Exercicis de materials i assaigs — Tecnologia i Enginyeria 2n Batxillerat

Perquè els seus àtoms estan desordenats, sense una ordenació regular i repetitiva (una xarxa cristal·lina), a diferència d'un material cristal·lí com els metalls.

Un material tenaç absorbeix molta energia i es deforma abans de trencar (exemple: acer de construcció); un de fràgil trenca de cop, sense deformar-se, amb poca energia absorbida (exemple: vidre o fosa). La tenacitat es mesura amb l'assaig de Charpy.

És el mòdul de Young o mòdul d'elasticitat, E = $\tfrac{\sigma}{\epsilon}$. Com que ε no té unitats, E té les unitats de la tensió: MPa o, més sovint, GPa (l'acer, uns 210 GPa).

Clorur de sodi: enllaç iònic (ions Na⁺ i Cl^- units per atracció electrostàtica); és dur però fràgil i només condueix l'electricitat fos o dissolt.
Diamant: enllaç covalent en xarxa tridimensional; és el material més dur que existeix i té un punt de fusió altíssim, però no condueix l'electricitat.
Coure: enllaç metàl·lic (núvol d'electrons lliures entre els ions); és dúctil i molt bon conductor elèctric i tèrmic.
Polietilè: dins de cada cadena els enllaços són covalents, però entre cadenes només hi ha forces de Van der Waals febles; per això és tou, lleuger i s'estova amb poca temperatura (termoplàstic).
Idea clau: com més fort i direccional és l'enllaç, més dur, més refractari i menys deformable és el material.

BCC: 8 vèrtexs · 1/8 + 1 àtom central = 1 + 1 = 2 àtoms per cel·la.
FCC: 8 vèrtexs · 1/8 + 6 cares · 1/2 = 1 + 3 = 4 àtoms per cel·la.
La FCC és més compacta (factor d'empaquetament 0,74 davant de 0,68 de la BCC): per això metalls FCC com el coure, l'alumini o l'or són tan dúctils, i el ferro α (BCC) és menys deformable que el ferro γ (FCC).
Error típic: comptar els 8 àtoms dels vèrtexs com a sencers; de cadascun només n'hi ha una vuitena part dins de la cel·la.

Llei de Hooke: σ = E·ε, per tant ε = σ/E = 84/70000 = 1,2·10^-3 (hem passat E a MPa: 70 GPa = 70000 MPa).
Allargament: ΔL = ε·L₀ = 1,2·10^-3·1500 mm = 1,8 mm.
Comprovació: 1,8/1500 = 0,0012 = 0,12 %, una deformació petita, coherent amb la zona elàstica.
Error típic: barrejar GPa i MPa. Recorda que la deformació unitària no té unitats.

a) Falsa. La duresa és la resistència a ser ratllat o penetrat, i la tenacitat és l'energia que absorbeix el material abans de trencar-se. Els materials ceràmics o un acer trempat sense revenir són molt durs i alhora fràgils.
b) Falsa. El mòdul de Young mesura la rigidesa (com poc es deforma elàsticament per a una tensió donada), no la resistència. La càrrega màxima la fixa la resistència a la tracció: dos acers tenen pràcticament el mateix E (uns 210 GPa) i poden trencar-se a 400 o a 1500 MPa.
Idea clau: dur no vol dir tenaç, i rígid no vol dir resistent.

HV = 1,8544·F/d² = 1,8544·30/0,42² = 55,63/0,1764 = 315 HV.
S'escriu 315 HV30 (el nombre final indica la càrrega aplicada). Correspon a un acer de duresa mitjana-alta, per exemple un acer de construcció bonificat.
Avantatge del mètode Vickers: el penetrador de diamant serveix per a qualsevol duresa i l'empremta és molt petita, de manera que l'assaig és gairebé no destructiu.

Resiliència: ρ = W/S = 60/0,8 = 75 J/cm².
És un valor alt, de l'ordre del d'un acer de construcció: el material absorbeix molta energia abans de trencar-se i, per tant, és tenaç.
Recorda que la resiliència mesura la resistència al xoc (energia absorbida per unitat de secció) i que la proveta normalitzada Charpy fa 10 × 10 mm amb una entalla de 2 mm de fondària: per això la secció útil és de 10 × 8 mm = 0,8 cm².

A 200 MPa estem per sota del límit elàstic (250 MPa): la deformació és elàstica i, en descarregar, la proveta recupera exactament la longitud inicial.
A 300 MPa hem superat el límit elàstic però no la resistència a la tracció (400 MPa): la proveta no es trenca, però ha entrat a la zona plàstica. En descarregar només recupera la part elàstica i hi queda una deformació permanent: és més llarga que al principi.
Idea clau: el límit elàstic separa la deformació recuperable de la permanent; la resistència a la tracció és la tensió màxima que suporta el material abans d'estrènyer-se (estricció) i trencar-se.

ΔT = 35 - (-5) = 40 graus.
ΔL = $L_{0}$ · α · ΔT = 25 · 12·10⁻⁶ · 40 = 0,012 m = 12 mm.

a) Tenacitat (ha d'absorbir cops sense trencar). b) Ductilitat (s'ha de poder estirar en fils prims). c) Duresa (ha de penetrar altres materials sense desgastar-se).

Radi r = 5 mm, secció S = π·5² = 78,5 mm².
σ = F / S = 25000 / 78,5 = 318,5 MPa.

Charpy mesura la tenacitat (energia d'impacte); Brinell mesura la duresa (resistència a la penetració); l'assaig de tracció dona el límit elàstic, la resistència a tracció i l'allargament (ductilitat).

Calculem primer l'arrel: √(D² - d²) = √(100 - 16) = √84 = 9,165 mm.
Denominador: π·D·(D - 9,165) = π·10·0,835 = 26,23.
HB = 2·3000/26,23 = 229 HB (és la càrrega dividida per l'àrea del casquet esfèric de l'empremta, 13,1 mm²).
Constant de càrrega: F/D² = 3000/10² = 30, que és la que la norma fixa per a acers i foses; per a alumini es fa servir 5 o 10 i per a coure i els seus aliatges, 10. Amb la constant correcta, els valors obtinguts amb boles i càrregues diferents són comparables.
Resultat: 229 HB (s'escriu HB 10/3000).

Energia potencial inicial del martell: E₀ = m·g·h₀ = 25·9,8·1,2 = 294 J.
Energia que conserva després del cop: E₁ = m·g·h₁ = 25·9,8·0,40 = 98 J.
Energia absorbida en trencar la proveta: W = E₀ - E₁ = m·g·(h₀ - h₁) = 25·9,8·0,8 = 196 J.
Resiliència: ρ = W/S = 196/0,8 = 245 J/cm², pròpia d'un material molt tenaç (un acer dolç o un alumini recuit).
Error típic: dividir per la secció total de la proveta (1 cm²) en lloc de la secció útil que queda sota l'entalla.

Tensió admissible: σ_adm = σ_e/n = 250/2,5 = 100 MPa.
Secció mínima: S ≥ F/σ_adm = 50000/100 = 500 mm².
Diàmetre mínim: S = π·d²/4 → d = √(4·500/π) = √636,6 = 25,2 mm.
Cal triar el primer diàmetre comercial per sobre del mínim: 26 mm (S = 530,9 mm²). Amb 24 mm (S = 452,4 mm²) la tensió seria de 110,5 MPa, superior a l'admissible.
Comprovació: σ = 50000/530,9 = 94,2 MPa < 100 MPa; coeficient de seguretat real n = 250/94,2 = 2,65 ≥ 2,5.

Allargament a trencament: A = $\tfrac{(L_{f} - L_{0})}{L_{0}}$·100 = $\tfrac{(61 - 50)}{50}$·100 = 22 %.
Seccions: $S_{0}$ = π·$\tfrac{10^{2}}{4} = 78{,}5$ mm²; $S_{f}$ = π·$\tfrac{7{,}5^{2}}{4} = 44{,}2$ mm².
Estricció: Z = $\tfrac{(S_{0} - S_{f})}{S_{0}}$·100 = $\tfrac{(78{,}5 - 44{,}2)}{78{,}5}$·100 = 43,75 % ≈ 44 % (equival a 1 - ($\tfrac{7{,}5}{10}$$)^{2}$).
Un allargament del 22 % i una estricció del 44 % indiquen una gran deformació plàstica abans del trencament: el material és clarament dúctil (un material fràgil tindria A < 5 % i gairebé cap estricció).

a) Líquids penetrants: l'alumini no és ferromagnètic, i el líquid entra per capil·laritat a les esquerdes obertes a la superfície i les fa visibles amb el revelador.
b) Radiografia (raigs X o gamma): travessa la paret gruixuda i mostra les porositats i inclusions internes en una placa; també hi serviria l'ultrasons.
c) Partícules magnètiques: l'acer és ferromagnètic, i les esquerdes superficials o subsuperficials distorsionen el camp magnètic i hi atrauen les partícules.
d) Ultrasons: mesurant el temps que triga l'eco a tornar de la paret interior es calcula el gruix des de l'exterior, sense buidar el dipòsit.
Idea clau: els assaigs no destructius no malmeten la peça, per això es poden fer sobre el 100 % de la producció o sobre peces en servei.

El fenomen és la fatiga: sota càrregues cícliques (a cada volta de l'eix la tensió passa de tracció a compressió) es formen microesquerdes que creixen a poc a poc fins que la secció que queda no aguanta i es trenca de cop, a tensions molt inferiors a la resistència estàtica.
El límit de fatiga és la tensió màxima per sota de la qual el material suporta un nombre indefinit de cicles (de l'ordre de $10^{7}$) sense trencar-se; s'obté de la corba S-N (de Wöhler) i en els acers és aproximadament la meitat de la resistència a la tracció, uns 275 MPa en aquest cas. Però la xavetera és un concentrador de tensions: a la cantonada la tensió real és molt més gran que els 240 MPa nominals i supera el límit.
Mesures: suavitzar els canvis de secció amb radis grans i evitar cantonades vives, ranures i marques de mecanitzat; millorar l'acabat superficial (polit) o introduir tensions de compressió a la superfície (granallat); augmentar la secció o triar un acer amb més límit de fatiga.

El tractament és el tremp: escalfar per sobre de la temperatura de transformació (fins a obtenir austenita) i refredar molt de pressa perquè el carboni no tingui temps de sortir de la xarxa; s'obté martensita, una estructura molt dura però plena de tensions internes i molt fràgil.
Hi falta el revingut: reescalfar la peça trempada a una temperatura moderada (entre 200 i 600 °C, segons el que es busqui) i refredar-la lentament. Es relaxen les tensions i es perd una mica de duresa, però es guanya molta tenacitat.
La combinació tremp + revingut s'anomena bonificat i és l'habitual en eines, molles i eixos. Si en lloc d'això es volgués estovar l'acer per mecanitzar-lo, es faria una recuita (refredament molt lent dins del forn).

A l'enllaç metàl·lic, els electrons de valència no pertanyen a cap àtom: formen un «núvol» que es mou lliurement entre els ions positius. Aquests electrons lliures es desplacen quan s'aplica una tensió: per això els metalls condueixen el corrent.
El mateix núvol explica la ductilitat: quan es deforma el metall, els plans d'àtoms llisquen els uns sobre els altres i l'enllaç no es trenca, perquè els electrons continuen envoltant els ions en la nova posició.

(a) Al·lotropia (o polimorfisme): el mateix element amb estructures cristal·lines diferents.
(b) L'estructura cúbica centrada a les cares (austenita) pot dissoldre molt més carboni que la centrada al cos. En escalfar l'acer, el carboni s'hi dissol; si després es refreda de cop (tremp), el carboni queda atrapat en una estructura forçada, molt dura (martensita). Els tractaments tèrmics juguen amb aquests canvis d'estructura per ajustar la duresa i la tenacitat de l'acer.

Deformació unitària: ε = ΔL / L₀ = 0,15 / 100 = 1,5·10⁻³.
Tensió: σ = F / S = 6300 / 20 = 315 MPa.
Mòdul de Young: E = σ / ε = 315 / 1,5·10⁻³ = 210000 MPa = 210 GPa.
Comprovació de sentit: 210 GPa és el valor típic de l'acer. Si et surt un mòdul de 600 GPa o més, alguna dada o alguna unitat està malament: cap metall comú no hi arriba.

a) σ_e = F_e/S₀ = 26000/100 = 260 MPa; σ_R = F_max/S₀ = 42000/100 = 420 MPa.
b) Deformació al límit elàstic: ε = ΔL/L₀ = 0,078/60 = 1,3·10^-3. Mòdul de Young: E = σ_e/ε = 260/(1,3·10^-3) = 200000 MPa = 200 GPa.
c) A = (73,2 - 60)/60·100 = 22 %.
d) Com que 130 MPa < 260 MPa, la barra treballa en zona elàstica: ε = σ/E = 130/200000 = 6,5·10^-4; ΔL = ε·L = 6,5·10^-4·2000 = 1,3 mm.
Comprovació: la tensió és la meitat de la del límit elàstic i la barra és 2000/60 = 33,3 vegades més llarga que la proveta, de manera que ΔL = 0,078·33,3/2 = 1,3 mm.

a) ΔT = 55 - 15 = 40 °C. Dilatació lliure: ΔL = α·ΔT·L = 12·$10^{-6}$·40·3000 = 1,44 mm.
b) Els murs impedeixen aquest allargament: és com si comprimíssim 1,44 mm la barra dilatada. Deformació unitària impedida: ε = α·ΔT = 12·$10^{-6}$·40 = 4,8·$10^{-4}$. Tensió: σ = E·ε = 210000·4,8·$10^{-4}$ = 100,8 MPa, de compressió. Fixa't que no depèn de la longitud de la barra.
c) F = σ·S = 100,8·400 = 40320 N ≈ 40,3 kN sobre cada mur.
d) σ = E·α·ΔT ≤ 235 MPa → ΔT ≤ $\tfrac{235}{(210000\cdot 12\cdot 10^{-6})} = 93$ °C, és a dir, fins a uns 108 °C. Per sobre, la barra es deformaria plàsticament (o vinclaria abans, si és esvelta).
Aquesta és la raó de les juntes de dilatació en ponts, vies de tren i canonades.

a) L'aigua de mar és un electròlit: en el ferro es formen piles entre zones amb petites diferències de potencial, el ferro s'oxida a l'ànode (Fe → Fe²⁺ + 2e^-) i l'oxigen dissolt es redueix al càtode; el resultat és el rovell. El zinc té un potencial més baix (-0,76 V < -0,44 V): en contacte elèctric amb l'acer, és el zinc qui fa d'ànode i s'oxida (ànode de sacrifici), mentre que tot l'acer queda com a càtode i no es corroeix. Per això els blocs es consumeixen i cal substituir-los.
b) El coure té un potencial més alt (+0,34 V): ara seria el càtode i l'acer faria d'ànode, de manera que la corrosió del buc s'acceleraria molt (parell galvànic desfavorable).
c) La galvanitzada aguanta: encara que la ratllada deixi l'acer al descobert, el zinc del voltant continua fent d'ànode i protegeix l'acer. En l'estanyada passa el contrari: l'estany (-0,14 V) és més noble que el ferro, i a la ratllada l'acer és l'ànode d'una pila amb una gran superfície catòdica d'estany; es rovella molt de pressa i de manera localitzada.
Idea clau: un recobriment metàl·lic protegeix bé si és més actiu (anòdic) que el metall base; si és més noble, només protegeix mentre està intacte.

a) Massa de la cel·la: m = 4·63,5/(6,022·10²³) = 4,22·10^-22 g. Volum: V = a³ = (0,3615·10^-7 cm)³ = 4,72·10^-23 cm³.
b) ρ = m/V = 4,22·10^-22/(4,72·10^-23) = 8,93 g/cm³, que coincideix amb el valor experimental (8,96 g/cm³); la petita diferència es deu als defectes de la xarxa real (vacants, límits de gra).
c) r = a/(2√2) = 0,3615/2,828 = 0,128 nm.
Comprovació: 4·(4/3)·π·r³/a³ = 0,74, el factor d'empaquetament de la FCC (els àtoms ocupen el 74 % del volum).

a) ρ(20 °C) = 110/0,8 = 137,5 J/cm²; ρ(-20 °C) = 25/0,8 = 31,25 J/cm²: en refredar només 40 °C, la resiliència es divideix per més de 4.
b) És la transició dúctil-fràgil: a temperatura ambient l'acer absorbeix molta energia i trenca de manera dúctil (fractura fibrosa, amb deformació), però per sota d'una certa temperatura la fractura passa a ser fràgil (cristal·lina, brillant, sense deformació). La temperatura en què la resiliència cau bruscament (aquí al voltant de 0 °C) és la temperatura de transició.
c) No és adequat: a -25 °C la resiliència seria d'uns 25–30 J/cm², en plena zona fràgil, i un cop o una sobrecàrrega podria provocar una fractura sobtada sense avís. Caldria un acer amb la temperatura de transició més baixa (de gra fi o aliat amb níquel) i comprovar que compleix la resiliència mínima exigida per la norma a la temperatura de servei.
d) En les xarxes FCC els plans de lliscament continuen actius a baixa temperatura i la deformació plàstica sempre és possible, de manera que la resiliència baixa suaument i no hi ha transició. La transició és pròpia dels metalls BCC, com els acers ferrítics.

a) Regla de la palanca entre 0,02 i 0,77 % C: perlita = (0,40 - 0,02)/(0,77 - 0,02)·100 = 0,38/0,75·100 = 50,7 %; ferrita proeutectoide = (0,77 - 0,40)/(0,77 - 0,02)·100 = 49,3 %.
b) Ara les fases són ferrita (0,02 % C) i cementita (6,67 % C): ferrita total = (6,67 - 0,40)/(6,67 - 0,02)·100 = 6,27/6,65·100 = 94,3 %; cementita total = 5,7 %. La diferència entre la ferrita total (94,3 %) i la proeutectoide (49,3 %) és la ferrita que hi ha dins de les làmines de la perlita.
c) Amb un 0,70 % C la perlita arribaria gairebé al 100 % (0,68/0,75 = 91 %): com que la perlita, amb les seves làmines dures de cementita, és molt més dura que la ferrita, l'acer seria més dur i resistent, però menys dúctil i menys tenaç. Per això els acers de construcció tenen poc carboni i els d'eines en tenen més.
Comprovació: 50,7 + 49,3 = 100 % i 94,3 + 5,7 = 100 %.

a) Dimensionament a resistència. Tensió admissible = σ_e/2,5.
Acer: σ_adm = 275/2,5 = 110 MPa → S ≥ 60 000/110 = 545,5 mm² → d ≥ √(4·545,5/π) = 26,4 mm → d = 27 mm (S = 572,6 mm²).
Tensió real: σ = 60 000/572,6 = 104,8 MPa. Allargament: ΔL = σ·L/E = 104,8·10⁶·4/(210·10⁹) = 2,00·10^-3 m = 2,0 mm. Massa: 572,6·10^-6·4·7850 = 18,0 kg.
Alumini: σ_adm = 240/2,5 = 96 MPa → S ≥ 625 mm² → d ≥ 28,2 mm → d = 29 mm (S = 660,5 mm²).
σ = 90,8 MPa; ΔL = 90,8·10⁶·4/(69·10⁹) = 5,3 mm. Massa: 660,5·10^-6·4·2700 = 7,1 kg.

b) Requisit de rigidesa. L'acer (2,0 mm ≤ 2,5 mm) ja compleix. L'alumini no: s'allarga més del doble, perquè el seu mòdul elàstic és tres vegades menor.
Secció necessària per rigidesa: S ≥ F·L/(E·ΔL_màx) = 60 000·4/(69·10⁹·0,0025) = 1,391·10^-3 m² = 1391 mm² → d ≥ 42,1 mm → d = 43 mm. Amb aquest diàmetre, ΔL = 2,4 mm i la tensió baixa a 41 MPa: el tirant d'alumini queda «sobredimensionat» a resistència perquè el criteri que mana és la rigidesa.

c) Comparació. Massa del tirant d'alumini de 43 mm: π/4·0,043²·4·2700 = 15,7 kg, davant dels 18,0 kg de l'acer. L'alumini continua sent lleugerament més lleuger, però l'avantatge passa d'un 60 % (apartat a) a només un 13 %.
Explicació: quan el que limita és la rigidesa, la massa és proporcional a ρ/E. Per a l'acer, E/ρ = 210·10⁹/7850 = 26,8·10⁶ m²/s²; per a l'alumini, 69·10⁹/2700 = 25,6·10⁶ m²/s². Són pràcticament iguals: els metalls estructurals habituals tenen una rigidesa específica molt semblant. (L'alumini surt una mica millor aquí perquè el diàmetre de l'acer s'ha fixat per resistència i, arrodonit, té marge de rigidesa.) La decisió final es prendria per altres criteris: cost, volum (el tirant d'alumini fa 43 mm), corrosió i unions.

Errors típics

• Dimensionar només a resistència i oblidar el requisit de deformació, que en materials de mòdul baix és el que acaba manant.
• Arrodonir el diàmetre a la baixa (26 mm per a l'acer): la tensió superaria l'admissible.
• Treballar amb MPa i mm a la tensió però amb GPa i m a l'allargament sense convertir: cal ser coherent (1 MPa = 1 N/mm²).
• Concloure que l'alumini sempre és molt més lleuger: només ho és quan mana la resistència (σ/ρ), no quan mana la rigidesa (E/ρ).

Conceptes treballats: tensió i deformació, llei de Hooke, mòdul elàstic, coeficient de seguretat, dimensionament a resistència i a rigidesa, rigidesa específica E/ρ, selecció de materials.

a) Secció inicial: S₀ = π·10²/4 = 78,54 mm².
Zona elàstica: σ = 15 700/78,54 = 199,9 MPa i ε = 0,0476/50 = 9,52·10^-4, per tant E = σ/ε = 199,9/9,52·10^-4 = 2,10·10⁵ MPa = 210 GPa (valor típic d'un acer, cosa que valida la mesura).
Límit elàstic: σ_e = 27 500/78,54 = 350 MPa.
Resistència a la tracció: σ_R = 41 200/78,54 = 525 MPa.
Allargament a la ruptura: A = (63,5 − 50)/50 = 0,27 → 27 %.
Estricció: Z = 1 − (6,4/10)² = 0,590 → 59 %.

b) σ_adm = 350/2 = 175 MPa; S ≥ 18 000·2/350,1 = 102,8 mm²; d ≥ √(4·102,8/π) = 11,4 mm → s'agafaria d = 12 mm.

c) Amb d = 20 mm la secció és 4 vegades més gran (la secció va amb el quadrat del diàmetre), de manera que F_e ≈ 110 kN i F_màx ≈ 165 kN, quatre vegades més. En canvi, σ_e i σ_R serien les mateixes (350 i 525 MPa): són propietats del material, i precisament per això els assaigs es donen en tensions i no en forces. (L'allargament A % sí que depèn una mica de la geometria; per això les normes fixen la relació entre L₀ i S₀ de la proveta.)

d) Un 27 % d'allargament i un 59 % d'estricció indiquen un acer clarament dúctil: abans de trencar-se es deforma molt i forma un coll visible. És el comportament que volem en una peça de seguretat, perquè la deformació plàstica avisa (es veu, fa soroll, absorbeix energia) abans de la ruptura. A més, σ_e/σ_R = 0,67 deixa un bon marge entre el moment en què la peça comença a quedar deformada i el moment en què es trenca.

Errors típics

• Calcular la tensió de ruptura amb la secció final (6,4 mm): la tensió convencional de l'assaig es calcula sempre amb la secció inicial.
• Confondre l'allargament a la ruptura (longituds) amb l'estricció (seccions).
• Dir que una proveta més gruixuda dona un límit elàstic més gran: dona una força més gran, però la mateixa tensió.
• Oblidar passar la deformació a valor adimensional (ΔL/L₀) abans de calcular E.

Conceptes treballats: assaig de tracció, diagrama tensió-deformació, mòdul elàstic, límit elàstic, resistència a la tracció, ductilitat (A % i Z %), coeficient de seguretat.

a) Assaig 1: √(100 − 17,64) = 9,075; D − 9,075 = 0,925; HB = 2·3000/(π·10·0,925) = 206 HB.
Assaig 2: √(25 − 4,41) = 4,538; D − 4,538 = 0,462; HB = 2·750/(π·5·0,462) = 206 HB.
Assaig 3: √(25 − 12,96) = 3,470; D − 3,470 = 1,530; HB = 2·3000/(π·5·1,530) = 250 HB.

b) Als assaigs 1 i 2, F/D² = 3000/100 = 750/25 = 30 i la relació d/D és la mateixa (0,42): les empremtes són geomètricament semblants i la duresa coincideix, com ha de passar en un mateix material. A l'assaig 3, F/D² = 3000/25 = 120: la càrrega és quatre vegades massa gran per a aquella bola; l'empremta és molt profunda (d/D = 0,72, fora de l'interval 0,25–0,6), la bola es pot deformar i el material al voltant s'endureix per deformació. El valor obtingut no és comparable amb els altres i s'ha de descartar.

c) σ_R ≈ 3,45·206 = 711 MPa ≥ 650 MPa → el lot s'accepta, amb un marge del 9 %. Si s'hagués fet servir l'assaig 3 (250 HB → 861 MPa), s'hauria arribat a la mateixa decisió, però per casualitat: amb un material més just, un assaig mal fet podria fer acceptar un lot defectuós.

d) L'empremta és petita i es pot fer en una zona no crítica, de manera que la peça continua sent útil: per això la duresa serveix per controlar el 100 % de la producció. Però la relació amb σ_R és només aproximada i val per a acers; i una empremta no diu res del límit elàstic, del mòdul elàstic ni, sobretot, de la ductilitat (A %, Z %) o la tenacitat. Per això l'assaig de tracció es continua fent sobre provetes per caracteritzar el material, i la duresa es fa servir per comprovar que cada peça és com la mostra assajada.

Errors típics

• Fer servir F en newtons a la fórmula, que està definida amb F en kgf.
• Pensar que la duresa és independent de les condicions d'assaig: només ho és si F/D² es manté constant.
• Prendre σ_R ≈ 3,45·HB com una llei exacta i vàlida per a qualsevol material.

Conceptes treballats: assaig Brinell, semblança geomètrica de les empremtes (F/D²), relació duresa-resistència, assaigs destructius i no destructius, control de qualitat.

a) h₀ = 0,75·(1 − cos 150°) = 0,75·(1 + 0,866) = 1,400 m; E₀ = 20·9,81·1,400 = 274,6 J.

b) Energia que li queda al pèndol a l'altura final i energia absorbida:
• 20 °C: h₁ = 0,75·(1 − cos 60°) = 0,375 m → 73,6 J; absorbida = 274,6 − 73,6 = 201 J; resiliència = 201/0,8 = 251 J/cm².
• −20 °C: h₁ = 0,75·(1 − cos 120°) = 1,125 m → 220,7 J; absorbida = 53,9 J; resiliència = 67 J/cm².
• −40 °C: h₁ = 0,75·(1 − cos 140°) = 1,325 m → 259,9 J; absorbida = 14,7 J; resiliència = 18 J/cm².

c) A −20 °C absorbeix 53,9 J ≥ 27 J: és apte per a l'estació d'esquí, amb un marge raonable. A −40 °C només absorbeix 14,7 J < 27 J: no seria apte; caldria un acer d'una qualitat garantida a temperatures més baixes.

d) L'energia absorbida cau de 201 J a 14,7 J en 60 °C: l'acer passa d'un comportament dúctil (es deforma i absorbeix molta energia abans de trencar-se) a un comportament fràgil (es trenca de cop, sense avisar). Aquest canvi es produeix en un interval de temperatures (la zona de transició), que en aquest acer és entre −20 °C i −40 °C. El límit elàstic gairebé no canvia amb aquesta baixada de temperatura, de manera que un càlcul estàtic diria que l'estructura és segura; però un cop, una vibració o una petita esquerda podrien provocar una fractura fràgil sobtada. Per això les normes d'acers estructurals exigeixen una energia Charpy mínima a la temperatura de servei.

Errors típics

• Mesurar l'altura com L·cos α en lloc de L·(1 − cos α), o prendre l'angle respecte de l'horitzontal.
• Donar com a energia absorbida l'energia final del pèndol en lloc de la diferència.
• Pensar que la tenacitat d'un acer és una propietat constant: depèn molt de la temperatura.
• Dividir l'energia per la secció total de la proveta en lloc de la secció sota l'entalla.

Conceptes treballats: assaig de resiliència Charpy, conservació de l'energia mecànica, tenacitat, transició dúctil-fràgil, selecció de materials segons les condicions de servei.

a) El diàmetre interior ha de passar de 49,95 a 50,00 + 0,03 = 50,03 mm, és a dir, Δd = 0,08 mm.
ΔT = Δd/(α·d) = 0,08/(23·10^-6·49,95) = 69,6 K → cal escalfar l'anell fins a uns 90 °C.

b) Ara és l'eix el que s'ha d'encongir fins a 49,95 − 0,03 = 49,92 mm: Δd = 0,08 mm.
ΔT = 0,08/(12·10^-6·50) = 133 K → T = 20 − 133 = −113 °C. El gel sec (−78 °C) no n'hi ha prou; caldria nitrogen líquid. L'acer es dilata menys que l'alumini, i per això cal un salt tèrmic gairebé el doble: en aquest cas és molt més pràctic escalfar l'anell.

c) La interferència és 50,00 − 49,95 = 0,05 mm. Deformació circumferencial: ε = 0,05/49,95 = 1,0·10^-3. Tensió: σ = E·ε = 69 000·1,0·10^-3 = 69 MPa < 160 MPa: l'anell treballa en zona elàstica (coeficient de seguretat ≈ 2,3) i, per tant, «estreny» l'eix de manera permanent. (És una estimació per excés: en realitat l'eix també es comprimeix una mica.)

d) Si les dues peces s'escalfen ΔT, el forat creix α_Al·d·ΔT i l'eix α_acer·d·ΔT. La interferència disminueix (α_Al − α_acer)·d·ΔT = 11·10^-6·50·ΔT mm. S'anul·la quan 11·10^-6·50·ΔT = 0,05 → ΔT = 91 K → T ≈ 111 °C. A 120 °C l'anell quedaria fluix i podria patinar: el disseny no és vàlid per a aquesta temperatura de servei. Caldria més interferència (vigilant que la tensió no superi σ_e), un anell d'acer, o una unió mecànica (clavetes, estries). És un cas típic en què combinar materials de coeficients de dilatació diferents dona problemes.

Errors típics

• Calcular només el salt necessari per anul·lar la interferència i oblidar el joc de muntatge.
• Pensar que, en escalfar l'anell, el forat es fa més petit perquè el material «creix cap endins»: un forat es dilata com si fos del mateix material.
• Oblidar que a la temperatura de servei s'escalfen totes dues peces: el que importa és la diferència de dilatacions.

Conceptes treballats: dilatació tèrmica, coeficient de dilatació lineal, ajustos amb interferència, llei de Hooke, compatibilitat de materials a temperatura de servei.

a) BCC: V/àtom = 0,2904³/2 = 0,024 49/2 = 0,01225 nm³.
FCC: V/àtom = 0,3647³/4 = 0,048 51/4 = 0,01213 nm³.
Canvi: (0,01213 − 0,01225)/0,01225 = −0,97 %: en passar a FCC el ferro ocupa un 1 % menys de volum, tot i que s'està escalfant.

b) Massa d'un àtom: 55,85/6,022·10²³ = 9,274·10^-23 g.
BCC: ρ = 2·9,274·10^-23/(0,2904·10^-7 cm)³ = 7,57 g/cm³.
FCC: ρ = 4·9,274·10^-23/(0,3647·10^-7 cm)³ = 7,65 g/cm³. (Són més baixes que els 7,87 g/cm³ del ferro a temperatura ambient perquè a 912 °C la xarxa ja està dilatada.)

c) BCC: r = √3·0,2904/4 = 0,1257 nm. FCC: r = 0,3647/(2√2) = 0,1289 nm. L'àtom «aparent» és un 2,5 % més gran en FCC. Si el radi fos el mateix, el volum per àtom baixaria en proporció 0,68/0,74, un 8 %; però com que el radi creix un 2,5 % (el volum de cada esfera, un 7,7 %), els dos efectes gairebé es compensen i el resultat net és només un −1 %. Per tant, comparar factors d'empaquetament només és vàlid si els àtoms tenen la mateixa mida a totes dues estructures.

d) En escalfar, la barra es dilata, però en arribar a 912 °C (o a la temperatura de transformació de l'acer, A₃) la xarxa es reorganitza en una estructura més compacta i la barra s'escurça de cop. En el tremp passa el contrari i encara més accentuat: l'austenita (FCC) es transforma en martensita, d'un volum específic més gran. Com que la superfície es refreda i es transforma abans que el nucli, les diferents parts de la peça canvien de volum en moments diferents, apareixen tensions internes i la peça es pot deformar o esquerdar. Per això en peces complexes es fa servir un medi de tremp més suau (oli) o es fa un revingut tot seguit.

Errors típics

• Calcular el volum per àtom sense dividir pel nombre d'àtoms de la cel·la.
• Oblidar passar els nanòmetres a centímetres (1 nm = 10^-7 cm) en calcular la densitat.
• Deduir directament del factor d'empaquetament que el volum canvia un 9 %.
• Pensar que un material sempre es dilata en escalfar-se: els canvis de fase poden provocar contraccions.

Conceptes treballats: estructures cristal·lines BCC i FCC, al·lotropia del ferro, densitat teòrica, factor d'empaquetament, dilatometria, tractaments tèrmics (tremp).

a) La tensió no és constant: es repeteix milers de vegades per minut. Les tensions cícliques fan créixer microesquerdes (que solen començar en ratlles, canvis de secció o inclusions) fins que la secció que queda no aguanta i es trenca de cop. Això passa sempre que la tensió alternada supera el límit de fatiga (270 MPa), encara que estigui lluny de σ_R.

b) σ₁ = 0,9·600 = 540 MPa a 10³ cicles; σ₂ = 270 MPa a 10⁶ cicles.
log N = 3 + 3·log(540/320)/log(540/270) = 3 + 3·0,2272/0,3010 = 5,265 → N ≈ 1,8·10⁵ cicles.
Temps: 1,84·10⁵/1450 = 127 min ≈ 2,1 h. L'eix es trencaria el primer dia de funcionament: el disseny és inacceptable.

c) Tensió objectiu: 270/1,5 = 180 MPa. d = 30·(320/180)^1/3 = 30·1,211 = 36,3 mm → d = 37 mm. Comprovació: σ = 320·(30/37)³ = 171 MPa ≤ 180 MPa.

d) Les esquerdes de fatiga neixen a la superfície, sobretot a les ratlles de mecanitzat, que actuen com a concentradors de tensió. Polir-les fa que el límit de fatiga real de la peça s'acosti al de les provetes d'assaig (que ja estan polides). Però el problema aquí és que la tensió (320 MPa) supera el límit de fatiga del material fins i tot en condicions ideals: cap acabat superficial no pot donar vida il·limitada. Cal reduir la tensió (més diàmetre), canviar de material o reduir la càrrega.

Errors típics

• Comprovar l'eix comparant la tensió amb σ_R o amb σ_e, com si la càrrega fos estàtica.
• Interpolar linealment en escala normal en lloc de fer-ho en escala logarítmica.
• Pensar que la tensió és inversament proporcional al diàmetre o a la secció (d²): en flexió és proporcional a 1/d³.
• Confondre cicles amb segons: cal dividir pel nombre de voltes per minut.

Conceptes treballats: fatiga, corba de Wöhler, límit de fatiga, concentració de tensions i acabat superficial, dimensionament d'eixos, escala logarítmica.

a) A 250 °C (per sobre del líquidus de 245 °C): només líquid. A 200 °C: α + líquid (zona pastosa). A 150 °C: α + β (sòlid).

b) A 200 °C: $f_{L}$ = $\tfrac{(40 - 17)}{(56 - 17)} = 0{,}590$ i $f_{α}$ = 0,410 → 1,18 kg de líquid i 0,82 kg d'α.
Just per sobre de 183 °C: $f_{L}$ = $\tfrac{(40 - 18{,}3)}{(61{,}9 - 18{,}3)} = 0{,}498$ i $f_{α}$ = 0,502 → 1,00 kg de líquid (de composició eutèctica) i 1,00 kg d'α primària.

c) Just per sota de 183 °C: $f_{α}$ = $\tfrac{(97{,}8 - 40)}{(97{,}8 - 18{,}3)}$ = 72,7 %; $f_{β}$ = 27,3 %. El líquid que quedava just per sobre de 183 °C (49,8 %) se solidifica de cop com a eutèctic (làmines alternades d'α i β); el 50,2 % restant és α primària, formada abans. Per tant, part de l'α total (72,7 %) és primària i part forma l'eutèctic.

d) L'aliatge del 40 % solidifica en un interval de 245 a 183 °C (62 °C): durant aquest interval és una pasta que el llauner pot modelar i allisar al voltant de la junta, com si fos màstic. En electrònica interessa el contrari: l'eutèctic passa de líquid a sòlid a una sola temperatura i a la més baixa possible (183 °C), així que solidifica de cop, escalfa menys els components i evita les «soldadures fredes» que apareixen si la peça es mou mentre l'aliatge és pastós. (Avui, per motius ambientals i de salut, en electrònica s'han substituït per aliatges sense plom, com Sn-Ag-Cu.)

Errors típics

• Aplicar la regla de la palanca al revés: la fracció d'una fase és proporcional al segment que hi ha a l'altre costat del punt.
• Fer servir la composició global de l'aliatge (40 %) com si fos la del líquid.
• Oblidar que, per sota de 183 °C, l'α total inclou l'α primària i l'α de l'eutèctic.
• Pensar que un aliatge sempre té un punt de fusió concret, com un metall pur: només l'eutèctic el té.

Conceptes treballats: diagrames d'equilibri de fases, aliatges, eutèctic, regla de la palanca, interval de solidificació, selecció de materials per a la unió.

a) HV = 1,8544/d²:
0,1 mm: 1,8544/0,0510² = 713 HV; 0,3 mm: 660 HV; 0,5 mm: 561 HV; 0,7 mm: 453 HV; 0,9 mm: 334 HV; 1,1 mm: 283 HV.

b) Els 550 HV queden entre 0,5 mm (561 HV) i 0,7 mm (453 HV):
z = 0,5 + 0,2·(561 − 550)/(561 − 453) = 0,5 + 0,2·0,102 = 0,52 mm ≥ 0,5 mm → compleix, però amb molt poc marge (0,02 mm); convindria revisar el temps de cementació dels lots següents.

c) Profunditat de l'empremta: 0,0510/7 ≈ 0,0073 mm = 7 µm. L'empremta és tan petita que mesura la duresa d'un punt concret de la capa, i se'n poden fer moltes en un perfil de 0,2 en 0,2 mm sense que s'interfereixin. Una bola Brinell de 10 mm deixaria una empremta de diversos mil·límetres de diàmetre i d'unes dècimes de profunditat: deformaria alhora la capa dura i el nucli i en donaria una mitjana sense sentit (a més, una bola d'acer es deformaria sobre una superfície tan dura).

d) Les dents d'un engranatge pateixen fregament i pressions de contacte molt altes a la superfície: una capa dura resisteix el desgast i la fatiga superficial (picades). Però també reben impactes i flexió a la base de la dent: si tota la peça fos tan dura seria fràgil i podria trencar-se. Un nucli més tou i tenaç absorbeix aquests cops. La cementació combina les dues propietats en una sola peça.

Errors típics

• Elevar al quadrat la diagonal en micres i la força en kgf: les unitats de la fórmula són kgf i mm.
• Interpolar amb profunditats que no són les dels dos punts que envolten 550 HV.
• Pensar que «més dur» sempre és millor: la duresa i la tenacitat solen ser propietats contraposades.

Conceptes treballats: assaig Vickers, perfil de duresa, tractaments termoquímics (cementació), interpolació lineal, duresa i tenacitat, control de qualitat.

a) A la politja de dalt: allà el cable suporta el pes de la gàbia i el pes de tot el cable (1000 m) que penja per sota. A prop de la gàbia només aguanta la gàbia.

b) σ_adm = 1770/5 = 354 MPa. Condició: m·g/S + ρ·g·L ≤ σ_adm → S = m·g/(σ_adm − ρ·g·L).
ρ·g·L = 7850·9,81·1000 = 77,0 MPa (és la tensió que provoca el pes propi, independentment de la secció).
S = 6000·9,81/(354·10⁶ − 77,0·10⁶) = 58 860/277·10⁶ = 2,12·10^-4 m² = 212 mm².
Sense el pes propi: S = 58 860/354·10⁶ = 166 mm²: la secció necessària és un 28 % més gran del que semblaria.
Massa del cable: 2,12·10^-4·1000·7850 = 1670 kg.

c) Per a 3000 m: ρ·g·L = 231 MPa; S = 58 860/(354 − 231)·10⁶ = 479 mm², i el cable pesa 11 270 kg, gairebé el doble que la càrrega útil. Triplicar la longitud ha fet més que doblar la secció: el pes propi «es menja» la tensió admissible i el disseny es dispara.

d) Amb m = 0: ρ·g·L_màx = σ_adm → L_màx = 354·10⁶/(7850·9,81) = 4,6 km (sense coeficient de seguretat, la «longitud de ruptura» seria de 23 km). No depèn de la secció perquè, si dobles la secció, també dobles el pes que ha d'aguantar: la tensió deguda al pes propi és ρ·g·L sigui quina sigui la secció. Solucions: pous de diverses etapes amb muntacàrregues successius, cables de secció variable (més gruixuts a dalt) o materials de més resistència específica (σ/ρ), com fibres sintètiques o de carboni.

Errors típics

• Ignorar el pes del cable en llargades grans: l'error és més gran com més llarg és el cable.
• Calcular la tensió màxima al punt d'enganxament de la gàbia en lloc de la part superior.
• Pensar que fent el cable més gruixut sempre es pot arribar més avall: la longitud màxima només depèn de σ/ρ.
• Barrejar MPa i Pa en la resta σ_adm − ρ·g·L.

Conceptes treballats: tensió de tracció, pes propi, coeficient de seguretat, resistència específica σ/ρ, longitud de ruptura, selecció de materials.