Exercicis de proporcionalitat directa i inversa — Matemàtiques 2n ESO

Directa: les dues magnituds pugen alhora (més llibres, més diners).

Suma de parts 2 + 3 = 5; cada part val $\tfrac{100}{5} = 20$ €. El primer: 2 · 20 = 40 €; el segon: 3 · 20 = 60 €.

Perquè cadascú hi ha posat una quantitat (o un temps) diferent: qui més hi posa, més en rep. A parts iguals seria injust amb qui ha aportat més.

El 20% és $\tfrac{20}{100} = 0{,}2$.
350 · 0,2 = 70.
Comprovació: el 10% de 350 és 35, i el 20% n'és el doble, 70.

La constant és el quocient entre les dues magnituds: k = 6/2 = 3 (i també 12/4 = 3).
Per a la tercera parella: x = k · 7 = 3 · 7 = 21.

Dividim: 3 : 8 = 0,375.
Multipliquem per 100: 0,375 · 100 = 37,5.
$\tfrac{3}{8} = 37{,}5$%.

Descompte = 15% de 40 = 40 · $\tfrac{15}{100} = 40$ · 0,15 = 6 €.
Atenció: 6 € és el descompte, no el preu final (que seria 34 €).

12% = 12/100.
Simplifiquem dividint entre 4: 12/100 = 3/25.
Com a decimal: 12 : 100 = 0,12.

a) Inversa: amb més aixetes obertes, el dipòsit s'omple en menys temps (si se'n dobla el nombre, el temps es redueix a la meitat).
b) Cap: l'alçada no creix de manera proporcional a l'edat (una persona de 40 anys no fa el doble que una de 20).

Fracció de vots afirmatius: 18/24 = 3/4.
3/4 = 0,75 = 75%.
Ha votat que sí el 75% del grup.

Directa: x = (7 · 28) / 4 = 196 / 4 = 49 €.

Directa (més hores, més km): x = (7 · 240) / 3 = 1680 / 3 = 560 km.

Inversa (més pintors, menys dies): producte 6 · 20 = 120; x = 120 / 8 = 15 dies.

Suma 5 + 10 + 15 = 30 €; cada euro val $\tfrac{600}{30} = 20$. El primer: 5 · 20 = 100 €; el segon: 10 · 20 = 200 €; el tercer: 15 · 20 = 300 €. Comprovació: 100 + 200 + 300 = 600 €.

Rebaixa en euros: 250 - 200 = 50 €.
Percentatge respecte al preu inicial: $\tfrac{50}{250} = 0{,}2$ = 20%.
Comprovació: el 20% de 250 és 50 €.

Relació directa: més persones, més arròs.
Per a una persona: 300 : 4 = 75 g.
Per a 10 persones: 75 · 10 = 750 g.

Relació inversa: menys dies requereix més obrers, i el producte obrers · dies es manté constant.
12 · 15 = 180.
x · 9 = 180, per tant x = 180 : 9 = 20 obrers.

Pujada del 10%: 60 · 1,10 = 66 €.
Baixada del 10% sobre 66 €: 66 · 0,90 = 59,40 €.
Val 59,40 €, no 60 €: els dos percentatges s'apliquen sobre quantitats diferents.

Interès d'un any: 3% de 2000 = 2000 · 0,03 = 60 €.
En 2 anys: 60 · 2 = 120 €.
El capital final és 2000 + 120 = 2120 €.

a) Multipliquem pel canvi: 250 · 1,10 = 275 dòlars.
b) Dividim pel canvi: 330 : 1,10 = 300 €.
Comprovació: 300 · 1,10 = 330.

Alumnes a l'excursió: 480 · 0,35 = 168.
De 1r d'ESO: $\tfrac{3}{7}$ de 168 = 168 : 7 · 3 = 24 · 3 = 72 alumnes.

Multipliquem els factors: descompte 0,75 i IVA 1,21. 80 · 0,75 · 1,21 = 72,60 €.

Pagues el 70%, factor 0,70: preu = 210 / 0,70 = 300 €.

Suma 10 + 14 + 16 = 40 dies; cada dia val $\tfrac{1200}{40} = 30$ €. El primer: 10 · 30 = 300 €; el segon: 14 · 30 = 420 €; el tercer: 16 · 30 = 480 €. Comprovació: 300 + 420 + 480 = 1200 €.

No té raó: els percentatges no se sumen, perquè el segon s'aplica sobre un preu menor.
Prenem un preu inicial de 100 €. Amb el 20%: 100 · 0,80 = 80 €. Amb el 10% addicional: 80 · 0,90 = 72 €.
El preu final és el 72% de l'inicial, així que el descompte total és del 28%.

Cada any la població es multiplica per 1,05.
Després de 2 anys: 12000 · 1,$05^{2}$ = 12000 · 1,1025 = 13230 habitants.
L'augment total és 1,1025 - 1 = 0,1025, és a dir, un 10,25% (no un 10%).

Les peces són directament proporcionals al nombre de màquines i també al nombre d'hores.
Per màquina i hora: $\tfrac{600}{(4 \cdot 5)} = 30$ peces.
6 màquines en 8 hores: 30 · 6 · 8 = 1440 peces.
Comprovació: 600 · ($\tfrac{6}{4}$) · ($\tfrac{8}{5}$) = 600 · 1,5 · 1,6 = 1440.

És FALS.
Prenem un preu de 100 €. Si puja un 25%: 100 · 1,25 = 125 €.
Si ara baixa un 25% sobre 125 €: 125 · 0,75 = 93,75 €.
El preu final és un 6,25% inferior a l'inicial, perquè la baixada del 25% s'aplica sobre una quantitat més gran.

Inversament proporcional vol dir proporcional a $\tfrac{1}{2}$, $\tfrac{1}{3}$ i $\tfrac{1}{6}$. Reduïm a denominador comú: $\tfrac{3}{6}$, $\tfrac{2}{6}$ i $\tfrac{1}{6}$, és a dir, parts 3, 2 i 1.
Total de parts: 3 + 2 + 1 = 6, i cada part val 780 : 6 = 130 €.
Reben: 3 · 130 = 390 €, 2 · 130 = 260 € i 1 · 130 = 130 €.
Comprovació: 390 + 260 + 130 = 780 €.

a) 800 · 1,21 = 968 €.
b) 968 · 0,85 = 822,80 €.
c) Índex de variació global: $\tfrac{822{,}80}{800} = 1{,}0285$, és a dir, un augment del 2,85% respecte als 800 €.
(També: 1,21 · 0,85 = 1,0285.)