Exercicis d'ones i so — Física i Química 1r Batxillerat

Energia (la matèria del medi només vibra, no viatja amb l'ona).

El període és l'invers de la freqüència: T = 1/f = 1/5 = 0,2 s.
Cada oscil·lació completa dura 0,2 s.

El temps és la distància entre la velocitat: t = 1700 $\tfrac{m}{340}$ $\tfrac{m}{s} = 5$ s.
Per això, en una tempesta, el llamp es veu abans de sentir-se el tro.

Una ona és mecànica si necessita un medi material per propagar-se i electromagnètica si no el necessita; és longitudinal si el medi vibra en la direcció de propagació i transversal si vibra perpendicularment.
a) So: mecànica i longitudinal (l'aire es comprimeix i es dilata en la direcció de propagació).
b) Llum: electromagnètica i transversal (es propaga també en el buit).
c) Corda: mecànica i transversal (la corda vibra perpendicularment a la direcció de propagació).
d) Molla: mecànica i longitudinal (les espires vibren en la direcció de propagació).
e) Ones de ràdio: electromagnètiques i transversals.

El temps entre l'arribada de dues crestes és el període: T = 2 s. La distància entre dues crestes consecutives és la longitud d'ona: λ = 6 m.
Freqüència: f = 1/T = 1/2 = 0,5 Hz.
Velocitat de propagació: v = λ/T = 6/2 = 3 m/s (o bé v = λ·f = 6·0,5 = 3 m/s).
Observa que l'aigua no avança a 3 m/s: cada partícula d'aigua només oscil·la al voltant de la seva posició; el que es desplaça és l'ona.

Les ones de ràdio són electromagnètiques i es propaguen a la velocitat de la llum: c = λ·f.
Passem la freqüència a hertz: 100 MHz = 100·$10^{6}$ Hz = $10^{8}$ Hz.
λ = $\tfrac{c}{f}$ = $\tfrac{(3\cdot 10^{8})}{(10^{8})} = 3$ m.

La llum arriba pràcticament a l'instant: triga uns $\tfrac{2040}{(3\cdot 10^{8})} \approx 7$·$10^{-6}$ s, un temps molt menor que 6 s. Així, els 6 s són el temps que triga el so.
d = v·t = 340·6 = 2040 m, és a dir, uns 2 km.
Regla pràctica: dividint per 3 els segons que passen entre el llamp i el tro s'obté la distància en quilòmetres ($\tfrac{6}{3} = 2$ km).

a) Falsa. La freqüència la determina el focus emissor; en passar d'un medi a un altre, canvien la velocitat i la longitud d'ona, però no la freqüència.
b) Falsa. El so és una ona mecànica: necessita un medi material (aire, aigua, un sòlid...). La llum és electromagnètica i sí que es propaga en el buit.
c) Certa. El to depèn de la freqüència: les freqüències altes donen sons aguts i les baixes, sons greus.

Fem servir v = λ·f, és a dir, λ = v/f.
So més greu (f = 20 Hz): λ = 340/20 = 17 m.
So més agut (f = 20000 Hz): λ = 340/20000 = 0,017 m = 1,7 cm.
Com més alta és la freqüència, més petita és la longitud d'ona (la velocitat és la mateixa).

El to depèn de la freqüència (440 Hz en tots dos instruments) i la intensitat o volum, de l'amplitud de l'ona: aquestes dues qualitats coincideixen.
El que els diferencia és el timbre. Cada instrument no emet només la freqüència fonamental, sinó també harmònics (múltiples d'aquesta freqüència) amb intensitats diferents.
La superposició d'aquests harmònics dona a cada instrument una forma d'ona característica, i el nostre cervell la percep com un timbre diferent.

Primer la freqüència, que és l'invers del període: f = 1/T = 1/0,2 = 5 Hz.
La freqüència angular NO és la freqüència: ω = 2·π·f = 2·π·5 = 10·π ≈ 31,42 rad/s.
El nombre d'ona: k = 2·π/λ = 2·π/4 = π/2 ≈ 1,57 rad/m.
La velocitat: v = λ·f = 4·5 = 20 m/s.
Comprovació: també v = ω/k = 31,42/1,57 = 20 m/s, coincideix.

Comparo amb la forma general y = A·sin(ω·t - k·x).
Amplitud: A = 0,02 m (el que multiplica el sinus).
Freqüència angular: ω = 6·π rad/s ≈ 18,85 rad/s. Compte: això és ω, NO la freqüència.
Nombre d'ona: k = 2·π rad/m.
La freqüència surt de ω = 2·π·f, així que f = ω/(2·π) = 6·π/(2·π) = 3 Hz.
Període: T = 1/f = 1/3 ≈ 0,33 s.
Longitud d'ona, de k = 2·π/λ: λ = 2·π/k = 2·π/(2·π) = 1 m.
Velocitat: v = λ·f = 1·3 = 3 m/s (o bé v = ω/k = 6·π/(2·π) = 3 m/s).

Per la difracció: el so s'obre i rodeja en passar per la porta, així que arriba a llocs que no estan en línia recta amb la font.

El nivell d'intensitat sonora és β = 10·log($\tfrac{I}{I_{0}}$); és una escala logarítmica, no proporcional a la intensitat.
Calculo primer la fracció: $\tfrac{I}{I_{0}} = 10$⁻⁴/10⁻¹² = $10^{8}$.
Ara el logaritme decimal: log($10^{8}$) = 8.
Per tant β = 10·8 = 80 dB.
Nota del parany logarítmic: si la intensitat es multipliqués per 10 (fins a 10⁻³ $\text{W/m}^{2}$), el nivell NO es multiplica per 10; només puja 10 dB, fins a 90 dB.

El so fa anada i tornada: recorre 2·d en un temps t, de manera que 2·d = v·t.
Amb t = 0,1 s: 2·d = 340·0,1 = 34 m → d = 17 m.
A 10 m de la paret, el so recorre 20 m i triga t = 20/340 = 0,059 s, un temps inferior a 0,1 s: l'eco se superposa al so original i no es distingeix (hi ha reverberació, no eco).
Error típic: oblidar que l'eco fa anada i tornada i trobar 34 m en lloc de 17 m.

El pols fa anada i tornada, així que els 0,40 s corresponen a un recorregut de 2·d: d = v·t/2 = 1500·0,40/2 = 300 m.
Longitud d'ona: λ = v/f = 1500/(50·10³) = 0,03 m = 3 cm.
Els ultrasons (f > 20 kHz) tenen una longitud d'ona petita, cosa que permet detectar objectes petits i dirigir el so en feixos estrets.

Pulsació: ω = 2π·f = 2π·2 = 4π rad/s.
Longitud d'ona: λ = v/f = 4/2 = 2 m → nombre d'ona k = 2π/λ = π rad/m.
Equació: y(x, t) = 0,10·sin(4π·t - π·x) (y i x en metres, t en segons).
Per a x = 0,5 m i t = 0,1 s: y = 0,10·sin(4π·0,1 - π·0,5) = 0,10·sin(0,4π - 0,5π) = 0,10·sin(-0,1π) = 0,10·(-0,309) = -0,031 m.
Comprovació: v = ω/k = 4π/π = 4 m/s. Recorda tenir la calculadora en radians.

La diferència de fase entre dos punts separats una distància Δx és Δφ = k·Δx = (2π/λ)·Δx.
Δφ = (2π/0,50)·0,75 = 3π rad.
Si restem una volta completa (2π), és equivalent a π rad: els dos punts vibren en oposició de fase (quan un és a la cresta, l'altre és a la vall).
Comprovació: 0,75 m = 1,5 longituds d'ona; una distància d'un nombre semienter de longituds d'ona dona oposició de fase.

La potència es reparteix sobre una esfera de radi r, de superfície 4π·r²: I = P/(4π·r²).
A 10 m: I = 0,5/(4π·10²) = 3,98·10^-4 W/m² → β = 10·log(I/I₀) = 10·log(3,98·10⁸) = 86 dB.
A 20 m: I = 0,5/(4π·20²) = 9,95·10^-5 W/m² → β = 10·log(9,95·10⁷) = 80 dB.
En duplicar la distància, la intensitat es divideix per 4 i el nivell baixa uns 6 dB (10·log 4 = 6).

Quan l'observador es mou, rep més o menys fronts d'ona per segon que si estigués quiet: f' = f·(v ± $v_{o}$)/v, amb + si s'acosta a la font i - si se n'allunya.
S'acosta: f' = 680·$\tfrac{(340 + 5)}{340} = 680$·$\tfrac{345}{340} = 690$ Hz (més aguda que l'emesa).
S'allunya: f' = 680·$\tfrac{(340 - 5)}{340} = 680$·$\tfrac{335}{340} = 670$ Hz (més greu que l'emesa).
La freqüència emesa per la font no canvia: només varia la que percep l'observador.

Longitud d'ona: λ = v/f = 340/340 = 1,00 m. Mirem la diferència de camins Δ entre els dos altaveus i el punt: interferència constructiva si Δ = n·λ i destructiva si Δ = (n + 1/2)·λ.
a) Δ = 5,50 - 5,00 = 0,50 m = λ/2: les dues ones arriben en oposició de fase, de manera que hi ha interferència destructiva (el so s'afebleix molt o desapareix).
b) Δ = 7,00 - 6,00 = 1,00 m = λ: les dues ones arriben en fase, de manera que hi ha interferència constructiva (el so és més intens).

En 2 s el so va fins a la paret i torna, així que recorre el doble de la distància a la paret.
Distància total recorreguda: 340 m/s · 2 s = 680 m.
La paret és a la meitat: $\tfrac{680}{2} = 340$ m.

La freqüència es manté: la fixa la font. Canvien la velocitat i la longitud d'ona.
Aire: λ = 340/440 ≈ 0,773 m. Aigua: λ = 1480/440 ≈ 3,364 m.

L'efecte Doppler diu que si la font s'apropa, l'observador rep les crestes més juntes i sent una freqüència MÉS ALTA que l'emesa.
Per això al denominador va v - v_font (es resta perquè s'apropa): f' = f·v/(v - v_font).
Substitueixo: f' = 612·340/(340 - 34) = 612·340/306.
Simplifico 340/306 = 10/9, així que f' = 612·10/9 = 680 Hz.
El resultat (680 Hz > 612 Hz) confirma el sentit físic: en apropar-se, el so es percep més agut. Quan l'ambulància ja s'allunya, es faria servir v + v_font i la persona el sentiria més greu.

Els decibels són una escala logarítmica: no se sumen; se sumen les intensitats.
Una màquina: 80 = 10·log(I/I₀) → I = I₀·10⁸ = 10^-4 W/m².
a) Dues màquines: I = 2·10^-4 W/m² → β = 10·log(2·10^-4/10^-12) = 10·log(2·10⁸) = 10·(8 + 0,301) = 83 dB. Doblar el nombre de fonts només suma 3 dB.
b) 90 dB corresponen a una intensitat de 10^-3 W/m², és a dir, 10 vegades la d'una màquina: calen 10 màquines (β = 80 + 10·log 10 = 90 dB).
Error típic: sumar els decibels directament (80 + 80 = 160 dB).

La freqüència no canvia en la refracció (la fixa el focus): f = 5 Hz. Longitud d'ona en cada zona, λ = v/f: λ₁ = 0,30/5 = 0,060 m = 6,0 cm i λ₂ = 0,20/5 = 0,040 m = 4,0 cm.
Llei de la refracció: sin θ₂ = sin θ₁·v₂/v₁ = sin 40°·0,20/0,30 = 0,643·0,667 = 0,4285.
θ₂ = arcsin(0,4285) = 25,4°.
L'ona es frena en passar a la zona poc profunda: el raig s'acosta a la normal i la longitud d'ona disminueix.

Comparem amb y = A·sin(ω·t - k·x): A = 0,03 m, ω = 20π rad/s i k = 4π rad/m.
Freqüència: f = $\tfrac{\omega}{(2\pi )} = 10$ Hz (T = 0,1 s). Longitud d'ona: λ = 2π/k = 0,5 m. Velocitat de propagació: v = λ·f = 0,5·10 = 5 m/s (també v = $\tfrac{\omega}{k} = 5$ m/s).
Cada partícula del medi fa un moviment harmònic simple d'amplitud A i pulsació ω, i la seva velocitat màxima és $v_{màx}$ = A·ω = 0,03·20π = 1,88 m/s (s'obté derivant y respecte del temps).
Són dues velocitats diferents: la de propagació (5 m/s) és la de l'ona, constant i determinada pel medi; la de vibració canvia amb el temps i depèn de l'amplitud i de la freqüència.

a) La font (el cotxe de policia) s'acosta a l'observador: $v_{s}$ = +20 m/s. L'observador s'allunya de la font: $v_{o}$ = -10 m/s.
f' = 900·$\tfrac{(340 - 10)}{(340 - 20)} = 900$·$\tfrac{330}{320} = 928$ Hz (més aguda que l'emesa, perquè la font guanya terreny a l'observador).
b) Ara $v_{s}$ = +20 m/s i $v_{o}$ = -20 m/s: f' = 900·$\tfrac{(340 - 20)}{(340 - 20)} = 900$ Hz.
No hi ha canvi de freqüència perquè la distància entre els dos cotxes no varia: els fronts d'ona arriben al conductor al mateix ritme amb què surten de la sirena.

a) Temps per l'acer: t₁ = d/v₁ = 1020/5100 = 0,2 s. Temps per l'aire: t₂ = d/v₂ = 1020/340 = 3,0 s.
Diferència: Δt = 3,0 - 0,2 = 2,8 s. El so que viatja per l'acer arriba primer.
b) Imposem Δt = d/340 - d/5100 = 0,1 s → d·(1/340 - 1/5100) = d·(14/5100) = 0,1 → d = 0,1·5100/14 = 36,4 m.
Per sota d'uns 36 m, els dos sons arriben massa junts per distingir-los.

Dades en el SI: A = 0,05 m; ω = 2π/T = 2π/0,40 = 5π rad/s; k = 2π/λ = 2π/0,80 = 2,5π rad/m.
Si l'ona va cap a les x negatives, el terme k·x té signe positiu: y = A·sin(ω·t + k·x + φ₀).
Condició inicial: y(0, 0) = A → sin φ₀ = 1 → φ₀ = π/2. Equació: y(x, t) = 0,05·sin(5π·t + 2,5π·x + π/2), que també es pot escriure y = 0,05·cos(5π·t + 2,5π·x).
Velocitat de propagació: v = λ/T = 0,80/0,40 = 2 m/s (cap a les x negatives).
Elongació en x = 0,20 m i t = 0,10 s: fase = 5π·0,10 + 2,5π·0,20 + π/2 = 0,5π + 0,5π + 0,5π = 1,5π → y = 0,05·sin(1,5π) = -0,05 m (el punt és a la vall).

a) v = √(90/0,010) = √9000 = 94,9 m/s. En una corda fixa pels extrems hi cap un nombre enter de semilongituds d'ona: L = n·λ/2, així f₁ = v/(2L) = 94,9/2,40 = 39,5 Hz.
b) f_n = n·f₁: 39,5 Hz, 79,1 Hz i 118,6 Hz. Per al tercer, λ₃ = 2L/3 = 0,80 m.
c) Nodes cada λ/2 = 0,40 m: a 0; 0,40; 0,80 i 1,20 m (els extrems inclosos). Ventres al mig de cada parell: a 0,20; 0,60 i 1,00 m.
d) f ∝ √T. T = μ·(2L·f)² = 0,010·(2,40·44,0)² = 0,010·11 151 = 111,5 N, un 24 % més de tensió (el 11 % de freqüència suposa un 24 % de tensió).
Comprovació: v = 2L·f = 2,40·44,0 = 105,6 m/s i T = μv² = 0,010·11 151 = 111,5 N.

a) Tub obert (ventre a cada extrem): L = n·λ/2, f_n = n·v/(2L) = n·340 Hz: 340, 680 i 1020 Hz. Tub tancat (node a l'extrem tancat, ventre a l'obert): L = (2n - 1)·λ/4, f = (2n - 1)·v/(4L) = (2n - 1)·170 Hz: 170, 510 i 850 Hz.
b) Tancat: f = v/(4L), L = 340/(4·440) = 0,193 m. Obert: L = v/(2f) = 340/880 = 0,386 m (el doble).
c) Al tub tancat la longitud és λ/4 en el mode fonamental (al obert és λ/2), per tant λ és el doble i f és la meitat: una octava més greu. Només hi caben harmònics senars (1, 3, 5...): els parells (340 Hz, 680 Hz...) no tenen un node a l'extrem tancat i un ventre a l'obert alhora. Per això el timbre d'un clarinet (tub tancat) és diferent del d'una flauta (tub obert).
Comprovació: 510 Hz és exactament 3 vegades 170 Hz, i 850 és 5 vegades.

a) λ = v/f = 340/170 = 2,0 m. Constructiva: Δ = n·λ (n enter); destructiva: Δ = (n + ½)·λ.
b) Un punt a x del primer altaveu és a 4,0 - x del segon, de manera que Δ = |x - (4,0 - x)| = |2x - 4,0|. Constructiva: |2x - 4| = 0, 2, 4: x = 2,0 m; x = 1,0 i 3,0 m; x = 0 i 4,0 m (just als altaveus). Destructiva: |2x - 4| = 1, 3: x = 1,5 i 2,5 m; x = 0,5 i 3,5 m.
Els màxims són cada λ/2 = 1,0 m i els mínims a mig camí entre màxims (separats també 1,0 m).
c) En oposició de fase hi ha un desfasament addicional de π: les condicions s'intercanvien. Al punt mig (Δ = 0) hi ha interferència destructiva (silenci), i els màxims són a 1,5 i 2,5 m, 0,5 i 3,5 m.
Observació: si caminés per aquesta recta, sentiria el so fort i fluix cada metre: és el patró d'una ona estacionària.

a) Intensitats: $I_{1}$ = $10^{-12}$·10^8,5 = 3,16·$10^{-4}$ $\text{W/m}^{2}$ i $I_{2}$ = $10^{-12}$·10^8,2 = 1,58·$10^{-4}$ $\text{W/m}^{2}$. Total = 4,74·$10^{-4}$ $\text{W/m}^{2}$: β = 10·log(4,74·$\tfrac{10^{-4}}{10^{-12}}$) = 86,8 dB. Només 1,8 dB més que la més sorollosa.
b) Duplicar el nombre de fonts iguals duplica la intensitat: Δβ = 10·log 2 = 3,0 dB.
c) Per a una font puntual, I ∝ $\tfrac{1}{r^{2}}$, així que $β_{1}$ - $β_{2}$ = 20·log($\tfrac{r_{2}}{r_{1}}$). 15 = 20·log($\tfrac{r_{2}}{4{,}0}$), $r_{2}$ = 4,0·10^0,75 = 22,5 m.
d) I = $10^{-12}$·10^8,5 = 3,2·$10^{-4}$ $\text{W/m}^{2}$.
Comprovació: cada duplicació de distància resta 6 dB; 4 → 22,5 m són 2,5 duplicacions (15 dB).

a) La freqüència de pulsacions és |f₁ - f₂|: la corda podria tenir 444 Hz o 436 Hz.
b) Augmentar la tensió fa pujar la freqüència. Si hagués estat 436 Hz s'acostaria al diapasó i les pulsacions baixarien; com que han pujat a 6, la corda s'allunyava de 440 Hz per dalt: inicialment era 444 Hz (i ara 446 Hz).
c) f ∝ $\sqrt{T}$, així T ∝ $f^{2}$. Per baixar de 444 a 440 Hz: T_f/T_i = ($\tfrac{440}{444}$$)^{2}$ = 0,982: cal reduir la tensió un 1,8 %. Per pujar de 436 a 440 Hz: ($\tfrac{440}{436}$$)^{2}$ = 1,018: augmentar-la un 1,8 %.
d) Dues ones de freqüències pròximes se sumen: y = A·[sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t)] = 2A·cos(π(f₁ - f₂)t)·sin(π(f₁ + f₂)t). L'orella percep el to mitjà (442 Hz) amb una amplitud que oscil·la; la intensitat té un màxim cada $\tfrac{1}{4}$ s (4 pulsacions per segon).
Observació: només un petit canvi de tensió (1,8 %) mou la freqüència 4 Hz (≈ 16 cèntims d'un semitò).

a) 0 °C: 331,3 m/s. 15 °C: 331,3·$\sqrt{1{,}0549}$ = 340,3 m/s. 30 °C: 331,3·$\sqrt{1{,}1098}$ = 349,0 m/s. Cada grau fa pujar v uns 0,6 m/s.
b) A 25 °C: v = 331,3·$\sqrt{1{,}0915}$ = 346,1 m/s. L'eco fa anar i tornar: d = v·$\tfrac{t}{2} = 346{,}1$·$\tfrac{1{,}00}{2} = 173{,}1$ m. Amb 340 m/s: 170,0 m, un error de -3,1 m (-1,8 %).
c) d = 346,1·6,0 = 2077 m (uns 2,1 km). La llum triga unes 7 μs, negligible.
d) L'aire fred (a prop del terra) fa que el so vagi més lent, i com que v augmenta amb l'altura, el front d'ona es refracta i es dobla cap avall (cap a la zona de menor velocitat). El so queda «atrapat» prop del terra i arriba més lluny que de dia, quan l'aire és més calent a prop del terra i el so es desvia cap amunt.
Observació: la humitat i la pressió afecten molt poc v; la temperatura és el factor principal.

a) v = √(T/μ): v₁ = √(50/0,020) = 50 m/s i v₂ = √(50/0,080) = 25 m/s. λ = v/f: λ₁ = 5,0 m i λ₂ = 2,5 m.
b) La freqüència es manté a 10 Hz: la unió fa de nou font: cada punt de la unió vibra amb la freqüència de l'ona incident, i la corda 2 el segueix.
c) r = (25 - 50)/(25 + 50) = -1/3: amplitud reflectida = -1,33 cm (el signe negatiu indica una inversió de fase de π: reflexió sobre un medi més pesat). t = 2·25/75 = 2/3: amplitud transmesa = 2,67 cm.
d) Per a cordes iguals en tensió, l'energia transportada és proporcional a l'amplitud al quadrat per la impedància √(Tμ). Fracció reflectida = r² = 1/9 = 11 %, la transmesa és 8/9 = 89 %.
Comprovació: 1 + r = t (4,0 - 1,33 = 2,67 cm): la corda és contínua a la unió.

a) y = $y_{1}$ + $y_{2}$ = 2A·cos($\tfrac{\delta}{2}$)·sin(kx - ωt + $\tfrac{\delta}{2}$). Té la mateixa freqüència, un desfasament de $\tfrac{\delta}{2}$ i una amplitud 2A·|cos($\tfrac{\delta}{2}$)|.
b) La intensitat és proporcional al quadrat de l'amplitud: $\tfrac{I}{I_{1}} = 4$cos²($\tfrac{\delta}{2}$). δ = 0: amplitud 2A, quocient 4 (constructiva total). δ = $\tfrac{\pi}{3}$: amplitud 2A·cos(30°) = 1,73A, quocient 3,0. δ = π: amplitud 0, quocient 0 (destructiva total).
c) Si són incoherents (el desfasament varia a l'atzar), la mitjana de cos² és ½ i les intensitats se sumen: I = 2·$I_{1}$. La coherent constructiva dona 4·$I_{1}$, el doble.
Observació: la interferència no crea ni destrueix energia: en els punts destructius hi falta el que sobra en els constructius; la mitjana espacial és 2·$I_{1}$, igual que en el cas incoherent.

a) Entre ressonàncies consecutives la columna augmenta $\tfrac{\lambda}{2}$: 55,5 - 16,5 = 39,0 cm i 94,5 - 55,5 = 39,0 cm. λ = 78,0 cm. v = f·λ = 440·0,780 = 343,2 m/s. Incertesa: cada diferència de longituds té una incertesa de $\sqrt{2}$·0,5 = 0,7 cm i λ = 2·ΔL té Δλ = 1,4 cm (1,8 %), així que Δv ≈ 6 m/s. Resultat: v = 343 ± 6 m/s.
b) $\tfrac{\lambda}{4} = 19{,}5$ cm, mentre que la primera ressonància és a 16,5 cm: correcció d'extrem e = 19,5 - 16,5 = 3,0 cm. Radi r = $\tfrac{e}{0{,}6} = 5{,}0$ cm.
c) 343,2 = 331,3·$\sqrt{1 + \tfrac{T}{273}{,}15}$ ⇒ 1 + $\tfrac{T}{273{,}15} = 1{,}0731$ ⇒ T = 20,0 °C.
d) El ventre de pressió/desplaçament no és exactament a la boca del tub, sinó una mica més enllà: l'aire de fora participa en la vibració. L'altura efectiva és L + e; per això un únic mesurament de $\tfrac{\lambda}{4}$ amb L dona un valor erroni, i és millor mesurar la separació entre ressonàncies, que elimina e.
Comprovació: 16,5 + 3,0 = 19,5 cm = $\tfrac{\lambda}{4}$; 55,5 + 3,0 = 58,5 = 3λ/4; 94,5 + 3,0 = 97,5 = 5λ/4.

a) El cotxe és un observador que s'acosta: f' = f·$\tfrac{(v + v_{c})}{v} = 40$ 000·$\tfrac{360}{340} = 42$ 353 Hz. Després reemet com a font que s'acosta: f'' = f'·$\tfrac{v}{(v - v_{c})} = 42$ 353·$\tfrac{340}{320} = 45$ 000 Hz. En conjunt: f'' = f·$\tfrac{(v + v_{c})}{(v - v_{c})} = 40$ 000·$\tfrac{360}{320} = 45$ 000 Hz.
b) Pulsació = 45 000 - 40 000 = 5000 Hz (si es mescla amb l'emesa). De la desviació s'obté la velocitat: $v_{c}$ = v·$\tfrac{(f'' - f)}{(f'' + f)} = 340$·$\tfrac{5000}{85}$ 000 = 20 m/s.
c) Allunyant-se: f'' = f·$\tfrac{(v - v_{c})}{(v + v_{c})} = 40$ 000·$\tfrac{320}{360} = 35$ 556 Hz (desplaçament de -4444 Hz, menor en valor absolut que a l'acostar-se).
d) El ratpenat és observador i font alhora, amb una paret fixa: f'' = f·$\tfrac{(v + v_{r})}{(v - v_{r})} = 40$ 000·$\tfrac{345}{335} = 41$ 194 Hz, un desplaçament de 1194 Hz que li indica que s'acosta a 5 m/s.
Observació: per a $v_{c}$ molt menor que v, el desplaçament és aproximadament Δf ≈ 2·f·$\tfrac{v_{c}}{v} = 2$·40 000·$\tfrac{20}{340} = 4706$ Hz, prou a prop del valor exacte de 5000 Hz.

a) $τ_{paret}$ = 10^{-$\tfrac{30}{10}$} = $10^{-3}$. $τ_{finestra}$ = 10^{-$\tfrac{20}{10}$} = $10^{-2}$.
b) $τ_{total}$ = 0,90·$10^{-3}$ + 0,10·$10^{-2}$ = 9,0·$10^{-4}$ + 1,0·$10^{-3}$ = 1,9·$10^{-3}$. TL = 10·log($\tfrac{1}{1{,}9}$·$10^{-3}$) = 27,2 dB. Nivell a dins = 78 - 27,2 = 50,8 dB.
c) Només paret: 78 - 30 = 48 dB. Només finestra: 78 - 20 = 58 dB.
d) Per arribar a TL = 30 dB cal $τ_{total}$ = $10^{-3}$: 9,0·$10^{-4}$ + 0,10·$τ_{f}$ = 1,0·$10^{-3}$, $τ_{f}$ = 1,0·$10^{-3}$: una finestra de 30 dB, igual que la paret. Amb un doble vidre de 25 dB, $τ_{f}$ = 3,2·$10^{-3}$ i $τ_{total}$ = 9,0·$10^{-4}$ + 3,2·$10^{-4}$ = 1,22·$10^{-3}$, o sigui 29,1 dB.
Conclusió: el punt feble domina. El 10 % d'àrea de finestra aporta el 53 % del so transmès (1,0·$\tfrac{10^{-3}}{1{,}9}$·$10^{-3}$); millorar la paret no serveix de gaire si no es millora la finestra.

a) Aire: v = √(1,4·8,31·293,15/0,029) = 343 m/s. Heli: v = √((5/3)·8,31·293,15/0,0040) = 1007 m/s. Quocient = 1007/343 = 2,94.
b) Tub tancat: f = v/(4L). Aire: 343/(4·0,17) = 504 Hz. Heli: 1007/0,68 = 1481 Hz (3 vegades més).
c) Les cordes vocals fixen la freqüència del to (fonamental) i no depenen del gas que hi ha a la gola. Però el tracte vocal selecciona (ressona amb) uns harmònics que determinen el timbre (formants), i aquestes ressonàncies són proporcionals a v: amb heli pugen gairebé un factor 3. La veu «de dibuixos animats» és doncs un canvi de timbre, no de to.
Observació: l'heli és menys dens (M petita) i això fa v més gran; l'efecte de γ és menor (la raó de √γ és 1,09).
Comprovació: v ∝ 1/√M · √γ: √(0,029/0,0040)·√(5/3 / 1,4) = 2,69·1,09 = 2,94.

a) La diferència de temps és Δt = d/v_S - d/v_P = d·(1/4,5 - 1/8,0) = 0,0972·d (d en km, Δt en s). d = 40/0,0972 = 411 km. Temps P: 411/8,0 = 51,4 s. Temps S: 411/4,5 = 91,4 s (diferència 40 s).
b) d = 25/0,0972 = 257 km.
c) El terratrèmol va començar 51,4 s abans de l'arribada de les P: a les 10 h 00 min 00,0 s.
d) Les ones S són ones de cisallament (transversals): necessiten un medi amb rigidesa que permeti força de recuperació lateral; els líquids no en tenen. Per això no travessen el nucli extern, i d'aquí s'ha deduït que és líquid. Per localitzar l'epicentre calen almenys tres estacions: cada una dona una distància, és a dir, una circumferència de possibles localitzacions, i les tres circumferències es tallen en un sol punt (triangulació).
Observació: només la diferència S - P ja dona la distància, sense saber l'hora d'origen; ni cal conèixer l'hora real.

a) v = √(9,8·100/(2π)) = 12,5 m/s. El període és T = λ/v = 100/12,5 = 8,0 s.
b) v = √(9,8·4000) = 198 m/s = 713 km/h (com un avió). λ = v·T = 198·1200 = 2,38·10⁵ m = 238 km. És molt més gran que h = 4 km, de manera que la fórmula d'aigües poc profundes és vàlida.
c) A h = 10 m: v = √(9,8·10) = 9,9 m/s = 35,6 km/h. λ = 9,9·1200 = 11,9 km. L'ona s'ha frenat 20 vegades i la seva longitud d'ona es redueix en la mateixa proporció.
d) Factor = (4000/10)^1/4 = 4,47. Amplitud = 0,50·4,47 = 2,2 m. (A la pràctica hi ha més efectes: la forma de la costa, la ressonància de badies, etc. pot fer pujar encara més l'alçada final.)
Observació: l'energia transportada es manté (aproximadament) mentre la velocitat baixa: per això l'amplitud ha de créixer. Un tsunami no és una «onada» sinó una elevació de tota la columna d'aigua.

a) λ = 340/1000 = 0,34 m. sin θ = 0,34/0,90 = 0,378, θ = 22,2°. El so s'obre en un con ampli (±22° fins al primer mínim; amb una intensitat important encara més enllà).
b) λ = 340/3000 = 0,113 m. sin θ = 0,113/0,90 = 0,126, θ = 7,2°: la difracció és més petita, així que els sons aguts són més direccionals i els greus «giren les cantonades».
c) λ = 5,0·10^-7 m; sin θ = 5,0·10^-7/1,0·10^-4 = 5,0·10^-3, θ = 0,29°: la difracció és gairebé inapreciable.
d) La difracció és apreciable quan λ és comparable a l'obertura. Per al so, λ és de decímetres a metres, de l'ordre de la porta: el so es doblega cap a les cantonades. La llum té λ ≈ 5·10^-7 m, un milió de cops menys que la porta: viatja en línia recta i no veus qui parla darrere. Amb una porta de 5 m, λ/a = 0,068 (θ = 3,9°) i el so també es concentra: l'«ombra acústica» és més marcada.
Observació: un altaveu de greus pot estar amagat a qualsevol lloc de l'habitació; els aguts, no.

a) Al passar d'un medi lent (aire) a un de ràpid (aigua), el raig s'allunya de la normal: sin θ₂ = (v₂/v₁)·sin θ₁ = 4,35·sin θ₁. L'angle crític apareix quan θ₂ = 90°: sin θ₁ = 340/1480, θ₁ = 13,3°. Els sons de l'aire amb incidència superior a 13,3° es reflecteixen totalment; només els que entren dins d'un con de 13,3° al voltant de la vertical penetren a l'aigua (i a l'aigua es propaguen en totes direccions fins a 90°).
b) T = 4·415·1,48·10⁶/(1,48·10⁶ + 415)² = 1,1·10^-3: passa només el 0,11 % de la intensitat, és a dir, una reducció de 10·log(1,1·10^-3) = -29,6 dB.
c) La diferència d'impedàncies acústiques entre l'aire i l'aigua és enorme (un factor 3500): la superfície es comporta com un mirall acústic i reflecteix el 99,9 % de l'energia. A més, els raigs amb més de 13,3° d'incidència no entren. Per això sota l'aigua sents poc la conversa de l'exterior.
d) La transmissió és simètrica: de l'aigua cap a l'aire també passa només el 0,11 % de la intensitat, i el 99,9 % torna cap a l'aigua. El so queda en gran part atrapat dins de l'aigua, i per això un motor submergit se sent de lluny sota l'aigua però poc per sobre.
Observació: és el mateix motiu pel qual cal un gel d'acoblament a l'ecografia: eliminar l'aire per fer passar el so.

a) f₇ = 440·2^{$\tfrac{7}{12}$} = 440·1,4983 = 659,3 Hz. Raó = 1,4983.
b) Quinta justa: 440·1,5 = 660 Hz. Diferència: 1200·log₂($\tfrac{1{,}5}{1{,}4983}$) = 1,96 cèntims. Gairebé indistingible: les quintes temperades són «una mica estretes».
c) El tercer harmònic del la: 3·440 = 1320 Hz. El segon del mi: 2·659,3 = 1318,5 Hz. Pulsacions: 1320 - 1318,5 = 1,5 Hz (1,5 per segon): un lleuger «batec» lent.
d) Tercera major temperada: 2^{$\tfrac{4}{12}$} = 1,2599, 554,4 Hz; la justa $\tfrac{5}{4} = 1{,}25$, 550 Hz. Diferència: 1200·log₂($\tfrac{1{,}2599}{1{,}25}$) = 13,7 cèntims: audible; la tercera temperada és una mica «ampla» i més aspra que la justa.
Observació: l'escala temperada és un compromís que permet tocar en totes les tonalitats; cap interval (excepte l'octava) és exactament «pur».

a) El pols va i torna: d = v·t/2 = 1500·0,400/2 = 300 m.
b) λ = v/f = 1500/50 000 = 0,030 m = 3,0 cm. Longitud espacial del pols = v·τ = 1500·1,0·10^-3 = 1,5 m (50 longituds d'ona).
c) Dos reflectors a profunditats diferents donen ecos separats si la diferència de recorregut és superior a la longitud del pols: 2·Δh > v·τ, Δh > 1500·10^-3/2 = 0,75 m. La resolució millora amb polsos més curts.
d) Amb 2 polsos per segon hi ha 0,50 s entre polsos. L'eco d'un pols ha d'arribar abans que s'emeti el següent: t_màx = 0,50 s, d_màx = 1500·0,50/2 = 375 m. Un eco que vingui de més avall es confondria amb el següent pols. Per mesurar més profund cal baixar la freqüència de repetició.
Observació: la freqüència de 50 kHz permet un feix estret (λ petita) i bona resolució, però s'atenua més que els sons greus (per això els sonars profunds usen freqüències baixes).

a) I = 10^-12·10⁶ = 1,0·10^-6 W/m². Δp_màx = √(2ρvI) = √(2·1,2·340·1,0·10^-6) = 0,0286 Pa. Fracció de la pressió atmosfèrica: 0,0286/101 325 = 2,8·10^-7.
b) A 1000 Hz: ω = 6283 rad/s, s_màx = 0,0286/(1,2·340·6283) = 1,1·10^-8 m = 11 nm. A 100 Hz: ω = 628 rad/s, s_màx = 1,1·10^-7 m = 110 nm (10 vegades més).
c) 120 dB: I = 1,0 W/m², Δp_màx = √(2·1,2·340·1,0) = 28,6 Pa.
d) Un so de conversa (60 dB) mou les molècules d'aire només 11 nm (unes 100 vegades el diàmetre d'una molècula) amb canvis de pressió de la mil·lèsima de la milionèsima de la pressió atmosfèrica. L'orella és un detector extraordinàriament sensible. Entre el llindar d'audició (0 dB) i el de dolor (120 dB) la intensitat varia en un factor 10¹², i l'amplitud de pressió en un factor 10⁶.
Comprovació: s ∝ 1/f a Δp constant, per això els greus fan «moure» més l'aire.

a) V = 8,0·6,0·3,0 = 144 m³. Superfície: 2·(8·6 + 8·3 + 6·3) = 2·(48 + 24 + 18) = 180 m². A = 0,10·180 = 18,0 m². T₆₀ = 0,161·144/18,0 = 1,29 s: massa reverberant (el so dura més d'un segon).
b) A = 0,161·V/T₆₀ = 0,161·144/0,60 = 38,6 m². Cal afegir 38,6 - 18,0 = 20,6 m² d'absorció.
c) Cada metre quadrat de plafó substitueix una superfície amb α = 0,10, així que aporta una absorció neta de 0,80 - 0,10 = 0,70 m². Superfície = 20,6/0,70 = 29,5 m² (un 16 % de la superfície total, per exemple una paret gran).
d) Les persones (i les butaques tapisades) són absorbents: la seva α és alta. Un teatre ple té una absorció A més gran i, segons la fórmula, un T₆₀ més curt (inversament proporcional a A). Per això els assajos es fan amb la sala ocupada o s'afegeixen cortines.
Comprovació: T₆₀ = 0,161·144/38,6 = 0,60 s.