Exercicis de sistemes d'equacions — Matemàtiques 2n ESO
Un sistema d'equacions apareix quan tens dues coses desconegudes i dues pistes per trobar-les. En aquests exercicis comproves si un parell de valors és solució, calcules una incògnita a partir de l'altra i resols sistemes pels tres mètodes: substitució, igualació i reducció. Després apliques el que has après a problemes clàssics, com el de les gallines i els conills d'un corral a partir dels caps i les potes. Les solucions et mostren cada pas i la comprovació final. Vigila un error freqüent: en el mètode de substitució, posar l'expressió aïllada a la mateixa equació d'on l'has tret.
Nivell bàsic
Exercici 1
A l'equació x + y = 8, si x = 3, quant val la y?
Mostra la solució
y = 8 - 3 = 5. El parell és (3, 5).
Exercici 2
Resol per reducció: x + y = 8 i x - y = 2.
Mostra la solució
Sumant les dues: 2x = 10, x = 5; de x + y = 8: y = 3. Solució (5, 3).
Exercici 3
En un corral hi ha gallines i conills, 10 caps en total. Si hi ha 6 gallines, quants conills hi ha? (Planteja-ho amb x i y.)
Mostra la solució
x = gallines, y = conills: x + y = 10. Amb x = 6: y = 10 - 6 = 4. Hi ha 4 conills.
Exercici 4
Comprova si el parell (3, 1) és solució del sistema x + y = 4 i x - y = 2.
Mostra la solució
Substituïm x = 3 i y = 1 a cada equació.
Primera: 3 + 1 = 4, es compleix.
Segona: 3 - 1 = 2, es compleix.
Com que verifica totes dues equacions, (3, 1) és solució del sistema.
Exercici 5
Escriu en forma de sistema d'equacions: «La suma de dos nombres és 15 i la seva diferència és 3». Utilitza x i y. No cal resoldre'l.
Mostra la solució
Sigui x el nombre més gran i y el més petit.
La suma és 15: x + y = 15.
La diferència és 3: x - y = 3.
El sistema és x + y = 15, x - y = 3.
Exercici 6
Aïlla la y de l'equació 3x + y = 10.
Mostra la solució
Per deixar la y sola, passem 3x a l'altre membre canviant-li el signe.
y = 10 - 3x.
Comprovació: si x = 2, y = 4, i 3 · 2 + 4 = 10.
Exercici 7
Raona quantes solucions té el sistema x + y = 3, x + y = 5.
Mostra la solució
Si x + y valgués 3 no podria valdre alhora 5. Les dues equacions es contradiuen.
Gràficament són dues rectes paral·leles: mai no es tallen.
El sistema no té cap solució (és incompatible).
Exercici 8
Completa la taula de solucions de l'equació 2x + y = 7 per als valors x = 0, x = 1 i x = 2.
Mostra la solució
Aïllem y = 7 - 2x.
x = 0: y = 7. x = 1: y = 5. x = 2: y = 3.
Les solucions són (0, 7), (1, 5) i (2, 3).
Exercici 9
Resol el sistema x = 2, 3x + y = 10.
Mostra la solució
La primera equació ja ens dona la x: x = 2.
La substituïm a la segona: 3 · 2 + y = 10, és a dir, 6 + y = 10.
y = 4. La solució és (2, 4).
Exercici 10
Dos nombres sumen 12 i el primer és el doble del segon. Quins són?
Mostra la solució
Sigui y el segon nombre; el primer és x = 2y.
x + y = 12 passa a 2y + y = 12, és a dir, 3y = 12 i y = 4.
x = 2 · 4 = 8.
Els nombres són 8 i 4 (8 + 4 = 12 i 8 = 2 · 4).
Nivell intermedi
Exercici 11
Fes una taula amb tres solucions de x + y = 10.
Mostra la solució
Aïllant y = 10 - x: si x = 0, y = 10; si x = 4, y = 6; si x = 7, y = 3. Solucions (0, 10), (4, 6) i (7, 3).
Exercici 12
Comprova si el parell (2, 1) és solució de 3x - 2y = 4.
Mostra la solució
3 · 2 - 2 · 1 = 6 - 2 = 4. Sí, és solució.
Exercici 13
Resol per substitució: x + y = 10 i y = 3x.
Mostra la solució
x + 3x = 10, 4x = 10... surt decimal, revisa. Amb y = 3x: 4x = 10 no dona enter, però amb l'enunciat x + y = 12 i y = 3x tindries 4x = 12, x = 3, y = 9. Per al sistema donat: x = 2,5 i y = 7,5, solució (2,5; 7,5).
Exercici 14
Resol per igualació: y = 2x + 1 i y = x + 5.
Mostra la solució
2x + 1 = x + 5, x = 4; y = 4 + 5 = 9. Solució (4, 9).
Exercici 15
Un bolígraf i un llapis valen 3 euros junts. El bolígraf val 1 euro més que el llapis. Quant val cadascun?
Mostra la solució
x = preu del bolígraf, y = preu del llapis: x + y = 3 i x = y + 1. Substituint: (y + 1) + y = 3, 2y = 2, y = 1; x = 2. El bolígraf val 2 euros i el llapis 1 euro.
Exercici 16
Resol per substitució el sistema 2x + y = 11, x - y = 1.
Mostra la solució
De la segona equació, x = y + 1.
Substituïm a la primera: 2(y + 1) + y = 11, és a dir, 3y + 2 = 11, 3y = 9 i y = 3.
Aleshores x = 3 + 1 = 4.
Solució: (4, 3). Comprovació: 2 · 4 + 3 = 11 i 4 - 3 = 1.
Exercici 17
Resol per reducció el sistema 3x + 2y = 16, 5x - 2y = 16.
Mostra la solució
Els coeficients de y són oposats (+2 i -2), així que sumem les dues equacions: 8x = 32, per tant x = 4.
Substituïm a la primera: 3 · 4 + 2y = 16, 2y = 4 i y = 2.
Solució: (4, 2). Comprovació a la segona: 5 · 4 - 2 · 2 = 16.
Exercici 18
Resol per igualació el sistema y = 3x - 2, y = x + 6.
Mostra la solució
Les dues expressions valen y, per tant són iguals: 3x - 2 = x + 6.
2x = 8, x = 4.
y = 4 + 6 = 10.
Solució: (4, 10). Comprovació: 3 · 4 - 2 = 10.
Exercici 19
En Pau i la Mar tenen 50 cromos entre tots dos, i en Pau en té 8 més que la Mar. Quants cromos té cadascú?
Mostra la solució
Sigui x els cromos d'en Pau i y els de la Mar.
x + y = 50 i x - y = 8.
Sumem: 2x = 58, x = 29. Aleshores y = 50 - 29 = 21.
En Pau en té 29 i la Mar 21.
Exercici 20
Dos entrepans i una beguda costen 7,50 €. Un entrepà i dues begudes costen 6 €. Quant val cada entrepà i cada beguda?
Mostra la solució
Sigui x el preu de l'entrepà i y el de la beguda: 2x + y = 7,5 i x + 2y = 6.
Multipliquem la segona per 2: 2x + 4y = 12. Restem la primera: 3y = 4,5, per tant y = 1,5.
x = 6 - 2 · 1,5 = 3.
L'entrepà val 3 € i la beguda 1,50 €.
Exercici 21
Resol el sistema 2x + 3y = 13, 3x - y = 3 pel mètode de reducció.
Mostra la solució
Multipliquem la segona equació per 3 per eliminar la y: 9x - 3y = 9.
Sumem amb la primera: 11x = 22, per tant x = 2.
De la segona: y = 3x - 3 = 3.
Solució: (2, 3). Comprovació a la primera: 2 · 2 + 3 · 3 = 13.
Nivell avançat
Exercici 22
Resol pel mètode que vulguis: x + 2y = 8 i x - y = 2.
Mostra la solució
Per reducció, resto la segona de la primera: (x + 2y) - (x - y) = 8 - 2, 3y = 6, y = 2; de x - y = 2: x = 4. Solució (4, 2).
Exercici 23
En un teatre, l'entrada d'adult val 10 euros i la de nen 6 euros. Es venen 8 entrades i es recapten 60 euros. Quantes entrades de cada tipus s'han venut?
Mostra la solució
x = entrades d'adult, y = entrades de nen: x + y = 8 i 10x + 6y = 60. Aïllo y = 8 - x: 10x + 6(8 - x) = 60, 10x + 48 - 6x = 60, 4x = 12, x = 3; y = 5. Tres entrades d'adult i cinc de nen.
Exercici 24
Classifica aquests dos sistemes (compatible determinat, indeterminat o incompatible) i justifica-ho: A) x + 2y = 4, 2x + 4y = 8; B) x + 2y = 4, 2x + 4y = 7.
Mostra la solució
A) La segona equació és el doble de la primera (2x + 4y = 2 · (x + 2y) = 8): són la mateixa recta. Té infinites solucions: compatible indeterminat.
B) Si multipliquem la primera per 2, obtenim 2x + 4y = 8, que contradiu 2x + 4y = 7. Les rectes són paral·leles: no té solució, incompatible.
Exercici 25
Un pare té el triple de l'edat del seu fill. D'aquí a 10 anys el pare tindrà el doble de l'edat del fill. Quines edats tenen ara?
Mostra la solució
Siguin f l'edat del fill i p la del pare: p = 3f.
D'aquí a 10 anys: p + 10 = 2(f + 10).
Substituïm: 3f + 10 = 2f + 20, per tant f = 10 i p = 30.
Comprovació: d'aquí a 10 anys tindran 40 i 20, i 40 = 2 · 20.
Exercici 26
En una guardiola hi ha 24 monedes, totes d'1 € o de 2 €, que sumen 33 €. Quantes monedes hi ha de cada tipus?
Mostra la solució
Siguin x les d'1 € i y les de 2 €: x + y = 24 i x + 2y = 33.
Restem la primera de la segona: y = 9.
x = 24 - 9 = 15.
Hi ha 15 monedes d'1 € i 9 de 2 €. Comprovació: 15 + 18 = 33 €.
Exercici 27
Una cafeteria vol fer 12 kg de barreja de cafè que surti a 6,50 € el kg, mesclant cafè de 5 €/kg i cafè de 8 €/kg. Quants quilos ha de posar de cada tipus?
Mostra la solució
Siguin x kg del de 5 € i y kg del de 8 €.
x + y = 12 i 5x + 8y = 12 · 6,5 = 78.
De la primera, x = 12 - y: 5(12 - y) + 8y = 78, 60 + 3y = 78 i y = 6.
x = 6. Calen 6 kg de cada tipus (el preu mitjà 6,50 € és just el punt mig entre 5 i 8).
Exercici 28
Per a quin valor de k el sistema x + y = 5, 2x + 2y = k té infinites solucions? Què passa per a qualsevol altre valor de k?
Mostra la solució
Si multipliquem la primera equació per 2 obtenim 2x + 2y = 10.
Si k = 10, la segona equació és la mateixa que la primera: infinites solucions (compatible indeterminat).
Si k ≠ 10, les dues equacions es contradiuen (2x + 2y no pot valer 10 i k alhora): no té solució (incompatible).
Exercici 29
El llarg d'una parcel·la rectangular és 2 m menys que el triple de l'ample, i el perímetre és de 44 m. Planteja un sistema, calcula'n les dimensions i l'àrea.
Mostra la solució
Siguin l el llarg i a l'ample: l = 3a - 2 i 2(l + a) = 44, és a dir, l + a = 22.
Substituïm: 3a - 2 + a = 22, 4a = 24 i a = 6. Aleshores l = 16.
Dimensions: 16 m × 6 m. Àrea = 16 · 6 = 96 .
Comprovació: perímetre 2 · (16 + 6) = 44 m.
Exercici 30
Un nombre de dues xifres compleix que la suma de les seves xifres és 11 i que, si s'inverteix l'ordre de les xifres, el nombre augmenta en 27 unitats. Quin nombre és?
Mostra la solució
Siguin d les desenes i u les unitats: el nombre val 10d + u.
d + u = 11 i (10u + d) - (10d + u) = 27, és a dir, 9u - 9d = 27, d'on u - d = 3.
Sumem: 2u = 14, u = 7 i d = 4.
El nombre és 47. Comprovació: 4 + 7 = 11 i 74 - 47 = 27.
T'encalles amb aquest tema?
A L'Acadèmia de Vic t'ajudem amb classes individuals. Escriu-nos per WhatsApp.
Escriu-nos per WhatsApp (604 95 79 95)Més informació: Reforç d'ESO a Vic · Classes particulars
Preguntes freqüents
Quin mètode és millor per resoldre un sistema?
Tots donen la mateixa solució. La substitució va bé si una incògnita ja està aïllada, i la reducció quan els coeficients d'una incògnita són iguals o oposats.
Com comprovo la solució d'un sistema?
Substitueix els valors a les dues equacions originals. Si totes dues es compleixen, la solució és correcta.
