Exercicis de nombres reals — Matemàtiques 3r ESO

Q: Què vol dir un exponent negatiu?

Que és l'invers de la potència positiva: 2 elevat a −2 és 1 dividit per 2 elevat a 2, és a dir, 1/4.

Q: Per què l'arrel de 5 és irracional?

Perquè 5 no és un quadrat perfecte i la seva arrel té infinites xifres decimals que no es repeteixen. No es pot escriure com una fracció.

A 3r d'ESO els nombres s'amplien amb els irracionals, i aquests exercicis t'ajuden a classificar-los i a operar-hi. Decideixes si un nombre com 0,5 o l'arrel de 5 és racional o irracional i justifiques per què, i situes arrels no exactes entre dos enters seguits, com l'arrel de 30. També calcules potències d'exponent negatiu, com 2 elevat a −2, que dona 1/4, i treballes la notació científica amb nombres molt grans i molt petits. Les solucions et recorden la propietat que fas servir a cada pas. Errors típics: no respectar la jerarquia d'operacions i multiplicar la base per l'exponent en lloc de multiplicar-la per ella mateixa.

Nivell bàsic

Exercici 1

El nombre 0,5 és racional o irracional?

Mostra la solució

Racional: és el decimal exacte de la fracció $\tfrac{1}{2}$ .

Exercici 2

Quant val $5^{0}$ ?

Mostra la solució

$5^{0}$ = 1: qualsevol nombre elevat a 0 fa 1.

Exercici 3

L'arrel de 10 és exacta o no?

Mostra la solució

No exacta: $\sqrt{10}$ = 3,16..., un nombre irracional.

Exercici 4

Escriu el nombre decimal 0,75 com a fracció irreductible.

Mostra la solució

0,75 = 75/100. Dividim numerador i denominador entre 25 (el màxim comú divisor).
0,75 = 3/4.
Comprovació: 3 : 4 = 0,75.

Exercici 5

Classifica aquests nombres com a racionals o irracionals: $\tfrac{2}{5}$ , $\sqrt{49}$ , $\sqrt{12}$ i 0,333… (amb infinits 3).

Mostra la solució

$\tfrac{2}{5}$ és una fracció: racional.
$\sqrt{49}$ = 7 és un enter: racional.
$\sqrt{12}$ no és exacta (≈ 3,46…) i no es pot escriure com a fracció: irracional.
0,333… és periòdic i val $\tfrac{1}{3}$ : racional.

Exercici 6

Escriu en notació científica el nombre 45 000 000.

Mostra la solució

Movem la coma 7 llocs cap a l'esquerra fins a tenir una sola xifra davant de la coma: 4,5.
45 000 000 = 4,5 · $10^{7}$ .

Exercici 7

Calcula (-2 $)^{4}$ i - $2^{4}$ . Per què no donen el mateix?

Mostra la solució

(-2 $)^{4}$ = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16, perquè la base és -2 i l'exponent parell elimina el signe.
- $2^{4}$ = -( $2^{4}$ ) = -16, perquè l'exponent només afecta el 2.
Error típic: oblidar els parèntesis i confondre les dues expressions.

Exercici 8

Calcula el valor de $\sqrt{144}$ + $\sqrt{25}$ i digues quines arrels has fet servir.

Mostra la solució

$\sqrt{144}$ = 12, perquè $12^{2}$ = 144.
$\sqrt{25}$ = 5, perquè $5^{2}$ = 25.
Suma: 12 + 5 = 17.

Exercici 9

Arrodoneix 3,4567 a les centèsimes.

Mostra la solució

Les centèsimes són la segona xifra decimal: 3,45|67.
La xifra següent és un 6 (≥ 5), per tant s'augmenta la darrera xifra que es conserva.
3,4567 ≈ 3,46.

Exercici 10

Escriu com a nombre decimal 5,2 · $10^{-3}$ .

Mostra la solució

L'exponent -3 vol dir que la coma es desplaça 3 llocs cap a l'esquerra.
5,2 · $10^{-3}$ = 0,0052.

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula respectant la jerarquia: 10 - 2 · 3.

Mostra la solució

Primer 2 · 3 = 6, després 10 - 6 = 4.

Exercici 12

Digues si $\sqrt{5}$ és racional o irracional i per què.

Mostra la solució

Irracional: $\sqrt{5}$ = 2,2360..., té infinites xifres decimals que no es repeteixen i no es pot escriure com una fracció exacta.

Exercici 13

Calcula $3^{2}$ · $3^{3}$ i deixa-ho com una potència.

Mostra la solució

Mateixa base i producte: se sumen els exponents. $3^{2}$ · $3^{3}$ = $3^{5}$ .

Exercici 14

Entre quins dos enters seguits està $\sqrt{30}$ ?

Mostra la solució

$5^{2}$ = 25 i $6^{2}$ = 36, i 25 < 30 < 36, per tant $\sqrt{30}$ està entre 5 i 6.

Exercici 15

Troba la fracció generatriu del nombre periòdic 2,666… (el 6 es repeteix indefinidament) i simplifica-la.

Mostra la solució

Sigui x = 2,666… Multipliquem per 10: 10x = 26,666…
Restem: 10x - x = 26,666… - 2,666… = 24, és a dir, 9x = 24.
x = 24/9 = 8/3.
Comprovació: 8 : 3 = 2,666…

Exercici 16

Calcula $\tfrac{3}{4}$ + $\tfrac{5}{6}$ - $\tfrac{1}{3}$ i dona el resultat com a fracció irreductible.

Mostra la solució

El mínim comú múltiple de 4, 6 i 3 és 12.
3/4 = 9/12; 5/6 = 10/12; 1/3 = 4/12.
9/12 + 10/12 - 4/12 = 15/12 = 5/4.

Exercici 17

Simplifica i expressa com a fracció: $\tfrac{(2^{5} \cdot 2^{-2})}{2^{4}}$ .

Mostra la solució

Al numerador, mateixa base: es sumen els exponents, 2^{5 + (-2)} = 2³.
Al quocient, mateixa base: es resten els exponents, 2^{3 - 4} = 2^-1.
2^-1 = 1/2.
Comprovació: (32 · 1/4) / 16 = 8/16 = 1/2.

Exercici 18

Calcula (3 · $10^{5}$ ) · (4 · $10^{-2}$ ) i dona el resultat en notació científica.

Mostra la solució

Multipliquem els coeficients i sumem els exponents: 3 · 4 = 12 i 10^{5 + (-2)} = $10^{3}$ .
Queda 12 · $10^{3}$ , però 12 no és entre 1 i 10.
12 · $10^{3}$ = 1,2 · $10^{4}$ .

Exercici 19

Extreu tots els factors possibles de l'arrel: $\sqrt{150}$ .

Mostra la solució

Descomposem 150 = 25 · 6, amb 25 quadrat perfecte.
$\sqrt{150}$ = $\sqrt{25}$ · $\sqrt{6}$ = 5 $\sqrt{6}$ .
Comprovació: 5 $\sqrt{6}$ ≈ 5 · 2,449 = 12,25 i $\sqrt{150}$ ≈ 12,25.

Exercici 20

Una estrella és a 4,2 · $10^{13}$ km de la Terra i la llum viatja a 3 · $10^{5}$ km/s. Quants segons triga la llum a arribar-hi? Dona el resultat en notació científica.

Mostra la solució

Temps = distància / velocitat = $\tfrac{(4{,}2 \cdot 10^{13})}{(3 \cdot 10^{5})}$ .
Dividim coeficients: $\tfrac{4{,}2}{3} = 1{,}4$ . Restem exponents: 13 - 5 = 8.
t = 1,4 · $10^{8}$ s (uns 4,4 anys).

Exercici 21

Un tauló mesura en realitat 12,5 m, però en mesurar-lo has obtingut 12,3 m. Calcula l'error absolut i l'error relatiu (en %).

Mostra la solució

Error absolut = |valor real - valor mesurat| = |12,5 - 12,3| = 0,2 m.
Error relatiu = error absolut / valor real = 0,2 / 12,5 = 0,016.
En percentatge: 1,6 %.

Nivell avançat

Exercici 22

Calcula: (3 + 2 $)^{2}$ - 4 · 5.

Mostra la solució

Parèntesi: 3 + 2 = 5. Potència: $5^{2}$ = 25. Multiplicació: 4 · 5 = 20. Resta: 25 - 20 = 5.

Exercici 23

Calcula 2⁻² en forma de fracció.

Mostra la solució

L'exponent negatiu és l'invers: 2⁻² = 1/2² = 1/4.

Exercici 24

Simplifica $\sqrt{72}$ .

Mostra la solució

72 = 36 · 2 i $\sqrt{36}$ = 6, per tant $\sqrt{72}$ = 6 · $\sqrt{2}$ .

Exercici 25

Calcula ( $\tfrac{2}{3}$ $)^{-2}$ · ( $\tfrac{3}{4}$ $)^{2}$ i dona el resultat com a fracció irreductible.

Mostra la solució

Un exponent negatiu inverteix la fracció: (2/3)^-2 = (3/2)² = 9/4.
(3/4)² = 9/16.
Producte: 9/4 · 9/16 = 81/64.
Ja és irreductible perquè 81 = 3⁴ i 64 = 2⁶ no comparteixen factors.

Exercici 26

Ordena de menor a major els nombres $\tfrac{2}{3}$ , 0,7, $\sqrt{0,5}$ i 0,68, escrivint-los abans en forma decimal amb tres xifres decimals.

Mostra la solució

$\tfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ ; 0,7 = 0,700; $\sqrt{0,5}$ ≈ 0,707; 0,68 = 0,680.
Ordenats: 0,667 < 0,680 < 0,700 < 0,707.
Resposta: $\tfrac{2}{3}$ < 0,68 < 0,7 < $\sqrt{0,5}$ .

Exercici 27

Simplifica $\sqrt{18}$ + $\sqrt{50}$ - $\sqrt{8}$ extraient factors de cada arrel.

Mostra la solució

$\sqrt{18}$ = $\sqrt{9\cdot 2}$ = 3 $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{50}$ = $\sqrt{25\cdot 2}$ = 5 $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{8}$ = $\sqrt{4\cdot 2}$ = 2 $\sqrt{2}$ .
Ara tots els radicals són semblants: 3 $\sqrt{2}$ + 5 $\sqrt{2}$ - 2 $\sqrt{2}$ = (3 + 5 - 2) $\sqrt{2}$ = 6 $\sqrt{2}$ .
Error típic: sumar els radicands ( $\sqrt{18}$ + $\sqrt{50}$ no és $\sqrt{68}$ ).

Exercici 28

Troba la fracció generatriu del periòdic mixt 1,2333… (el 3 es repeteix indefinidament) i simplifica-la.

Mostra la solució

Sigui x = 1,2333… Multipliquem per 100 i per 10: 100x = 123,333… i 10x = 12,333…
Restem: 100x - 10x = 123,333… - 12,333… = 111, per tant 90x = 111.
x = 111/90 = 37/30.
Comprovació: 37 : 30 = 1,2333…

Exercici 29

La Maria gasta $\tfrac{1}{4}$ dels seus estalvis en un llibre i després $\tfrac{2}{5}$ del que li quedava en roba. Si encara li queden 45 €, quants diners tenia al principi?

Mostra la solució

Després del llibre li queda 1 - 1/4 = 3/4 dels estalvis.
Després de la roba li queda 3/5 d'aquests 3/4: 3/5 · 3/4 = 9/20 dels estalvis.
Així 9/20 de l'import total = 45 €, per tant total = 45 · 20 / 9 = 100 €.
Comprovació: 100 - 25 = 75; 75 - 30 = 45.

Exercici 30

Raona si és cert o fals: «La suma de dos nombres irracionals és sempre un nombre irracional». Posa'n un exemple que ho justifiqui.

Mostra la solució

És fals.
Contraexemple: $\sqrt{2}$ i - $\sqrt{2}$ són irracionals, però $\sqrt{2}$ + (- $\sqrt{2}$ ) = 0, que és racional.
Un altre: (2 + $\sqrt{3}$ ) + (2 - $\sqrt{3}$ ) = 4. Per tant, la suma de dos irracionals pot ser racional.

T'encalles amb aquest tema?

A L'Acadèmia de Vic t'ajudem amb classes individuals. Escriu-nos per WhatsApp.

Escriu-nos per WhatsApp (604 95 79 95)

Més informació: Reforç d'ESO a Vic · Classes particulars

Preguntes freqüents

Què vol dir un exponent negatiu?

Que és l'invers de la potència positiva: 2 elevat a −2 és 1 dividit per 2 elevat a 2, és a dir, 1/4.

Per què l'arrel de 5 és irracional?

Perquè 5 no és un quadrat perfecte i la seva arrel té infinites xifres decimals que no es repeteixen. No es pot escriure com una fracció.

Exercicis de nombres reals — Matemàtiques 3r ESO

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

T'encalles amb aquest tema?

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 3r ESO