Exercicis de projectes tecnològics — Tecnologia i Enginyeria 2n Batxillerat

Estalvia temps i diners (no cal construir-lo per provar-lo) i permet provar situacions límit (càrregues extremes, fallades) sense risc ni destruir materials. A més, deixa canviar paràmetres a l'instant per comparar alternatives.

Memòria: explica i justifica la solució amb els càlculs. Plànols: representen les peces acotades i a escala. Pressupost: detalla els costos i el preu final. Plec de condicions: fixa els requisits de materials, execució i qualitat.

La MEMÒRIA descriu i justifica el projecte: explica què es vol fer, els objectius, la solució adoptada i per què s'ha triat aquesta, amb els càlculs que la sustenten. És, sobretot, explicativa i justificativa. El PLEC DE CONDICIONS, en canvi, estableix les condicions tècniques i legals amb què s'ha d'executar el projecte: quins materials cal fer servir i amb quina qualitat, quines normes s'han de complir, com s'ha de fabricar o construir i com es verificarà i s'acceptarà el resultat. Dit d'una altra manera: la memòria explica el 'què i el perquè', i el plec de condicions fixa el 'com s'ha de fer i amb quines exigències'.

a) Empatitzar: es tracta d'entendre l'usuari i el seu context abans de proposar res.
b) Definir: es concreta el problema que cal resoldre a partir del que s'ha après.
c) Idear: es generen moltes solucions possibles; en aquesta fase importen més la quantitat i la creativitat que no pas la qualitat.
d) Prototipar: es fa un model ràpid i barat per poder tocar i comprovar la idea.
e) Provar: es validen les solucions amb usuaris reals i se'n recullen els resultats.
El procés no és lineal: els resultats de la prova poden fer tornar a qualsevol de les fases anteriors.

a) Patent: protegeix invents tècnics nous durant 20 anys.
b) Disseny industrial: protegeix l'aparença (forma, línies, colors) d'un producte.
c) Marca: protegeix els signes que distingeixen els productes o serveis d'una empresa (nom, logotip).
d) Drets d'autor: el codi font d'un programa es protegeix com una obra, de manera automàtica i sense registre obligatori.
Requisits de patentabilitat: novetat (no ha de ser conegut abans), activitat inventiva (no ha de ser evident per a un expert) i aplicació industrial (s'ha de poder fabricar o utilitzar en la indústria).

L'escala 1:40 vol dir que cada longitud de la maqueta és 1/40 de la real.
Llarg: 30 m/40 = 0,75 m = 75 cm. Ample: 12 m/40 = 0,30 m = 30 cm. Alt: 8 m/40 = 0,20 m = 20 cm. La maqueta fa 75 × 30 × 20 cm.
Per a una maqueta d'1,5 m de llarg: escala = 1,5/30 = 1/20, és a dir, 1:20. Amb aquesta escala l'ample seria de 12/20 = 0,6 m i l'alt de 8/20 = 0,4 m.

Mà d'obra: 6·18 = 108 €.
Cost abans d'impostos (base imposable): 85 + 108 = 193 €.
IVA: 21 % de 193 = 0,21·193 = 40,53 €.
Pressupost final: 193 + 40,53 = 233,53 €.
Comprovació: 193·1,21 = 233,53 €. L'IVA s'aplica sobre el total sense impostos, i en un pressupost es mostra a part.

Verificar és comprovar que el producte compleix les especificacions de disseny, és a dir, que s'ha construït bé. Exemple: mesurar amb un polímetre que el carregador dona 5 V i 1 A, tal com deia l'especificació.
Validar és comprovar que el producte resol la necessitat real de l'usuari, és a dir, que és el producte adequat. Exemple: fer-lo servir en una excursió i comprovar que els usuaris carreguen el mòbil a temps i que el pes i el maneig són còmodes.
Un producte pot passar la verificació (compleix les especificacions) i fallar la validació (si les especificacions no reflectien el que l'usuari necessitava).

L'error és sumar les durades de tasques que es fan en paral·lel. Si les tres tasques comencen alhora i són independents, el projecte acaba quan acaba la més llarga: durada = màxim(4, 6, 5) = 6 dies.
Una sola persona les hauria de fer en seqüència, i llavors sí que se sumen: 4 + 6 + 5 = 15 dies.
Regla: en seqüència se sumen les durades; en paral·lel, preval la més llarga. El camí crític és el de la tasca de 6 dies, i les altres dues tenen un marge de 2 i d'1 dies.

Temps de cicle: 3600 $\tfrac{s}{48}$ peces = 75 s per peça.
Peces per torn: 48·7,5 = 360 peces.
Peces per setmana (5 torns): 360·5 = 1800 peces.
Comanda de 9000 peces: $\tfrac{9000}{1800} = 5$ setmanes.
Comprovació: 360 peces·75 s = 27000 s = 7,5 h, la durada del torn.

Fases principals: 1) IDENTIFICACIÓ del problema o necessitat: definir què cal resoldre i amb quins requisits. 2) RECERCA D'INFORMACIÓ: documentar-se sobre solucions, materials i tècniques existents. 3) DISSENY: generar diverses idees, avaluar-les i triar la millor solució amb esbossos, càlculs i selecció de materials. 4) DOCUMENTACIÓ tècnica: plasmar-ho en plànols, memòria i pressupost. 5) CONSTRUCCIÓ o fabricació del producte. 6) AVALUACIÓ: comprovar si compleix els requisits i proposar millores.
Es diu que és ITERATIU perquè si a l'avaluació (o durant la fabricació) es detecta un problema o que no es compleix algun requisit, es torna enrere a redissenyar o a corregir, repetint fases fins a obtenir una solució satisfactòria. No és un camí estrictament rectilini.

La SIMULACIÓ per ordinador consisteix a provar el comportament del producte de manera virtual, a l'ordinador, a partir del seu model digital, sense haver-lo fabricat encara. Un exemple és l'anàlisi d'esforços per elements finits, que calcula com es reparteixen les tensions i les deformacions en una peça sotmesa a unes càrregues i indica si aguantarà o es trencarà; altres exemples són la simulació cinemàtica (de moviment dels mecanismes) o la tèrmica i de fluids.
Avantatges de simular abans de fabricar: permet DETECTAR i CORREGIR errors de disseny quan encara només cal modificar el model (barat i ràpid), en lloc de descobrir-los en una peça ja fabricada (car). Així s'estalvien materials, prototips, temps i costos, i s'arriba a la fabricació amb un disseny ja validat i optimitzat.

Documents principals: 1) MEMÒRIA: descriu el projecte, els seus objectius i la solució adoptada, i la justifica (per què s'ha triat aquesta solució), incloent-hi els càlculs. 2) PLÀNOLS: representació gràfica normalitzada del producte (vistes, acotació, escales) que permet fabricar-lo. 3) PLEC DE CONDICIONS: fixa les condicions tècniques, els materials, les normes que cal complir i com s'ha d'executar i verificar l'obra o el producte. 4) PRESSUPOST: recull el cost detallat (materials, mà d'obra, amidaments) i el total.
Sovint s'hi afegeixen l'estat d'amidaments i un pla de treball (temps i fases). En conjunt, aquests documents fan que el projecte sigui reproduïble per qualsevol tècnic i contractable per un client.

La NORMALITZACIÓ és el conjunt de normes tècniques que unifiquen mides, símbols, formats, materials i procediments perquè tothom els interpreti i apliqui de la mateixa manera. Dos organismes que emeten normes són la ISO (International Organization for Standardization, internacional) i la UNE (normes espanyoles); també l'EN a nivell europeu.
Dos avantatges pràctics: 1) INTERCANVIABILITAT: les peces normalitzades (un cargol M6, un rodament d'una mida estàndard) es poden substituir per qualsevol altra igual de qualsevol fabricant, cosa que facilita el manteniment i el muntatge. 2) REDUCCIÓ DE COSTOS I MILLOR COMUNICACIÓ: en fabricar segons mides i símbols estàndard es produeix en sèrie més barat i qualsevol tècnic entén els plànols igual, evitant errors d'interpretació.

El punt d'equilibri és on els ingressos i els costos s'igualen: 20·Q = 12000 + 8·Q → 12·Q = 12000 → Q = 1000 unitats. Ingressos en aquest punt: 1000·20 = 20000 €.
Amb 1500 unitats: ingressos = 1500·20 = 30000 €; costos = 12000 + 8·1500 = 24000 €; benefici = 30000 - 24000 = 6000 €.
Comprovació: cada unitat per sobre de les 1000 aporta un marge de 20 - 8 = 12 €, i 500 unitats més donen 500·12 = 6000 €.
Per sota de 1000 unitats l'empresa té pèrdues.

a) Puntuació = suma de (pes·nota).
A: 0,35·7 + 0,25·9 + 0,20·5 + 0,20·6 = 2,45 + 2,25 + 1,00 + 1,20 = 6,90.
B: 0,35·9 + 0,25·6 + 0,20·8 + 0,20·5 = 3,15 + 1,50 + 1,60 + 1,00 = 7,25.
C: 0,35·6 + 0,25·8 + 0,20·7 + 0,20·9 = 2,10 + 2,00 + 1,40 + 1,80 = 7,30.
Es tria la C (7,30), tot i que la B queda a només 0,05 punts.
b) Amb els pesos 0,50, 0,20, 0,20 i 0,10: A = 3,50 + 1,80 + 1,00 + 0,60 = 6,90; B = 4,50 + 1,20 + 1,60 + 0,50 = 7,80; C = 3,00 + 1,60 + 1,40 + 0,90 = 6,90. Ara guanya la B.
Conclusió: la decisió depèn molt dels pesos, que reflecteixen les prioritats del projecte; per això convé justificar-los i fer una anàlisi de sensibilitat quan les puntuacions són properes.

Amortització lineal anual: $\tfrac{(36000 - 4000)}{8} = 4000$ € l'any.
Per hora: $\tfrac{4000}{1600} = 2{,}50$ €/h.
Manteniment: $\tfrac{1200}{1600} = 0{,}75$ €/h.
Energia: 6 kW·0,15 €/kWh = 0,90 €/h.
Cost horari: 2,50 + 0,75 + 0,90 = 4,15 €/h.
Si la màquina només treballés 800 h l'any, l'amortització i el manteniment per hora es duplicarien (5,00 + 1,50 + 0,90 = 7,40 €/h): com més s'utilitza, més barata surt cada hora.

a) NPR = G·F·D. Motor: 8·3·4 = 96. Connector: 5·6·2 = 60. Programari: 6·4·7 = 168. Junta: 9·2·5 = 90.
Ordre de prioritat (de més a menys): bloqueig del programari (168), motor (96), junta (90) i connector (60).
b) El nou NPR del programari és 6·4·2 = 48. Ara l'ordre és: motor (96), junta (90), connector (60) i programari (48). La fallada prioritària passa a ser el sobreescalfament del motor.
Observa que la fuita de la junta té la gravetat més alta (9) però no va primera: l'NPR combina gravetat, freqüència i detecció. Per això moltes empreses revisen a part les fallades de gravetat 9 o 10.

a) Coeficient de seguretat: n = σ_e/σ_màx = 355/240 = 1,48. Resisteix, però amb poc marge.
b) Per a n = 2, la tensió màxima admissible és 355/2 = 177,5 MPa. Com que σ és inversament proporcional a la secció S, S_nova/S_actual = 240/177,5 = 1,35: cal augmentar la secció un 35 % aproximadament.
Comprovació: amb la secció augmentada, 240/1,352 = 177,5 MPa i n = 355/177,5 = 2.
c) Cal comprovar que la malla és prou fina a les zones de concentració de tensions (cantonades, forats) i que el resultat no canvia gaire en refinar-la (convergència), que les condicions de contorn i les càrregues reflecteixen la realitat i, si és possible, validar el resultat amb un assaig sobre un prototip.

Taxa de defectes de la mostra: $\tfrac{5}{200} = 0{,}025$, és a dir, el 2,5 %.
Peces defectuoses estimades al lot: 0,025·12000 = 300.
Cost de reparació: 300·3,50 = 1050 €.
Criteri d'acceptació: 2,5 % > 2 %, per tant, segons la mostra, el lot no compleix i s'hauria de rebutjar, revisar al 100 % o renegociar amb el proveïdor.
Una mostra només dona una estimació: amb una altra mostra, el valor podria sortir una mica diferent. Com més gran és la mostra, més fiable és l'estimació.

Euler: T_nou = T + Δt·(-0,1)·(T - 20), amb Δt = 2 min.
t = 2: T = 90 + 2·(-0,1)·(90 - 20) = 90 - 14 = 76,0 °C.
t = 4: T = 76 + 2·(-0,1)·(76 - 20) = 76 - 11,2 = 64,8 °C.
t = 6: T = 64,8 + 2·(-0,1)·(64,8 - 20) = 64,8 - 8,96 = 55,84 °C.
Solució exacta: 77,3 °C, 66,9 °C i 58,4 °C. L'error de la simulació és d'1,3, 2,1 i 2,6 °C: el model numèric refreda una mica massa de pressa i l'error s'acumula pas a pas.
Amb Δt = 1 min: T(1) = 90 - 7 = 83 °C i T(2) = 83 - 0,1·63 = 76,7 °C, amb un error de 0,6 °C a t = 2 (abans 1,3 °C). Un pas més petit dona un resultat més precís a canvi de fer més càlculs: és el compromís habitual de les simulacions.

Si totes fossin seqüencials: 3 + 5 + 2 + 4 = 14 dies.
Les de 5 i 2 dies en paral·lel duren el màxim de les dues, és a dir 5 dies (no 7).
Durada total: 3 + 5 + 4 = 12 dies (la de 2 dies queda amagada dins dels 5 dies de la paral·lela).

A: dies 0-4. B: 4-7. C: 7-12. D: 4-7, en paral·lel.
Durada total: 12 dies. El camí crític és A-B-C: qualsevol retard en aquestes tasques retarda el projecte. D té un marge de 5 dies, perquè pot acabar fins al dia 12 sense endarrerir res.

Perquè són ràpids i barats, no necessiten motlles ni utillatge, i permeten comprovar la forma, la mida i l'encaix de les peces, i fer canvis abans de fabricar.
Limitacions: el material i el procés no solen ser els de la peça final (una peça injectada en un altre plàstic, o una de metall), de manera que la resistència, l'acabat i el comportament no són exactament els mateixos.

a) Impressió 3D: C_3D = 5,40·Q. Injecció: C_inj = 4500 + 0,60·Q.
b) El motlle compensa quan C_inj < C_3D: 4500 + 0,6·Q < 5,4·Q → 4500 < 4,8·Q → Q > 937,5. A partir de 938 peces és més barata la injecció.
c) Per a 200 peces: C_3D = 1080 € i C_inj = 4500 + 120 = 4620 €, de manera que la impressió 3D és molt més barata (3540 € menys). Per a 2000 peces: C_3D = 10800 € i C_inj = 4500 + 1200 = 5700 €, i la injecció estalvia 5100 €.
Criteri no econòmic: la impressió 3D permet començar de seguida i canviar el disseny sense refer cap motlle (ideal per a prototips i sèries curtes), mentre que la injecció dona més rapidesa de producció, millor acabat superficial i peces més uniformes en sèries llargues.

a) Camins: A-B-D-F = 4 + 6 + 5 + 3 = 18 dies; A-C-D-F = 4 + 3 + 5 + 3 = 15 dies; A-C-E-F = 4 + 3 + 2 + 3 = 12 dies. Durada mínima: 18 dies; camí crític: A-B-D-F.
b) El marge és la diferència entre la durada del projecte i la del camí més llarg que passa per la tasca. C: el camí més llarg que hi passa és A-C-D-F = 15 dies, per tant el marge és 18 - 15 = 3 dies. E: el camí més llarg que hi passa és A-C-E-F = 12 dies, per tant el marge és 18 - 12 = 6 dies.
c) Per guanyar 2 dies cal escurçar tasques del camí crític (A, B, D o F). La més barata és B (200 €/dia): 2 dies costen 400 €. Les altres opcions costarien 500 € (D), 600 € (A) i 800 € (F).
Comprovació: amb B escurçada 2 dies, A-B-D-F = 16 dies i A-C-D-F = 15 dies, de manera que el projecte dura 16 dies (2 menys) i el camí crític continua sent A-B-D-F. Escurçar tasques que no són del camí crític (com C o E) no estalviaria res.

a) Si totes les longituds es multipliquen per 10 (del prototip al pont real), les superfícies es multipliquen per $10^{2}$ = 100 i els volums per $10^{3}$ = 1000. Com que el material és el mateix (mateixa densitat), les masses també es multipliquen per 1000.
b) Massa del pont real = 40·1000 = 40000 kg (40 t).
c) Prototip: σ = 7850·9,8·1,5 = 115395 Pa ≈ 0,115 MPa. Pont real: σ = 7850·9,8·15 = 1153950 Pa ≈ 1,15 MPa, 10 vegades més, perquè σ és proporcional a l'alçada.
El pes creix amb el cub de l'escala, mentre que la secció resistent només creix amb el quadrat; per això les estructures grans són proporcionalment més exigides que les petites i cal comprovar-ho amb càlcul i simulació, no només amb la maqueta.

a) Error relatiu sobre la temperatura: (85 - 78)/85 = 7/85 = 0,082, és a dir, el 8,2 %.
b) Escalfament mesurat: 85 - 20 = 65 °C; escalfament simulat: 78 - 20 = 58 °C. Error relatiu: (65 - 58)/65 = 7/65 = 0,108, és a dir, el 10,8 %.
c) És més adequada la segona. L'origen de l'escala Celsius és arbitrari, i dividir per 85 fa que l'error sembli més petit del que és; el que el model ha de predir és quant s'escalfa el motor per sobre de l'ambient, i en això falla un 10,8 %.
Amb el criteri del 10 %, el model no queda validat. Caldria revisar-lo (pèrdues considerades, coeficient de transmissió de calor, refrigeració), ajustar-ne els paràmetres amb les mesures i tornar a comparar-lo amb mesures noves, repetides per assegurar que no depenen de l'instrument.
Idea clau: mentre no es compara amb el prototip, una simulació només és una hipòtesi.

Model de resposta (en són possibles molts altres):
1) Resistència: ha de suportar una persona de 120 kg amb un coeficient de seguretat mínim de 2 (càrrega de prova de 240 kg sense deformació permanent). Verificació: assaig de càrrega sobre el prototip, precedit d'una simulació per elements finits.
2) Pes: massa màxima de 3,5 kg. Verificació: pesar el prototip i comprovar el càlcul de masses al model CAD.
3) Cost: cost de fabricació inferior a 18 € per unitat en una sèrie de 5000. Verificació: càlcul del pressupost (materials, mà d'obra i amortització del motlle).
4) Sostenibilitat: com a mínim un 80 % de plàstic reciclat en massa. Verificació: càlcul a partir de la llista de materials i inspecció de la documentació del proveïdor.
Un bon requisit té una magnitud, un valor límit i un mètode de verificació, de manera que només es pot respondre «compleix» o «no compleix».

a) Amb recursos il·limitats: A va del dia 0 al 3; B, del 0 al 4; C, del 3 al 5; D, del 3 al 8; E comença quan acaben B (dia 4) i C (dia 5), és a dir, el dia 5, i acaba el 8. Durada: 8 dies. Camins: A-D = 3 + 5 = 8, A-C-E = 3 + 2 + 3 = 8 i B-E = 4 + 3 = 7. Hi ha dos camins crítics (A-D i A-C-E); B té un marge d'1 dia.
b) La feina total és 3 + 4 + 2 + 5 + 3 = 17 dies de persona. Amb 2 persones no es pot fer en menys de 17/2 = 8,5, és a dir, 9 dies. A més, entre els dies 3 i 4 haurien d'estar en marxa B, C i D alhora (3 persones). Per tant el mínim és de 9 dies, si existeix un repartiment que ho aconsegueixi.
c) Persona 1: A (dies 0-3), C (3-5) i E (5-8). Persona 2: B (0-4) i D (4-9). Es respecten les precedències (D comença el dia 4, després d'A; E comença el dia 5, després de B i C) i tot acaba el dia 9.
Conclusió: el camí crític només dona la durada mínima si hi ha recursos il·limitats; amb pocs recursos, el projecte pot durar més.

a) Retorn simple = 120 000/28 000 = 4,29 anys. No té en compte el valor del temps (un euro d'avui val més que un d'aquí a cinc anys) ni el que passa després del retorn (si el projecte durés 4,3 anys sembla bé, però si durés 3 seria un fracàs), de manera que no diu si el projecte és rendible.

b) Factor d'actualització a 6 % durant 8 anys: Σ 1/1,06^t = 6,2098. VAN = −120 000 + 28 000·6,2098 = +53 874 €. Positiu: la inversió rendeix més que el 6 % exigit i crea valor per a l'empresa.

c) VAN(16 %) = +1621 €; VAN(17 %) = −2199 €. Interpolació: TIR ≈ 16 + 1621/(1621 + 2199) = 16,4 % (el valor exacte és 16,42 %). La TIR és la rendibilitat anual que ofereix el projecte; si és superior al 6 %, millor que la inversió alternativa o el cost del capital: es compleix.

d) Estalvis de 22 400 €: VAN = −120 000 + 22 400·6,2098 = +19 099 €; TIR = 9,9 %, encara superior al 6 %. Estalvi mínim: 120 000/6,2098 = 19 324 €/any (31 % per sota del previst). Retorn descomptat: acumulat al final de l'any 5 = −2054 €, al final de l'any 6 = +17 685 € → 5 + 2054/(28 000/1,06⁶) = 5,1 anys. Recomanació: sí, perquè fins i tot amb un 20 % menys d'estalvis el VAN continua sent positiu i hi ha un marge de seguretat del 31 %. (Faltaria afegir els costos de manteniment i formació, que no s'han inclòs.)

Errors típics

• Sumar els fluxos futurs sense actualitzar-los i dir que 8·28 000 − 120 000 = 104 000 €.
• Triar el projecte amb retorn més curt sense mirar el VAN.
• Interpretar la TIR com a benefici anual en euros.

Conceptes treballats: viabilitat econòmica d'un projecte, valor actual net, taxa interna de rendiment, període de retorn simple i descomptat, anàlisi de sensibilitat.

a) A-B-D-F-G = 3 + 4 + 5 + 4 + 2 = 18 dies; A-C-E-F-G = 3 + 6 + 3 + 4 + 2 = 18 dies. Tots dos camins són crítics: el projecte dura 18 dies i cap tasca té marge (cal que cap tasca es retardi).

b) 17 dies: s'ha d'escurçar un dia en tots dos camins. La tasca comuna més barata és A (1500 €/dia) → 1500 €. 16 dies: ja no es pot reduir més A (mínim 2 dies). Opcions: F (3000 €) o una de cada camí: B (2000) + E (900) = 2900 €, o B + C (3200), D + E (3400)… La més barata és B + E: total acumulat 1500 + 2900 = 4400 € (amb F seria 4500 €). Reduir només E (900 €/dia, la més barata) no serveix de res: només escurça el camí A-C-E-F-G; el camí A-B-D-F-G continua durant 17 dies i és el que mana.

c) 18 dies: 0 + 3·3500 = 10 500 €. 17: 1500 + 2·3500 = 8500 €. 16: 4400 + 3500 = 7900 €. 15: 7400 + 0 = 7400 €. 14: 11 100 + 0 = 11 100 € (no hi ha bonificació per entregar abans). L'òptim és 15 dies, que costa 7400 € i estalvia 3100 € respecte de no fer res (10 500 €). Accelerar les tasques B, E, A i F.

d) Costos marginals de cada dia estalviat: 1500, 2900, 3000, 3700 i 3700 €. Creixen perquè primer s'utilitzen les tasques més barates i les opcions es van esgotant; a més, quan hi ha camins crítics paral·lels cal escurçar-ne diversos alhora. Mentre el cost marginal (≤ 3000 €) sigui inferior a la penalització de 3500 €/dia, convé accelerar; quan arriba a 3700 € ja no compensa i per això el mínim està exactament als 15 dies del contracte.

Errors típics

• Escurçar només una tasca d'un camí crític quan n'hi ha dos camins crítics.
• Triar sempre la tasca amb el cost per dia més baix sense comprovar si és al camí que mana.
• Pensar que entregar abans del termini sempre surt a compte.

Conceptes treballats: planificació de projectes, camí crític, folgances, compressió de terminis (crashing), cost marginal, penalitzacions contractuals.

a) R_bomba = e^−0,2 = 0,8187; R_PLC = e^−0,05 = 0,9512; R_vàlvula = e^−0,1 = 0,9048; R_sensor = e^−0,03 = 0,9704. Dues bombes en paral·lel: 1 − (1 − 0,8187)² = 0,9671. Part en sèrie: 0,9512·0,9048·0,9704 = 0,8353. Sistema complet: 0,9671·0,8353 = 0,808. Amb una sola bomba: 0,8187·0,8353 = 0,684. La redundància de les bombes hi guanya 12 punts, però el sistema continua sent molt menys fiable que el grup de bombes.

b) Part en sèrie: λ = 5·10^-5 + 1·10^-4 + 3·10^-5 = 1,8·10^-4 h^-1 → MTBF = 5556 h. Grup de dues bombes: 7500 h (una bomba sola té 5000 h). No és el doble: les dues bombes envelleixen alhora i, quan la primera falla, l'altra ja ha consumit part de la seva vida (en un model exponencial, queda 1/λ de mitjana per a la segona després de la primera: 1/(2λ) + 1/λ = 1,5/λ).

c) Bomba: A = 5000/5008 = 0,99840. Dues bombes: 1 − (0,0016)² = 0,9999974. PLC: 20 000/20 004 = 0,99980; vàlvula: 10 000/10 004 = 0,99960; sensor: 33 333/33 337 = 0,99988. Sistema: 0,9999974·0,99980·0,99960·0,99988 = 0,99928 → 8760·(1 − 0,99928) = 6,3 h/any d'aturada. Amb una sola bomba: 0,99840·0,99928 ≈ 0,99768 → 20,3 h/any. La segona bomba redueix les aturades a un terç.

d) (i) 3 bombes: 1 − (1 − 0,8187)³ = 0,9940 → sistema 0,9940·0,8353 = 0,830 (< 0,90). (ii) Duplicar la vàlvula: 1 − (1 − 0,9048)² = 0,9909 → sistema 0,9671·0,9512·0,9909·0,9704 = 0,885 (< 0,90). (iii) Duplicar vàlvula i PLC: PLC doble 1 − (1 − 0,9512)² = 0,9976 → 0,928 (≥ 0,90 ✔). La millor inversió de les dues primeres és la vàlvula, perquè és l'element en sèrie menys fiable (56 % de la taxa de fallada de la part en sèrie); posar una tercera bomba millora un element que ja és fiable (0,967). Regla: es reforça primer la baula més feble de la cadena. Sense modificacions, R(t) = 0,90 s'assoleix a t ≈ 529 h; per a missions més llargues no es compleix l'objectiu.

Errors típics

• Aplicar la fórmula de paral·lel a elements que estan en sèrie (o al revés).
• Pensar que dues bombes en paral·lel doblen el MTBF.
• Millorar l'element que ja és fiable en lloc del que limita el conjunt.

Conceptes treballats: fiabilitat i taxa de fallada, sistemes en sèrie i en paral·lel, redundància, MTBF i MTTR, disponibilitat, millora de sistemes.

a) NPR: A = 7·6·4 = 168; B = 8·4·3 = 96; C = 9·3·5 = 135; D = 4·5·6 = 120; E = 9·2·5 = 90. Total: 609. Ordre: A (168, 27,6 %), C (135, 49,8 %), D (120, 69,5 %), B (96, 85,2 %), E (90, 100 %). Els tres primers modes acumulen el 70 % del risc.

b) NPR > 100: A, C i D. S ≥ 9: C i E. Per tant, requereixen acció A, C, D i E; B (96) queda sota supervisió però sense acció obligatòria.

c) A: 7·3·4 = 84; C: 9·3·2 = 54; D: 4·5·3 = 60; E: 9·2·2 = 36; B continua en 96. Total: 84 + 96 + 54 + 60 + 36 = 330; reducció = $\tfrac{(609 - 330)}{609}$ = 45,8 %. Totes les accions estan per sota de 100.

d) E té una gravetat de 9 (un error de programa en una arrencada pot danyar el robot o ferir una persona). Té poca probabilitat i es detecta relativament bé, i per això l'NPR és «baix», però si passés les conseqüències serien enormes. El producte oculta aquest fet: dos modes amb el mateix NPR poden ser molt diferents (S = 9, O = 1, D = 10 contra S = 2, O = 9, D = 5 donen 90 tots dos). A més, les escales són ordinals (un 8 no és el doble de greu que un 4) i es multipliquen com si fossin números. Per això es combina l'NPR amb una regla de gravetat mínima o amb una matriu de criticitat S·O.

Errors típics

• Prioritzar només per NPR i deixar de banda els modes de gravetat molt alta.
• Reduir l'NPR modificant la detecció quan en realitat el risc continua sent igual de greu (no es redueix S ni O).
• Interpretar la puntuació de D (10 = no es detecta) al revés.

Conceptes treballats: gestió de la qualitat, AMFE, nombre de prioritat de risc, diagrama de Pareto, prevenció de fallades, seguretat de màquines.

a) q₀ = 7,0·10^-4·√(2·9,81·1,8) = 7,0·10^-4·5,943 = 4,16·10^-3 m³/s = 4,16 L/s. Velocitat de descens: 4,16·10^-3/2 = 2,08 mm/s (comprovació: k·√1,8 = 1,550·10^-3·1,342 = 2,08·10^-3 m/s).

b) √h₀ = 1,3416; t_buit = 2·1,3416/1,550·10^-3 = 1731 s (28,8 min). h(t): 200 s → (1,3416 − 0,1550)² = 1,408 m; 400 s → 1,064 m; 600 s → 0,768 m; 800 s → 0,521 m; 1000 s → 0,321 m.

c) Euler, Δt = 200 s: h(200) = 1,8 − 200·1,550·10^-3·1,3416 = 1,384; h(400) = 1,384 − 0,31·√1,384 = 1,019; h(600) = 0,706; h(800) = 0,446; h(1000) = 0,239 m. Errors absoluts respecte de l'exacta: 0,024; 0,045; 0,062; 0,075 i 0,082 m (a t = 1000 s l'error és del 25 % del valor real). Amb Δt = 100 s: h(1000) = 0,281 m, error 0,039 m: l'error es redueix a la meitat quan es redueix el pas a la meitat (mètode d'ordre 1).

d) A mesura que el nivell baixa, el descens és cada cop més lent (√h disminueix), però Euler fa servir el pendent de l'inici de l'interval, que és el més pronunciat: «baixa massa» i sobreestima el descens. L'error s'acumula pas a pas. Al final, el mètode pot donar nivells negatius: a t = 1400 s surt h = −0,004 m, que no té sentit físic (el dipòsit no pot estar «més que buit»). Es corregeix limitant h ≥ 0, reduint el pas (sobretot al final) o fent servir un mètode d'ordre superior (Euler millorat, Runge-Kutta).

Errors típics

• Aplicar Euler amb el pendent del final de l'interval en lloc del de l'inici.
• Pensar que un pas menor no millora gaire: aquí el redueix proporcionalment.
• Acceptar resultats negatius d'una simulació sense comprovar-ne la coherència física.

Conceptes treballats: simulació numèrica, mètode d'Euler, equacions diferencials, llei de Torricelli, error i pas de càlcul, validació de models.

a) Joc nominal: 80,50 − 80,00 = 0,50 mm. Tolerància pitjor cas: 0,10 + 0,06 + 0,06 + 0,05 + 0,08 = ±0,35 mm → joc entre 0,15 i 0,85 mm. El límit superior supera 0,70 mm: no es garanteix el requisit (hi pot haver acoblaments amb massa joc), tot i que el mínim sí que compleix (0,15 > 0,10).

b) Tolerància estadística: √(0,10² + 0,06² + 0,06² + 0,05² + 0,08²) = √0,0261 = ±0,162 mm → joc entre 0,338 i 0,662 mm: sí entra en el rang de 0,10–0,70 mm.

c) σ_g = 0,162/3 = 0,0539 mm. P(g > 0,70) = P(z > 0,20/0,0539 = 3,71) ≈ 1,0·10^-4 (0,010 %, unes 100 peces per milió). P(g < 0,10) = P(z < −7,4) ≈ 0. Acceptar un 0,01 % d'acoblaments fora de tolerància és una pràctica habitual: permet toleràncies de fabricació més àmplies (més barates) en cada peça perquè és molt poc probable que totes les cotes coincideixin alhora en els seus extrems. Cal assegurar-se que el procés és estable i centrat (si no, la hipòtesi falla).

d) 5·t ≤ 0,20 → t = ±0,04 mm a totes les cotes (en lloc de ±0,05 a ±0,10). Estrènyer toleràncies encareix la fabricació (mecanitzats més precisos, més rebuigs, més control) de manera molt notable. Alternatives: acceptar el risc estadístic de l'apartat b); fer un acoblament selectiu (classificar peces per mida i combinar-les); o afegir un element compensador, com una volandera de reglatge, que s'escull en el muntatge segons el joc mesurat.

Errors típics

• Sumar les toleràncies amb signe en lloc de sumar valors absoluts en el pitjor cas.
• Aplicar el mètode estadístic sense comprovar que el procés està centrat i és estable.
• Pensar que estrènyer totes les toleràncies sempre és la millor solució.

Conceptes treballats: toleràncies dimensionals, cadenes de cotes, mètode del pitjor cas i mètode estadístic, distribució normal, control de qualitat, acoblament selectiu.

a) C(Q) = (D/Q)·S + (Q/2)·H = 2 160 000/Q + 1,2·Q. Q* = √(2·12 000·180/2,4) = √1 800 000 = 1342 peces. Nombre de lots: 12 000/1342 = 8,94 lots/any; temps entre llançaments: 365/8,94 = 40,8 dies. Cost: 8,94·180 + 671·2,4 = 1610 + 1610 = 3220 €/any (en l'òptim, preparació i estoc costen el mateix).

b) Q = 1000: 12·180 + 500·2,4 = 2160 + 1200 = 3360 € (+4,3 %). Q = 3000: 4·180 + 1500·2,4 = 720 + 3600 = 4320 € (+34 %). Si s'equivoca un 25 % per excés (1677 peces): cost +2,5 %; per defecte (1006 peces): +4,2 %. La corba és molt plana a prop de l'òptim: no cal ser extremadament precís, però no convé allunyar-se molt.

c) Q* = √(2·12 000·45/2,4) = √450 000 = 671 peces; cost = √(2·12 000·45·2,4) = 1610 €/any (la meitat). Estoc mitjà: 671/2 = 335 peces, contra 671 abans: es redueix a la meitat. Reduir la preparació 4 vegades redueix a la meitat el lot, l'estoc i el cost.

d) El model suposa demanda constant i coneguda, sense faltes d'estoc ni descomptes per volum, producció instantània i costos S i H fixos. Amb producció a un ritme finit, el lot òptim és una mica més gran; amb demanda variable cal estoc de seguretat. El justa-a-temps no accepta S com una dada: el que fa és treballar per reduir-la (SMED), perquè això baixa el lot òptim, l'estoc, el cost i el termini de lliurament; és molt més rendible que ajustar finament el lot per a una preparació cara.

Errors típics

• Oblidar que l'estoc mitjà és Q/2 (i no Q).
• Pensar que fabricar tot el que cal en una sola tirada minimitza el cost.
• Considerar S i H immutables en lloc d'actuar sobre ells.

Conceptes treballats: gestió de la producció, mida econòmica de lot (EOQ), costos de preparació i d'estoc, sensibilitat del cost, SMED i justa-a-temps.

a) Inicis més aviat: A 0; B 3; C 3; D 7; E 5; F 10. Final del projecte: 12 dies. Camí crític: A-B-D-F (3 + 4 + 3 + 2 = 12). Marges: A, B, D, F = 0; C = 2 dies, E = 2 dies.

b) Persones per dia (dies 1 a 12): 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2. Els dies 4 i 5 s'excedeix el límit (B amb 1 persona i C amb 2).

c) B ocupa 1 persona durant tot el seu interval i C en necessita 2: no poden coincidir ni un dia. El marge de C és de només 2 dies, però B dura 4: si C s'endarrereix com a màxim 2 dies (comença el dia 6 al més tard) encara coincideix amb B (dies 4 a 7). Per això cal fer-los en seqüència. Opció 1: C després de B (dies 8–9), D i E alhora (dies 10–12; 1 + 1 = 2 persones) i F (dies 13–14) → 14 dies. Opció 2: C abans (dies 4–5), B (6–9) i E (6–8; B + E = 2 persones), D (10–12), F (13–14) → 14 dies. L'exploració exhaustiva dona que el mínim possible és 14 dies: el límit de personal allarga el projecte 2 dies.

d) Tercera persona 2 dies: 2·380 = 760 €, i es manté el termini de 12 dies. Retard de 2 dies: 2·600 = 1200 €. Convé contractar: estalvia 440 €. (El resultat depèn de la relació entre el cost del recurs i la penalització.)

Errors típics

• Creure que el camí crític dona la durada real quan els recursos són limitats.
• Intentar resoldre el conflicte retardant una tasca més enllà del seu marge sense recalcular el camí crític.
• Oblidar que una tasca amb dues persones ocupa tot l'equip.

Conceptes treballats: planificació, camí crític i marges, histograma de recursos, nivellació i assignació de recursos limitats, compromís entre termini i cost.

a) Carboni: 0,25·3 + 0,30·9 + 0,20·10 + 0,15·4 + 0,10·3 = 0,75 + 2,70 + 2,00 + 0,60 + 0,30 = 6,35. Alumini: 1,50 + 1,80 + 1,60 + 1,05 + 0,70 = 6,65. PETG: 2,25 + 2,10 + 0,80 + 1,35 + 0,50 = 7,00. Guanya el PETG.

b) El PETG té una rigidesa de 4 < 6: s'elimina. Entre el carboni (6,35) i l'alumini (6,65) guanya l'alumini. El resultat canvia del tot perquè un criteri tècnic crític no es pot compensar amb un bon preu o una fàcil fabricació.

c) Diferència carboni − alumini = (6,35 − 6,65) + x·(9 − 6) − x·(3 − 6) = −0,30 + 3x + 3x = −0,30 + 6x. S'anul·la per x = 0,05 (massa = 0,35, cost = 0,20): empat a 6,65. Per a x > 0,05, guanya el carboni. És a dir, una modificació de només 5 punts percentuals en les ponderacions inverteix la decisió: la decisió no és robusta.

d) Pesos iguals: carboni (3 + 9 + 10 + 4 + 3)/5 = 5,8; alumini (6 + 6 + 8 + 7 + 7)/5 = 6,8; PETG (9 + 7 + 4 + 9 + 5)/5 = 6,8 (empat amb l'alumini). Les puntuacions i les ponderacions són subjectives i el resultat depèn molt d'elles. Per a una decisió més sòlida: fer servir dades mesurables (massa en kg, cost en €, rigidesa en N/mm) normalitzades, definir criteris eliminatoris, fer una anàlisi de sensibilitat com la de l'apartat c) i consensuar les ponderacions amb tots els interessats.

Errors típics

• Compensar un criteri eliminatori (rigidesa) amb bones notes en altres criteris.
• No comprovar que els pesos sumen 1 en canviar-los.
• Fiar-se d'una puntuació subjectiva com si fos una mesura.

Conceptes treballats: presa de decisions en el disseny, matriu de decisió ponderada, criteris eliminatoris, anàlisi de sensibilitat, selecció de materials.

a) Amortització: (85 000 − 10 000)/8 = 9375 €/any. Interessos: 0,04·47 500 = 1900 €/any. Manteniment: 0,04·85 000 = 3400 €/any. Espai i assegurança: 3000 €/any. Cost fix anual: 17 675 €. Cost horari de màquina: 17 675/2000 = 8,84 €/h.

b) Energia: 12·0,15 = 1,80 €/h. Cost horari total: 8,84 + 1,80 + 24 + 1,20 = 35,84 €/h.

c) Cicle: 0,1 h·35,84 = 3,58 €. Material: 4,20 €. Cost de cicle + material: 7,78 €; amb un 3 % de defectes, per aconseguir una peça bona cal fer 1/0,97 peces: 7,78/0,97 = 8,02 €. Preparació: 2·(8,84 + 24) = 65,68 € per lot → 65,68/200 = 0,33 € per peça. Cost d'una peça bona: 8,35 €. Preu de venda: 8,35·1,18 = 9,86 €.

d) 1000 h/any: cost fix horari = 17,675 €/h; cost horari total = 44,68 €/h; peça = (0,1·44,68 + 4,20)/0,97 + 2·(17,675 + 24)/200 = 8,94 + 0,42 = 9,35 € (+12 %). 3000 h/any: 5,89 €/h fix; total 32,89 €/h; peça = 8,02 € (−4 %). Els costos fixos (amortització, interessos, manteniment) són els mateixos treballi poc o molt, de manera que el cost per hora depèn de la utilització: una màquina cara parada és un cost sense retorn. El preu competitiu exigeix omplir la màquina de feina (més hores, més torns, més clients).

Errors típics

• Comptar l'energia i les eines en les hores de preparació, quan la màquina no talla.
• Aplicar el 3 % de defectes sumant-lo al cost en lloc de dividir per (1 − 0,03).
• Oblidar que la preparació es reparteix entre les 200 peces del lot.

Conceptes treballats: costos d'un procés productiu, amortització, cost hora màquina, utilització de la capacitat, càlcul del preu, rebuigs.