del mes en hores: t = 2·30 = 60 h.
Energia: E = P·t = 1,5·60 = 90 kWh. (El kWh és una ENERGIA, no una potència: és el que consumeix un aparell de 1 kW en 1 hora.)
Cost: 90·0,15 = 13,5 euros.
Parany: no confonguis potència (kW, consum instantani) amb energia (kWh, el que es paga); i passa els watts a kW i el temps a hores ABANS de multiplicar, o els números no quadren.

La llei d'Ohm diu que el quocient V/I és constant (és la resistència).
1,0/0,05 = 20 Ω; 2,0/0,10 = 20 Ω; 3,0/0,15 = 20 Ω; 4,0/0,20 = 20 Ω. El quocient es manté constant: el fil compleix la llei d'Ohm (és òhmic) i R = 20 Ω.
Amb 10 V: I = V/R = 10/20 = 0,5 A.
Si es representés I en funció de V, els punts estarien sobre una recta que passa per l'origen, de pendent 1/R = 0,05 A/V.

En paral·lel, tots els aparells reben 230 V i les potències se sumen; la intensitat total és I = P_total/V.
Forn i planxa: P = 2300 + 1200 = 3500 W → I = 3500/230 = 15,2 A. Com que 15,2 A < 16 A, l'interruptor no salta (però va just).
Afegint l'assecador: P = 3500 + 1000 = 4500 W → I = 4500/230 = 19,6 A. Com que 19,6 A > 16 A, l'interruptor salta.
La potència màxima que admet el circuit és 230·16 = 3680 W.

$q_{2}$ és negativa i les altres dues són positives: totes dues l'atrauen, cadascuna cap al seu costat.
Força de $q_{1}$ sobre $q_{2}$: $F_{12}$ = 9·$10^{9}$·2·$10^{-6}$·3·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}30^{2}} = 0{,}6$ N, dirigida cap a $q_{1}$ (sentit -x).
Força de $q_{3}$ sobre $q_{2}$: $F_{32}$ = 9·$10^{9}$·1·$10^{-6}$·3·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}30^{2}} = 0{,}3$ N, dirigida cap a $q_{3}$ (sentit +x).
Força neta: F = -0,6 + 0,3 = -0,3 N: mòdul 0,3 N, dirigida cap a $q_{1}$ (sentit -x).
Error típic: sumar els mòduls; les forces tenen sentits oposats i s'han de restar.

De P = V²/R: R = V²/P = 230²/60 = 881,7 Ω. Intensitat: I = P/V = 60/230 = 0,26 A (comprovació: V/R = 230/881,7 = 0,26 A).
Amb 115 V: P' = V'²/R = 115²/881,7 = 15 W.
En reduir la tensió a la meitat, la potència es divideix per 4 (P és proporcional a V²), de manera que la bombeta il·lumina molt menys.

En un circuit en sèrie, la tensió de la pila es reparteix entre el LED i la resistència: la resistència ha d'agafar 9,0 - 2,0 = 7,0 V.
La intensitat és la mateixa per als dos elements: I = 20 mA = 0,020 A. Llei d'Ohm: R = V/I = 7,0/0,020 = 350 Ω.
Potència dissipada a la resistència: P = V·I = 7,0·0,020 = 0,14 W (o P = I²·R = 0,020²·350 = 0,14 W).
Error típic: usar els 9,0 V complets per calcular la resistència: s'obtindria 450 Ω i el LED rebria menys corrent del necessari.

Llei de Coulomb: F = k·q₁·q₂/r². N'aïllem la distància: r = √(k·q₁·q₂/F).
r = √(9·10⁹·3·10^-6·3·10^-6/0,9) = √(8,1·10^-2/0,9) = √0,09 = 0,3 m.
Comprovació: F = 9·10⁹·9·10^-12/0,3² = 0,081/0,09 = 0,9 N.

Força elèctrica (Coulomb): F_e = k·e²/r² = 9·10⁹·(1,6·10^-19)²/(5,3·10^-11)² = 8,2·10^-8 N (atractiva).
Força gravitatòria: F_g = G·m_e·m_p/r² = 6,67·10^-11·9,11·10^-31·1,67·10^-27/(5,3·10^-11)² = 3,6·10^-47 N.
Quocient: F_e/F_g = 8,2·10^-8/3,6·10^-47 ≈ 2,3·10³⁹.
La força elèctrica és uns 10³⁹ vegades més gran: a escala atòmica la gravetat és completament menyspreable.

Per la llei de Coulomb, la força és inversament proporcional al quadrat de la distància.
Si la distància es dobla, el seu quadrat es multiplica per 4.
Per tant la força queda dividida per 4: és una quarta part de l'original.

(a) F = 9·$10^{9}$ · 4·10⁻⁶ · 2·10⁻⁶/0,$3^{2}$ = 0,8 N, d'atracció (signes contraris).
(b) En contacte, la càrrega total, +2 μC, es reparteix a parts iguals: +1 μC cadascuna. F = 9·$10^{9}$ · (10⁻⁶$)^{2}$/0,$3^{2}$ = 0,1 N, ara de repulsió.

L'efecte Joule diu que una resistència per la qual passa corrent dissipa calor: Q = I²·R·t. Compte amb les unitats: el temps ha d'anar en segons perquè el resultat surti en joules.
Temps en segons: t = 10 min = 10·60 = 600 s.
Calor: Q = I²·R·t = 2²·50·600 = 4·50·600 = 120000 J = 120 kJ.
En kWh (1 kWh = 3600000 J): Q = 120000/3600000 ≈ 0,033 kWh.
Parany: la intensitat va al QUADRAT (si es dobla el corrent, la calor es multiplica per 4), i el temps en segons per treballar en joules; només després pots passar a kWh dividint per 3,6·10⁶.

Primer, el paral·lel: 1/R_p = 1/6 + 1/12 = 3/12 → R_p = 4 Ω. Després, la sèrie: R_eq = 4 + 4 = 8 Ω.
Intensitat total: I = V/R_eq = 12/8 = 1,5 A, que és la que passa per la resistència de 4 Ω.
Tensió a la de 4 Ω: V = I·R = 1,5·4 = 6 V. La resta, 12 - 6 = 6 V, cau al paral·lel (la mateixa tensió a les dues branques).
Intensitats a les branques: I₆ = 6/6 = 1 A i I₁₂ = 6/12 = 0,5 A (sumen 1,5 A, com cal).
Potència de la pila: P = V·I = 12·1,5 = 18 W.

a) R = V²/P = 12²/6 = 24 Ω.
b) En sèrie: R_eq = 48 Ω i I = 12/48 = 0,25 A. Cada bombeta dissipa P = I²·R = 0,25²·24 = 1,5 W (cadascuna rep 6 V, la meitat de la tensió nominal).
c) En paral·lel, cada bombeta rep els 12 V complets: P = V²/R = 144/24 = 6 W (la seva potència nominal).
En paral·lel il·luminen quatre vegades més cadascuna (6 W davant d'1,5 W); a més, si una es fon, l'altra continua encesa, cosa que no passa en sèrie.

Com que les dues càrregues són positives, entre elles els camps tenen sentits oposats i es poden anul·lar; fora del segment, els dos camps apunten en el mateix sentit i mai no es compensen. El punt és més a prop de la càrrega petita perquè el camp de la gran, que és més intens, s'ha de diluir amb la distància.
Sigui x la distància a q₁: k·q₁/x² = k·q₂/(0,30 - x)² → √4/x = √1/(0,30 - x) → 2·(0,30 - x) = x.
0,60 = 3x → x = 0,20 m des de q₁ (és a dir, a 0,10 m de q₂).
Comprovació: E₁ = 9·10⁹·4·10^-6/0,20² = 9·10⁵ N/C i E₂ = 9·10⁹·1·10^-6/0,10² = 9·10⁵ N/C: són iguals i de sentit contrari.

a) I = P/V = 2300/230 = 10 A.
b) Resistència del cable: R = ρ·L/S = 1,7·10^-8·50/(1,5·10^-6) = 0,567 Ω. Caiguda de tensió: ΔV = I·R = 10·0,567 = 5,67 V. Potència dissipada: P_cable = I²·R = 10²·0,567 = 56,7 W (o bé ΔV·I = 5,67·10 = 56,7 W).
c) 56,7/2300 = 0,0246 → 2,5 %.
Aquesta energia perduda escalfa el cable; amb un cable més prim o més llarg la pèrdua seria més gran i el risc d'escalfament també.

Sobre cada bola actuen el pes m·g (vertical), la tensió del fil (que forma un angle θ amb la vertical) i la repulsió elèctrica F (horitzontal). A l'equilibri: T·cos θ = m·g i T·sin θ = F, d'on F = m·g·tg θ.
Angle: sin θ = (d/2)/L = 0,030/0,30 = 0,10 → θ = 5,74° → tg θ = 0,1005.
Força elèctrica: F = 1,0·10^-3·9,8·0,1005 = 9,85·10^-4 N.
Llei de Coulomb amb q₁ = q₂ = q: F = k·q²/d² → q = d·√(F/k) = 0,060·√(9,85·10^-4/(9·10⁹)) = 0,060·3,31·10^-7 = 1,98·10^-8 C ≈ 2,0·10^-8 C (20 nC).
Error típic: prendre com a distància entre les càrregues la longitud del fil; la distància de la llei de Coulomb és la separació entre les boles (6,0 cm).

Siguin $R_{1}$ i $R_{2}$ les dues resistències. En sèrie: $R_{1}$ + $R_{2}$ = 25.
En paral·lel: $R_{1}$·$\tfrac{R_{2}}{(R_{1} + R_{2})} = 6$ → $R_{1}$·$R_{2}$ = 6·25 = 150.
Coneixem la suma (25) i el producte (150), de manera que $R_{1}$ i $R_{2}$ són les arrels de $x^{2}$ - 25x + 150 = 0: x = $\tfrac{(25 \pm \sqrt{625 - 600})}{2}$ = $\tfrac{(25 \pm 5)}{2}$, és a dir, 15 Ω i 10 Ω.
Comprovació: 15 + 10 = 25 Ω en sèrie i 15·$\tfrac{10}{25} = 6$ Ω en paral·lel.

a) Paral·lel: 6·3/(6 + 3) = 2,0 Ω. Total: R = 3,0 + 2,0 + r = 6,0 Ω. I = ε/R = 12/6,0 = 2,0 A.
b) V_borns = ε - I·r = 12 - 2,0 = 10 V. A la resistència de 3 Ω en sèrie: 6,0 V. Al paral·lel: V = I·2,0 = 4,0 V, de manera que per la de 6 Ω passen 4,0/6 = 0,67 A i per la de 3 Ω passen 4,0/3 = 1,33 A (suma 2,0 A).
c) P_generador = ε·I = 24 W. P_interna = I²·r = 4,0 W. P_útil = 20 W. Rendiment = 20/24 = 83 %.
d) P_càrrega = ε²·R/(R + r)² és màxima quan R = r = 1,0 Ω: I = 12/2,0 = 6,0 A i P = 6,0²·1,0 = 36 W, però el rendiment és només del 50 %.
Observació: cal triar entre potència màxima i rendiment màxim (R molt més gran que r).

a) Equilibri: els dos punts mitjans tenen el mateix potencial, així R₁/R₂ = R₃/R_x. R_x = R₂·R₃/R₁ = 200·150/100 = 300 Ω.
b) Sense corrent per la central, queden dues branques en paral·lel: esquerra 100 + 200 = 300 Ω i dreta 150 + 300 = 450 Ω. R_eq = 300·450/750 = 180 Ω. I = 12/180 = 0,0667 A = 66,7 mA (40 mA per l'esquerra i 26,7 mA per la dreta). Comprovació: V_a = 40 mA·200 = 8,0 V i V_b = 26,7 mA·300 = 8,0 V: iguals.
c) La diferència de potencial és V_a - V_b = 7,872 - 7,680 = 0,192 V. I = 0,192/100 = 1,92 mA, d'a cap a b (del punt de potencial més alt al més baix).
Observació: el pont equilibrat serveix per mesurar una resistència desconeguda sense errors de l'amperímetre.

a) Al punt mig, a 0,10 m de cada càrrega, els dos camps tenen el mateix sentit (cap a la càrrega negativa: la positiva l'allunya i la negativa l'atrau). E = 2·k·$\text{q/r}^{2}$ = 2·9·$10^{9}$·2,0·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}10^{2}} = 3{,}6$·$10^{6}$ N/C, dirigit des de la càrrega positiva cap a la negativa.
b) Distància a cada càrrega: r = $\sqrt{0{,}10^{2} + 0{,}15^{2}}$ = 0,180 m. Cada camp: E = k·$\text{q/r}^{2}$ = 9·$10^{9}$·2,0·$\tfrac{10^{-6}}{0{,}0325} = 5{,}54$·$10^{5}$ N/C. Les components perpendiculars al segment (en la direcció de la mediatriu) s'anul·len per simetria; les components paral·leles se sumen: $E_{total}$ = 2·5,54·$10^{5}$·($\tfrac{0{,}10}{0{,}180}$) = 6,14·$10^{5}$ N/C, paral·lel a la recta que uneix les càrregues i dirigit cap al costat de la càrrega negativa.
c) F = |q|·E = 1,6·$10^{-19}$·3,6·$10^{6}$ = 5,8·$10^{-13}$ N, en sentit contrari al camp (cap a la càrrega positiva) perquè l'electró té càrrega negativa.
Observació: el camp al mig és sis vegades el de la mediatriu a 0,15 m: el camp d'un dipol decau ràpidament amb la distància (com $\tfrac{1}{r^{3}}$ lluny).

a) La força entre dues càrregues és F = k·q²/a² = 9·10⁹·(3,0·10^-6)²/0,30² = 0,90 N (repulsiva). Sobre una càrrega actuen dues forces de 0,90 N que formen un angle de 60°: F_total = 2·0,90·cos 30° = 1,56 N, dirigida cap a fora del triangle seguint la bisectriu del vèrtex (del centre cap al vèrtex).
b) La distància del centre a cada vèrtex és a/√3 = 0,173 m. Una càrrega Q al centre ha d'atreure cada vèrtex amb 1,56 N: k·|Q|·q/(0,173)² = 1,56 N ⇒ |Q| = 1,56·0,0300/(9·10⁹·3,0·10^-6) = 1,73·10^-6 C. Ha de ser negativa: Q = -1,73 μC (= -q/√3).
c) L'equilibri és inestable. Si una de les càrregues es desplaça lleugerament cap al centre, l'atracció de Q creix més de pressa que la repulsió de les altres i la càrrega continua cap al centre; si s'allunya, ocorre el contrari (el teorema d'Earnshaw diu que una configuració de càrregues puntuals no pot ser estable només amb forces electrostàtiques).
Comprovació: la força de Q sobre un vèrtex és k·1,73·10^-6·3,0·10^-6/0,030 = 1,56 N.

a) De P = V²/R: R₆₀ = 230²/60 = 882 Ω i R₁₀₀ = 230²/100 = 529 Ω.
b) En sèrie: R = 882 + 529 = 1411 Ω, I = 230/1411 = 0,163 A. Tensions: 0,163·882 = 144 V (60 W) i 0,163·529 = 86 V (100 W) (suma 230 V).
c) P = I²R: 23,4 W per a la de 60 W i 14,1 W per a la de 100 W. Il·lumina més la de 60 W (la de menys potència nominal), i les dues molt menys que de normal.
d) Amb la mateixa intensitat, dissipa més la resistència més gran (P = I²R); la de 60 W en té més. En paral·lel, cada bombeta té 230 V i dissipa la seva potència nominal (60 W i 100 W): la de 100 W il·lumina més.
Comprovació: P total = 230·0,163 = 37,5 W = 23,4 + 14,1 W.

a) R = V²/P = 230²/100 = 529 Ω. I = P/V = 100/230 = 0,435 A.
b) R/R₀ = 1 + 4,5·10^-3·(2400 - 20) = 1 + 10,71 = 11,71. R₀ = 529/11,71 = 45,2 Ω.
c) En l'encesa: I = 230/45,2 = 5,09 A (11,7 vegades la nominal) i P = V²/R₀ = 230²/45,2 = 1170 W durant una fracció de segon, fins que el filament s'escalfa i R puja.
d) En l'encesa, el pic de corrent escalfa el filament de manera sobtada i desigual; si hi ha una zona prima o gastada del filament, s'escalfa molt més i es fon. Per això es fonen més sovint en encendre's que en funcionar.
Observació: és un conductor no òhmic: V/I no és constant (Ohm només val a temperatura constant). Aquesta propietat s'aprofita en els termistors.

a) A 400 V: I = $\tfrac{P}{V} = 100$ $\tfrac{000}{400} = 250$ A. $P_{pèrdua}$ = $I^{2}$·R = $250^{2}$·0,50 = 31 250 W = 31,3 kW.
b) A 20 kV: I = 100 $\tfrac{000}{20}$ 000 = 5,0 A. $P_{pèrdua}$ = 5,$0^{2}$·0,50 = 12,5 W.
c) Pèrdues: $\tfrac{31{,}3}{100} = 31$ % a 400 V i $\tfrac{12{,}5}{100}$ 000 = 0,0125 % a 20 kV (2500 vegades menys).
d) Per transportar la mateixa potència, si la tensió es multiplica per 50 el corrent es divideix per 50 i les pèrdues (proporcionals a $I^{2}$) per 2500. Per això s'eleva la tensió (centenars de kV) a la sortida de les centrals amb transformadors i es redueix a 230 V prop dels consumidors (altres transformadors).
Error típic: pensar que una tensió més alta implica més pèrdues perquè «és més perillosa»; el que causa les pèrdues és el corrent.

a) I = $\tfrac{V}{R}$: pell seca, $\tfrac{230}{100}$ 000 = 2,3 mA; pell mullada, $\tfrac{230}{2000} = 115$ mA; molt mullada, $\tfrac{230}{1000} = 230$ mA.
b) L'automàtic de 16 A no actua en cap cas (el corrent pel cos és molt menor que 16 A): protegeix els cables de sobrecàrregues i curtcircuits, no les persones. El diferencial de 30 mA detecta que part del corrent «se'n va a terra» pel cos: amb 115 mA i 230 mA salta; amb 2,3 mA (inferior a 30 mA) no salta, però aquest corrent només es nota com un formigueig.
c) P = V·I = 230·0,115 = 26,5 W; E = 26,5·0,040 = 1,06 J (poca energia, però el corrent pel cor és el que importa).
d) Amb les mans mullades la resistència de la pell baixa unes 50 vegades i el corrent passa de ~2 mA a més de 100 mA, un valor que pot provocar fibril·lació ventricular. Els efectes depenen del corrent (més de 30 mA és perillós) i del temps.
Observació: el corrent, i no la tensió, és el que fa mal; però la tensió determina el corrent per la llei d'Ohm.

a) V/I en Ω: 13,2; 14,3; 16,9; 21,1; 24,5 i 27,4. No és constant: la bombeta no compleix la llei d'Ohm (conductor no òhmic); la gràfica V-I no és una recta, sinó una corba que s'aplana.
b) P = V·I: 0,019 W; 0,070 W; 0,236 W; 0,76 W; 1,47 W i 2,34 W.
c) ΔV/ΔI entre punts consecutius: 15,6; 20,8; 27,8; 36,4 i 42,6 Ω. La resistència diferencial és més gran que V/I perquè R augmenta amb V: dV = d(I·R) = R·dI + I·dR.
d) El filament s'escalfa per efecte Joule (P = V·I creix de 0,02 a 2,3 W), i la resistivitat dels metalls augmenta amb la temperatura; per això R creix de 13 a 27 Ω i la corba V-I no és recta. La resistència en fred se situa per sota dels 13 Ω.
Comprovació: a 8 V la resistència (27,4 Ω) és 2,1 vegades la de 0,5 V (13,2 Ω), cosa que indica un escalfament important.

a) E = V/d = 1220/0,020 = 6,1·10⁴ V/m (N/C).
b) Equilibri: q·E = m·g, q = m·g/E = 1,0·10^-15·9,8/6,1·10⁴ = 1,6·10^-19 C = 1,0 vegades la càrrega elemental (un electró de més o de menys; la càrrega ha de ser negativa perquè la força elèctrica apunti cap amunt).
c) E' = 612,5/0,020 = 3,06·10⁴ N/C. q' = 9,8·10^-15/3,06·10⁴ = 3,2·10^-19 C, és a dir, 2 vegades la càrrega elemental.
d) Les mesures de moltes gotes donen càrregues 1,6·10^-19, 3,2·10^-19, 4,8·10^-19 C... sempre múltiples enters d'una mateixa quantitat. Això demostra que la càrrega està quantitzada: només existeix en paquets de valor e = 1,6·10^-19 C.
Observació: el fet que la tensió necessària es redueixi a la meitat quan la càrrega es duplica és la prova de la proporcionalitat: V ∝ 1/q a m i d constants.

a) P = 2500 + 2200 + 1800 + 1200 + 800 = 8500 W. I = 8500/230 = 37,0 A > 25 A: l'ICP salta.
b) Amb coeficient 0,6: 0,6·8500 = 5100 W, I = 5100/230 = 22,2 A < 25 A: aguanta. (En la pràctica no funcionen mai tots a la vegada.)
c) R = ρ·L/S = 1,7·10^-8·40/2,5·10^-6 = 0,272 Ω. Caiguda de tensió = I·R = 16·0,272 = 4,35 V. Potència perduda = I²R = 16²·0,272 = 69,6 W.
d) Caiguda relativa = 4,35/230 = 1,9 % < 3 %: compleix. Si el cable fos de 1,5 mm², R = 0,453 Ω, la caiguda seria 7,2 V (3,1 %) i no complirien.
Observació: el coure de 2,5 mm² admet uns 20 A; la secció es tria per la intensitat màxima i per la caiguda de tensió.

a) Sèrie: ε = 4·1,5 = 6,0 V, r = 4·0,20 = 0,80 Ω. Paral·lel: ε = 1,5 V, r = 0,20/4 = 0,050 Ω.
b) R = 10 Ω. Sèrie: I = 6,0/(10 + 0,80) = 0,556 A, P = I²R = 3,09 W. Paral·lel: I = 1,5/(10 + 0,050) = 0,149 A, P = 0,223 W. La sèrie és 14 vegades millor.
c) R = 0,10 Ω. Sèrie: I = 6,0/(0,10 + 0,80) = 6,67 A, P = 6,67²·0,10 = 4,44 W. Paral·lel: I = 1,5/(0,10 + 0,050) = 10,0 A, P = 10,0²·0,10 = 10,0 W. Ara el paral·lel és 2,3 vegades millor.
d) La potència a la càrrega és màxima quan R = r_int: per a càrregues de resistència alta (10 Ω ≫ 0,8 Ω) convé la sèrie (més tensió); per a càrregues de resistència baixa (0,10 Ω, de l'ordre de 0,05 Ω) convé el paral·lel (resistència interna baixa).
Observació: el paral·lel també dona més durada (càrrega total 4 vegades més gran que la d'una sola pila) amb la mateixa tensió.

a) A = π·(0,20·10^-3)²/4 = 3,14·10^-8 m². ρ = 7,8·3,14·10^-8/0,500 = 4,9·10^-7 Ω·m.
b) Errors relatius: ΔL/L = 0,001/0,500 = 0,2 %; ΔR/R = 0,1/7,8 = 1,3 %; 2·Δd/d = 2·0,01/0,20 = 10 %. Error relatiu màxim: 0,2 + 1,3 + 10 = 11,5 %.
c) Δρ = 0,115·4,9·10^-7 = 0,56·10^-7 Ω·m. Resultat: ρ = (4,9 ± 0,6)·10^-7 Ω·m. Coincideix amb el constantà (4,9·10^-7), que cau dins l'interval: el fil és de constantà.
d) L'error dominant és el del diàmetre (10 % de 11,5 %). Caldria un micròmetre més precís o mesurar el diàmetre en diversos punts i fer la mitjana. Mesurar millor la longitud o la resistència no n'aniria gens de bé.
Observació: una variació del 5 % en d dona un 10 % en ρ perquè A depèn de d².

a) I = P/V = 2200/230 = 9,57 A. R = V²/P = 230²/2200 = 24,0 Ω. Q = m·c·ΔT = 80·4180·40 = 1,34·10⁷ J = 3,72 kWh.
b) Sense pèrdues: t = Q/P = 13 376 000/2200 = 6080 s = 101 min. Amb 95 %: t = 6080/0,95 = 6400 s = 107 min.
c) Energia elèctrica amb pèrdues: 3,72/0,95 = 3,91 kWh. Cost = 3,91·0,15 = 0,59 €.
d) La resistència és constant (24,0 Ω): P = V²/R = 207²/24,0 = 1785 W, un 81 % de la nominal (P ∝ V²). El temps passa a 6080·2200/1785 = 7494 s = 125 min (si no hi ha pèrdues). L'energia total és la mateixa (3,72 kWh) i el cost no varia, però l'escalfament és un 23 % més lent.
Observació: una caiguda del 10 % de tensió suposa una caiguda del 19 % de potència.

a) Muntatge A: el voltímetre està en paral·lel amb R i el corrent mesurat és la suma. $R_{mesurada}$ = R∥$R_{V}$ = 50·10 $\tfrac{000}{10}$ 050 = 49,75 Ω; error = $\tfrac{(49{,}75 - 50)}{50}$ = -0,50 %. Muntatge B: el voltímetre mesura la tensió de R i de l'amperímetre en sèrie: $R_{mesurada}$ = R + $R_{A}$ = 51 Ω; error = +2,0 %.
b) A: 100 000∥10 000 = 9091 Ω, error -90,9 % (el voltímetre desvia gairebé tot el corrent). B: 100 000 + 1 = 100 001 Ω, error +0,001 %.
c) Per a resistències petites (R ≪ $R_{V}$), convé A: l'error és R/$R_{V}$, petit; en B, l'error és $R_{A}$/R, relativament gran. Per a resistències grans (R ≫ $R_{A}$), convé B: l'error és $R_{A}$/R, petit, mentre que en A seria R/$R_{V}$, enorme.
Regla pràctica: l'error és mínim quan R ≈ $\sqrt{R_{A}\cdot R_{V}}$ = 100 Ω; per sota d'aquest valor, muntatge A; per sobre, B.

a) Hores anuals per bombeta: 3·365 = 1095 h. Abans: 10·0,060·1095 = 657 kWh. Després: 10·0,008·1095 = 87,6 kWh. Estalvi: 569 kWh.
b) Estalvi econòmic = 569·0,15 = 85,4 €/any. CO₂ evitat = 569·0,25 = 142 kg/any.
c) Inversió = 10·3,0 = 30 €. Retorn = 30/85,4 = 0,35 anys = 4,2 mesos.
d) 15 000 h per bombeta. Incandescent: electricitat 0,060 kW·15 000 h·0,15 €/kWh = 135 €, més 15 bombetes a 1,0 € = 15 €: total 150 €. LED: electricitat 0,008·15 000·0,15 = 18 €, més 1 LED de 3 €: total 21 €. La LED costa unes 7 vegades menys.
Observació: el 87 % de l'estalvi ve de la potència consumida; el cost de compra és poc rellevant.

a) Energia emmagatzemada: 60·(0,80 - 0,20) = 36 kWh. Energia de la xarxa: 36/0,90 = 40 kWh.
b) Punt de 7,4 kW: t = 40/7,4 = 5,4 h. Endoll de 10 A: P = 230·10 = 2,3 kW i t = 40/2,3 = 17,4 h.
c) Cost = 40·0,15 = 6,0 €. Autonomia afegida: 36/16·100 = 225 km (uns 2,7 €/100 km).
d) S = 32/6 = 5,3 mm² com a mínim: es faria servir 6 mm² normalitzat.
Observació: l'energia que s'afegeix a la bateria és de 36 kWh, però es paguen 40 kWh; el 10 % és calor per la càrrega.

a) Es redueix de dins cap a fora. R₅ + R₆ = 20 Ω. En B: R₄∥20 = 10·20/30 = 6,67 Ω. Amb R₃ en sèrie: 16,67 Ω. En A: R₂∥16,67 = 10·16,67/26,67 = 6,25 Ω. Amb R₁: R_eq = 16,25 Ω.
b) I = 12/16,25 = 0,738 A. V_A = 12 - I·R₁ = 12 - 7,38 = 4,62 V. Per R₂ passen 0,462 A. Per R₃: 0,738 - 0,462 = 0,277 A, així que V_B = 4,62 - 2,77 = 1,85 V.
c) R₁: 0,738 A, P = 5,45 W. R₂: 0,462 A, 2,13 W. R₃: 0,277 A, 0,767 W. R₄: 0,185 A, 0,341 W. R₅ i R₆: 0,0923 A cada una, 0,085 W cada una.
d) Suma: 5,45 + 2,13 + 0,767 + 0,341 + 0,085 + 0,085 = 8,86 W. P_generador = 12·0,738 = 8,86 W: coincideix.
Observació: la intensitat es divideix aproximadament a la meitat a cada node, així que la potència decreix ràpidament al llarg de l'escala.

a) Q = I·t = 4,000 A·h = 4,0·3600 = 14 400 C. Nombre d'electrons: 14 400/1,6·10^-19 = 9,0·10²².
b) E = Q·V = 4,0 Ah·3,85 V = 15,4 Wh = 15,4·3600 = 55 440 J (55 kJ).
c) Energia requerida de la xarxa = 15,4/0,85 = 18,1 Wh. Temps = 18,1/20 = 0,906 h = 54 min. Intensitat del carregador: I = P/V = 20/5 = 4,0 A. Sense pèrdues, el temps seria 46 min.
d) Durada = 15,4 Wh/1,5 W = 10,3 h.
Observació: la «capacitat» d'una bateria es mesura en mAh, però l'energia depèn també de la tensió: no es poden comparar bateries només pels mAh si tenen tensions diferents.

a) v_d = I/(n·e·A) = 10/(8,5·10²⁸·1,6·10^-19·2,5·10^-6) = 2,9·10^-4 m/s = 0,29 mm/s.
b) t = 1 m/2,9·10^-4 m/s = 3400 s = 57 min.
c) Volum d'1 m de cable: 2,5·10^-6 m³; electrons: 8,5·10²⁸·2,5·10^-6 = 2,1·10²³. Càrrega: 2,1·10²³·1,6·10^-19 = 3,4·10⁴ C (34 kC), però el cable és neutre: els ions de la xarxa compensen aquesta càrrega.
d) El que es propaga a una velocitat propera a la de la llum (uns 2·10⁸ m/s) és el camp elèctric, que fa moure tots els electrons del cable alhora. Els electrons no «viatgen» del interruptor a la bombeta: només es desplacen molt lentament, però ja n'hi ha a tot arreu del circuit.
Comprovació: 34 kC és prou perquè passin 10 A durant 3400 s (10·3400 = 34 000 C).