Exercicis de fraccions i decimals: operacions — Matemàtiques 2n ESO

Q: Com es calcula la fracció generatriu d'un decimal periòdic?

Anomenes x el decimal, el multipliques per 10, 100… perquè el període quedi alineat i restes les dues igualtats. Així desapareix la part periòdica i només cal aïllar x i simplificar.

Q: En quin ordre es fan les operacions combinades amb fraccions?

Primer els parèntesis, després les potències, després els productes i les divisions d'esquerra a dreta i, finalment, les sumes i les restes. Convé simplificar el resultat al final de cada pas.

En aquest tema practicaràs les fraccions i els nombres decimals tal com es treballen a 2n d'ESO. Començaràs amb fraccions equivalents, simplificació i comparació, i continuaràs amb la suma, la resta, el producte i la divisió. Després passaràs a les operacions combinades, on has de respectar la prioritat de parèntesis, productes i divisions, i a la relació entre fraccions i decimals: decimals exactes, periòdics purs i mixtos, i el càlcul de la fracció generatriu. Al final hi ha problemes amb context, com ara trobar una part d'una part o reconstruir el total a partir d'una fracció. Els exercicis van de menys a més dificultat. Vigila els errors més típics: sumar els denominadors, oblidar-te de simplificar i aplicar la prioritat de les operacions de manera incorrecta.

Nivell bàsic

Exercici 1

Simplifica la fracció $\tfrac{28}{42}$ fins que sigui irreductible.

Mostra la solució

Dividim numerador i denominador pel seu màxim comú divisor, que és 14: 28/42 = 2/3.
La fracció 2/3 ja és irreductible, perquè 2 i 3 no tenen cap divisor comú més que l'1.

Exercici 2

Troba una fracció equivalent a $\tfrac{3}{5}$ que tingui denominador 20.

Mostra la solució

Per passar de 5 a 20 hem multiplicat per 4 (20 : 5 = 4).
Multipliquem també el numerador per 4: 3 · 4 = 12.
La fracció és $\tfrac{12}{20}$ .
Comprovació: 3 · 20 = 60 i 5 · 12 = 60 (productes en creu iguals).

Exercici 3

Quina fracció és més gran, $\tfrac{3}{4}$ o $\tfrac{2}{3}$ ? Redueix-les a denominador comú.

Mostra la solució

El mínim comú múltiple de 4 i 3 és 12.
3/4 = 9/12 i 2/3 = 8/12.
Com que 9/12 > 8/12, la fracció més gran és 3/4.

Exercici 4

Calcula $\tfrac{2}{7}$ + $\tfrac{3}{7}$ i simplifica el resultat si és possible.

Mostra la solució

Els denominadors són iguals, així que se sumen els numeradors i es manté el denominador: (2 + 3)/7 = 5/7.
La fracció ja és irreductible.

Exercici 5

Calcula els $\tfrac{3}{8}$ de 64.

Mostra la solució

Dividim 64 entre el denominador: 64 : 8 = 8.
Multipliquem pel numerador: 8 · 3 = 24.
Els $\tfrac{3}{8}$ de 64 són 24.

Exercici 6

Calcula $\tfrac{2}{3}$ · $\tfrac{9}{10}$ i dona el resultat com a fracció irreductible.

Mostra la solució

Multipliquem numeradors i denominadors: (2 · 9)/(3 · 10) = 18/30.
Simplifiquem dividint per 6: 18/30 = 3/5.
(També es pot simplificar abans de multiplicar: el 9 i el 3 es poden dividir per 3, i el 2 i el 10 per 2.)

Exercici 7

Escriu el decimal 0,375 com a fracció irreductible.

Mostra la solució

0,375 té tres decimals, així que és 375/1000.
Dividim per 125 numerador i denominador: 375/1000 = 3/8.
Comprovació: 3 : 8 = 0,375.

Exercici 8

Passa la fracció $\tfrac{7}{20}$ a nombre decimal.

Mostra la solució

Dividim el numerador entre el denominador: 7 : 20 = 0,35.
Una altra manera: multipliquem dalt i baix per 5 per tenir denominador 100: 7/20 = 35/100 = 0,35.

Exercici 9

Calcula la divisió de fraccions $\tfrac{3}{4}$ : $\tfrac{3}{8}$ i simplifica el resultat.

Mostra la solució

Dividir per una fracció és multiplicar per la seva inversa: 3/4 · 8/3 = 24/12.
Simplifiquem: 24/12 = 2.
Comprovació: 2 · 3/8 = 6/8 = 3/4.

Exercici 10

Classifica aquests decimals en exactes, periòdics purs o periòdics mixtos: 0,25; 0,333…; 2,1666…; 1,5.

Mostra la solució

0,25 i 1,5: decimals exactes (tenen un nombre finit de xifres).
0,333…: periòdic pur, perquè el període (3) comença just després de la coma.
2,1666…: periòdic mixt, perquè hi ha una xifra no periòdica (1) abans del període (6).

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula $\tfrac{1}{6}$ + $\tfrac{3}{4}$ i simplifica el resultat.

Mostra la solució

El mínim comú múltiple de 6 i 4 és 12.
1/6 = 2/12 i 3/4 = 9/12.
Suma: 2/12 + 9/12 = 11/12, que ja és irreductible.

Exercici 12

Calcula $\tfrac{5}{6}$ - $\tfrac{3}{10}$ i dona el resultat com a fracció irreductible.

Mostra la solució

El mínim comú múltiple de 6 i 10 és 30.
5/6 = 25/30 i 3/10 = 9/30.
Resta: 25/30 - 9/30 = 16/30 = 8/15 (dividint per 2).

Exercici 13

Ordena de menor a major les fraccions $\tfrac{2}{3}$ , $\tfrac{5}{8}$ , $\tfrac{7}{12}$ i $\tfrac{3}{4}$ .

Mostra la solució

El mínim comú múltiple de 3, 8, 12 i 4 és 24.
2/3 = 16/24; 5/8 = 15/24; 7/12 = 14/24; 3/4 = 18/24.
Ordenant els numeradors: 14 < 15 < 16 < 18.
Per tant: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4.

Exercici 14

Troba la fracció generatriu del decimal periòdic pur 0,7777… i comprova-ho dividint.

Mostra la solució

Sigui x = 0,7777… Com que el període té una xifra, multipliquem per 10: 10x = 7,7777…
Restem: 10x - x = 7,7777… - 0,7777…, és a dir, 9x = 7 i x = 7/9.
Comprovació: 7 : 9 = 0,7777…

Exercici 15

Escriu com a fracció irreductible el decimal periòdic pur 0,1212…

Mostra la solució

El període és 12 (dues xifres), així que multipliquem per 100: x = 0,1212…; 100x = 12,1212…
Restem: 99x = 12, per tant x = 12/99.
Simplifiquem dividint per 3: x = 4/33.
Comprovació: 4 : 33 = 0,1212…

Exercici 16

En una cistella hi ha 60 fruits. Un terç són pomes, un quart són taronges i la resta són plàtans. Quants plàtans hi ha? Quina fracció de la cistella representen?

Mostra la solució

Pomes: 60 : 3 = 20. Taronges: 60 : 4 = 15.
Plàtans: 60 - 20 - 15 = 25.
Fracció: 25/60 = 5/12.
Comprovació amb fraccions: 1 - 1/3 - 1/4 = 12/12 - 4/12 - 3/12 = 5/12.

Exercici 17

Calcula ( $\tfrac{5}{6}$ ) : ( $\tfrac{10}{9}$ ) i simplifica el resultat.

Mostra la solució

Multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona: 5/6 · 9/10 = 45/60.
Simplifiquem dividint per 15: 45/60 = 3/4.

Exercici 18

Calcula $\tfrac{3}{4}$ + $\tfrac{1}{2}$ · $\tfrac{2}{3}$ respectant la prioritat de les operacions.

Mostra la solució

Primer es fa la multiplicació: 1/2 · 2/3 = 2/6 = 1/3.
Després la suma: 3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12.
El resultat és 13/12 (o 1 i 1/12).
Error típic: sumar primer 3/4 + 1/2 i multiplicar després.

Exercici 19

Una nena gasta $\tfrac{1}{3}$ de la seva paga en llibres i la meitat del que li queda en el cinema. Quina fracció de la paga ha gastat en el cinema? I en total?

Mostra la solució

Després dels llibres li queda 1 - 1/3 = 2/3 de la paga.
Cinema: la meitat de 2/3 és 1/2 · 2/3 = 1/3 de la paga.
En total ha gastat 1/3 + 1/3 = 2/3 de la paga.
Observa que 1/2 és una fracció del que queda, no de la paga sencera.

Exercici 20

Calcula 1,25 + $\tfrac{3}{4}$ - 0,5 i dona el resultat com a decimal i com a fracció.

Mostra la solució

Passem 3/4 a decimal: 3 : 4 = 0,75.
1,25 + 0,75 - 0,5 = 2 - 0,5 = 1,5.
Com a fracció: 1,5 = 15/10 = 3/2.

Exercici 21

Un alumne diu que 1/2 + 1/3 = 2/5. Raona si té raó i corregeix-lo si cal.

Mostra la solució

No té raó: ha sumat numeradors amb numeradors i denominadors amb denominadors, i això només s'ha de fer amb el numerador si els denominadors són iguals.
Cal reduir a denominador comú (6): 1/2 = 3/6 i 1/3 = 2/6.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Comprovació: 2/5 = 0,4 és més petit que 1/2, i una suma no pot donar menys que un dels sumands.

Nivell avançat

Exercici 22

Calcula ( $\tfrac{2}{3}$ - $\tfrac{1}{4}$ ) : ( $\tfrac{5}{6}$ + $\tfrac{1}{12}$ ) i simplifica el resultat.

Mostra la solució

Primer, el primer parèntesi: 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12.
Segon parèntesi: 5/6 + 1/12 = 10/12 + 1/12 = 11/12.
Divisió: 5/12 : 11/12 = 5/12 · 12/11 = 60/132 = 5/11.

Exercici 23

Calcula ( $\tfrac{3}{5}$ - $\tfrac{1}{2}$ ) · (2 + $\tfrac{1}{3}$ ) - $\tfrac{1}{6}$ i simplifica el resultat.

Mostra la solució

Primer parèntesi: 3/5 - 1/2 = 6/10 - 5/10 = 1/10.
Segon parèntesi: 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3.
Producte: 1/10 · 7/3 = 7/30.
Resta: 7/30 - 1/6 = 7/30 - 5/30 = 2/30 = 1/15.

Exercici 24

Troba la fracció generatriu del decimal periòdic mixt 2,1666… (el 6 es repeteix).

Mostra la solució

Sigui x = 2,1666…
Multipliquem per 100 perquè el període quedi a la dreta de la coma, i per 10 perquè hi quedi només la part no periòdica: 100x = 216,666… i 10x = 21,666…
Restem: 90x = 195, per tant x = 195/90 = 13/6 (dividint per 15).
Comprovació: 13 : 6 = 2,1666…

Exercici 25

Troba la fracció generatriu de 1,2727… (el període és 27) i simplifica-la.

Mostra la solució

x = 1,2727…; com que el període té dues xifres, 100x = 127,2727…
Restem: 99x = 126, per tant x = 126/99 = 14/11 (dividint per 9).
Comprovació: 14 : 11 = 1,2727…
Una altra manera: 1 + 27/99 = 1 + 3/11 = 14/11.

Exercici 26

Un dipòsit s'omple al matí amb $\tfrac{2}{5}$ de la capacitat i a la tarda amb $\tfrac{1}{3}$ de la capacitat. Encara hi falten 48 litres per omplir-lo del tot. Quina és la capacitat del dipòsit?

Mostra la solució

Fracció ja plena: 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15.
Fracció que falta: 1 - 11/15 = 4/15 de la capacitat.
Aquests 4/15 són 48 litres, així que 1/15 són 48 : 4 = 12 litres.
La capacitat és 15 · 12 = 180 litres.
Comprovació: 2/5 de 180 = 72; 1/3 de 180 = 60; 72 + 60 + 48 = 180.

Exercici 27

En una classe de 30 alumnes, $\tfrac{3}{5}$ fan esport. D'aquests, $\tfrac{1}{3}$ fan natació. a) Quants alumnes fan natació? b) Quina fracció de la classe representen? c) Quants no fan esport?

Mostra la solució

a) Fan esport: 3/5 de 30 = 30 : 5 · 3 = 18. De 18, 1/3 són 18 : 3 = 6 alumnes que fan natació.
b) 6/30 = 1/5 de la classe. També: 1/3 · 3/5 = 3/15 = 1/5.
c) No fan esport: 30 - 18 = 12 alumnes (és a dir, 2/5 de la classe).

Exercici 28

Ordena de menor a major els nombres 0,666… (el 6 es repeteix), $\tfrac{5}{8}$ i 0,65.

Mostra la solució

Passem tot a decimal amb tres decimals: $\tfrac{5}{8} = 0{,}625$ ; 0,65 = 0,650; 0,666… = 0,667 aprox.
Comparem: 0,625 < 0,650 < 0,666…
L'ordre és $\tfrac{5}{8}$ < 0,65 < 0,666…
Nota: 0,666… és la fracció $\tfrac{2}{3}$ , i amb denominador 120 es veria també: $\tfrac{75}{120}$ < $\tfrac{78}{120}$ < $\tfrac{80}{120}$ .

Exercici 29

Una recepta fa servir $\tfrac{3}{4}$ de litre de llet per fer 6 racions. Quanta llet cal per fer 10 racions? Dona el resultat en fracció i en litres decimals.

Mostra la solució

Llet per ració: (3/4) : 6 = 3/24 = 1/8 de litre.
Per a 10 racions: 10 · 1/8 = 10/8 = 5/4 de litre.
En decimal: 5/4 = 1,25 litres.
Comprovació: 10 racions és 10/6 = 5/3 de la recepta i 3/4 · 5/3 = 15/12 = 5/4.

Exercici 30

Resol: a) x + 2/3 = 7/6. b) Quin nombre multiplicat per 3/4 dona 9/10? Dona'n els resultats com a fraccions irreductibles.

Mostra la solució

a) x = 7/6 - 2/3 = 7/6 - 4/6 = 3/6 = 1/2.
b) x · 3/4 = 9/10, per tant x = 9/10 : 3/4 = 9/10 · 4/3 = 36/30 = 6/5.
Comprovació de a): 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6. Comprovació de b): 6/5 · 3/4 = 18/20 = 9/10.

T'encalles amb aquest tema?

A L'Acadèmia de Vic t'ajudem amb classes individuals. Escriu-nos per WhatsApp.

Escriu-nos per WhatsApp (604 95 79 95)

Més informació: Reforç d'ESO a Vic · Classes particulars

Preguntes freqüents

Com es calcula la fracció generatriu d'un decimal periòdic?

Anomenes x el decimal, el multipliques per 10, 100… perquè el període quedi alineat i restes les dues igualtats. Així desapareix la part periòdica i només cal aïllar x i simplificar.

En quin ordre es fan les operacions combinades amb fraccions?

Primer els parèntesis, després les potències, després els productes i les divisions d'esquerra a dreta i, finalment, les sumes i les restes. Convé simplificar el resultat al final de cada pas.

Exercicis de fraccions i decimals: operacions — Matemàtiques 2n ESO

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

T'encalles amb aquest tema?

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 2n ESO