Exercicis d'estadística i probabilitat — Matemàtiques 2n ESO

(a) La freqüència absoluta és el nombre de vegades que apareix cada valor, així que el total de dades és la suma de totes: 10 + 6 + 4 = 20 alumnes.
(b) Un diagrama de sectors (el formatget), perquè mostra les parts d'un tot i cada tros és proporcional a la seva freqüència. Un diagrama de barres serviria per comparar quin esport guanya, però el que ensenya la part del total que ocupa cadascun és el de sectors.

El més gran és 12 i el més petit és 3. Rang: 12 - 3 = 9.

Favorables: 1 (la cara). Possibles: 2 (cara i creu). P = 1/2.

La moda és el valor que més es repeteix.
El 4 apareix 3 vegades, el 6 dues vegades, el 7 i el 9 una vegada cadascun.
La moda és 4.

Sumem totes les dades: 8 + 5 + 7 + 4 + 6 = 30.
Dividim per la quantitat de dades (5): $\tfrac{30}{5} = 6$.
La mitjana és 6.

La freqüència relativa és la freqüència absoluta dividida pel total: $\tfrac{6}{24} = 0{,}25$.
En tant per cent: 0,25 · 100 = 25 %.

Casos favorables: 3 (les vermelles). Casos possibles: 3 + 5 + 2 = 10.
Regla de Laplace: P = 3/10 = 0,3, és a dir, un 30 %.

a) Color dels ulls: qualitativa (no és un nombre, és una qualitat).
b) Nombre de germans: quantitativa discreta (només pren valors enters: 0, 1, 2…).
c) Alçada: quantitativa contínua (pot prendre qualsevol valor dins d'un interval, com 1,63 m).

Treure un 7 és impossible: 0 casos favorables de 6, P = 0/6 = 0. És un succés impossible.
Treure un nombre menor que 7 passa sempre: 6 casos favorables de 6, P = 6/6 = 1. És un succés segur.
Una probabilitat sempre és un nombre entre 0 i 1.

Primer ordenem les dades de menor a major: 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12.
Hi ha 7 dades, així que la mediana és la del mig (la quarta): 8.
Error típic: oblidar ordenar les dades abans de triar el valor central.

Comptem quantes vegades apareix cada nota:
5 → apareix 3 vegades
6 → apareix 1 vegada
7 → apareix 2 vegades
8 → apareix 1 vegada
9 → apareix 1 vegada
Comprovació: 3 + 1 + 2 + 1 + 1 = 8, que són les 8 dades.
La freqüència absoluta més gran és la del 5, que apareix 3 vegades.

Sumo: 6 + 8 + 4 + 7 + 5 = 30. Divideixo pel nombre de notes: $\tfrac{30}{5} = 6$. La mitjana és 6.

Ordenades: 3, 5, 7, 9, 11. Són 5 dades; el valor del mig és el 3r: la mediana és 7.

Senars: 1, 3 i 5, o sigui 3 favorables. Possibles: 6. P = 3/6, que és 1/2.

Freqüències absolutes: el 2 surt 3 vegades, el 3 surt 4, el 4 surt 2 i el 5 surt 1 (total 10).
Freqüències relatives: 3/10 = 0,3; 4/10 = 0,4; 2/10 = 0,2; 1/10 = 0,1 (sumen 1).
Mitjana: (2·3 + 3·4 + 4·2 + 5·1)/10 = (6 + 12 + 8 + 5)/10 = 31/10 = 3,1 punts.

Multipliquem cada valor per la seva freqüència i ho sumem: 0·5 + 1·12 + 2·6 + 3·2 = 0 + 12 + 12 + 6 = 30.
Dividim pel total d'alumnes: 30/25 = 1,2.
La mitjana és 1,2 germans per alumne.

Ordenem: 7, 9, 10, 11, 12, 14.
Hi ha 6 dades (quantitat parell), així que la mediana és la mitjana dels dos valors centrals: 10 i 11.
Mediana = $\tfrac{(10 + 11)}{2} = 10{,}5$.

a) Múltiples de 3: 3 i 6, són 2 casos de 6: P = 2/6 = 1/3.
b) Nombres primers: 2, 3 i 5, són 3 casos de 6: P = 3/6 = 1/2.
(Recorda que l'1 no és primer.)

Total de boles: 10.
P(no blanca) = 6/10 = 3/5 = 0,6. P(blanca) = 4/10 = 0,4.
Comprovació: 0,6 + 0,4 = 1, perquè són successos contraris.

El total són 360° repartits entre 40 alumnes: $\tfrac{360}{40} = 9$° per alumne.
Autobús: 12 · 9 = 108°. Bicicleta: 8 · 9 = 72°. A peu: 15 · 9 = 135°. Cotxe: 5 · 9 = 45°.
Comprovació: 108 + 72 + 135 + 45 = 360°.

Si la mitjana de 4 notes ha de ser 6,5, la suma ha de ser 4 · 6,5 = 26.
Les tres primeres sumen 5 + 7 + 6 = 18.
La quarta nota ha de ser 26 - 18 = 8.
Comprovació: (5 + 7 + 6 + 8)/4 = 26/4 = 6,5.

$\tfrac{12}{40} = 0{,}3$, és a dir el 30%.

Ordenades: 4, 6, 8, 10. Són 4 dades (parell); la mediana és la mitjana dels dos del mig: $\tfrac{(6 + 8)}{2} = 7$.

Favorables (cartes d'oros): 10. Possibles: 40. P = 10/40, que simplificat és 1/4.

Moda: el valor amb més freqüència és 13 anys (7 persones).
Mitjana: (12·4 + 13·7 + 14·6 + 15·3)/20 = (48 + 91 + 84 + 45)/20 = 268/20 = 13,4 anys.
Mediana: amb 20 dades cal mirar les posicions 10 i 11. Les freqüències acumulades són 4, 11, 17 i 20, i tant la 10a com l'11a dada són 13. Mediana = 13.
Rang: 15 - 12 = 3 anys.

Hi ha 6 · 6 = 36 resultats possibles igualment probables.
a) Suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), són 6 casos. P = 6/36 = 1/6.
b) Suma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), són 5 casos. P = 5/36.
c) Suma menor que 4: (1,1), (1,2), (2,1), són 3 casos. P = 3/36 = 1/12.

Mitjana: (1200 + 1300 + 1250 + 1350 + 6000)/5 = 11100/5 = 2220 €.
Mediana: ordenem 1200, 1250, 1300, 1350, 6000, i la dada central és 1300 €.
El sou de 6000 € és un valor extrem que fa pujar molt la mitjana, de manera que cap treballador no cobra res semblant a 2220 €.
Representa millor el sou habitual la mediana (1300 €), perquè no es veu afectada pels valors extrems.

Casos possibles: 20.
a) Múltiples de 5: 5, 10, 15, 20, són 4 casos. P = 4/20 = 1/5.
b) És el succés contrari: P = 1 - 1/5 = 4/5 (16 casos de 20).
c) Parells més grans que 10: 12, 14, 16, 18, 20, són 5 casos. P = 5/20 = 1/4.

a) Freqüència relativa = 120/200 = 0,6 (un 60 %).
b) Equilibrada: P(cara) = 1/2 = 0,5.
c) Esperaríem 500 · 0,5 = 250 cares.
La freqüència observada (0,6) s'allunya força de 0,5 amb 200 llançaments, de manera que és sospitós que la xapa no sigui equilibrada. Si P fos 0,6, en 500 llançaments n'esperaríem 300.

Siguin a ≤ b ≤ c ≤ d. Mitjana 7: a + b + c + d = 28. Mediana 6,5: $\tfrac{(b + c)}{2} = 6{,}5$, per tant b + c = 13.
Moda 6: el 6 s'ha de repetir. Si b + c = 13 i b ≤ c, la parella que conté un 6 és b = 6 i c = 7; així que perquè el 6 es repeteixi cal a = 6.
Aleshores d = 28 - 6 - 6 - 7 = 9.
Els nombres són 6, 6, 7, 9. Rang: 9 - 6 = 3.
Comprovació: mitjana $\tfrac{28}{4} = 7$; mediana $\tfrac{(6 + 7)}{2} = 6{,}5$; moda 6.