Exercicis de treball i energia — Física i Química 1r Batxillerat

El treball d'una força en la direcció del moviment és W = F·d.
W = 50 N · 3 m = 150 J.
Unitats: N·m = J (joules).

Quan la força no va en la direcció del moviment, només la seva component en aquesta direcció fa treball: W = F·d·cos(α).
Aquí α = 30° és l'angle entre la força i el desplaçament horitzontal.
W = 60·8·cos(30°) = 60·8·0,87 = 417,6 J.
Parany: si multipliquessis només 60·8 = 480 J oblidaries el cos(α); aquest valor només valdria si estiressis en horitzontal pur (α = 0, cos(0) = 1).

Sense fregament, l'energia mecànica es conserva: la potencial es transforma íntegrament en cinètica.
Tota la potencial (100 J) passa a cinètica.
A baix tindrà 100 J d'energia cinètica.

El signe depèn de l'angle α entre la força i el desplaçament: W = F·d·cos α.
a) Positiu: el pes i el desplaçament van cap avall (α = 0°).
b) Negatiu: el fregament té sentit contrari al desplaçament (α = 180°) i frena la caixa.
c) Nul: la normal és perpendicular al desplaçament (α = 90° i cos 90° = 0).
d) Nul: la força centrípeta és perpendicular a la velocitat en tot moment, de manera que no canvia l'energia cinètica del satèl·lit.
e) Negatiu: el pes apunta cap avall i la persona es desplaça cap amunt (α = 180°).
Error típic: creure que el treball d'una força sempre és positiu; pot ser negatiu (la força s'oposa al moviment) o nul (força perpendicular al desplaçament).

Passem la velocitat al SI: 21,6 km/h = 21,6/3,6 = 6 m/s.
E_c = (1/2)·m·v² = 0,5·80·6² = 0,5·80·36 = 1440 J.
Error típic: fer servir 21,6 sense convertir-lo a m/s; el resultat sortiria unes 13 vegades massa gran.

Desnivell: Δh = 1700 - 500 = 1200 m.
ΔE_p = m·g·Δh = 60·9,8·1200 = 705600 J (uns 706 kJ).
El pes és una força conservativa: W_pes = -ΔE_p = -705600 J. És negatiu perquè el pes apunta cap avall i l'excursionista puja.
Observa que el resultat només depèn del desnivell, no del camí que se segueixi per pujar.

Només la força de 25 N fa treball (el pes i la normal són perpendiculars al desplaçament): W = F·d = 25·8 = 200 J.
Teorema de l'energia cinètica: W = ΔE_c = (1/2)·m·v² - 0 → 200 = 0,5·4·v² → v² = 100 → v = 10 m/s.
Comprovació amb cinemàtica: a = F/m = 25/4 = 6,25 m/s² i v² = 2·a·d = 2·6,25·8 = 100 → v = 10 m/s.

Velocitat al SI: 72 km/h = 72/3,6 = 20 m/s.
Quan la força té la direcció del moviment, P = F·v = 600·20 = 12000 W = 12 kW.
Això vol dir que el motor entrega 12000 J cada segon per mantenir la velocitat.
Error típic: multiplicar per 72 sense passar els km/h a m/s; per obtenir watts, la velocitat ha d'anar en m/s.

a) Falsa. E_c = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$, i tant la massa com el quadrat de la velocitat són positius: l'energia cinètica sempre és positiva o zero.
b) Certa. Si canviem el nivell zero, E_p = m·g·h canvia en una quantitat constant, però ΔE_p = m·g·Δh només depèn del desnivell entre els dos punts.
c) Falsa. A igual energia cinètica, el cos de menys massa va més de pressa: per exemple, 1 kg a 10 m/s i 4 kg a 5 m/s tenen tots dos 50 J.

L'error és confondre potència i energia: el kilowatt (kW) mesura una potència, és a dir, l'energia per unitat de temps, mentre que el consum és una energia.
Energia = potència·temps: E = P·t = 2 kW·3 h = 6 kWh.
En joules: 1 kWh = 1000 W·3600 s = 3,6·$10^{6}$ J → E = 6·3,6·$10^{6}$ = 2,16·$10^{7}$ J.

Fem servir W = F·d·cos(α) per a cada força, on α és l'angle amb el desplaçament (horitzontal).
Tracció (50 N a 60°): W = 50·8·cos(60°) = 50·8·0,5 = 200 J (positiu, empeny a favor).
Pes i normal: són verticals, perpendiculars al moviment horitzontal, α = 90° i cos(90°) = 0; per tant W = 0 totes dues. Parany: encara que el pes és gran, no fa treball si el cos no puja ni baixa.
Fregament (12 N): s'oposa al moviment, α = 180° i cos(180°) = -1; per tant W = 12·8·(-1) = -96 J (negatiu, treu energia).
Treball total: W = 200 + 0 + 0 - 96 = 104 J.

Per quatre (la velocitat va al quadrat, $2^{2}$ = 4).

Sense fregament, l'energia mecànica es conserva: tota l'energia potencial de dalt es converteix en cinètica a baix.
m·g·h = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$. La massa se simplifica als dos costats.
v = $\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Amb g = 10 $\text{m/s}^{2}$ i h = 3 m: v = $\sqrt{2\cdot 10\cdot 3}$ = $\sqrt{60}$ ≈ 7,7 m/s.
Parany: no cal saber l'angle ni la longitud de la rampa, només l'altura; i la massa no hi influeix (se simplifica).

L'energia cinètica inicial és $E_{c}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ = 0,5·2·$6^{2}$ = 0,5·2·36 = 36 J.
El fregament fa un treball negatiu que dissipa energia: als 36 J se'ls resten els 20 J dissipats.
$E_{c}$ final = 36 - 20 = 16 J.
Ara aïllem la velocitat de ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ = 16: 0,5·2·$v^{2}$ = 16, $v^{2}$ = 16, v = 4 m/s.
Parany: l'energia dissipada pel fregament SEMPRE resta (el seu treball és negatiu). Si la sumessis, et sortiria una velocitat més gran que la inicial, cosa impossible amb fregament.

Treball útil: la bomba ha de vèncer el pes de l'aigua, W = m·g·h = 600·9,8·15 = 88200 J.
Temps: 2 min = 120 s.
Potència útil: P_útil = W/t = 88200/120 = 735 W.
Rendiment: η = P_útil/P_consumida = 735/1000 = 0,735 → 73,5 %.
Els 265 W restants es dissipen en forma de calor (fregaments i pèrdues del motor).

Velocitat: 90 km/h = 25 m/s → E_c = 0,5·1000·25² = 312500 J.
Teorema de l'energia cinètica: el treball de la força de frenada és igual a la variació d'energia cinètica: -F·d = 0 - 312500 → d = 312500/5000 = 62,5 m.
A 180 km/h = 50 m/s: E_c = 0,5·1000·50² = 1250000 J → d = 1250000/5000 = 250 m.
Duplicar la velocitat multiplica per 4 l'energia cinètica i, per tant, la distància de frenada (62,5·4 = 250 m).
Error típic: pensar que la distància de frenada és proporcional a la velocitat; ho és al seu quadrat.

La tensió del fil és perpendicular al desplaçament i no fa treball: només treballa el pes, que és conservatiu. Es conserva l'energia mecànica.
$E_{p}$ (dalt) → $E_{c}$ (baix): m·g·h = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ → v = $\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}4}$ = $\sqrt{7,84}$ = 2,8 m/s.
La massa es simplifica i no influeix en la velocitat: amb 0,4 kg també sortiria 2,8 m/s. L'energia cinètica sí que seria el doble (1,568 J en comptes de 0,784 J).
La longitud del fil tampoc no hi influeix: només compta el desnivell h entre els dos punts.

Velocitats: 36 km/h = 10 m/s i 72 km/h = 20 m/s. El treball del motor és igual a la variació d'energia cinètica.
De 36 a 72 km/h: W = ($\tfrac{1}{2}$)·1000·($20^{2}$ - $10^{2}$) = 500·300 = 150000 J.
De 0 a 36 km/h: W = ($\tfrac{1}{2}$)·1000·($10^{2}$ - 0) = 500·100 = 50000 J.
El primer treball és 3 vegades el segon, tot i que en tots dos casos la velocitat augmenta 10 m/s (36 km/h). Passa perquè $E_{c}$ depèn de $v^{2}$: com més de pressa va el cotxe, més energia costa guanyar cada m/s addicional.
Error típic: calcular ($\tfrac{1}{2}$)·m·(Δv$)^{2}$ amb Δv = 10 m/s; cal restar les energies cinètiques, no les velocitats.

El treball que fem és igual a l'augment de l'energia potencial elàstica, E_p = ($\tfrac{1}{2}$)·k·$x^{2}$.
Amb x en metres: ΔE_p = 0,5·200·(0,$15^{2}$ - 0,$05^{2}$) = 100·(0,0225 - 0,0025) = 2 J.
Des de la longitud natural fins a 10 cm: W = 0,5·200·0,$10^{2}$ = 1 J.
Estirar 10 cm més quan la molla ja és estirada costa el doble, perquè la força que cal fer és més gran: va de 10 N a 30 N.
Comprovació: força mitjana = $\tfrac{(10 + 30)}{2} = 20$ N i W = 20·0,10 = 2 J.
Error típic: calcular ($\tfrac{1}{2}$)·k·(Δx$)^{2}$ amb Δx = 0,10 m; la fórmula s'aplica a les posicions (x_final² - x_inicial²), no a la diferència.

Només treballa el pes, que és una força conservativa: el seu treball depèn de l'altura de sortida i d'arribada, no de la trajectòria. Per tant, l'energia mecànica es conserva en els tres llançaments.
($\tfrac{1}{2}$)·m·$v_{0}$² + m·g·h = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ → v = √($v_{0}$² + 2·g·h) = $\sqrt{100 + 2\cdot 9{,}8\cdot 20}$ = $\sqrt{492}$ = 22,2 m/s.
La velocitat d'arribada és la mateixa en els tres casos, perquè l'energia cinètica no depèn de la direcció de la velocitat inicial.
El que sí que canvia és el temps de vol: és més llarg si la pilota es llança cap amunt.

Abans del bot (caiguda de 2 m): m·g·h = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ → v = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 2}$ = 6,26 m/s.
Després del bot (puja 1,5 m): v = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5}$ = 5,42 m/s.
Energia mecànica inicial: $E_{1}$ = 0,5·9,8·2 = 9,8 J. Energia final: $E_{2}$ = 0,5·9,8·1,5 = 7,35 J.
Energia perduda: 9,8 - 7,35 = 2,45 J, que és $\tfrac{2{,}45}{9{,}8} = 0{,}25$ → 25 %.
L'energia no es destrueix: es transforma en calor, so i deformació de la pilota i del terra (el bot no és una interacció conservativa).

$E_{p}$ = ($\tfrac{1}{2}$)·k·$x^{2}$ = 0,5·800·0,01 = 4 J.

(a) m·g·h = (1/2)·m·v², i la massa se simplifica: v = √(2 · 9,8 · 20) ≈ 19,8 m/s.
(b) L'energia total és m·g·20. Si E_c = E_p/2, aleshores E_p + E_p/2 = m·g·20, de manera que E_p = m·g·20/1,5, és a dir, h = 20/1,5 ≈ 13,33 m.

Dalt, tota l'energia és potencial: E_p = m·g·h = 4·10·5 = 200 J.
A baix, l'energia és cinètica: E_c = (1/2)·m·v² = 0,5·4·8² = 0,5·4·64 = 128 J.
Sense fregament arribaria amb els 200 J sencers; com que només en té 128 J, la resta s'ha dissipat pel fregament.
Del balanç d'energia E_c final = E_p inicial + W_fregament: 128 = 200 + W_fregament, per tant W_fregament = 128 - 200 = -72 J.
El treball del fregament és -72 J (negatiu): s'han dissipat 72 J en forma de calor.
Parany: el signe. El treball del fregament ha de sortir negatiu perquè s'oposa al moviment; si t'ha sortit positiu, has intercanviat l'energia inicial i la final.

a) Al punt més alt, el pes i la normal apunten cap al centre del bucle i fan de força centrípeta: m·g + N = m·v²/R. El límit per no perdre el contacte és N = 0: m·g = m·v²/R → v_mín = √(g·R) = √(9,8·4) = 6,26 m/s.
b) La via no té fregament i la normal no fa treball: es conserva l'energia mecànica entre el punt de sortida (altura H, v = 0) i el punt més alt del bucle (altura 2R).
m·g·H = m·g·(2R) + (1/2)·m·v_mín² → H = 2R + v_mín²/(2g) = 8 + 39,2/19,6 = 8 + 2 = 10 m.
En general, H_mín = 2,5·R = 2,5·4 = 10 m. La massa del carret (300 kg) no hi influeix.

Forces al llarg del pla: component del pes $P_{x}$ = m·g·sin 37° = 2·9,8·0,6 = 11,76 N; fregament $F_{f}$ = μ·m·g·cos 37° = 0,25·2·9,8·0,8 = 3,92 N.
a) Pujant, tots dos frenen el bloc. Teorema de l'energia cinètica: -($P_{x}$ + $F_{f}$)·d = 0 - ($\tfrac{1}{2}$)·2·$7^{2}$ → 15,68·d = 49 → d = 3,125 m ≈ 3,13 m.
b) Com que $P_{x}$ = 11,76 N és més gran que el fregament màxim (3,92 N), el bloc torna a baixar, i ara el fregament apunta cap amunt del pla: ($P_{x}$ - $F_{f}$)·d = ($\tfrac{1}{2}$)·m·$v^{2}$ → 7,84·3,125 = 24,5 = ($\tfrac{1}{2}$)·2·$v^{2}$ → v = $\sqrt{24,5}$ = 4,95 m/s.
c) Energia dissipada = treball del fregament en l'anada i la tornada = 2·$F_{f}$·d = 2·3,92·3,125 = 24,5 J.
Comprovació: $E_{c}$ inicial - $E_{c}$ final = 49 - 24,5 = 24,5 J.

Energia elàstica inicial: E_p = (1/2)·k·x² = 0,5·200·0,2² = 4 J.
Força de fregament: F_f = μ·m·g = 0,3·0,5·9,8 = 1,47 N, constant durant tot el recorregut.
a) Mentre la molla empeny el bloc (0,2 m), el fregament dissipa W_f = 1,47·0,2 = 0,294 J. Per tant, (1/2)·m·v² = 4 - 0,294 = 3,706 J → v² = 2·3,706/0,5 = 14,82 → v = 3,85 m/s.
b) El bloc s'atura quan el fregament ha dissipat tota l'energia inicial de la molla: F_f·D = 4 → D = 4/1,47 = 2,72 m des de la posició inicial (2,52 m des que se separa de la molla).
Error típic: oblidar el fregament durant el tram en què la molla encara empeny; l'energia cinètica de sortida no és tota l'energia de la molla.

Energia cinètica inicial: 0,5·3·8² = 96 J. Fregament: F_f = μ·m·g = 0,3·3·9,8 = 8,82 N, que dissipa W_f = 8,82·4 = 35,28 J en cada pas pel tram rugós.
a) E_c = 96 - 35,28 = 60,72 J → v = √(2·60,72/3) = √40,48 = 6,36 m/s.
b) A la rampa llisa es conserva l'energia mecànica: m·g·h = 60,72 → h = 60,72/(3·9,8) = 2,07 m.
c) En tornar a baixar, el bloc entra al tram rugós amb 60,72 J i hi perd altres 35,28 J: E_c = 25,44 J → v = √(2·25,44/3) = √16,96 = 4,12 m/s.
Comprovació: 96 - 2·35,28 = 25,44 J, igual que abans.

a) Cada segon cauen 2000 kg d'aigua. El treball per segon és la potència: P = m·g·$\tfrac{h}{t} = 2000$·9,8·50 = 980000 W = 980 kW.
b) Potència elèctrica = rendiment·potència de l'aigua = 0,80·980 = 784 kW.
c) Energia = potència·temps = 784 kW·24 h = 18816 kWh (uns 18,8 MWh), que equival a 18816·3,6·$10^{6}$ = 6,77·$10^{10}$ J.
Fixa't que el rendiment mai no és del 100 %: el 20 % restant de l'energia es dissipa en calor i fregaments a la turbina i a l'alternador.

a) v = 108/3,6 = 30 m/s. A velocitat constant, la força del motor iguala la resistència i P = F·v → F_res = 40000/30 = 1333 N.
b) En el pendent, el motor també ha de vèncer la component del pes: m·g·sin α = 1000·9,8·0,05 = 490 N. Força total del motor: F = 1333 + 490 = 1823 N.
Velocitat màxima amb 40 kW: v = P/F = 40000/1823 = 21,9 m/s ≈ 79 km/h.
c) Per mantenir 30 m/s: P = F·v = 1823·30 = 54700 W ≈ 54,7 kW.
Error típic: oblidar la component del pes i creure que la velocitat només depèn de la potència i de la resistència.

a) Conservació de l'energia mecànica: ½mv² = mgL, v = $\sqrt{2gL}$ = $\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}2}$ = 4,85 m/s.
b) Radi del cercle petit r = L - d. Al punt més alt, per mantenir el fil tens cal v_a² ≥ g·r. Energia: v_a² = $v^{2}$ - 4gr = 2gL - 4gr. Imposant 2gL - 4gr ≥ gr, obtenim r ≤ 2L/5 = 0,48 m, és a dir, d ≥ L - 0,48 = 0,72 m (0,6·L).
c) Abans de la clavilla: T - mg = mv²/L, T = 0,50·(9,8 + $\tfrac{23{,}52}{1{,}2}$) = 0,50·29,4 = 14,7 N (3mg). Després, r = 0,30 m: T = 0,50·(9,8 + $\tfrac{23{,}52}{0{,}30}$) = 0,50·88,2 = 44,1 N. Al punt més alt: v_a² = 23,52 - 4·9,8·0,30 = 11,76 $\tfrac{m^{2}}{s^{2}}$, T + mg = mv_a²/r, T = 0,50·($\tfrac{11{,}76}{0{,}30}$ - 9,8) = 14,7 N.
Observació: la tensió salta de cop (de 14,7 a 44,1 N) perquè el radi de curvatura es redueix; l'energia no canvia.

a) El contrapès compensa part del pes: la força que ha de fer el motor és (1000 + 300 - 800)·9,8 = 4900 N. P = F·v = 4900·3,0 = 14,7 kW.
b) Sense contrapès: F = 1300·9,8 = 12 740 N i P = 38,2 kW (2,6 vegades més).
c) P_elèctrica = 14,7/0,85 = 17,3 kW. El viatge dura 30/3,0 = 10 s, així E = 17,3·10 = 173 kJ = 0,048 kWh (uns 0,7 cèntims d'euro).
d) Buit: (1000 - 800)·9,8 = 1960 N. Pujant, el motor aporta 1960·3,0 = 5,9 kW. Baixant, la cabina buida és més pesada que el contrapès i fa el treball sola: el motor ha de frenar i pot recuperar 5,9 kW com a generador.
Observació: el contrapès no crea energia; només fa que el motor hagi de compensar la diferència de pesos i no el pes total.

a) Gravetat: W_g = m·g·h = 80·9,8·600 = 470 400 J. Resistències: W_r = 15·12 000 = 180 000 J. Treball total que ha de fer el ciclista: 650 400 J (la velocitat és constant, ΔE_c = 0).
b) P = $\tfrac{W}{t} = 650$ $\tfrac{400}{3600} = 181$ W.
c) E_consumida = 650 $\tfrac{400}{0{,}25} = 2{,}60$·$10^{6}$ J = 2,60·$\tfrac{10^{6}}{4184} = 622$ kcal.
d) $\tfrac{622}{250} = 2{,}5$ barres.
Observació: la pendent mitjana és $\tfrac{600}{12}$ 000 = 5 %, i la gravetat suposa el 72 % del treball; a la baixada la gravetat «torna» l'energia potencial, però gairebé no s'aprofita perquè gairebé tota es dissipa amb la resistència de l'aire i els frens.

a) Energia mecànica entre el punt inicial i el de compressió màxima x (bloc momentàniament aturat): m·g·(h + x) = ½·k·x². Amb els valors: 19,6·(0,50 + x) = 400x², o sigui 400x² - 19,6x - 9,8 = 0, x = 0,183 m (l'arrel negativa no és vàlida).
b) F_màx = k·x = 800·0,183 = 146 N. L'acceleració màxima (cap amunt): a = (F_màx - mg)/m = (146 - 19,6)/2,0 = 63,4 m/s² (6,5 g).
c) Equilibri: k·x₀ = mg, x₀ = 19,6/800 = 0,0245 m = 2,45 cm. La velocitat és màxima allà (acceleració nul·la): ½mv² = mg(h + x₀) - ½kx₀² = 19,6·0,5245 - 0,24 = 10,04 J, v = 3,17 m/s.
d) mg/k = 2,45 cm només és la posició d'equilibri; el bloc arriba amb velocitat i la seva energia cinètica s'ha de transformar en energia elàstica, així que la molla s'ha de comprimir molt més (uns 7,5 vegades).

v = 100/3,6 = 27,8 m/s i a = 27,8/9,0 = 3,09 m/s². Distància = ½·3,09·81 = 125 m.
a) E_c = ½·1200·27,8² = 463 kJ, P_mitjana = 463/9,0 = 51,4 kW. Potència instantània: P = F·v = m·a·v; al final = 1200·3,09·27,8 = 103 kW (el doble de la mitjana).
b) Com que F és constant i v creix linealment, P és proporcional a t: P(t) = m·a²·t. És igual a la mitjana quan t = 4,5 s (a la meitat del temps). La potència creix perquè per mantenir la mateixa força a velocitats més altes cal «més potència» (P = F·v).
c) Amb resistència, F_motor = m·a + 400 = 3704 + 400 = 4104 N. Treball del motor: 463 + 400·125 = 513 kJ, P_mitjana = 513/9,0 = 57,0 kW. Al final: P = 4104·27,8 = 114 kW.
Observació: un cotxe real no té F constant (el motor té potència màxima), però la comparació mostra que la potència màxima és gairebé el doble de la mitjana d'una acceleració.

a) Àrees: rectangle 40·3,0 = 120 J; triangle ½·40·4,0 = 80 J. W_F = 200 J.
b) Teorema de l'energia cinètica: W = ½mv², v = √(2·200/5,0) = 8,94 m/s.
c) F_r = 0,20·5,0·9,8 = 9,8 N, treball de fregament = -9,8·7,0 = -68,6 J. W_net = 200 - 68,6 = 131,4 J, v = √(2·131,4/5,0) = 7,25 m/s.
d) La velocitat creix mentre F > 9,8 N. En el tram decreixent F = 40·(7 - x)/4, que val 9,8 N a x = 7 - 0,98 = 6,02 m. És on la velocitat és màxima; després F < fregament i el bloc frena.
Comprovació: fins a x = 6,02 m, W_F = 120 + ½·(40 + 9,8)·3,02 = 195,2 J i W_fr = -59,0 J, així E_c = 136,2 J (v = 7,38 m/s), una mica més que els 131,4 J finals.

a) h = v²/(2g) = 625/19,6 = 31,9 m.
b) E_c inicial = ½·0,200·25,0² = 62,5 J. Energia potencial a dalt: 0,200·9,8·20,0 = 39,2 J. W_aire = 39,2 - 62,5 = -23,3 J. F = 23,3/20,0 = 1,17 N.
c) Baixada: E_c = mgh - F·h = 39,2 - 23,3 = 15,9 J, v = √(2·15,9/0,200) = 12,6 m/s (la meitat de la de sortida).
d) Queda E_c = 15,9 J sobre 62,5 J: s'ha dissipat el 74,6 % (46,6 J, el doble de 23,3 J).
Observació: la velocitat de tornada és menor que la de sortida: amb resistència de l'aire la pujada i la baixada no són simètriques.

a) El treball de la gravetat sobre el bloc que penja menys el del fregament és igual a l'increment d'energia cinètica dels dos blocs: m₂·g·d - μ·m₁·g·d = ½(m₁ + m₂)v². (19,6 - 5,88)·1,5 = 20,6 J = 2,5·v², v = 2,87 m/s.
b) a = (m₂g - μ·m₁g)/(m₁ + m₂) = 13,72/5,0 = 2,74 m/s². T = m₂·(g - a) = 2,0·(9,8 - 2,74) = 14,1 N. Comprovació amb el bloc de la taula: T - 5,88 = 3,0·2,74 = 8,2 N ⇒ T = 14,1 N.
c) Ara només actua el fregament sobre el bloc de 3,0 kg (la corda es destensa): a' = -μg = -1,96 m/s². d = v²/(2·1,96) = 8,23/3,92 = 2,10 m. També, per energia: ½·3,0·2,87² = 0,20·3,0·9,8·d ⇒ d = 2,10 m.
Error típic: oblidar que la tensió no val m₂·g quan el sistema accelera.

Energia: $v^{2}$ = 2g·(h - y), amb y l'altura del punt considerat.
a) Punt més baix (y = 0): $v^{2}$ = 2g·3R = 6gR, N - mg = mv²/R, N = m(g + 6g) = 7mg = 20,6 N (7 vegades el pes). A mitja altura (y = R): $v^{2}$ = 4gR; la normal és horitzontal i fa de centrípeta: N = mv²/R = 4mg = 11,8 N. Al punt més alt (y = 2R): $v^{2}$ = 2gR; ambdues forces apunten cap avall: N + mg = mv²/R, N = m(2g - g) = mg = 2,94 N.
b) Al punt més alt cal N ≥ 0: $v^{2}$ ≥ gR. Energia: 2g(h - 2R) ≥ gR ⇒ h ≥ 2,5R = 1,25 m. Com que 3R = 1,50 m > 1,25 m, el cotxet dona la volta (amb N = mg).
c) Amb h = 2R (1,0 m) la velocitat al punt més alt seria zero: ja no pot arribar-hi. Com que el cotxet puja per l'arc, perd el contacte (N = 0) en algun punt de la meitat superior (per sobre de l'altura R), on mg·cos θ = mv²/R; allà cau en una paràbola.
Observació: la diferència entre el punt més baix i el més alt és sempre 6 mg, independent de v i R.

a) v = 100/3,6 = 27,8 m/s, E_c = ½·1500·27,8² = 5,79·10⁵ J = 579 kJ (0,161 kWh). P_mitjana = 579/8,0 = 72,3 kW. Si l'acceleració fos constant, el pic al final seria el doble, 145 kW.
b) A 100 km/h es consumeixen 15 kW durant cada hora, és a dir, 15 kWh cada 100 km. Autonomia = 60/15·100 = 400 km (un valor ideal, sense comptar auxiliars ni pèrdues).
c) Energia recuperada = 0,60·579 kJ = 347 kJ = 0,0965 kWh. Equival a 0,0965/0,15 kWh/km = 0,64 km. L'energia cinètica total de l'acceleració costa només 1,1 km d'autonomia.
d) En ciutat, les resistències aerodinàmiques són molt petites (augmenten amb v²) i el cotxe recupera energia a cada frenada: l'energia dissipada en una frenada és una fracció petita de la que es gasta aturant un vehicle de combustió.
Comprovació d'ordres de magnitud: 579 kJ és molt menys que 60 kWh = 216 MJ (0,27 %).

a) Velocitat d'escapament: ½mv² - GMm/R = 0, v = $\sqrt{\tfrac{2GM}{R}}$ = $\sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}\tfrac{97\cdot 10^{24}}{6}{,}37\cdot 10^{6}}$ = 1,12·$10^{4}$ $\tfrac{m}{s} = 11{,}2$ km/s.
b) Energia per unitat de massa: E = ½v² - GM/R = 3,2·$10^{7}$ - 6,25·$10^{7}$ = -3,05·$10^{7}$ J/kg. A l'altura màxima v = 0: -GM/$r_{màx}$ = E, $r_{màx}$ = 1,305·$10^{7}$ m, així que h = $r_{màx}$ - R = 6,68·$10^{6}$ m = 6680 km. Amb $\tfrac{v^{2}}{(2g)} = 64$·$\tfrac{10^{6}}{19{,}6} = 3265$ km: l'aproximació de g constant dona la meitat, perquè g disminueix amb l'altura.
c) r = 6,77·$10^{6}$ m. Variació d'$E_{p}$ per kg = GM·($\tfrac{1}{R}$ - $\tfrac{1}{r}$) = 3,69·$10^{6}$ J/kg. Energia cinètica orbital per kg = GM/(2r) = 2,94·$10^{7}$ J/kg. Total = 3,31·$10^{7}$ J/kg (9,2 kWh/kg). Amb g constant, g·h = 9,8·4·$10^{5}$ = 3,9·$10^{6}$ J/kg: només un 12 % de l'energia real. La major part s'inverteix a donar la velocitat orbital (7,7 km/s), no en l'altura.

a) Al punt més baix la velocitat és nul·la: m·g·(L + x) = ½·k·x², amb L = 20 m. Queda 70x² - 686x - 13 720 = 0, x = (686 + √(686² + 4·70·13 720))/140 = 19,7 m. Caiguda total = 20 + 19,7 = 39,7 m.
b) Força elàstica màxima = 140·19,7 = 2760 N. Acceleració màxima (cap amunt): (2760 - 686)/70 = 29,6 m/s² ≈ 3,0 g.
c) La velocitat és màxima quan l'acceleració és nul·la: k·x₀ = mg, x₀ = 4,9 m, és a dir, 24,9 m per sota del punt de salt. Energia: mg·(20 + 4,9) = 17 081 J, ½kx₀² = ½·140·4,9² = 1681 J, així E_c = 15 400 J i v = √(2·15 400/70) = 21,0 m/s.
d) Amb x = 15 m: k = 2mg(L + x)/x² = 2·686·35/225 = 213 N/m.
Observació: el pont ha de tenir més de 40 m d'altura sobre l'aigua, més la talla de la persona i un marge de seguretat.

a) Conservació de l'energia: v = √(2gh) = √(2·9,8·1,8) = 5,94 m/s.
b) Xoc elàstic unidimensional (B en repòs): v_A' = (m_A - m_B)/(m_A + m_B)·v = (2 - 4)/6·5,94 = -1,98 m/s (A rebota) i v_B' = 2m_A/(m_A + m_B)·v = 4/6·5,94 = 3,96 m/s. Comprovació: E_c abans = ½·2·5,94² = 35,3 J; després, ½·2·1,98² + ½·4·3,96² = 3,92 + 31,4 = 35,3 J.
c) B: h = v²/(2g) = 3,96²/19,6 = 0,80 m. A: h = 1,98²/19,6 = 0,20 m (és h/9 de la inicial).
d) E_c de B = 31,4 J, fracció = 31,4/35,3 = 8/9 (89 %). La fracció transferida és 4m_Am_B/(m_A + m_B)², màxima (100 %) quan m_A = m_B: llavors A s'atura i B se'n va amb tota l'energia.
Observació: després d'un nou xoc i d'altres rebots, A podria tornar a topar amb B si aquest fos pujant la rampa; aquí no es considera.

a) En un temps t travessa l'àrea A una columna d'aire de longitud v·t i massa m = ρ·A·v·t. La seva energia cinètica és ½mv² = ½·ρ·A·$v^{3}$·t. Dividint per t: P = ½·ρ·A·$v^{3}$. A = π·$20^{2}$ = 1257 $m^{2}$. P = 0,5·1,2·1257·$10^{3}$ = 754 kW.
b) $P_{elèctrica}$ = 0,40·754 = 302 kW.
c) A 5 m/s: 0,40·0,5·1,2·1257·125 = 37,7 kW. A 15 m/s: 0,40·0,5·1,2·1257·3375 = 1018 kW. La potència és proporcional a $v^{3}$: si el vent s'avança de 5 a 10 m/s, la potència es multiplica per 8; de 10 a 15 m/s, per 3,4. Un emplaçament amb vent regular és molt més rendible que un amb poc vent.
d) Potència mitjana = 0,30·302 = 90,6 kW. Energia anual = 90,6 kW·8760 h = 794 MWh. Llars: 793 600 kWh / 3500 = 227.
Observació: el límit teòric (límit de Betz) és del 59 %; una turbina real arriba al 40-45 %.

a) Després de l'enlairament només actua el pes: v = √(2gh) = √(2·9,8·0,50) = 3,13 m/s.
b) Durant l'impuls el centre de masses puja d = 0,40 m, i el treball net és (F - mg)·d = ½mv² = mgh. Per tant F = mg·(h + d)/d = 70·9,8·0,90/0,40 = 1543 N. És 2,25 vegades el pes.
c) Acceleració = (F - mg)/m = (1543 - 686)/70 = 12,25 m/s² (1,25 g). Com que l'acceleració és constant, la velocitat mitjana és v/2 = 1,565 m/s i el temps és t = 0,40/1,565 = 0,256 s. Treball de les cames: F·d = 617 J; potència mitjana = 617/0,256 = 2,4 kW (uns 35 W/kg).
d) Amb d = 0,20 m i F = 1543 N: (F - mg)·d = 857·0,20 = 171 J = mgh, h = 171/686 = 0,25 m (la meitat del salt).
Observació: l'altura del salt és proporcional a la distància d'impuls: per això s'ajupen els saltadors.

a) m = 10⁶·1000 = 10⁹ kg. E_p = mgh = 10⁹·9,8·100 = 9,8·10¹¹ J = 9,8·10¹¹/3,6·10⁹ = 272 MWh.
b) Per bombar cal E_entrada = 272/0,85 = 320 MWh. En generar s'obté 0,90·272 = 245 MWh.
c) Rendiment global = 245/320 = 0,765, és a dir, 76,5 % (= 0,85·0,90). Es perd un 23,5 % però s'aprofita la diferència de preu o l'excedent d'energia.
d) t = 245 MWh/200 MW = 1,23 h (uns 74 min). Cabal: 200·10⁶ = 0,90·ρ·Q·g·h ⇒ Q = 200·10⁶/(0,90·1000·9,8·100) = 227 m³/s. Comprovació: 227·1,225·3600 = 1,0·10⁶ m³.
Observació: una central de bombeig no produeix energia, l'emmagatzema; el seu valor és poder desplaçar-la en el temps.

a) W = m·g·h = 70·9,8·12 = 8232 J. P = 8232/20 = 412 W.
b) P_metabòlica = 412/0,25 = 1646 W. Energia = 8232/0,25 = 32 928 J = 7,87 kcal.
c) 250/7,87 = 31,8 pujades, o sigui 127 pisos de 3 m.
d) L'ascensor de 5 kW és uns 12 cops més potent (5000/412). La persona gasta més del que fa de treball útil perquè només el 25 % de l'energia química es converteix en treball; la resta (75 %) es dissipa en calor. A més, el cos també gasta energia en repòs i per sostenir-se.
Comprovació: 412 W és de l'ordre d'una persona entrenada durant un esforç curt (uns 5-6 W/kg).
Error típic: oblidar el rendiment i dir que s'han gastat només 2 kcal.

a) L'energia és proporcional a v²: a cada rebot en queda 0,80² = 0,64, així que perd el 36 %. Alçades: h₁ = 2,00·0,64 = 1,28 m; h₂ = 1,28·0,64 = 0,82 m.
b) h_n = 2,00·0,64ⁿ < 0,01 ⇒ n > ln(0,005)/ln(0,64) = 11,87. Calen 12 rebots.
c) Distància = h₀ + 2·(h₁ + h₂ + ...) = 2,00 + 2·2,00·0,64/(1 - 0,64) = 2,00 + 7,11 = 9,11 m.
d) Temps de caiguda inicial: √(2·2,00/9,8) = 0,639 s. A cada rebot el temps (puja i baixa) es multiplica per 0,80: t_total = 0,639·(1 + 2·0,8/(1 - 0,8)) = 0,639·9 = 5,75 s. Sorprenentment la pilota s'atura en un temps finit, tot i fer infinits rebots.
Observació: el límit de la sèrie per a l'espai i el temps és finit perquè la raó és menor que 1.

a) $v^{2}$ ($\tfrac{m^{2}}{s^{2}}$) = 3,61; 7,24; 10,89; 14,44; 18,06. Els quocients $\tfrac{v^{2}}{s} = 7{,}22$; 7,24; 7,26; 7,22; 7,22 són pràcticament constants: $v^{2}$ és proporcional a s. És el que prediu el teorema de l'energia cinètica: ½mv² = $F_{net}$·s, amb $F_{net}$ constant.
b) La recta $v^{2}$ = 2a·s té pendent 7,22 $\text{m/s}^{2}$ (ajust per mínims quadrats), de manera que a = 3,61 $\text{m/s}^{2}$.
c) Al pla: a = g(sin 30° - μ·cos 30°), d'on μ = $\tfrac{(g sin 30° - a)}{(g cos 30°)}$ = $\tfrac{(4{,}90 - 3{,}61)}{(8{,}49)} = 0{,}15$.
d) v = $\sqrt{7{,}22\cdot 3{,}00}$ = 4,65 m/s.
Observació: sense fregament l'acceleració seria 4,90 $\text{m/s}^{2}$: el fregament en resta el 26 %. Una gràfica de $v^{2}$ en funció de s és molt millor que v en funció de s per detectar la relació.

a) 90 km/h = 25 m/s: F = 300 + 0,40·625 = 550 N. Treball per 100 km: 550·10⁵ = 5,5·10⁷ J. Energia del combustible = 5,5·10⁷/0,25 = 2,2·10⁸ J = 6,9 L. Consum: 6,9 L/100 km.
b) 120 km/h = 33,3 m/s: F = 300 + 0,40·1111 = 744 N. Treball: 7,44·10⁷ J, combustible 2,98·10⁸ J = 9,3 L. Consum: 9,3 L/100 km.
c) Augment: 9,3/6,9 = 1,35, un 35 % més (la velocitat només ha augmentat un 33 %, però la resistència creix amb v²). En 300 km: 3·(9,3 - 6,9) = 7,3 L de diferència. El temps estalviat és: a 90 km/h són 3,33 h i a 120 km/h són 2,5 h: 50 min de diferència.
d) P_útil = F·v: 550·25 = 13,8 kW a 90 km/h i 744·33,3 = 24,8 kW a 120 km/h (1,8 vegades més, per només un 33 % més de velocitat).
Observació: el 75 % restant de l'energia del combustible es perd com a calor.