Exercicis d'àlgebra — Matemàtiques 2n ESO

El coeficient és -8 (el nombre del davant, amb el seu signe).

Grau 2, perquè l'exponent més gran de la x és el 2.

Multiplico el 2 per cada terme: 2 · x = 2x i 2 · 5 = 10. Queda 2x + 10.

Substituïm la x per 3: 2 · $3^{2}$ - 3 · 3 + 1.
Primer la potència: $3^{2}$ = 9, de manera que 2 · 9 - 9 + 1.
18 - 9 + 1 = 10.

Agrupem els termes semblants: 3x + x = 4x, i els termes independents 2 + (-5) = -3.
La suma és 4x - 3.

Per aïllar la x sumem 9 als dos membres: x - 9 + 9 = 4 + 9.
x = 13.
Comprovació: 13 - 9 = 4.

Provem cada valor:
x = 1: 2 · 1 + 1 = 3, que no és 7.
x = 2: 2 · 2 + 1 = 5, que no és 7.
x = 3: 2 · 3 + 1 = 7, que sí.
La solució és x = 3.

El grau d'un monomi és la suma dels exponents de les seves lletres.
L'exponent de x és 3 i el de y és 1 (y = y¹).
Grau = 3 + 1 = 4. Error típic: oblidar l'exponent 1 de la y i dir que el grau és 3.

El triple d'un nombre és 3 · x = 3x.
«Menys 4» vol dir restar 4 a aquest resultat.
L'expressió és 3x - 4.

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal (mateixes lletres amb els mateixos exponents).
5x² i -$x^{2}$ tenen part literal $x^{2}$: són semblants.
3x té $x^{1}$ i 2x²y té també la y: no ho són.

Són tots semblants (tots porten x). Sumo els coeficients: 5 + 3 - 2 = 6. Queda 6x.

Multiplico els coeficients (3 · 2 = 6) i ajunto les lletres (x · x = $x^{2}$). Queda 6x².

Trec el parèntesi: 3x - 6 = 9. Passo el -6 sumant: 3x = 15. Divideixo: x = 5.

Sigui x el nombre pensat. L'equació és x + 8 = 20. Passo el 8 restant: x = 12. Comprovació: 12 + 8 = 20. Havia pensat el 12.

Passem els termes amb x a l'esquerra i els números a la dreta: 5x - 2x = 9 + 3.
3x = 12, per tant x = 12 : 3 = 4.
Comprovació: 5 · 4 - 3 = 17 i 2 · 4 + 9 = 17.

Apliquem la propietat distributiva: 6x - 3 = 4x + 7.
Agrupem: 6x - 4x = 7 + 3, és a dir, 2x = 10.
x = 5.
Comprovació: 3 · (2 · 5 - 1) = 27 i 4 · 5 + 7 = 27.

Canviem el signe de tots els termes del segon polinomi: 5x² - 3x + 4 - 2x² - x + 6.
Termes en $x^{2}$: 5x² - 2x² = 3x². Termes en x: -3x - x = -4x. Termes independents: 4 + 6 = 10.
Resultat: 3x² - 4x + 10.

Multipliquem tots els termes pel m.c.m. dels denominadors, que és 6: 3x + 2x = 60.
5x = 60, per tant x = 12.
Comprovació: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.

Sigui x l'edat del germà; la Laia en té x + 4.
Equació: x + (x + 4) = 26, és a dir, 2x + 4 = 26.
2x = 22, x = 11.
El germà té 11 anys i la Laia 15. Comprovació: 11 + 15 = 26.

a) Multipliquem coeficients i sumem exponents: 6 · 2 = 12 i $x^{3+2}$ = $x^{5}$, per tant 12x⁵.
b) Dividim coeficients i restem exponents: 18 : 3 = 6 i $x^{5-2}$ = $x^{3}$, per tant 6x³.

El màxim comú divisor dels coeficients 6 i 9 és 3, i la lletra comuna és x (amb l'exponent més petit, 1).
El factor comú és 3x.
6x² : 3x = 2x i 9x : 3x = 3, així que 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
Comprovació: 3x · 2x + 3x · 3 = 6x² + 9x.

Tots dos termes es divideixen per 4: 4x + 8 = 4(x + 2). (Comprovació: 4 · x = 4x i 4 · 2 = 8.)

Les en blanc són x i les escrites són el doble, 2x. En total: x + 2x = 60, és a dir 3x = 60, x = 20. Hi ha 20 pàgines en blanc (i 40 d'escrites).

Sigui x el preu d'una llibreta. Tres llibretes valen 3x i, amb la motxilla, l'equació és 3x + 15 = 30. Passo el 15 restant: 3x = 15. Divideixo: x = 5. Cada llibreta val 5 euros.

Desfem els parèntesis: 3x + 6 - 2x + 2 = 5x - 8.
Reduïm el primer membre: x + 8 = 5x - 8.
Passem les x a un costat i els números a l'altre: 8 + 8 = 5x - x, és a dir, 16 = 4x.
x = 4.
Comprovació: 3 · 6 - 2 · 3 = 12 i 5 · 4 - 8 = 12.

Sigui x l'ample; el llarg és 2x + 3.
Perímetre: 2 · (x + 2x + 3) = 54, és a dir, 2 · (3x + 3) = 54.
3x + 3 = 27, 3x = 24, x = 8.
L'ample és 8 m i el llarg 2 · 8 + 3 = 19 m.
Comprovació: 2 · (8 + 19) = 54 m.

Desfem el parèntesi: 2x + 2 = 2x + 5.
Si passem 2x a l'esquerra, queda 2 = 5, que és fals sigui quin sigui el valor de x.
Per tant l'equació no té solució (és impossible).

L'error és que ha passat la x del segon membre sumant en comptes de restant: quan un terme canvia de membre, també canvia de signe, i x passa a -x.
Correcte: 4x - x = 6 + 3, és a dir, 3x = 9, i x = 3.
Comprovació: 4 · 3 - 3 = 9 i 3 + 6 = 9.

Igualem els costos amb x minuts: 12 + 0,05x = 0,15x.
12 = 0,15x - 0,05x = 0,10x, per tant x = 120 minuts.
Amb 200 minuts: A costa 12 + 0,05 · 200 = 22 €, i B costa 0,15 · 200 = 30 €. És més barata la tarifa A.

a) Siguin x, x + 1 i x + 2. Equació: x + (x + 1) + (x + 2) = 78, és a dir, 3x + 3 = 78.
3x = 75, x = 25. Els nombres són 25, 26 i 27 (suma 78).
b) La suma és 3x + 3 = 3(x + 1), que té el factor 3, així que és múltiple de 3 sigui quin sigui x.