Exercicis de funcions — Matemàtiques 2n ESO

La variable independent (la x).

(a) A l'eix horitzontal, que és el de les x (el de baix).
(b) Puges des del 4 fins a tocar la línia de la funció i mires a quina altura t'has quedat: aquella altura, llegida a l'eix vertical, és la y.
(c) La imatge de 4 és 10: quan x = 4, la funció val y = 10.
Compte de no fer-ho al revés: la x sempre es busca a baix i la y es llegeix a l'altura.

Sí. És lineal (de la forma y = mx), i totes les lineals passen per (0,0).

Substituïm x per 5: y = 4·5 - 3 = 20 - 3 = 17.
La imatge de 5 és 17, és a dir, el punt (5, 17) és de la gràfica.

En la forma y = mx + n, m és el pendent i n l'ordenada a l'origen.
Aquí m = 5 i n = -2.
La recta talla l'eix vertical en el punt (0, -2).

Per a qualsevol valor de x, la y val sempre 4.
La gràfica és una recta horitzontal (paral·lela a l'eix x) que passa pel punt (0, 4).
El pendent és 0, perquè la recta no puja ni baixa.

Substituïm la x de cada punt i mirem si dona la y:
(4, 11): 2·4 + 3 = 11. Coincideix, per tant el punt pertany a la gràfica.
(2, 8): 2·2 + 3 = 7, que no és 8, per tant el punt no hi pertany.

y = 7x: lineal, no té terme independent i passa per l'origen.
y = x + 2: afí, té pendent 1 i ordenada a l'origen 2.
y = 3: constant, no depèn de x (pendent 0).

El perímetre d'un quadrat és 4 vegades el costat: y = 4x.
La variable independent és el costat x (la triem lliurement) i la dependent és el perímetre y (depèn del valor de x).
És una funció lineal de pendent 4.

El pendent ens ho diu: si és positiu, la funció creix; si és negatiu, decreix.
y = -2x + 5: pendent -2 (negatiu), per tant és decreixent.
y = 0,5x: pendent 0,5 (positiu), per tant és creixent.

Per a x = 0: y = 4. Per a x = 1: y = 5. Per a x = 2: y = 6. Per a x = 3: y = 7. Les parelles són (0,4), (1,5), (2,6) i (3,7).

Amb x el nombre d'entrades i y el preu, la funció és y = 6x. Per a 4 entrades: y = 6 · 4 = 24. Quatre entrades costen 24 €.

La imatge de 2 és 7: quan x = 2, la funció val y = 7.

El pendent és -3, negatiu, així que la recta baixa d'esquerra a dreta. L'ordenada a l'origen és 4, per tant talla l'eix vertical a l'altura 4.

Cada cop que x augmenta 1, la y augmenta 3, així que el pendent és m = 3.
Per a x = 1: 5 = 3·1 + n, d'on n = 2.
La funció és y = 3x + 2.
Comprovació: per a x = 4, 3·4 + 2 = 14, que coincideix amb la taula.

Pendent: m = (9 - 5)/(3 - 1) = 4/2 = 2.
Substituïm el punt (1, 5) a y = 2x + n: 5 = 2·1 + n, d'on n = 3.
L'equació és y = 2x + 3.
Comprovació amb l'altre punt: 2·3 + 3 = 9.

Eix vertical (x = 0): y = 2·0 - 6 = -6, punt (0, -6).
Eix horitzontal (y = 0): 0 = 2x - 6, per tant 2x = 6 i x = 3, punt (3, 0).

La funció és y = 3x + 5.
Imposem y = 26: 3x + 5 = 26, per tant 3x = 21 i x = 7.
Ha llogat la bicicleta 7 hores.
Comprovació: 3·7 + 5 = 26 €.

La distància és velocitat per temps: y = 80x.
Imposem y = 200: 80x = 200, per tant x = 200/80 = 2,5.
Triga 2,5 hores, és a dir, 2 h i 30 min.

En una funció, a cada valor de x li correspon un únic valor de y.
Aquí a x = 2 li corresponen dos valors, 5 i 6.
Per tant, no és una funció.

De 8 h a 12 h la temperatura passa de 6 a 14 °C: creix.
De 12 h a 16 h passa de 14 a 18 °C: creix.
De 16 h a 20 h passa de 18 a 10 °C: decreix.
La funció creix entre les 8 h i les 16 h, i decreix entre les 16 h i les 20 h. El màxim és 18 °C a les 16 h.

Imatge de 3: y = 2 · 3 + 1 = 7. Per trobar la x amb y = 9: 9 = 2x + 1, així que 2x = 8 i x = 4.

Passa per (0,2), o sigui ordenada a l'origen 2. Puja 3 per pas, o sigui pendent 3. La funció és y = 3x + 2.

Amb x les hores i y el preu: y = 15x + 20. El pendent és 15 (cada hora suma 15 €) i l'ordenada a l'origen és 20 (el que cobra només per venir, quan x = 0). Per a 3 hores: y = 15 · 3 + 20 = 45 + 20 = 65. Cobra 65 €.

a) A: y = 2x + 10; B: y = 4x, amb x en km.
b) Igualem: 2x + 10 = 4x, per tant 10 = 2x i x = 5 km (tots dos cobren 20 €).
c) Per a x = 6: A costa 22 € i B costa 24 €, de manera que A és més barata. En general 2x + 10 < 4x quan x > 5.
La tarifa A surt més a compte a partir de més de 5 km.

a) y = 120 - 8x (pendent negatiu: el dipòsit es buida).
b) Per a x = 6: y = 120 - 48 = 72 litres.
c) Imposem y = 0: 120 = 8x, per tant x = 15 minuts.
d) Només té sentit des que comença a buidar-se fins que s'acaba l'aigua: 0 ≤ x ≤ 15 (i 0 ≤ y ≤ 120).

a) Pendent: m = $\tfrac{(-7 - 1)}{(6 - 2)}$ = -$\tfrac{8}{4}$ = -2. Amb el punt (2, 1): 1 = -2·2 + n, per tant n = 5. La funció és y = -2x + 5.
b) El pendent és negatiu, per tant és decreixent.
c) Per a x = 10: y = -2·10 + 5 = -15, que coincideix, i per tant el punt (10, -15) hi pertany.

a) Anada: 10 km en 2 h, per tant $\tfrac{10}{2} = 5$ km/h.
b) Entre t = 2 i t = 3 la distància es manté a 10 km: està aturada (la gràfica seria un tram horitzontal).
c) Tornada: de 10 km a 0 km en 2 h, per tant $\tfrac{10}{2} = 5$ km/h (el pendent és -5 en aquest tram).
d) Ha caminat 10 km d'anada i 10 km de tornada: 20 km en total, tot i que és a 0 km de casa al final.

Substituïm el punt (2, 10): 10 = (k - 1)·2 + 4.
6 = 2(k - 1), per tant k - 1 = 3 i k = 4.
La funció és y = 3x + 4, amb pendent 3.
Comprovació: 3·2 + 4 = 10.

a) Eix vertical: x = 0 dona y = 3, punt (0, 3). Eix horitzontal: 0 = -x/2 + 3, per tant x/2 = 3 i x = 6, punt (6, 0).
b) y = -(1/2)·(-4) + 3 = 2 + 3 = 5.
c) 1 = -x/2 + 3, per tant x/2 = 2 i x = 4.
El pendent és -1/2, negatiu, per tant la funció és decreixent.