Exercicis d'àrees i volums de cossos — Matemàtiques 2n ESO

Els cossos geomètrics són a tot arreu: una llauna és un cilindre, un cucurutxo és un con i una pilota és una esfera. Aquests exercicis et fan reconèixer prismes, piràmides i cossos de revolució, i calcular-ne l'àrea i el volum amb les fórmules corresponents. Hi ha problemes reals, com el volum d'un dipòsit cilíndric o els litres que hi caben a partir dels decímetres cúbics. Les solucions indiquen sempre la fórmula, la substitució i les unitats del resultat. Dos errors que es repeteixen molt: fer servir el diàmetre en lloc del radi i donar un volum en unitats quadrades, quan ha d'anar en unitats cúbiques.

Nivell bàsic

Exercici 1

Quantes bases té una piràmide?

Mostra la solució

Una sola base. Les cares laterals són triangles que acaben en punta.

Exercici 2

Un prisma i una piràmide es diferencien en el nombre de bases. Quantes en té cadascun?

Mostra la solució

El prisma en té dues (iguals i paral·leles) i la piràmide, una de sola.

Exercici 3

Una pilota (esfera) té un diàmetre de 10 cm. Quant fa el radi?

Mostra la solució

El radi és la meitat del diàmetre: $\tfrac{10}{2} = 5$ cm.

Exercici 4

Un cub té 5 cm d'aresta. Calcula'n el volum.

Mostra la solució

El volum d'un cub és aresta × aresta × aresta.
V = $5^{3}$ = 5·5·5 = 125 cm³.

Exercici 5

Calcula el volum d'una caixa en forma d'ortoedre de 6 cm de llarg, 4 cm d'ample i 3 cm d'alt.

Mostra la solució

El volum d'un ortoedre és llarg × ample × alt.
V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³.

Exercici 6

La base d'un cilindre és un cercle de 3 cm de radi. Calcula l'àrea de la base. (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

L'àrea d'un cercle és A = π· $r^{2}$ .
A = 3,14 · $3^{2}$ = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
Error típic: oblidar elevar el radi al quadrat (π·r no és l'àrea).

Exercici 7

Raona si és cert o fals: «Una piràmide i un prisma amb la mateixa base i la mateixa altura tenen el mateix volum».

Mostra la solució

És fals.
El volum del prisma és V = $A_{base}$ · h, mentre que el de la piràmide és V = $\tfrac{(A_{base} \cdot h)}{3}$ .
La piràmide té un volum que és la tercera part del del prisma.

Exercici 8

Un prisma triangular té 2 bases triangulars i 3 cares laterals rectangulars. Quantes arestes i quants vèrtexs té?

Mostra la solució

Cada base triangular té 3 arestes i 3 vèrtexs. Com que n'hi ha dues, hi ha 6 vèrtexs.
Arestes: 3 + 3 de les bases i 3 arestes laterals que uneixen les bases, en total 9 arestes.
Comprovació amb la fórmula d'Euler (cares + vèrtexs = arestes + 2): 5 + 6 = 9 + 2.

Exercici 9

Un dipòsit té un volum de 3,5 $m^{3}$ . Quants litres d'aigua hi caben? (Recorda que 1 $m^{3}$ = 1000 litres.)

Mostra la solució

Multipliquem per 1000: 3,5 · 1000 = 3500.
Hi caben 3500 litres.

Exercici 10

Calcula el volum d'una esfera de 3 cm de radi amb la fórmula V = ( $\tfrac{4}{3}$ )·π· $r^{3}$ . (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

V = ( $\tfrac{4}{3}$ ) · 3,14 · $3^{3}$ = ( $\tfrac{4}{3}$ ) · 3,14 · 27.
Primer 27 · $\tfrac{4}{3} = 36$ , i després 36 · 3,14 = 113,04.
El volum és 113,04 cm³.

Nivell intermedi

Exercici 11

Un cub té 4 cm d'aresta. Quina és la seva àrea total? (Un cub té 6 cares quadrades iguals.)

Mostra la solució

Cada cara és un quadrat de 4 · 4 = 16 cm². Com que n'hi ha 6: 6 · 16 = 96 cm².

Exercici 12

Un dipòsit cilíndric té 12 m de diàmetre. Quin radi faràs servir a la fórmula del volum?

Mostra la solució

Divideixo el diàmetre entre 2: r = 12 / 2 = 6 m. Faig servir 6, no 12.

Exercici 13

Un dipòsit cúbic fa 2 dm d'aresta. Quants litres hi caben? (Recorda: 1 dm³ = 1 litre.)

Mostra la solució

El volum és V = 2 · 2 · 2 = 8 dm³. Com que cada dm³ és 1 litre, hi caben 8 litres.

Exercici 14

Una piràmide té una base de 12 cm² i una altura de 6 cm. Quin volum té?

Mostra la solució

Volum de la piràmide: àrea de la base per l'altura, dividit entre 3. V = (12 · 6) / 3 = 72 / 3 = 24 cm³.

Exercici 15

Calcula l'àrea total d'un ortoedre de 8 cm de llarg, 5 cm d'ample i 3 cm d'alt.

Mostra la solució

Un ortoedre té 3 parelles de cares iguals: 8×5, 8×3 i 5×3.
Àrees: 8·5 = 40; 8·3 = 24; 5·3 = 15.
$A_{total}$ = 2·(40 + 24 + 15) = 2 · 79 = 158 cm².

Exercici 16

Un prisma recte de 10 cm d'alçada té com a base un triangle de 6 cm de base i 4 cm d'altura. Calcula'n el volum.

Mostra la solució

Àrea de la base (triangle): $\tfrac{(6 \cdot 4)}{2} = 12$ cm².
V = $A_{base}$ · altura del prisma = 12 · 10 = 120 cm³.
Atenció: no confonguis l'altura del triangle (4 cm) amb l'altura del prisma (10 cm).

Exercici 17

Calcula l'àrea total d'un cilindre de 4 cm de radi i 9 cm d'altura. (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

Àrea lateral: 2·π·r·h = 2 · 3,14 · 4 · 9 = 226,08 cm².
Àrea de les dues bases: 2·π·r² = 2 · 3,14 · 16 = 100,48 cm².
A_total = 226,08 + 100,48 = 326,56 cm².

Exercici 18

Una piràmide té per base un quadrat de 6 cm de costat i una altura de 4 cm. Calcula'n el volum.

Mostra la solució

Àrea de la base: 6 · 6 = 36 cm².
V = (A_base · h)/3 = (36 · 4)/3 = 144/3 = 48 cm³.

Exercici 19

Un con té 5 cm de radi i 13 cm de generatriu. Calcula'n l'altura (amb el teorema de Pitàgores) i el volum. (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

La generatriu és la hipotenusa del triangle format per l'altura i el radi: h = $\sqrt{13^{2} - 5^{2}}$ = $\sqrt{169 - 25}$ = $\sqrt{144}$ = 12 cm.
V = $\tfrac{(\pi \cdot r^{2}\cdot h)}{3}$ = $\tfrac{(3{,}14 \cdot 25 \cdot 12)}{3} = 3{,}14$ · 100 = 314 cm³.

Exercici 20

Un aquari té forma d'ortoedre de 80 cm de llarg, 40 cm d'ample i 50 cm d'alt. Quants litres hi caben si és ple del tot? I si només l'omplim fins als $\tfrac{3}{4}$ de la seva capacitat? (1 dm³ = 1 litre.)

Mostra la solució

Passem a decímetres: 8 dm × 4 dm × 5 dm.
V = 8 · 4 · 5 = 160 dm³ = 160 litres.
Els $\tfrac{3}{4}$ : 160 · $\tfrac{3}{4} = 120$ litres.

Exercici 21

Calcula l'àrea de la superfície d'una esfera de 5 cm de radi amb la fórmula A = 4·π· $r^{2}$ . (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

A = 4 · 3,14 · $5^{2}$ = 4 · 3,14 · 25 = 100 · 3,14 = 314 cm².

Nivell avançat

Exercici 22

Una caixa en forma d'ortoedre fa 10 cm de llarg, 5 cm d'ample i 2 cm d'alt. Quina superfície de cartró s'ha fet servir per construir-la?

Mostra la solució

És l'àrea total: A = 2 · (10 · 5 + 10 · 2 + 5 · 2) = 2 · (50 + 20 + 10) = 2 · 80 = 160 cm².

Exercici 23

Un con té 3 cm de radi i 6 cm d'altura. Quin volum té? (π = 3,14.)

Mostra la solució

V = $\tfrac{(\pi \cdot r^{2} \cdot h)}{3}$ = $\tfrac{(3{,}14 \cdot 9 \cdot 6)}{3}$ . Primer el numerador: 3,14 · 9 = 28,26 i 28,26 · 6 = 169,56. Divideixo entre 3: $\tfrac{169{,}56}{3} = 56{,}52$ cm³.

Exercici 24

Un dipòsit cilíndric té 2 m de radi i 3 m d'altura. Quin volum té i quants litres hi caben? (π = 3,14.)

Mostra la solució

V = π · $r^{2}$ · h = 3,14 · 4 · 3 = 37,68 $m^{3}$ . Com que cada $m^{3}$ són 1000 litres, multiplico 37,68 per 1000: hi caben 37680 litres.

Exercici 25

Una piràmide regular de base quadrada té 10 cm de costat de la base i 13 cm d'apotema (altura d'una cara lateral triangular). Calcula: a) l'àrea lateral, b) l'àrea total, c) l'altura de la piràmide i el seu volum.

Mostra la solució

a) Cada cara lateral és un triangle de base 10 i altura 13: (10 · 13)/2 = 65 cm². Hi ha 4 cares: A_lateral = 4 · 65 = 260 cm².
b) Àrea de la base: 10 · 10 = 100 cm². A_total = 260 + 100 = 360 cm².
c) L'altura, l'apotema i la meitat del costat de la base formen un triangle rectangle: h = √(13² - 5²) = √144 = 12 cm.
V = (100 · 12)/3 = 400 cm³.

Exercici 26

Un dipòsit cilíndric té 1,5 m de radi i 4 m d'altura. a) Quants litres d'aigua hi caben? b) Si es buida amb una bomba que treu 20 litres cada minut, quant de temps tarda a buidar-se del tot? (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

a) V = π· $r^{2}$ ·h = 3,14 · 1, $5^{2}$ · 4 = 3,14 · 2,25 · 4 = 28,26 $m^{3}$ . Com que 1 $m^{3}$ = 1000 litres, hi caben 28260 litres.
b) Temps = 28260 : 20 = 1413 minuts.
1413 min = 23 h i 33 min (23 · 60 = 1380; 1413 - 1380 = 33).

Exercici 27

Un cilindre de 4 cm de radi té un volum de 301,44 cm³. Calcula'n l'altura i l'àrea lateral. (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

De V = π·r²·h aïllem l'altura: h = V/(π·r²) = 301,44/(3,14 · 16) = 301,44/50,24 = 6 cm.
Àrea lateral: A = 2·π·r·h = 2 · 3,14 · 4 · 6 = 150,72 cm².
Comprovació: 3,14 · 16 · 6 = 301,44 cm³.

Exercici 28

Un contenidor té forma d'ortoedre de 2,4 m de llarg, 1,2 m d'ample i 1,2 m d'alt. Volem omplir-lo amb caixes cúbiques de 20 cm d'aresta. Quantes caixes hi caben, si les posem ben ordenades, sense deixar espais? Quin percentatge del volum del contenidor ocupen?

Mostra la solució

Passem a centímetres: 240 × 120 × 120.
Caixes al llarg: 240 : 20 = 12; a l'ample: 120 : 20 = 6; a l'alt: 120 : 20 = 6.
Total: 12 · 6 · 6 = 432 caixes.
Com que les mides són múltiples exactes de 20, l'ompliment és perfecte: les caixes ocupen el 100 % del volum.
Comprovació: 432 · $20^{3}$ = 432 · 8000 = 3456000 cm³ = 240 · 120 · 120.

Exercici 29

Un cilindre i un con tenen el mateix radi, 3 cm, i la mateixa altura, 6 cm. Calcula el volum de cadascun (π = 3,14) i raona quina relació hi ha entre els dos volums.

Mostra la solució

Cilindre: V = π·r²·h = 3,14 · 9 · 6 = 169,56 cm³.
Con: V = (π·r²·h)/3 = 169,56/3 = 56,52 cm³.
Relació: 169,56 : 56,52 = 3, de manera que el volum del cilindre és el triple que el del con.
Això passa sempre quan comparteixen base i altura, perquè la fórmula del con duu el factor 1/3.

Exercici 30

Volem pintar per fora un dipòsit cilíndric tancat de 2 m de radi i 5 m d'altura. Cada pot de pintura cobreix 10 $m^{2}$ i costa 18 €. Quants pots cal comprar i quant costaran? (Fes servir π = 3,14.)

Mostra la solució

Cal pintar l'àrea total: A = 2·π·r·(h + r) = 2 · 3,14 · 2 · (5 + 2) = 12,56 · 7 = 87,92 $m^{2}$ .
Pots: 87,92 : 10 = 8,792, i com que no es poden comprar fraccions de pot, cal arrodonir cap amunt: 9 pots.
Cost: 9 · 18 = 162 €.

T'encalles amb aquest tema?

A L'Acadèmia de Vic t'ajudem amb classes individuals. Escriu-nos per WhatsApp.

Escriu-nos per WhatsApp (604 95 79 95)

Més informació: Reforç d'ESO a Vic · Classes particulars

Preguntes freqüents

Quina relació hi ha entre els decímetres cúbics i els litres?

1 dm cúbic és exactament 1 litre. Per això, si calcules un volum en dm cúbics, ja tens els litres que hi caben.

Quina diferència hi ha entre el volum d'un prisma i el d'una piràmide amb la mateixa base i altura?

El de la piràmide és un terç del del prisma: es multiplica l'àrea de la base per l'altura i es divideix entre 3.

Exercicis d'àrees i volums de cossos — Matemàtiques 2n ESO

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

T'encalles amb aquest tema?

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 2n ESO