Exercicis de sistemes de control — Tecnologia i Enginyeria 2n Batxillerat

Avantatge: el llaç tancat corregeix les pertorbacions i desviacions gràcies a la realimentació, de manera que manté la sortida a la consigna amb precisió encara que canviïn les condicions. Inconvenient: és més complex i car (necessita sensor, comparador i electrònica de control) i, si està mal ajustat (per exemple, amb un guany massa alt), pot tornar-se inestable i oscil·lar.

Un sistema estable torna a l'equilibri després d'una pertorbació i la sortida s'assenta en un valor. Un d'inestable no s'estabilitza: la sortida oscil·la sense parar o es dispara cap a un extrem.

Dos avantatges: 1) FLEXIBILITAT: per canviar el funcionament només cal modificar el programa, sense haver de recablar físicament l'automatisme, cosa que estalvia temps i permet adaptar-lo fàcilment. 2) FIABILITAT I COMPACITAT: un PLC substitueix desenes de relés, contactors i temporitzadors per un sol dispositiu, de manera que ocupa menys espai, té menys connexions que es puguin fallar i és més fiable i fàcil de mantenir. També permet funcions complexes (temporitzacions, comptadors, comunicacions) impossibles o molt costoses amb relés.

a) Llaç obert: l'acció (el temps de cada fase) no depèn del resultat, i no hi ha cap sensor que mesuri la neteja de la roba.
b) Llaç tancat: el termòstat mesura la sortida (la temperatura), la compara amb la consigna i actua sobre la caldera segons l'error.
c) Llaç obert: el temporitzador actua sempre igual, tant si hi ha molts cotxes com si no n'hi ha cap; no mesura res de la sortida.
d) Llaç tancat: la brúixola mesura el rumb real, es compara amb el desitjat i l'error governa el timó.
Criteri: hi ha llaç tancat quan la sortida es mesura i es realimenta per comparar-la amb la consigna.

Variable controlada (sortida): el nivell de l'aigua del dipòsit.
Consigna (referència): els 2 m de nivell desitjat.
Sensor: el flotador, que converteix el nivell real en un senyal mesurable.
Comparador: el bloc que resta el nivell mesurat de la consigna i dona l'error (sovint va dins del mateix controlador).
Controlador: la unitat que, a partir de l'error, decideix quan s'ha d'engegar la bomba.
Actuador: la bomba, que actua sobre el procés omplint el dipòsit.
Pertorbació: el consum d'aigua, un efecte extern que fa variar la sortida sense que ho ordeni el controlador.

Dos blocs en paral·lel (que reben la mateixa entrada) sumen els guanys: G₂₃ = 3 + 5 = 8.
En sèrie els guanys es multipliquen: G = G₁·G₂₃ = 2·8 = 16.
Sortida: y = G·x = 16·0,5 = 8.
Comprovació pas a pas: després del primer bloc tenim 2·0,5 = 1, i els dos blocs en paral·lel donen 3·1 + 5·1 = 8.

Funció de transferència: M = G/(1 + G·H) = 19/(1 + 19·1) = 19/20 = 0,95.
Sortida: y = M·r = 0,95·40 = 38.
Error: e = r - y = 40 - 38 = 2, que és el 5 % de la consigna. També es pot calcular com e = r/(1 + G·H) = 40/20 = 2.
Amb només acció proporcional queda un error permanent; es redueix augmentant el guany, però no desapareix (per això s'afegeix l'acció integral).

Sensibilitat: S = ΔV/ΔT = (2,5 - 0,5)/(100 - 20) = 2/80 = 0,025 V/°C = 25 mV/°C.
A 60 °C: V = 0,5 + 0,025·(60 - 20) = 0,5 + 1,0 = 1,5 V.
Per a 1,0 V: ΔT = (1,0 - 0,5)/0,025 = 20 °C, per tant T = 20 + 20 = 40 °C.
Comprovació: 40 °C és entre 20 °C i 60 °C, i 1,0 V és entre 0,5 V i 1,5 V; de fet, tots dos són el punt mitjà del seu interval.

a) Certa. En llaç obert l'acció no depèn de la sortida, així que no cal mesurar-la (només hi ha controlador i actuador).
b) Certa. e = r - y, on r és la consigna i y el valor que dona el sensor; el controlador treballa amb aquest error.
c) Falsa. El PLC repeteix el programa en cicle continu: llegeix les entrades, executa el programa, actualitza les sortides i torna a començar (el cicle dura pocs mil·lisegons).
d) Falsa. Això ho fa l'actuador (motor, vàlvula, resistència...). El sensor només mesura una magnitud i la converteix en un senyal que el controlador pot fer servir.

L'error és el signe del denominador. Amb realimentació negativa el comparador resta la realimentació: y = G·(r - H·y), d'on y·(1 + G·H) = G·r i, per tant, M = G/(1 + G·H). La fórmula amb «-» correspon a la realimentació positiva.
Valor correcte: M = 10/(1 + 10·0,2) = 10/3 = 3,33.
El resultat de l'alumne era absurd: un guany negatiu (-10) voldria dir que una consigna positiva donaria una sortida negativa. Amb realimentació negativa, el guany en llaç tancat és menor que el de la cadena directa (3,33 < 10).

En un sistema en LLAÇ OBERT, l'acció de control no depèn de la sortida: el sistema actua sense comprovar el resultat. Exemple: una rentadora que fa el programa per temps, o un reg per temporitzador, que funcionen igual tant si la feina ja està feta com si no.
En un sistema en LLAÇ TANCAT hi ha REALIMENTACIÓ: un sensor mesura la sortida real i la retorna a un comparador, que la resta de la consigna per obtenir l'error; aquest error governa el controlador, que corregeix contínuament el sistema. Exemple: un termòstat de calefacció, que mesura la temperatura, la compara amb la desitjada i encén o apaga la caldera segons calgui.
El paper de la realimentació és, doncs, permetre que el sistema es corregeixi a si mateix i mantingui la sortida a la consigna malgrat les pertorbacions, cosa que el llaç obert no pot fer.

Consigna: la velocitat que el conductor ha fixat (per exemple, 100 km/h). Sensor: el mesurador de velocitat (tacòmetre a les rodes), que mesura la velocitat real. Comparador: l'element que resta la velocitat mesurada de la consigna per obtenir l'error. Controlador: la unitat electrònica que decideix quanta acceleració cal. Actuador: el sistema que regula l'admissió de combustible/potència del motor.
Quan el cotxe puja una costa, la velocitat real baixa (pertorbació). El sensor ho detecta, el comparador dona un error positiu (consigna més gran que la real) i el controlador ordena a l'actuador que acceleri més fins que la velocitat torna a la consigna. Aquest és, precisament, l'avantatge del llaç tancat: corregeix la pertorbació de la costa automàticament.

Un sistema és INESTABLE quan, davant una pertorbació o un canvi de consigna, la seva resposta no torna a l'equilibri sinó que creix sense control o oscil·la amb amplitud cada cop més gran, fins a saturar-se o danyar-se.
Un guany massa elevat pot provocar-ho perquè el sistema SOBRECORREGEIX l'error: davant una petita desviació respon amb una acció exagerada que passa de llarg de la consigna cap a l'altre costat, generant un nou error gran de signe contrari, que torna a corregir de manera exagerada, i així successivament. Combinat amb els retards inevitables del llaç, aquest sobrecorregiment fa que les oscil·lacions creixin en lloc d'esmorteir-se. Per això el guany s'ha d'ajustar: prou alt per respondre ràpid, però no tant com per desestabilitzar el sistema.

Un PLC (autòmat programable) és un dispositiu electrònic industrial que controla màquines i processos executant un programa. Substitueix la lògica cablejada de relés per una lògica programada, molt més flexible.
El seu cicle de funcionament té tres etapes que es repeteixen contínuament: 1) ENTRADES: llegeix l'estat dels sensors i polsadors connectats a les seves entrades (per exemple, un final de cursa, un detector de presència o un botó de marxa); 2) PROGRAMA (CPU): executa la lògica programada, que segons les entrades decideix quines sortides cal activar; 3) SORTIDES: actualitza les sortides activant o desactivant els actuadors (per exemple, un motor, una electrovàlvula o un llum de senyalització).
Aquest cicle llegir-executar-actualitzar es repeteix moltes vegades per segon.

La banda d'histèresi és de 21 - 19 = 2 °C.
Temps connectat: t_on = 2/0,8 = 2,5 min. Temps desconnectat: t_off = 2/0,4 = 5 min.
Durada del cicle: T = 2,5 + 5 = 7,5 min.
Percentatge de temps connectat: 2,5/7,5 = 0,333, és a dir, el 33 %.
Com que la temperatura puja i baixa linealment entre 19 i 21 °C, la mitjana és d'uns 20 °C (el punt mitjà de la banda).
Si s'estrenyés la histèresi, la temperatura oscil·laria menys, però l'escalfador es connectaria i es desconnectaria més sovint (més desgast).

Un convertidor de 10 bits té $2^{10}$ = 1024 nivells. Resolució: 5 $\tfrac{V}{1024} = 4{,}88$ mV per pas.
Com que el sensor dona 10 mV/°C, un pas equival a $\tfrac{4{,}88}{10} = 0{,}49$ °C: no es poden distingir variacions de temperatura inferiors a mig grau.
A 25 °C el sensor dona 25·10 = 250 mV, i el nombre digital és $\tfrac{0{,}25}{5}$·1024 = 51,2, que s'arrodoneix a 51.
La temperatura màxima és la que fa arribar el sensor a 5 V: $\tfrac{5}{0{,}01} = 500$ °C.
Per millorar la resolució cal un convertidor amb més bits (amb 12 bits seria 1,22 mV, uns 0,12 °C) o amplificar el senyal del sensor perquè ocupi tot el marge d'entrada.

a) Proporcional: K_p·e = 3·2 = 6. Integral: K_i·∫e dt = 0,5·(2·10) = 10. Derivativa: l'error no canvia, de/dt = 0, per tant 0. Total: u(10) = 6 + 10 + 0 = 16.
b) A t = 4 s, e = 0,5·4 = 2 °C. Proporcional: 3·2 = 6. Integral: ∫₀⁴ 0,5·t dt = 0,25·4² = 4, i 0,5·4 = 2. Derivativa: de/dt = 0,5 °C/s, per tant 2·0,5 = 1. Total: u(4) = 6 + 2 + 1 = 9.
Fixa't que, amb error constant, l'acció integral va creixent amb el temps (acumula l'error), mentre que la derivativa només reacciona quan l'error canvia.

El TON compta mentre I = 1 i es reinicia quan I passa a 0. Q només val 1 quan el compte ha arribat a 3 s.
Primer pols: I = 1 de t = 1 s a t = 3 s, només 2 s < 3 s, així que el temporitzador es reinicia abans d'acabar i Q no s'activa mai.
Segon pols: I = 1 de t = 5 s a t = 9 s (4 s). El compte arriba als 3 s a t = 5 + 3 = 8 s i Q s'activa; es desactiva a t = 9 s, quan I torna a 0.
Valors de Q: t = 2 s → 0; t = 4 s → 0; t = 6 s → 0 (el compte va per 1 s); t = 7 s → 0 (el compte va per 2 s); t = 8,5 s → 1; t = 10 s → 0.
Així un temporitzador a la connexió filtra els senyals curts: la cinta només es posa en marxa si la presència dura almenys 3 s seguits.

El guany de la cadena directa és G = K·G₀ = 4K, i M = G/(1 + G).
L'error relatiu és e/r = 1/(1 + G). Volem 1/(1 + G) ≤ 0,05 → 1 + G ≥ 20 → G ≥ 19 → 4K ≥ 19 → K ≥ 4,75.
Amb K = 4,75: G = 19, M = 19/20 = 0,95 i la sortida és y = 0,95·200 = 190 °C, amb un error e = 200 - 190 = 10 °C (el 5 % de 200).
Inconvenient de pujar molt K: l'error permanent baixa, però el sistema es torna més oscil·latori i pot arribar a ser inestable, i l'actuador pot saturar. A més, amb només acció proporcional mai no s'arriba a error zero.

H = 0,15: G·H = 0,75 i M = 5/(1 - 0,75) = 5/0,25 = 20. La realimentació positiva ha multiplicat el guany per 4 (de 5 a 20).
H = 0,2: G·H = 1, el denominador és 0 i M tendeix a infinit: la sortida creix sola, sense cap entrada, fins que l'element satura. El sistema és inestable (així funcionen els oscil·ladors i els biestables).
H = 0,25: G·H = 1,25 i M = 5/(1 - 1,25) = -20: el resultat matemàtic no té sentit físic, perquè en realitat el sistema satura.
Amb realimentació negativa i H = 0,15: M = 5/(1 + 0,75) = 2,86, un guany menor que G, però estable i molt menys sensible a les variacions de G.
Resum: la realimentació positiva augmenta el guany i fa perdre l'estabilitat; la negativa el redueix i l'estabilitza.

Model de resposta:
Proporcional (P): dona una sortida proporcional a l'error actual. Fa que el sistema reaccioni de pressa, però deixa un error permanent i, si el guany és massa gran, el sistema oscil·la o es torna inestable.
Integral (I): suma l'error acumulat al llarg del temps i continua augmentant la sortida mentre hi hagi error, de manera que elimina l'error permanent. Si és massa forta, provoca sobrepuig (la sortida passa de la consigna) i oscil·lacions lentes.
Derivativa (D): reacciona a la velocitat de canvi de l'error i s'anticipa, de manera que frena el sobrepuig i estabilitza. Amplifica el soroll de la mesura i per això se sol fer servir poc.
Per això el PID combina les tres accions: la P dona rapidesa, la I elimina l'error final i la D amorteix les oscil·lacions.

a) La cadena directa són dos blocs en sèrie, així que es multipliquen: G = 2·10 = 20.
b) Funció de transferència en llaç tancat: M = $\tfrac{(G)}{(1 + G\cdot H)}$.
M = $\tfrac{(20)}{(1 + 20\cdot 0{,}5)}$ = $\tfrac{(20)}{(1 + 10)}$ = $\tfrac{(20)}{(11)} = 1{,}82$.
EL PARANY: no oblidar el terme 1 + G·H del denominador; sense la realimentació, el guany seria 20, però el llaç tancat el redueix a 1,82.

a) M = $\tfrac{(G)}{(1 + G\cdot H)}$ = $\tfrac{(50)}{(1 + 50\cdot 0{,}2)}$ = $\tfrac{(50)}{(1 + 10)}$ = $\tfrac{(50)}{(11)} = 4{,}55$.
b) Volem M = 0,5 amb G = 50: 0,5 = $\tfrac{(50)}{(1 + 50\cdot H)}$.
Aïllem el denominador: 1 + 50·H = $\tfrac{(50)}{(0{,}5)} = 100$, d'on 50·H = 99 i H = 1,98.
Cal una realimentació H = 1,98. Es veu que augmentar H (més realimentació) redueix el guany global i, en general, ajuda a l'estabilitat.

a) Cal que M estigui premut (M = 1) I que E no ho estigui (E = 0, és a dir NOT E). La funció és S = M·$\bar{E}$ (M AND NOT E).
b) Taula de veritat (M, E → S):

• M = 0, E = 0 → S = 0 (no s'ha premut marxa).
• M = 0, E = 1 → S = 0.
• M = 1, E = 0 → S = 1 (marxa premuda i emergència lliure: engega).
• M = 1, E = 1 → S = 0 (l'aturada d'emergència ho impedeix).

c) El motor s'engega en UNA sola combinació: M = 1 i E = 0.

a) Llaç interior: M₂ = G₂/(1 + G₂·H₂) = 5/(1 + 5·0,2) = 5/2 = 2,5.
b) El llaç interior queda en sèrie amb G₁, de manera que la cadena directa del llaç exterior és G = G₁·M₂ = 10·2,5 = 25. Llaç exterior: M = G/(1 + G·H₁) = 25/(1 + 25·0,1) = 25/3,5 = 7,14.
c) Sortida: y = M·r = 7,14·14 = 100 (exactament, 25·14/3,5 = 100).
Comprovació: la sortida es realimenta al comparador exterior amb 0,1·100 = 10; el senyal que entra a la cadena directa és 14 - 10 = 4, i 4·25 = 100.
Per resoldre llaços imbricats es redueix primer el llaç més interior i es va avançant cap a fora.

a) y = G₂·(K·(r - y) + d). Desenvolupem: y·(1 + K·G₂) = K·G₂·r + G₂·d, per tant y = [K·G₂/(1 + K·G₂)]·r + [G₂/(1 + K·G₂)]·d = (20/21)·r + (2/21)·d.
b) Amb d = 0: y = 2000/21 = 95,2. Amb d = -10: y = 95,2 - 20/21 = 95,2 - 0,95 = 94,3. La pertorbació només treu 0,95 unitats a la sortida (aproximadament un 1 %).
c) En llaç obert, y = G₂·(u + d), amb u escalada per donar 100 sense pertorbació. Amb d = -10: y = 100 + 2·(-10) = 80, és a dir, la sortida baixa 20 unitats (un 20 %).
Conclusió: la pertorbació afecta la sortida G₂ = 2 vegades en llaç obert i només G₂/(1 + K·G₂) = 2/21 = 0,095 vegades en llaç tancat: la realimentació la redueix 21 vegades. Aquest és el gran avantatge del llaç tancat.

a) Cadena directa: G = 20·3 = 60 (rad/s)/V. Realimentació: H = 0,04 V/(rad/s). G·H = 60·0,04 = 2,4 (sense unitats). M = G/(1 + G·H) = 60/(1 + 2,4) = 60/3,4 = 17,65 (rad/s)/V.
b) ω = M·r = 17,647·5 = 88,24 rad/s. En rpm: 88,24 rad/s·(60 s/min)/(2π rad/volta) = 88,24·9,549 = 843 rpm.
c) Nou guany de la cadena directa: G' = 20·2,7 = 54. M' = 54/(1 + 54·0,04) = 54/3,16 = 17,089 (rad/s)/V i ω' = 17,089·5 = 85,44 rad/s. Caiguda relativa: (88,24 - 85,44)/88,24 = 3,2 %.
En llaç obert la velocitat és proporcional al guany del motor, i baixaria el mateix 10 %.
Conclusió: gràcies a la realimentació, una variació del 10 % del motor només canvia un 3 % la velocitat; com més gran és G·H, menys sensible és el sistema a les variacions de la planta.

a) Entre els dos sensors (N_b = 1 i N_a = 0) la bomba pot estar engegada o aturada segons el que passava abans: si el nivell baixa, és aturada; si puja, és engegada. La mateixa combinació d'entrades dona dues sortides possibles, i per això cal memòria: el circuit és seqüencial i es fa amb automanteniment (la sortida es realimenta a l'entrada).
Equació: $B = (\overline{N_b} + B)\cdot\overline{N_a}$, on el B de la dreta és l'estat anterior. La bomba s'activa amb nivell baix ($\overline{N_b}$ = 1), es manté a si mateixa amb B i es desactiva quan N_a = 1.
b) Pas a pas: (1, 1): (0 + 0)·0 = 0; (1, 0): (0 + 0)·1 = 0; (0, 0): (1 + 0)·1 = 1; (1, 0): (0 + 1)·1 = 1; (1, 1): (0 + 1)·0 = 0; (1, 0): (0 + 0)·1 = 0.
Seqüència de B: 0, 0, 1, 1, 0, 0.
Observa que el segon i el quart estat tenen les mateixes entrades (N_b = 1, N_a = 0) i la sortida és diferent: és la memòria. Aquesta histèresi evita que la bomba s'engegui i s'aturi sense parar al voltant d'un sol nivell.

a) El PLC converteix 20 mA en 4095, de manera que cada mA correspon a 4095/20 = 204,75 unitats. A 0 bar, 4 mA → 4·204,75 = 819. A 10 bar, 20 mA → 4095.
b) Lectura 2048: I = 2048/204,75 = 10,00 mA. La pressió és lineal entre 4 mA (0 bar) i 20 mA (10 bar): P = (10,00 - 4)/(20 - 4)·10 = 6,00/16·10 = 3,75 bar. Per l'altra via: (2048 - 819)/(4095 - 819)·10 = 1229/3276·10 = 3,75 bar.
c) El marge útil ocupa 4095 - 819 = 3276 unitats per a 10 bar: la resolució és 10/3276 = 0,0031 bar, uns 3 mbar.
d) Amb el zero «viu» a 4 mA es pot distingir una mesura de 0 bar (4 mA) d'una avaria: si es trenca el cable o el transmissor es queda sense alimentació, el senyal cau a 0 mA, un valor fora de rang que el PLC pot detectar com a alarma.

a) L'error e[k] = r - y[k] compleix e[k+1] = e[k] - 0,8·K·e[k] = (1 - 0,8·K)·e[k], amb e[0] = 10.
K = 1: factor 0,2; y = 0, 8, 9,6, 9,92, 9,984. K = 2: factor -0,6; y = 0, 16, 6,4, 12,16, 8,704. K = 3: factor -1,4; y = 0, 24, -9,6, 37,44, -28,416.
b) K = 1: s'aproxima a 10 sense passar-se (amortit). K = 2: passa de la consigna i oscil·la al voltant de 10 amb amplitud decreixent (factor negatiu de valor absolut menor que 1). K = 3: oscil·la amb amplitud creixent (factor -1,4): és inestable.
c) L'error s'esvaeix si |1 - 0,8·K| < 1, és a dir, 0 < K < 2,5. Per a K = 2,5 el factor és -1 i l'oscil·lació no s'amorteix mai; per a K > 2,5 és inestable.
Conclusió: un guany massa alt pot fer inestable un sistema que amb un guany moderat funcionava bé; per això el guany d'un controlador no es pot augmentar indefinidament.

a) K·G = 5·4/(200·s + 1) = 20/(200·s + 1). M(s) = 20/(200·s + 21) = 0,952/(9,52·s + 1). Guany estàtic: 0,952; constant de temps: τ_lt = 200/21 = 9,52 s. Valor final: ΔT = 0,952·280 = 266,7 °C (T = 286,7 °C). Error estacionari: 280 − 266,7 = 13,3 °C (4,8 %). Potència en règim estacionari: u = K·e = 5·13,3 = 66,7 %, coherent amb ΔT = 4·66,7 = 266,7 °C: sense error el controlador proporcional no donaria cap potència, de manera que l'error és necessari perquè l'escalfador treballi.

b) Temps al 95 %: 3·τ_lt = 28,6 s. Però en t = 0, e = 280 °C i u = 5·280 = 1400 %: l'escalfador no pot donar-ho. El model lineal només és vàlid mentre u estigui entre 0 i 100 %, de manera que aquest temps no és realista.

c) Surt de la saturació quan 5·e ≤ 100, és a dir, e ≤ 20 °C → ΔT ≥ 260 °C. En saturació, ΔT = 400·(1 − e^−t/200) arriba a 260 °C a t = −200·ln(1 − 260/400) = 210 s. El 95 % de 266,7 °C és 253,3 °C, que es toca encara dins de la saturació: t = −200·ln(1 − 253,3/400) = 200,7 s, set vegades més que els 28,6 s teòrics. Després el forn s'acosta a 266,7 °C amb la constant de 9,5 s del llaç tancat. (Una simulació numèrica del sistema amb saturació dona també 200,6 s.)

d) 280/(1 + 4·K) < 5 → 1 + 4K > 56 → K > 13,75 → K = 14 %/°C (error 4,9 °C). Banda proporcional = 100/14 = 7,1 °C: només dins d'aquest marge d'error la potència és proporcional; fora, l'actuador és saturat. Fer K gran amplifica el soroll del sensor (el calefactor «tremola») i, si el sistema té retards no modelats (inèrcia de la sonda, del cos del forn), pot portar a oscil·lacions i inestabilitat. L'acció integral (regulador PI) elimina l'error estacionari amb un K moderat: mentre hi hagi error, la integral creix i augmenta la potència fins que l'error és zero.

Errors típics

• Aplicar el model lineal sense comprovar si el controlador demana més del 100 % de potència.
• Pensar que un controlador proporcional pot arribar a error zero en un sistema de tipus 0 (sense integrador).
• Oblidar que el model és respecte de l'ambient i donar 266,7 °C en lloc de 286,7 °C absoluts.

Conceptes treballats: sistemes de primer ordre, funció de transferència de llaç tancat, error en règim estacionari, control proporcional i banda proporcional, saturació de l'actuador, acció integral.

a) K = 25 mm/10 V = 2,5 mm/V. M_p = (30 − 25)/25 = 0,20 (20 %). ln(0,20) = −1,609. ζ = 1,609/√(9,870 + 2,590) = 0,456.

b) ω_d = π/t_p = π/0,80 = 3,93 rad/s. ω_n = ω_d/√(1 − ζ²) = 3,93/0,890 = 4,41 rad/s. ζ·ω_n = 2,01 s^-1, de manera que t_s ≈ 4/2,01 = 2,0 s. (La funció és G(s) = 2,5·19,5/(s² + 4,02·s + 19,5).)

c) El primer mínim és a 2·t_p = 1,6 s. L'excursió sobre el valor final al primer màxim és +5 mm; al segon extrem és −M_p·5 mm = −1 mm, de manera que el mínim és 24 mm. Cada excursió és la cinquena part de l'anterior: la resposta oscil·la 30, 24, 25,2… mm i es va «assentant» sobre 25 mm.

d) Per a M_p = 0,10: ln(0,10) = −2,303; ζ = 2,303/√(9,870 + 5,302) = 0,591. Amb ω_n = 4,41 rad/s: t_p = π/(4,41·√(1 − 0,591²)) = 0,88 s i t_s = 4/(0,591·4,41) = 1,5 s. Més amortiment redueix el sobrepuig i el temps d'establiment, però el temps de pic augmenta (de 0,80 a 0,88 s): la resposta és una mica més lenta en el primer tram, i en la pràctica augmentar l'amortiment sol costar guany de llaç (precisió) o velocitat.

Errors típics

• Calcular M_p dividint pel valor màxim i no pel valor final.
• Confondre ω_d amb ω_n en fer servir t_p = π/ω_d.
• Prendre el guany estàtic com a 30/10 (el valor de pic) en lloc de 25/10.

Conceptes treballats: sistemes de segon ordre, resposta a un esglaó, sobrepuig, coeficient d'amortiment i freqüència natural, temps de pic i d'establiment, identificació experimental de models.

a) s³ + 7·s² + 10·s + K = 0. Routh: fila s³: 1, 10; fila s²: 7, K; fila s¹: (7·10 − 1·K)/7 = (70 − K)/7; fila s⁰: K. Totes les entrades de la primera columna han de ser positives: (70 − K)/7 > 0 i K > 0. Per tant, el sistema és estable per a 0 < K < 70. A K = 70 és críticament estable i per a K > 70 és inestable.

b) A K_u = 70 la fila s¹ s'anul·la i l'equació auxiliar és 7·s² + 70 = 0 → s = ±j·√10: ω = 3,16 rad/s, període T_u = 2π/3,16 = 1,99 s. (El tercer pol és s = −7: la suma dels pols és −7.)

c) K = 20: pols en −5,88 i −0,56 ± 1,76·j. L'amortiment dels pols complexos és ζ = 0,56/1,85 = 0,30 i la part real petita (−0,56) vol dir oscil·lacions que triguen uns 7 s a esmorteir-se: no és un bon ajust encara que sigui estable. K = 100: pols en −7,46 i +0,23 ± 3,65·j: part real positiva → oscil·lacions que creixen, inestable. Estar a la zona estable no vol dir tenir una bona resposta: cal marge respecte del límit.

d) K_p = 0,6·70 = 42; T_i = 1,99/2 = 0,99 s; T_d = 1,99/8 = 0,25 s. El procediment només requereix un assaig amb el sistema real: es posa només l'acció proporcional, s'augmenta K fins que la sortida oscil·li amb amplitud constant i es mesuren K_u i T_u. No cal cap model matemàtic, però l'assaig és delicat: el sistema es porta fins al límit de la inestabilitat i les regles donen ajustos força «nerviosos» que sovint es moderen a la pràctica.

Errors típics

• Considerar estable qualsevol K que només compleixi que el coeficient K sigui positiu.
• Confondre l'equació característica amb la funció de transferència (el numerador no hi surt).
• Pensar que un sistema estable és sempre un sistema ben ajustat.

Conceptes treballats: estabilitat de sistemes lineals, equació característica, criteri de Routh-Hurwitz, guany crític i oscil·lació sostinguda, pols del llaç tancat, ajust empíric de reguladors PID.

a) 15°/h = 15/3600 = 0,00417 °/s. Hi ha un integrador (un pol a s = 0): tipus 1. K_v = lim_s→0 s·G(s) = K. Error en rampa: e_ss = v/K_v = 0,00417/K (en graus). A un esglaó l'error és zero.

b) 0,00417/K ≤ 0,1 → K ≥ 0,0417 s^-1. Equació característica: 20·s² + s + K = 0 → s² + 0,05·s + K/20 = 0. ω_n = √(0,0417/20) = 0,0456 rad/s; 2·ζ·ω_n = 0,05 → ζ = 0,05/(2·0,0456) = 0,548. M_p = exp(−π·0,548/0,837) = 12,8 %. t_s = 4/(0,548·0,0456) = 4/0,025 = 160 s.

c) K = 0,00417/0,01 = 0,417 s^-1. ω_n = √(0,417/20) = 0,144 rad/s; ζ = 0,05/(2·0,144) = 0,173; M_p = 57,6 % i t_s continua sent 160 s (el producte ζ·ω_n = 0,025 és fix, perquè només depèn del terme 1/20). Un sobrepuig tan gran fa que el panell oscil·li molt en cada moviment: la precisió en rampa millora, però l'estabilitat relativa empitjora.

d) ζ = 0,05/(2·√(K/20)) = 0,707 → √(K/20) = 0,03536 → K = 20·0,00125 = 0,025 s^-1. Error de seguiment: 0,00417/0,025 = 0,167°. No es poden tenir alhora un error petit i un amortiment bo només amb K: cal afegir una acció derivativa (avanç de fase) per amortir, o una acció anticipativa: el moviment del sol és conegut (efemèrides), de manera que es pot enviar la velocitat de consigna directament al motor (pre-alimentació) i deixar al llaç la correcció dels petits errors.

Errors típics

• Aplicar la fórmula de l'error a la rampa a un sistema de tipus 0 (donaria infinit).
• Pensar que el sobrepuig només depèn de K i no del terme 1/20 de la planta.
• Oblidar passar els 15°/h a °/s.

Conceptes treballats: tipus de sistema i constants d'error, error de seguiment a una rampa, sistemes de segon ordre, compromís entre precisió i amortiment, control anticipatiu, energia solar.

a) k = 0: e = 10; u_c = 15; y[1] = 0 + 0,1·(0 + 30) = 3,0; I[1] = 4.
k = 1: e = 7; u_c = 10,5 + 4 = 14,5; y[2] = 3 + 0,1·(−3 + 29) = 5,6; I[2] = 4 + 2,8 = 6,8.
k = 2: e = 4,4; u_c = 6,6 + 6,8 = 13,4; y[3] = 5,6 + 0,1·(−5,6 + 26,8) = 7,72; I[3] = 6,8 + 1,76 = 8,56.
k = 3: e = 2,28; u_c = 3,42 + 8,56 = 11,98; y[4] = 7,72 + 0,1·(−7,72 + 23,96) = 9,344.

b) En règim estacionari, y[k+1] = y[k] → −y + 2·u = 0 → u = y/2. Com que la integral porta l'error a zero, y = r = 10 i u = 5; com que e = 0, u = I, de manera que I = 5. La potència de 5 és dins del límit de 6, de manera que en règim estacionari l'actuador no satura.

c) k = 0: u_c = 15 → u = 6; y[1] = 0 + 0,1·12 = 1,2; I[1] = 4.
k = 1: e = 8,8; u_c = 13,2 + 4 = 17,2 → u = 6; y[2] = 1,2 + 0,1·(−1,2 + 12) = 2,28; I[2] = 4 + 3,52 = 7,52.
k = 2: e = 7,72; u_c = 11,58 + 7,52 = 19,1 → u = 6; y[3] = 2,28 + 0,1·(−2,28 + 12) = 3,252; I[3] = 7,52 + 3,09 = 10,61.
El regulador demana 15, 17,2 i 19,1, però el calefactor només dona 6; la integral continua creixent (4; 7,5; 10,6…) perquè l'error és gran, encara que això no serveixi de res: s'acumula «càrrega» que després haurà de desfer-se.

d) Això és el windup de l'acció integral: mentre l'actuador està saturat, I creix molt per sobre del valor final (5). Quan la temperatura s'apropa a 10, l'error ja és petit, però la integral està tan carregada que u_c segueix sent superior al que cal i la temperatura passa de 10 (fins a 11,9 °C, un 19 % de sobrepuig) fins que l'error negatiu descarrega la integral: transitori llarg i amb sobrepuig. Congelant la integral mentre el calefactor és saturat (anti-windup per integració condicional), I no creix quan no serveix: en sortir de la saturació la integral té un valor raonable i el sobrepuig cau a 10,2 °C (2 %).

Errors típics

• Aplicar el límit del calefactor però seguir integrant l'error sense restriccions.
• Pensar que la u_c calculada pel regulador és la potència real del bany quan hi ha saturació.
• Oblidar actualitzar la integral amb l'error del mateix pas k (i no el de k + 1).

Conceptes treballats: control digital, regulador PI discret, període de mostreig, errors i règim estacionari, saturació de l'actuador, windup i anti-windup.

a) Connectat: $t_{on}$ = τ·ln[$\tfrac{(35 - 20{,}5)}{(35 - 21{,}5)}$] = 7200·ln($\tfrac{14{,}5}{13{,}5}$) = 515 s (8,6 min). Desconnectat: $t_{off}$ = τ·ln[$\tfrac{(21{,}5 - 5)}{(20{,}5 - 5)}$] = 7200·ln($\tfrac{16{,}5}{15{,}5}$) = 450 s (7,5 min).

b) Període: 515 + 450 = 965 s (16,1 min). Cicle de treball: $\tfrac{515}{965}$ = 53,3 %. Potència mitjana: 0,533·2 kW = 1,07 kW. Balanç: a 21 °C, les pèrdues són $\tfrac{(21 - 5)}{(35 - 5)}$·2 kW = 1,067 kW; el calefactor només ha d'estar connectat el $\tfrac{16}{30} = 53{,}3$ % del temps: coincideix.

c) T_∞ = 25 °C amb calefactor i −5 °C sense. $t_{on}$ = 7200·ln[$\tfrac{(25 - 20{,}5)}{(25 - 21{,}5)}$] = 7200·ln($\tfrac{4{,}5}{3{,}5}$) = 1809 s (30 min); $t_{off}$ = 7200·ln[$\tfrac{(21{,}5 + 5)}{(20{,}5 + 5)}$] = 7200·ln($\tfrac{26{,}5}{25{,}5}$) = 277 s. Cicle de 2086 s (34,8 min); cicle de treball: 86,7 % (balanç: $\tfrac{26}{30} = 86{,}7$ %). Com més fred fa, més temps està connectat; amb una calefacció just superior a les necessitats, el cicle de treball s'apropa al 100 % i la temperatura es recupera cada cop més lentament.

d) Amb ±2 °C (de 19 a 23 °C) i 5 °C a fora: $t_{on}$ = 7200·ln[$\tfrac{(35 - 19)}{(35 - 23)}$] = 7200·ln($\tfrac{16}{12}$) = 2071 s; $t_{off}$ = 7200·ln[$\tfrac{(23 - 5)}{(19 - 5)}$] = 7200·ln($\tfrac{18}{14}$) = 1809 s. Cicle: 3881 s (64,7 min) → 22,3 cicles/dia, és a dir, uns 44,5 maniobres/dia (el cicle de treball continua sent 53,4 %). Amb ±0,5 °C: 86 $\tfrac{400}{965} = 89{,}5$ cicles/dia → 179 maniobres/dia. El relé de 100 000 maniobres durarà 100 $\tfrac{000}{179} \approx 558$ dies (1,5 anys) amb ±0,5 °C i 100 $\tfrac{000}{44{,}5} \approx 2250$ dies (6,2 anys) amb ±2 °C. Compromís: una histèresi petita manté la temperatura més estable, però desgasta els contactes (i el compressor o la caldera, si n'hi ha); una histèresi gran allarga la vida dels elements, però dona oscil·lacions de temperatura més amples (±2 °C es nota en el confort).

Errors típics

• Fer servir la mateixa T_∞ en escalfar i en refredar.
• Pensar que el cicle de treball és 50 % perquè «puja i baixa el mateix».
• Comptar un cicle com una sola maniobra del relé (en són dues: connexió i desconnexió).

Conceptes treballats: control de tot-o-res, histèresi, resposta d'un sistema tèrmic de primer ordre, cicle de treball, balanç d'energia, fiabilitat dels elements de maniobra.

a) El nivell és la integral de (cabal d'entrada − cabal de sortida)/capacitat: és un integrador. Amb el regulador P: 2000·dh/dt = 10·(3 − h) − d → τ = 2000/10 = 200 s. En règim estacionari, dh/dt = 0 → 10·(3 − h) = d = 5 → h = 3 − 0,5 = 2,5 m. Error estacionari: 0,5 m (17 % de la consigna). Obertura: u = 20·0,5 = 10 % (0,5·10 = 5 L/s: coincideix amb el consum).

b) El regulador proporcional només dona obertura si hi ha error (u = K_p·e): perquè la vàlvula doni els 5 L/s cal un error de 0,5 m. Si el consum doblés (10 L/s), l'error doblaria: 1 m, i el nivell s'estabilitzaria en 2 m. El P no pot fer error zero davant d'un consum constant diferent de zero.

c) Amb el PI l'equació característica és 2000·s² + 10·s + 10/400 = 0, és a dir, s² + 0,005·s + 1,25·10^-5 = 0. ω_n = √(1,25·10^-5) = 0,00354 rad/s; ζ = 0,005/(2·0,00354) = 0,707. Sobrepuig: exp(−π·0,707/0,707) = e^−π = 4,3 %; t_s ≈ 4/(ζ·ω_n) = 1600 s.

d) Amb el PI, el nivell cau fins a 2,68 m uns 314 s després de l'esglaó i després l'acció integral va augmentant l'obertura de la vàlvula fins que es recupera el nivell exacte: l'error final és zero. Amb el P, el nivell es queda a 2,5 m per sempre. Cap dels dos compleix el requisit de no baixar de 2,9 m: el P pel seu error estacionari, i aquest PI perquè la caiguda transitòria és massa gran. Com que l'acció integral només afegeix obertura quan l'error és positiu, el PI no baixa mai tant com el P amb la mateixa K_p: n'hi ha prou de fer que el P compleixi el límit, 5/(0,5·K_p) ≤ 0,1 m → K_p ≥ 100 %/m. Amb K_p = 100 %/m i T_i = 80 s (que manté ζ = 0,71) una simulació dona un mínim de 2,94 m i error final zero. Es tria, doncs, un PI amb guany proporcional alt.

Errors típics

• Pensar que el regulador P pot portar l'error a zero quan hi ha un consum constant.
• Confondre el dipòsit (integrador, tipus 1) amb un primer ordre sense integrador.
• Oblidar que 2 m² són 2000 L per metre d'alçada en passar a litres.

Conceptes treballats: sistemes integradors, control P i PI, error estacionari davant de pertorbacions, equació característica de segon ordre, amortiment, regulació de nivell.

a) (Totes amb $X_{i}$ com a bit d'etapa; la divergència s'obre després de l'etapa 2 i la convergència es tanca a l'etapa 0.)
$X_{1}$ = ($X_{0}$·m·p + $X_{1}$)·$\bar{X}$₂
$X_{2}$ = ($X_{1}$·$t_{1}$ + $X_{2}$)·($\bar{X}$₃·$\bar{X}$₅)
$X_{3}$ = ($X_{2}$·$t_{2}$·n + $X_{3}$)·$\bar{X}$₄
$X_{4}$ = ($X_{3}$·c + $X_{4}$)·$\bar{X}$₀
$X_{5}$ = ($X_{2}$·$t_{2}$·$\bar{n}$ + $X_{5}$)·$\bar{X}$₀
$X_{0}$ = ($X_{4}$·s + $X_{5}$·s + $X_{0}$)·$\bar{X}$₁ (amb $X_{0}$ = 1 en iniciar la PLC).
Sortides: B = $X_{1}$; T = $X_{3}$; C = $X_{4}$; R = $X_{5}$.

b) Cicle correcte: 2,0 + 0,5 + 1,5 + 1,0 = 5,0 s. Cicle amb rebuig: 2,0 + 0,5 + 1,2 = 3,7 s. Durada mitjana: 0,96·5,0 + 0,04·3,7 = 4,948 s. Ampolles processades per hora: $\tfrac{3600}{4{,}948} = 727{,}6$; correctes: 0,96·727,6 = 698 ampolles/h.

c) Les transicions n i $\bar{n}$ són excloents: una sola es compleix en cada moment, de manera que només s'activa una de les dues etapes (3 o 5). Si fossin simultàniament certes, s'activarien les dues etapes alhora (es taparia i es rebutjaria la mateixa ampolla) i la seqüència deixaria d'estar controlada. Si n queda a 1 per una avaria, no es rebutjaria mai cap ampolla mal omplerta: el defecte passa a l'estació de tapat i el producte defectuós arriba al client. És una fallada «silenciosa», més perillosa que una fallada que aturi la màquina.

d) S'afegeix un temporitzador $t_{3}$ a l'etapa 3 (per exemple, 4 s, uns tres cops el temps normal de 1,5 s) i una etapa 6 «Alarma» a la qual es passa quan $t_{3}$·$\bar{c}$ (l'etapa 3 porta més de 4 s sense c). A l'etapa 6 es desactiva T (només s'activa $X_{3}$), s'encén un senyal d'avís i es demana intervenció de l'operari; la sortida torna a l'etapa 0 quan es pulsa un rearmament. Així la tapadora no queda sota tensió indefinidament i la fallada queda diagnosticada.

Errors típics

• Activar l'etapa 5 amb la mateixa receptivitat que l'etapa 3 (les dues transicions han de ser excloents).
• Oblidar que l'etapa 0 pot venir de l'etapa 4 o de la 5.
• Calcular el rendiment sense descomptar les ampolles rebutjades.

Conceptes treballats: automatismes seqüencials, GRAFCET, equacions d'activació d'etapes, divergència i convergència en O, temporitzadors, tractament de fallades i seguretat, control de qualitat en línia.

a) Sense regulació: ΔT = G_d·6 = −3,0 °C. Amb el proporcional: ΔT = G_d·d/(1 + K·G_p) = −3,0/(1 + 4) = −0,6 °C: la regulació el redueix 5 vegades (1 + K·G_p = 5), però no a zero.

b) Condició: G_p·G_ff + G_d = 0 → G_ff = −G_d/G_p = 0,5/0,8 = 0,625 %/(L/min). Davant d'un cabal de +6 L/min, la vàlvula s'obre 3,75 % abans que T hagi canviat: el control anticipatiu actua sobre la causa, no sobre l'efecte, i per tant no depèn d'esperar que hi hagi error.

c) Si es sobrestima el valor absolut de G_d un 10 % (s'estima −0,55): G_ff = 0,55/0,8 = 0,6875 i la influència residual és G_p·G_ff + G_d = 0,55 − 0,5 = +0,05 °C per L/min. Si se subestima (−0,45): G_ff = 0,5625 i la influència residual és 0,45 − 0,5 = −0,05 °C per L/min.
(c1) Només amb control anticipatiu: ΔT = ±0,05·6 = ±0,3 °C.
(c2) Combinat amb el regulador proporcional: ΔT = ±0,3/(1 + 4) = ±0,06 °C.
Respecte del cas amb només regulador (−0,6 °C) és una millora de 10 vegades, tot i la incertesa del 10 %.

d) El control anticipatiu és ràpid i no pot fer inestable el llaç, però només compensa la pertorbació que es mesura i depèn de la precisió del model (un error del 10 % deixa un 10 % de l'efecte). La realimentació corregeix qualsevol pertorbació o error de model (incloent-hi les que no es mesuren, com el canvi de qualitat del vapor), però només actua després que T ja s'ha desviat. Combinar-los aprofita els dos avantatges: l'anticipatiu elimina la major part de l'efecte de la pertorbació principal i la realimentació neteja el residu i totes les altres.

Errors típics

• Confondre el signe de G_ff: si la pertorbació baixa T, la compensació ha d'augmentar u.
• Pensar que el control anticipatiu pot substituir del tot la realimentació.
• Aplicar la reducció 1 + K·G_p a la contribució de la compensació sense tenir en compte que la compensació s'ha de sumar abans.

Conceptes treballats: control anticipatiu (feedforward) i realimentació, rebuig de pertorbacions, sensibilitat a errors de model, guany de llaç, regulació de processos tèrmics.

a) Llaç tancat sense tacòmetre: A/(s² + 4·s + A) = 64/(s² + 4·s + 64). ω_n = √64 = 8 rad/s; 2·ζ·ω_n = 4 → ζ = 0,25. Sobrepuig: exp(−π·0,25/√(1 − 0,0625)) = 44,4 %. t_p = π/(8·0,968) = 0,41 s. t_s = 4/(0,25·8) = 2,0 s. Un robot amb un 44 % de sobrepuig és inacceptable.

b) s·(s + 4)·θ = A·r − A·θ − A·K_t·s·θ → θ·[s² + 4·s + A·K_t·s + A] = A·r → θ/r = A/[s² + (4 + A·K_t)·s + A]. ω_n continua sent 8 rad/s. Per ζ = 0,707: 4 + 64·K_t = 2·0,707·8 = 11,31 → K_t = 0,114 V·s/rad.

c) Sobrepuig: 4,3 %; t_p = π/(8·0,707) = 0,56 s; t_s = 4/(0,707·8) = 0,71 s. Respecte de l'apartat a): el sobrepuig cau de 44,4 % a 4,3 % i el temps d'establiment de 2,0 a 0,71 s (gairebé tres vegades més ràpid), a canvi d'un temps de pic una mica més llarg (0,41 → 0,56 s).

d) Sense tacòmetre: K_v = A/4 = 16 s^-1 → e_ss = 1/16 = 0,0625 rad. Amb tacòmetre: K_v = 64/11,31 = 5,66 s^-1 → e_ss = 0,177 rad, gairebé tres vegades pitjor. El preu de l'amortiment és una pèrdua de precisió en el seguiment d'una rampa. El tacòmetre afegeix un fre «viscós» electrònic proporcional a la velocitat: com més de pressa es mou el braç, més s'oposa el senyal; és el mateix que fa un amortidor en una suspensió. Es pot recuperar precisió augmentant A i reajustant K_t per mantenir ζ (K_v creix com √A), o amb una acció integral.

Errors típics

• Suposar que el tacòmetre canvia ω_n: només modifica el terme de s.
• Pensar que més amortiment no té cap cost.
• Confondre el sobrepuig (relatiu) amb el valor absolut de l'excursió.

Conceptes treballats: servomecanismes, sistemes de segon ordre, realimentació de velocitat (tacomètrica), amortiment, error en rampa i constant K_v, compromís entre precisió i estabilitat relativa.