Exercicis d'àlgebra — Matemàtiques 3r ESO

x = 12 - 7 = 5.

Un parell de valors: un per a x i un per a y.

x = 9 - 5 = 4.

El grau és l'exponent més gran de la x: 5, que correspon al terme -2x⁵.
El coeficient principal és el del terme de grau més alt: -2.
Error típic: agafar el primer terme escrit (4x³) com a principal; cal ordenar-los per grau.

Aïllem la x: passem el 5 a l'altre membre restant, 2x = 17 - 5 = 12.
Dividim entre 2: x = 6.
Comprovació: 2 · 6 + 5 = 17.

El quadrat d'una suma és (a + b$)^{2}$ = $a^{2}$ + 2ab + $b^{2}$.
Aquí a = x i b = 3: (x + 3$)^{2}$ = $x^{2}$ + 6x + 9.
Error típic: escriure $x^{2}$ + 9 i oblidar el doble producte 6x.

El màxim comú divisor de 6 i 9 és 3.
6x + 9 = 3 · 2x + 3 · 3 = 3(2x + 3).
Comprovació: distribuint, 3 · 2x + 3 · 3 = 6x + 9.

Es multipliquen els coeficients: 3 · (-4) = -12.
Es sumen els exponents de la x: 2 + 3 = 5.
El producte és -12x⁵.

Substituïm a la primera equació: 2 · 2 + 1 = 5, es compleix.
A la segona: 2 - 1 = 1, també es compleix.
Com que satisfà les dues equacions, (x, y) = (2, 1) és solució del sistema.

Substituïm x per -3, amb parèntesis: (-3$)^{2}$ - 2 · (-3) + 1.
(-3$)^{2}$ = 9 i -2 · (-3) = +6.
9 + 6 + 1 = 16.

3 · 4 - 5 = 12 - 5 = 7.

$x^{2}$ = 9, per tant x = 3 o x = -3.

Anomeno x el més petit; el següent és x + 1. Que siguin consecutius i que el producte valgui 56 es tradueix a x · (x + 1) = 56. Ho desenvolupo: $x^{2}$ + x = 56, és a dir $x^{2}$ + x - 56 = 0 (a=1, b=1, c=-56). L'arrel de la fórmula: $\sqrt{1 + 224}$ = $\sqrt{225}$ = 15. Solucions: x = $\tfrac{(-1 + 15)}{2} = 7$ i x = $\tfrac{(-1 - 15)}{2}$ = -8. Com que demano nombres naturals, descarto el -8. Els nombres són 7 i 8, i efectivament 7 · 8 = 56.

Anomeno x el nombre de cotxes i y el de motos. «En total 20 vehicles» dona la primera equació: x + y = 20. «60 rodes», sabent que un cotxe en té 4 i una moto 2, dona la segona: 4x + 2y = 60. Resolc per reducció: multiplico la primera per 2, 2x + 2y = 40, i la resto de la segona: (4x + 2y) - (2x + 2y) = 60 - 40, és a dir 2x = 20, per tant x = 10. Torno a x + y = 20: y = 20 - 10 = 10. Hi ha 10 cotxes i 10 motos. Comprovo les rodes: 4 · 10 + 2 · 10 = 60.

Treiem parèntesis: 3x - 6 = 2x + 5.
Agrupem les x a l'esquerra i els nombres a la dreta: 3x - 2x = 5 + 6.
x = 11.
Comprovació: 3 · (11 - 2) = 27 i 2 · 11 + 5 = 27.

Fem servir la fórmula amb a = 1, b = -5, c = 6: x = (5 ± √(25 - 24)) / 2 = (5 ± 1) / 2.
x = 6/2 = 3 o x = 4/2 = 2.
Comprovació: 3 · 2 = 6 (producte de les arrels = c) i 3 + 2 = 5 (suma = -b).

Canviem el signe de tots els termes del segon polinomi: 3x² - 2x + 1 - $x^{2}$ - 4x + 5.
Agrupem els termes semblants: (3 - 1)$x^{2}$ + (-2 - 4)x + (1 + 5).
Resultat: 2x² - 6x + 6.
Error típic: no canviar el signe del -5.

És una diferència de quadrats: $a^{2}$ - $b^{2}$ = (a + b)(a - b).
Com que 16 = $4^{2}$: $x^{2}$ - 16 = (x + 4)(x - 4).
Comprovació: (x + 4)(x - 4) = $x^{2}$ - 4x + 4x - 16.

La y ja està aïllada: la substituïm a la segona equació, 3x + (2x - 1) = 14.
5x - 1 = 14, 5x = 15, x = 3.
Ara y = 2 · 3 - 1 = 5.
Solució: x = 3, y = 5. Comprovació: 3 · 3 + 5 = 14.

El mínim comú múltiple dels denominadors és 6. Multipliquem tots els termes per 6: 3x + 2x = 60.
5x = 60, per tant x = 12.
Comprovació: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.

Sigui h l'altura; la base és h + 3.
Perímetre: 2(h + h + 3) = 30, així que 2h + 3 = 15 i h = 6.
Base: 6 + 3 = 9.
El rectangle mesura 9 cm × 6 cm. Comprovació: 2 · (9 + 6) = 30 cm.

2x² - $x^{2}$ = $x^{2}$ i 3x + x = 4x. Queda $x^{2}$ + 4x.

Anomeno x el primer nombre; el consecutiu és x + 1. La suma dels seus quadrats és 145: x² + (x + 1)² = 145. Desenvolupo el quadrat: x² + x² + 2x + 1 = 145, és a dir 2x² + 2x - 144 = 0. Divideixo tota l'equació per 2 per simplificar: x² + x - 72 = 0 (a=1, b=1, c=-72). L'arrel: √(1 + 288) = √289 = 17. Solucions: x = (-1 + 17)/2 = 8 i x = (-1 - 17)/2 = -9. Com que vull nombres naturals, descarto el -9. Els nombres són 8 i 9; comprovo: 8² + 9² = 64 + 81 = 145.

Anomeno x el preu d'un quadern i y el d'un bolígraf (en euros). La primera compra dona 3x + 2y = 13 i la segona 2x + 4y = 14. Resolc per reducció eliminant la y: multiplico la primera equació per 2, 6x + 4y = 26, i li resto la segona: (6x + 4y) - (2x + 4y) = 26 - 14, és a dir 4x = 12, per tant x = 3. Substitueixo a 3x + 2y = 13: 9 + 2y = 13, 2y = 4, y = 2. Cada quadern val 3 € i cada bolígraf 2 €. Comprovo la segona compra: 2 · 3 + 4 · 2 = 6 + 8 = 14 €.

a = 2, b = 3, c = -2. Discriminant: 3² - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25.
x = (-3 ± 5) / 4, per tant x = 2/4 = 1/2 o x = -8/4 = -2.
Comprovació: x = 1/2 → 2 · 1/4 + 3/2 - 2 = 1/2 + 3/2 - 2 = 0. x = -2 → 8 - 6 - 2 = 0.

Els coeficients de y són oposats (+2 i -2): sumem les dues equacions.
8x = 24, per tant x = 3.
Substituïm a la primera: 9 + 2y = 13, 2y = 4, y = 2.
Solució: x = 3, y = 2. Comprovació a la segona: 5 · 3 - 2 · 2 = 11.

Siguin x i x + 4. Producte: x(x + 4) = 45, és a dir, $x^{2}$ + 4x - 45 = 0.
x = $\tfrac{(-4 \pm \sqrt{16 + 180})}{2}$ = $\tfrac{(-4 \pm 14)}{2}$, d'on x = 5 o x = -9.
Com que han de ser positius, descartem x = -9.
Els nombres són 5 i 9. Comprovació: 9 - 5 = 4 i 5 · 9 = 45.

Primer terme: (x + 2$)^{2}$ = $x^{2}$ + 4x + 4.
Segon terme: (x - 1)(x + 1) = $x^{2}$ - 1 (suma per diferència).
Restem: $x^{2}$ + 4x + 4 - $x^{2}$ + 1 = 4x + 5.
Atenció al signe: el -1 canvia a +1 en restar.

Sigui x l'edat del fill; el pare en té 3x.
D'aquí a 12 anys: 3x + 12 = 2(x + 12).
3x + 12 = 2x + 24, per tant x = 12.
El fill té 12 anys i el pare, 36. Comprovació: d'aquí a 12 anys tindran 24 i 48 anys, i 48 = 2 · 24.

El discriminant és Δ = b² - 4ac: si és positiu hi ha 2 solucions, si és zero n'hi ha 1 i si és negatiu no n'hi ha cap.
a) Δ = 36 - 36 = 0: una solució (doble), x = 3.
b) Δ = 0 - 16 = -16 < 0: cap solució real.
c) Δ = 9 + 16 = 25 > 0: dues solucions (x = 4 i x = -1).